《固体物理学》房晓勇-思考题03第三章 晶体振动和晶体的热学性质

第三章晶体振动和晶体的热学性质

3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？

解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1）

以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比

(1)

其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为

, (2)

. (3)

将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为

, (4)

. (5)

由于

=，

则由(4)(5)两式可得,1

B A . 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.

3.2 试说明格波和弹性波有何不同？

解答：晶格中各个原子间的振动相互关系

3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？ 解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2） （1）方便于求解原子运动方程.

由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.

（2）与实验结果吻合得较好.

对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定

的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不

符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.

3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q a π=，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。 解答：

3.5 什么叫简正模式？简正振动数目、格波数目或格波模式数目是否是同一概念？ 解答：（王矜奉3.1.3，中南大学3.1.3）

为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加.

简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N .

3.6 有人说，既然晶格独立振动频率的数目等于晶体的自由度数，而hv 代表一个声子。因此，对于一给定的晶体，它所拥有声子的数目一定守恒。这种说法是否正确？

解答：（王矜奉3.1.5，中南大学3.1.5）

频率为

的格波的(平均) 声子数为

,

即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.

按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为

.

作变量代换

，

.

其中是德拜温度. 高温时,

,

即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.

低温时, ,

,

即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比.

3.7 长光学支格波与长声学支格波的本质上有何区别？

解答：（王矜奉3.1.4，中南大学3.1.4）

长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.

3.8 同一温度下，一个光学波的声子数目与一个声学波的声子数目相同吗？

解答：（王矜奉3.1.6，中南大学3.1.6）

频率为的格波的(平均) 声子数为

.

因为光学波的频率比声学波的频率高, ()大于(), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.

3.9 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多，还是温度低时的声子数目多？

解答：（王矜奉3.1.7，中南大学3.1.7）

设温度T H>T L, 由于()小于(), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.

3.10 由两种不同质量的原子组成的晶格，即使相邻原子间相互作用的恢复力常数相等，也将存在光学波。试问：由质量相同的原子组成的晶格，若一个原子与两个近邻原子间有不同的恢复力常数，是否有光学波存在？

解答：

3.11 高频线性谐振子和低频线性谐振子中，在高温区和低温区哪个队热容的贡献大？

解答：

3.12 在低温下，不考虑光学波对比热容的贡献合理吗？

解答：王矜奉3.1.17，中南大学3.1.17）

参考《固体物理学》（3-84）式, 可得到光学波对热容贡献的表达式

.

在甚低温下, 对于光学波, , 上式简化为

.

以上两式中是光学波的模式密度, 在简谐近似下, 它与温度无关. 在甚低温下,

, 即光学波对热容的贡献可以忽略. 也就是说, 在甚低温下, 不考虑光学波对热容的贡献是合理的.

从声子能量来说, 光学波声子的能量很大(大于短声学波声子的能量), 它对应振幅很大的格波的振动, 这种振动只有温度很高时才能得到激发. 因此, 在甚低温下, 晶体中不存在光学波.

3.13 若考虑非线性相互作用，当晶格发生伸长或压缩的形变时，晶格振动的频率是否变化？如何变化？

解答：

3.14 试简述固体中的非线性振动对固体的热膨胀、弹性模量、热容、热导、热阻等物理性质的影响。

解答：

3.15 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？

解答：（王矜奉3.1.10，中南大学3.1.10）

晶格振动谱的测定中, 光波的波长与格波的波长越接近, 光波与声波的相互作用才越显著. 喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说, 该波长属于长波长范围. 因此, 喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用. 长光学波声子的波矢很小, 相应的动量不大. 而能产生倒逆散射的条件是光的入

射波矢与散射波矢要大, 散射角也要大. 与大要求波长小, 散射角大要求大(参见下图), . 但对喇曼散射来说, 这两点都不满足. 即喇曼散射中，光子不会产生倒逆散射.

3.16长声学波能否导致离子晶体的宏观极化？

解答：（王矜奉3.1.11，中南大学3.1.11）

长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.

3.17 何谓极化声子？何谓电磁声子？

解答：（王矜奉3.1.13，中南大学3.1.13）

长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 称长光学纵波声子为极化声子.

由《固体物理学》式(3.80a)式可知, 长光学横波与电磁场相耦合, 使得它具有电磁性质, 人们称长光学横波声子为电磁声子.

3.18 温度降到很低时。爱因斯坦模型与实验结果的偏差增大，但此时，德拜模型却与实验结果符合的较好。试解释其原因。

解答：（王矜奉3.1.16，18，中南大学3.1.16,18）

按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.

在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.

3.19 绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗？

解答：（王矜奉3.1.19，中南大学3.1.19）

频率为的格波的振动能为

,

其中是由个声子携带的热振动能, ()是零点振动能, 声子数

.

绝对零度时, =0. 频率为的格波的振动能只剩下零点振动能.

格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的. 绝对零度时, 声子消失, 格波间不再交换能量.

3.20 石英晶体的热膨胀系数很小，问它的格林爱森常数有何特点？

解答：（王矜奉3.1.21，中南大学3.1.21）

由本教科书(3.158)式可知, 热膨胀系数与格林爱森常数成正比. 石英晶体的热膨胀系数很小, 它的格林爱森常数也很小. 格林爱森常数大小可作为晶格非简谐效应大小的尺度. 石英晶体的格林爱森常数很小, 说明它的非简谐效应很小.

补充1温度很低时, 声子的自由程很大, 当时, , 问时, 对于无限长的晶体, 是否

成为热超导材料?

解答：（王矜奉3.1.20，中南大学3.1.20）

对于电绝缘体, 热传导的载流子是声子. 当时, 声子数n. 因此, 时, 不论晶体是长

还是短, 都自动成为热绝缘材料.

补充2 对于光学横波, 对应什么物理图象?

解答：（王矜奉3.1.15，中南大学3.1.15）

格波的频率与成正比. 说明该光学横波对应的恢复力系数. 时, 恢复力

消失, 发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置, 而到达另一平衡位置, 即离子晶体结构发生了改变

(称为相变). 在这一新的结构中, 正负离子存在固定的位移偶极矩, 即产生了自发极化, 产生了一个稳定的极化电场.

补充3你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？

解答：（王矜奉3.1.14，中南大学3.1.14）

实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波.

补充4金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等? 对KCl晶体, 结论又是什么?

解答：（王矜奉3.1.12，中南大学3.1.12）

长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 电场的方向是阻滞离子的位移, 使得有效恢复力系数变大, 对应的格波的频率变高. 长光学格横波不引起离子的位移, 不产生极化电场, 格波的频率不变. 金刚石不是离子晶体, 其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等. 而KCl晶体是离子晶体, 它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等, 长光学纵波频率大于同波矢的长光学格横波频率.

补充5 从图3.6所示实验曲线, 你能否判断哪一支格波的模式密度大? 是光学纵波呢, 还是声学纵波?

解答：（王矜奉3.1.9，中南大

学3.1.9）

从图3.6所示实验曲线可以看

出, 在波矢空间内, 光学纵波振动

谱线平缓, 声学纵波振动谱线较陡.

单位频率区间内光学纵波对应的波

矢空间大, 声学纵波对应的波矢空

间小. 格波数目与波矢空间成正比,

所以单位频率区间内光学纵波的格

波数目大. 而模式密度是单位频率

区间内的格波数目, 因此光学纵波

的模式密度大于声学纵波的模式密

度.

补充6高温时, 频率为的格波的声子数目与温度有何关系?

解答：（王矜奉3.1.8，中南大学3.1.8）

温度很高时, , 频率为的格波的(平均) 声子数为

.

可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.

补充7 什么是简谐近似？

解答：（参考中南大学3.2.1）

当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出

原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。

补充8 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？

解答：（参考中南大学3.2.3）

由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第j tN +个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2，3…。

引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。 如果晶体是无限大，波矢q 的取值将趋于连续。 补充9 什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？

解答：（参考中南大学3.2.4）

声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为)(q w j 的声子平均数为

1

1)()

/()(-=

T k q w j B j e

q n

对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。 补充10 试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子；“声子气体”与真实理想气体有何相同之处和不同之处？

解答：（参考中南大学3.2.5）

格波的量子声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和动量，但是声子在与其它粒子相互作用时，总能量守恒，但总动量却不一定守恒；而光子与其它粒子相互作用时，总能量和总动量却都是守恒的。“声子气体”与真实理想气体的相同之处是粒子之间都无相互作用，而不同之处是“声子气体”的粒子数目不守恒，但真实理想气体的粒子数目却是守恒的。

补充11 声子碰撞时的准动量守恒为什么不同于普通粒子碰撞时的动量守恒？U 过程物理图像是什么？它违背了普遍的动量守恒定律吗？

解答：（参考中南大学3.2.7）

声子碰撞时，其前后的总动量不一定守恒，而是满足以下的关系式

n G q q q +=+321

其中上式中的n G 表示一倒格子矢量。

对于0=n G 的情况，即有321q q q =+，在碰撞过程中声子的动量没有发生变化，这种情况称为

正规过程，或N 过程，N 过程只是改变了动量的分布，而不影响热流的方向，它对热阻是没有贡献的。对于0≠n G 的情况，称为翻转过程或U 过程，其物理图像可由下图3.2来描述：

在上图3.2中，21q q +是向“右”的，碰撞后3q 是向“左”

的，从而破坏了热流的方向，所以U过程对热阻是有贡献的。U过程没有违背普遍的动量守恒定律，因为声子不是实物量子，所以其满足的是准动量守恒关系。

补充12 简要说明简谐近似下晶体不会发生热膨胀的物理原因；势能的非简谐项起了哪些作用？

解答：（参考中南大学3.2.8）

由于在简谐近似下，原子间相互作用能在平衡位置附近是对称的，随着温度升高，原子的总能量增高，但原子间的距离的平均值不会增大，因此，简谐近似不能解释热膨胀现象。

势能的非简谐项在晶体的热传导和热膨胀中起了至关重要的作用。