选修4-2矩阵与变换知识点讲解

一、二阶矩阵
1.矩阵的概念
① (2, 3)，将的坐标排成一列，并简记为



②某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：
初赛 复赛
甲 80 90
乙 86 88
2 3 m
3 －2 4
③



概念一：
象 的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A、B、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.
名称介绍：
①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。
②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A＝B。
③行矩阵：[a11,a12]（仅有一行）
④列矩阵：（仅有一列）
⑤向量＝（x,y），平面上的点P（x,y）都可以看成行矩阵或列矩阵，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量的形式。
练习1：
1.已知,，若A=B，试求

2.设，，若A=B，求x,y,m,n的值。

概念二：
由4个数a,b,c,d排成的正方形数表称为二阶矩阵。a,b,c,d称为矩阵的元素。
①零矩阵：所有元素均为0，即，记为0。
②二阶单位矩阵：，记为E2.
二、二阶矩阵与平面向量的乘法
定义：规定二阶矩阵A=，与向量的乘积为，即＝＝
练习2：
1.（1）＝
（2） ＝
2.=，求
三、二阶矩阵与线性变换
1.旋转变换
问题1:P（x,y）绕原点逆时针旋转180o得到P’(x’,y’),称P’为P在此旋转变换作用下的象。其结果为，也可以表示为，即＝＝怎么算出来的？

问题2. P（x,y）绕原点逆时针旋转30o得到P’(x’,y’),试完成以下任务①写出象P’； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.


问题3.把问题2中的旋转30o改为旋转角，其结果又如何？


2.反射变换
定义：把平面上任意一点P对应到它关于直线的对称点P’的线性变换叫做关于直线的反射。
研究：P（x,y）关于x轴的反射变换下的象P’(x’,y’)的坐标公式与二阶矩阵。
3.伸缩变换
定义：将每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，（、均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。
试分别研究以下问题：
①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
②. 将每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
4.投影变换
定义：将平面上每个点P对应到它在

直线上的投影P’（即垂足），这个变换称为关于直线的投影变换。
研究：P（x,y）在x轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。
5.切变变换
定义：将每一点P（x,y）沿着与x轴平行的方向平移个单位，称为平行于x轴的切变变换。将每一点P（x,y）沿着与y轴平行的方向平移个单位，称为平行于y轴的切变变换。
研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。
练习：P10 1.2.3.4

四、简单应用
1.设矩阵A=，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。
练习：P13 1.2.3.4.5

【第一讲.作业】
1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是
2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180o，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
7. 设，，且A=B.则x＝
8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为
10.已知点A（2，－1），B（－2，3），则向量在矩阵对应的线性变换下得到的向量坐标为
11.向量在矩阵的作用下变为与向量平行的单位向量，则＝
12.已知，＝，＝，设，，①求，；
13.已知，＝，＝，若与的夹角为135o，求x.
14.一种线性变换对应的矩阵为。①若点A在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电A的坐标；②解释该线性变换的几何意义。

15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为。求①点A（1/5,3）在该变换作用下的像；②圆上任意一点在该变换作用下的像。
答案：1.　2. 3. 4. 5.6.　7.－1　8. 9.（0，5）　10.（2，8）　11.，　12.、　
13.ｘ＝2/3 14.(5,y) 15. ,
第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算
1.数乘平面向量：设，是任意一个实数，则
2.平面向量的加法：设，，则
性质1：设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，是任意一个实数，则①数乘结合律：；②分配律：
【探究1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。
二、直线在线性变换下的图形
研究分别在以下变换下的像所形成的图形。
①伸缩变换

：
②旋转变换：
③切变变换：
④特别地：直线x=a关于x轴的投影变换？

性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成 .
（证明见课本P19）
三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形
分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。
①恒等变换：

②转变换：

③变变换：

④反射变换：

⑤投影变换：

【练习：P27】
【应用】
试研究函数在旋转变换作用下得到的新曲线的方程。

四、复合变换与二阶矩阵的乘法
1.研究任意向量先在旋转变换：作用，再经过切变变换：作用的向量
2.二阶矩阵的乘积
定义：设矩阵A＝，B＝，则A与B的乘积
AB＝＝
【应用】
1.计算 ＝
2.A＝ ，B＝ ，求AB
3.求在经过切变变换：A=，及切变变换：B=两次变换后的像。
4.设压缩变换：A＝，旋转变换：B＝，将两个变换进行复合，①求向量在复合变换下的像；②求在复合变换下的像；③在复合变换下单位正方形变成什么图形？
5.试研究椭圆①伸缩变换：②旋转变换： ；③切变变换：；④反射变换：；⑤投影变换：五种变换作用下的新曲线方程。
进一步研究在④②，①④等变换下的新曲线方程。
【练习：P35】
【第二讲.作业】A.B.C.D.
1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（ ）
A.反射变换 B.投影变换 C.切变变换 D.伸缩变换
2. 在切变变换：作用下，直线y=2x-1变为
3. 在A＝作用下，直线变为y=-2x-3,则直线为
4.在对应的线性边变换作用下，椭圆变为
5.已知平面内矩形区域为（0≤x1≤1,0≤x2≤2）,若一个线性变换将该矩形变为正方形区域，则该线性变换对应的矩阵为
6.将椭圆绕原点顺时针旋转45ｏ后得到新的椭圆方程为
7.在对应的线性边变换作用下，圆(x+1)2+(y+1)2=1变为
8.计算：
①＝
②＝
③＝
9.向量经过和两次变换后得到的向量为
10.向量先逆时针旋转45o，再顺时针旋转15o得到的向量为
11.函数的图像经过的伸缩变换，和的反射变换后的函数是
12. 椭圆先后经过反射变换和伸缩变换后得到的曲线方程为
13.已知Ｍ＝，且ＭＮ＝，求矩阵Ｎ。
14.分别求出在、、对应的线性边变换作用下，椭圆变换后的方程，并作出图形。
15.函数先后经过怎样的变换可以得到？写出相应的矩阵。
答案：1.Ａ　2.y=-1 3.3x-y+3=0 4.y=-x 5. 6. 7.y=x（－2≤x≤0）　8. 、　、9. 10. 11.
12. 13. 14.y=-2x(－2≤x≤2)、y=0(－2≤x≤2)、 15. ＝
第三讲 矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵
二、矩阵乘法的性质

1.设Ａ＝，Ｂ＝，Ｃ＝由A、B、C研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。
结论：
2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。
3.单位矩阵的性
【应用】
1.设Ａ＝，求Ａ8
2. 【练习：P41】
二、逆变换与逆矩阵
1.逆变换：设是一个线性变换，如果存在一个线性变换，使得
＝＝，（是恒等变换）则称变换可逆，其中是的逆变换。
2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。
符号、记法：，读作Ａ的逆。
【应用】
1.试寻找Ｒ30o的逆变换。

【应用】
1.A＝，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵。
2. A＝，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵。

由以上两题，总结一般矩阵A＝可逆的必要条件。

三、逆矩阵的性质
1.二阶矩阵可逆的唯一性。
2.设二阶矩阵A、B均可逆，则也可逆，且
【练习：P50】

【第三讲.作业】
1.已知非零二阶矩阵A、B、C，下列结论正确的是　（ ）
A.AB=BA B.(AB)C=A(BC) C.若AC=BC则A=B D. 若CA=CB则A=B
2.下列变换不存在逆变换的是 （ ）
A.沿x轴方向，向y轴作投影变换。　B.变换。　C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。　D.以y轴为反射变换
3.下列矩阵不存在逆矩阵的是 （ ）
A. B. C. D.
4.设A,B可逆，下列式子不正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
5.，则Ｎ2＝
6. ＝
7.＝
8.设，则向量经过先Ａ再Ｂ的变换后的向量为 经过先Ｂ再A的变换后的向量为
9.关于x轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是
10.变换将（3，2）变成（1，0），设的逆变换为－1，则－1将（1，0）变成点
11.矩阵的逆矩阵为
12.设：＝，点（－2，3）在－1的作用下的点的坐标为
13.A＝，则=
14.△ABC的顶点A(0,0),B(2,0),C(0,1)。如果将三角形先后经过和两次变换变成△A‘B’C’,求△A‘B’C’的面积。
15.已知A＝，B＝，求圆在变换作用下的图形。
16.已知，试分别计算：,,,
答案：1.B 2.A 3.D 4.A 5. 6. 7. 8.、 9. 10.（3，2） 11. 12.（1，3） 13. 14.1 15. 16. 、、、
第四讲 二阶行列式与逆矩阵·逆矩阵与二元一次方程组
一.二阶行列式与逆矩阵
【概念】
如果矩阵A＝是可逆的，则0.
其中称为二阶行列式，记作，即＝，也称为行列式的展开式。符号记为：detA或|A|
【可逆矩阵的充要条件】
定理：二阶矩阵A＝可逆，当且仅当detA=0.此时
（请

同学一起证明此定理）

【应用】
1.计算二阶行列式：
① ②
2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。
①A＝


②B＝

【练习：P55】

二、二元一次方程组的矩阵形式
1.二元一次方程组的矩阵形式
一般的，方程组可写成矩阵形式为：
2. 二元一次方程组的线性变换意义
设变换：，向量、，则方程组，意即：＝

三、逆矩阵与二元一次方程组
1.研究方程组：的矩阵形式与逆矩阵的关系。

【定理】如果关于x,y的二元一次方程组的系数矩阵A＝是可逆的，则该方程组有唯一解：＝

【推论】关于x,y的二元一次方程组（a,b,c,d,均不为0），有非零解＝0

【应用】
1.用逆矩阵解二元一次方程组

【思考】课本60页思考
的系数矩阵A＝不可逆，方程组的解如何？


【练习：P61】
【应用】
1.为何值时，二元一次方程组＝有非零解？

三、三阶矩阵与三阶行列式
1.三阶矩阵的形式

2.三阶行列式的运算
【第四讲.作业】
1.矩阵A＝，则|A|=
2.矩阵A＝，若A是不可逆的，则x=
3. 的逆矩阵为
4. A＝，B＝，则＝
5. A＝，，若A不可逆，则＝
6.若关于x,y的二元一次方程组有非零解，则m＝
7.设二元一次方程组＝没有非零解，则m所有值的集合为
8.向量在旋转变换的作用下变为，则向量＝
9. 若＝，则x+y＝
10. A＝，B＝，向量满足＝，则向量＝
11.用逆矩阵的方法解方程组：
① ②

12.求下列未知的二阶矩阵X：
① ②
13.当为何值时，二元一次方程组＝有非零解？

14.设A＝，矩阵B满足＝，求矩阵B.

答案：1.2 2. 3. 4. 5. 6.-33/4 7. 8. 9.－3 10. 11. x=k,y=3k 12. 、 13.1或4 14.
第五讲 变换的不变量与特征向量
一. 特征值与特征向量
【探究】
1.计算下列结果：
＝
＝
以上的计算结果与，的关系是怎样的？

2.计算下列结果：
＝
＝
以上的计算结果与，的关系是怎样的？
【定义】
设矩阵A＝，如果存在实数及非零向量，使得，则称是矩阵A的一个特征值。
是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。
（结合探究1、2说明，特征值与特征向量）
【定理1】
如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵A的属于特征值的特征向量。
其几何意义是什么？
【定理2】
属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。
【应用】
从几何角度解释旋转变换的特征值与特征向量。

二、特征值与特征向量的计算
1. 设A＝，求A的特征值及属于每个特征值的一个特征

向量。

【总结规律】
一般的，矩阵A＝的特征值及属于每个特征值的一个特征向量的求法。

【应用】
求A＝的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。

【练习：P70】
【第五讲.作业】
1.设反射变换对应的矩阵为A，则下列不是A的特征向量的是 （ ）
A. B. C. D.
2.下列说法错误的是 （ ）
A.矩阵A的一个特征向量只能属于A的一个特征值 B.每个二阶矩阵均有特征向量 C.属于矩阵A的不同特征值的特征向量一定不共线 D. 如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵A的属于特征值的特征向量。
3.设，分别是恒等变换与零变换的特征值，则－＝
4.投影变换的所有特征值组成的集合为
5.矩阵的特征多项式为
6.已知A是二阶矩阵，且A2＝0，则A的特征值为
7.若0是矩阵A＝的一个特征值，则A的属于0的特征向量为
8.已知1、2是矩阵A＝的特征值，则＝
9.若向量是矩阵的一个特征向量，则m＝
10.求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量：①
② ③

11.已知向量是矩阵的一个特征向量，求m的值。
12.设A＝，分别求满足下列条件的所有矩阵A：①是A的属于2的一个特征向量。②是A的一个特征向量。

13.对任意实数x，矩阵总存在特征向量，求m的取值范围。

14设A是可逆的二阶矩阵，求证：①A的特征值一定不是0；②若是A的特征值，则1/是A－1的特征值。

1.Ｄ 2.Ｂ 3.１ 4.｛0，1｝ 5. 6.0 7. 8. 9.１ 10.① 或；②或③或 11.ｍ＝0
12.①② 13.－3≤ｍ≤2 14.①有特征多项式证明；② ， 得征。
第六讲 特征向量的应用
一. 的简单表示
【探究1】
关于x轴的反射变换的坐标公式为：

相应的二阶矩阵为A＝

矩阵A的特征值为：


对应于每个特征值的特征向量为：

试研究对特征向量作了n次变换后的结果：

【定义】
设矩阵A＝， 是矩阵A的属于特征值的任意一个特征向量，则 （）
【探究2】
设探究1中的两个特征向量为、，因为这两个向量不共线，所以平面上任意一个向量可以用、为基底表示为：
试研究的值。
【性质1】
设、是二阶矩阵A的两个不同特征值，、是矩阵A的分别属于特征值、的特征向量，对于平面上任意一个非零向量，设，则＝

【应用】
1. 【P76 1、2】
2.人口迁移问题课本P73

【第五讲.作业】
1.求矩阵A＝的特征值及其对应的所有特征向量。
2.①设是矩

阵A的一个特征值，求证：是的一个特征值。②若＝。求证A的特征值为0或1。

3.设是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，求证：是的属于特征值的一个特征向量。

【4－2综合·作业】
一、选择题
1.设矩阵A＝，B＝，若A＝B，则x的值为（ ）
A.3 B.9 C.-3 D.±3
2.矩阵的逆矩阵为 （ ）
A. B. C. D.
3.矩阵A＝，，则＝ （ ）
A.5 B. C.25 D.10
4.在矩阵对应的线性变换作用下，椭圆对应的曲线为 （ ）
A. B. C. D.
5.关于矩阵乘法，下列说法正确的是 （ ）
A.不满足交换律，但满足消去律　B. 不满足交换律和消去律
C.满足交换律，但不满足消去律　D. 满足交换律和消去律
6.下列矩阵对应的变换可以把直线变为一个点的是　（　）
A. B. C. D.
7.Ａ是可逆二阶矩阵，且，则的特征值为 （ ）
A.0 B.1 C.－1 D.0或1
8.矩阵Ａ＝对应的变换把矩形（，）变为 （ ）
A.正方形 B.平行四边形 C.三角形 D.一般四边形
二、选择题
9.＝
10. ＝
11.设Ａ＝，若存在非零向量使得＝，则ｍ＝　
12.坐标平面内某种线性变换将椭圆的焦点变到直线上，则该变换对应的矩阵中的a、b、c、d应满足关系为
13.已知a、b、c为实数，A、B、C为二阶矩阵，通过类比得出下列结论:
①“若a=b,则ac=bc”，类比“若A=B,则AC=BC”；
②“若ac=bc，且，则a=b”,类比“若AC=BC，且Ｃ为非零矩阵，则Ａ＝Ｂ”；③“若ab=0,则a=0或b=0”类比“若AB=,则Ａ＝或Ｂ＝”；④“若，则”类比“若＝，则Ａ＝”。其中不正确的为
三、解答题
14.①解二元一次方程＝；②求满足＝的二阶矩阵。

15.设Ａ＝，求Ａ的特征值及所有的特征向量。
16.已知矩阵Ａ＝，向量＝，求。
17.若ｘ＝，求的最值。

18.若某种线性变换把向量，，分别变为向量，，求：①该变换对应的矩阵；②线段（－2≤x≤1）在该变换下所得曲线的方程。

CAABB ABB 9.2ad-2bc 10. 11.-2 12.d=2b 13.②③④ 14. 、 15. 或 16. 17. 18. 、