6-3-1-工程问题.题库教师版

工程问题

教学目标

1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法;

2.工程问题中常出现单独做,几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理;

3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；

4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用.

知识精讲

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充,是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性,学生认知起来比较困难。在教学中,让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一．工程问题的基本概念

定义: 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量:一般抽象成单位“1”

工作效率：单位时间内完成的工作量

三个基本公式:工作总量＝工作效率×工作时间，

工作效率=工作总量÷工作时间，

工作时间=工作总量÷工作效率；

二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：

①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识,如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题;

②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用;

③ 学会画线段示意图.线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路,正确地进行分析、综合、判断和推理; ④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法.分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端,单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法.因此,在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法,不断地开拓解题思路.

三、利用常见的数学思想方法:

如代换法、比例法、列表法、方程法等

抛开“工作总量”和“时间”,抓住题目给出的工作效率之间的数量关系,转化出与所求相关的工作效率,最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”,求得问题答案.一般情况下,工程问题求的是时间．

模块一、工程问题基本题型

【例 1】 （难度等级 ※）一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间,如果甲、

乙合作需要多少时间?

【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的

128,乙每天完成总量的121,两人合作每天能完成总量的111282112+=，所以两人合作的话，需要111212

÷=天能够完成.

【例 2】 (难度等级 ※)一项工程，甲单独做需要30天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做

需要多少时间？

【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的130，甲、乙合作每天完成总量的112,乙单独做每天能完成总量的111123020-=,所以乙单独做112020

÷=天能完成．

【巩固】 (难度等级 ※）一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独

做需要多少时间?

【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的121，甲、乙合作每天完成总量的112，乙单独做每天能完成总量的111122128

-=，所以乙单独做28天能完成． 例题精讲

【例 3】 （难度等级 ※※)甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务.如果甲单独加工,便需

要12小时完成.现在甲、乙两人共同生产了225

小时后,甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务.问乙一共加工零件多少个?

【解析】 乙单独加工,每小时加工11181224-= 甲调出后，剩下工作乙需做21184(12)58245

-?÷=时所以乙每小时加工零件84420255÷=(个),则225小时加工2252605?=(个)，所以乙一共加工零件420+60=４80(个）．

【巩固】 （难度等级 ※※)一件工作，甲、乙两人合作3０天可以完成，共同做了6天后,甲离开了，由

乙继续做了40天才完成．如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天?

【解析】 共做了６天后，原来，甲做 24天，乙做 2４天, 现在,甲做0天,乙做4０＝(24+1６)天．这说

明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替．因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/2４=2/3。 如果甲独做,所需时间是33030752+?=天如果乙独做，所需时间是23030503

+?=天;甲或乙独做所需时间分别是75天和５0天.

【巩固】 (难度等级 ※※）某工程先由甲独做63天,再由乙单独做２８天即可完成;如果由甲、乙两人合

作，需４8天完成.现在甲先单独做４２天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？

【解析】 先对比如下：甲做６3天，乙做2８天；甲做48天,乙做４8天.就知道甲少做63－48=１5(天)，

乙要多做48-28＝20(天),由此得出乙的工作效率是甲的

34,甲先单独做42天，比63天少做了６3－42=21（天),相当于乙要做421283?

=天因此,乙还要做28+28＝ ５６ （天),乙还需要做 56天.

【例 4】 （难度等级 ※※）一项工程,甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成,由乙单独

做需要30天完成,那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天?

【解析】 如果将整个工程的工作量看做单位“1”，从条件中我们很容易看出: 甲+乙120=

, 乙+丙115=， 乙130=因此不难得到丙的工作效率为111153030-=，因此三个人的工作效率之和为111203012+=，也就是说,三个人合作需要12天可以完成。

本题也可以分别求出甲和丙的工作效率,再将三人的工作效率相加，得到三人合作的总工效.但是

这样做比较麻烦，事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了．

【巩固】 （难度等级 ※※)一项工程，甲、乙合作需要9天完成,乙、丙合作需要12天,由丙单独做需要36

天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天?

【解析】 法一:和上题类似,我们可以有:甲+乙19=， 乙+丙112

=, 丙136=不难求得，乙的工作效率为111123618-=,因此甲的工作效率为11191818-=，从而甲丙合作的工作效率为111361812

+=, 即甲丙合作12天能完成。

法二：仍然观察上面那三个等式，我们能否不求出每个人的工作效率,而同过整体的运算直接得到“甲 +丙”的值呢?

不难发现，我们只要把乙消掉就可以了;因此我们有：()()2++?-+=+甲乙丙乙丙甲丙,也就是说:111129361212

+=+?-=甲丙，所以甲丙合作12天能完成。

【巩固】 （难度等级 ※※）一件工作,甲、乙两人合作36天完成,乙、丙两人合作4５天完成，甲、丙两

人合作要６0天完成.问甲一人独做需要多少天完成?

【解析】 设这件工作的工作量是1。甲乙两人合作每天完成136，甲丙两人合作每天完成160

,乙丙两人合作每天完成145,甲、乙、丙三人合作每天完成11161()236456018030

++÷==减去乙、丙两人每天完成的工作量,甲每天完成111304590-=，甲独做需要119090

÷=天 答：甲一人独做需要9０天完成．

【巩固】 (难度等级 ※※)一件工程,甲、乙两人合作8天可以完成,乙、丙两人合作6天可以完成，丙、

丁两人合作１２天可以完成.那么甲、丁两人合作多少天可以完成?

【解析】 甲、乙,乙、丙,丙、丁合作的工作效率依次是18、16、112

.对于工作效率有(甲,乙)+(丙,丁)-(乙，丙)=(甲,丁）．即18+112-16=124，甲、丁合作的工作效率为124

.所以，甲、丁两人合作24天可以完成这件工程．

【巩固】 （难度等级 ※※)一项工作,甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成,丙、甲两人

合做１8天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?

【解析】 方法一：对于工作效率有：（甲，乙）+(乙,丙)－(丙，甲)＝2乙,即1

8+19-118＝1372

为两倍乙的工

作效率，所以乙的工作效率为

13144.而对于工作效率有,(乙，丙)－乙=丙,那么丙的工作效率为19－13144＝148

那么丙一个人来做,完成这项工作需1÷148=４8天。 方法二:２(甲,乙，丙)=(甲+乙)+（乙、丙)＋(甲、丙)=18＋19＋118＝2172

，所以(甲，乙，丙)＝2172÷2＝21144，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为21144.那么丙单独工作的工作效率为21144－18＝148,那么丙一个人来做，完成这项工作需48天.

【例 5】 (难度等级 ※※※）一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满;乙、丙两管同时开,４小时灌满．现

在先开乙管6小时,还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满.乙单独开几小时可以灌满？

【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了,根据“现在先开乙管６小时，还需甲、丙两管同时

开2小时灌满”,我们可以把乙管的6小时分成3个2小时,第一个2小时和甲同时开,第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开.这样就变成了甲、乙同时开2小时,乙、丙同时开2小

时，乙单独开2小时，正好灌满一池水.可以计算出乙单独灌水的工作量为1111225410

-?-?=,所以乙的工作效率为：11(622)1020÷--=,所以整池水由乙管单独灌水，需要112020

÷=（小时）．

【例 6】 (难度等级 ※※※)（2007年四中考题)某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需1２小

时注满,单开乙管需24小时注满，若要求1０小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少,那么甲、乙最少要同时开放 小时.

【解析】 要想同时开的时间最小，则根据工效,让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小．所以，乙开放的时间为1111041224

??-?÷= ???(小时）,即甲、乙最少要同时开放4小时．

【例 7】 (难度等级 ※※※）一个蓄水池,每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头,2小时半就把水

池水放空，如果打开８个水龙头,1小时半就把水池水放空．现在打开１3个水龙头,问要多少时间才能把水放空?

【解析】 先计算１个水龙头每分钟放出水量.2小时半比１小时半多60分钟，多流入水4 × 6０= 2４０(立

方米）.时间都用分钟作单位,1个水龙头每分钟放水量是2４0 ÷ ( 5× 150－ 8 × 90）= 8(立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 × ９0，其中 9０分钟内流入水量是 ４ × 90,因此原来水池中存有水 ８ × 8 × 9０-４ × 90＝ ５４0０（立方米).打开１3个水龙头

每分钟可以放出水８×１３,除去每分钟流入４,其余将放出原存的水,放空原存的5４00，需要5４00 ÷(8 × 13- 4）=54(分钟）.所以打开１3个龙头，放空水池要5４分钟.水池中的水,有两部分，原存有水与新流入的水,就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.

【例 8】 (难度等级 ※※※※）有10根大小相同的进水管给A 、B 两个水池注水,原计划用４根进水管

给A 水池注水,其余6根给B 水池注水，那么５小时可同时注满.因为发现A 水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水,结果也是同时注满.(1)如果用1０根进水管给漏水的A 水池注水,需要多少分钟注满？（2)如果增加４根同样的进水管,A 水池仍然漏水,并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变,那么要把两个水池注满最少需要多少分钟?（结果四舍五入到个位)

【解析】 设每只进水管的工效为“1”,那么A 池容量为4×５=20,B 池容量为６×5=３０.当用5根进水管

给B 池灌水时需3０÷5=6小时,而在6小时内5只其水管给Ａ池也是灌有３0的水，所以漏了30—2０=10，因此漏水的工效为5106.3

÷=(1）用10根进水管给漏水的A 池灌水，那么需520(10) 2.43

÷-=小时＝144分钟. （2)设A 池需x 根，那么Ｂ池需１4x -根,有5():(14)2:3,3

x x --=所以有28235,x x -=-化简解得 6.6.x =所以Ａ池用7根或6根进水管，此时对应所需时间，分别为:

①当A 池用7根进水管时：A ：7根水管，需时间5320(7)3

34÷-=小时=2２５分钟;B:７根水管,需时间303077

÷=小时≈2５7分钟.此时要把两个水池注满最少需要25７分钟； ②当A 池用6根进水管时：A ：6根水管，需时间56020(6)313

÷-=小时≈2７7分钟；Ｂ:8根水管，需时间３０÷8=154

小时=225分钟.此时要把两个水池注满最少需要2７７分钟.所以，要把两个水管都注满,最少需257分钟,7根水管注A 池，7根水管注B 池.

【例 9】 (难度等级 ※※※)甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需10小

时，乙车单独清扫需15小时,两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫１２千米．问:东、西两城相距多少千米？

【解析】 法一： 先求出甲、乙相遇的时间：111()61015

÷+=小时；

甲清扫全长的

136105?=，乙清扫了全部的126155?=;所以东、西两城相距32126055??÷-= ???千米. 法二:

因为时间相等,路程比等于速度比,这样相遇时甲、乙清扫的路程比是

11:3:21015=， 甲行了全程的332+,乙行了全程的332+,全程就是32126055??÷-= ???

千米．

【例 10】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲单独完成需要12天,乙单独完成需要9天．若甲先做若干天

后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？

【解析】 根据题意可知,甲的工作效率为112，乙的工作效率为19，采用鸡兔同笼问题的假设法，可知甲做了111(101)()49912

?-÷-=天．

【巩固】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲队单独做20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，

剩下的工作由乙队单独做15天完成．问:乙队单独完成这项工作需多少天?

【解析】 方法一:甲的工作效率为120,甲队８天的工作量为128205?=,所以乙队１5天的工作量为23155

-=,乙的工作效率为3115525

÷=，所以乙队单独完成这项工作需要25天 方法二：此题可以用代换法解，甲12天工作量等于乙15天工作量,乙的工作效率为甲的

45，乙独做的时间为420255

÷=（天）。

【例 11】 (难度等级 ※※※）（2０0９年十三分小升初入学测试题)一项工程,甲单独做40天完成,乙单

独做６０天完成．现在两人合作,中间甲因病休息了若干天,所以经过了27天才完成.问甲休息了几天?

【解析】 法一：在整个过程中,乙没有休息，所以乙一共干了60天,完成了全部工程的

19276020?=，还有91112020-=是甲做的,所以甲干了111222040

÷=(天),休息了27225-=(天）． 法二:假设中间甲没有休息,则两人合作27天,应完成全部工程的119(

)2740608+?=，超过了单位“1”的91188-=，则甲休息了115840

÷=(天)．

【巩固】 （难度等级 ※※※）一项工程,甲单独做20天完成，乙单独做30天完成．甲、乙合作了几天后,

乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天．乙请假多少天?

【解析】 法一:甲一共干了16天,完成了全部工程的1416205?=,还有41155

-=是乙做的，所以乙干了

116530

÷=（天)，休息了16610-=(天），请假天数为：16610-=（天)． 法二：假设乙没有请假，则两人合作16天，应完成全部工程的114(

)1620303

+?=,超过了单位“１”的41133-=,则乙请假1110330÷=(天)．

【巩固】 (难度等级 ※※※）有一条公路,甲队独修需10天,乙队独修需1２天,丙队独修需１5天．现

在让3个队合修，但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了６天才把这条公路修完.当甲队撤出后,乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?

【解析】 甲、乙、丙三个队合修的工作效率为11111012154++= 6天完成的工程量为116142

?= ，而实际６天完成了的工程量为1,即甲队少做了12，甲队完成12超过单位“1”111122

-=，甲没有干的天数：，115210

÷=(天),即当甲队撤出后,乙、丙两队又合修了６-１=5天．

【例 12】 (难度等级 ※※※)(２０07年十一学校考题)有一项工程，甲单独做需要３6天完成,乙单独做

需要3０天完成，丙单独做需要48天完成．现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休

息了整数天，而甲和乙一直工作至完成,最后完成这项工程也用了整数天．那么丙休息了 天.

【解析】 设甲、乙工作了x 天,丙工作了y 天，则有:1111363048x y ??++= ???

，化简得4415720x y +=．由于15y 和720都是15的倍数，所以x 也是１５的倍数,而7204417x <÷<，所以15x =,4y =,所以丙休息了15411-=天.

【例 13】 (难度等级 ※※※）一件工作，甲独做要12天,乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲

先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍,终于做完了这件工作．问总共用了多少天？

【解析】 解法一:甲做1天，乙就做３天,丙就做3×2=6(天），甲做１天，完成工作量的112

,乙就完成工作量的1318?，丙就完成工作量的1624?。共完成1111361218242+?+?=。1122

÷=天说明甲做了２天,乙做了６天,丙做了1２天，三人共做了20天,完成这项工作用了2０天.

解法二:本题整数化会带来计算上的方便.12,18,2４这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6,乙每天完成４,丙每天完成3.总共用了1367220614336

++?

=?+?+?天。

【例 14】 (２0０7年人大附中考题）一些工人做一项工程,如果能调来1６人,那么１0天可以完成；如果

只调来４人,就要20天才能完成,那么调走２人后,完成这项工程需要 天.

【解析】 设1个人做１天的量为1，设原来有x 人在做这项工程，得：()()1610420x x +?=+?，解得:8x =.

如果调走2人,需要()()816108240+?÷-=（天).

模块二、工程问题——变速问题

【例 15】 (难度等级 ※※※)甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配８４00元工资.按两队原计划的

工作效率，乙队应获5０40元．实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了１倍,这样甲队最终可比原计划多获得９6０元．那么两队原计划完成修路任务要多少天?

【解析】 开始时甲队拿到840050403360-=元,甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为3360:50402:3=;

甲提高工效后,甲、乙总的工资及工效比为(3360960):(5040960)18:17+-=．设甲开始时的工效为“2”，那么乙的工效为“３”,设甲在提高工效后还需x 天才能完成任务.有(244):(343)18:17x x ?+?+=，化简为2165413668x x +=+，解得407

x =

．工程总量为40547607?+?=，所以原计划60(23)12÷+=天完成．

【例 16】 (难度等级 ※※※※）(人大附中考题)甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高110,乙的工作效率比单独做时提高15.甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的25

,第二天乙又单独做了6小时，还留下这件工作的

1330尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时?

【解析】 乙的工作效率是:2131(1)653036-

-÷=,甲的工作效率是：215111(6)(1)53651033+÷-?÷+=，所以,单独由甲做需要：113333

÷=(小时)．

【例 17】 （难度等级 ※※※※)（200９年四中小升初入学测试题、2００９年第七届“希望杯”六年级

第２试)甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最初，甲清理的速度比乙快13

，中途乙曾用１0分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，结果从开始算起,经过1小时，就完成了清理积雪的工作,并且两人清理的跑道一样长,问乙换了工具后又工作了多少分钟?

【解析】 法一:直接求

首先求出甲的工作效率，甲1个小时完成了200米的工作量，因此每分钟完成10200603

÷=(米),开始的时候甲的速度比乙快13

,也就是说乙开始每分钟完成为101(1) 2.533÷+=(米），换工具之后，工作效率提高一倍,因此每分钟完成2.525?=(米),问题就变成了,乙50分钟扫完了200米的雪，前若干分钟每分钟完成2.5米，换工具之后的时间每分钟完成了5米,求换工具之后的时间。这是一个鸡兔同笼类型的问题，我们假设乙一直都是每分钟扫2.5米，那么50分钟应该能扫

2.550125?=(米）

，比实际少了20012575-=（米）,这是因为换工具后每分钟多扫了5 2.5 2.5-=（米），因此换工具后的工作时间为75 2.530÷=（分钟)．

法二:其实这个问题当中的400米是一个多余条件,我们只需要根据甲乙两人工作量相同和他们之间的工作效率之比就可以求出这个问题的答案。我们不妨设乙开始每分钟清理的量为3，甲比他快13

，甲每分钟可以清理4,60分钟之后,甲一共清理了460240?=份的工作量,乙和他的工作总量相同，也是240份，但是乙之前的工作效率为3,换工具后的工作效率为6,和(法一)相同的,利用鸡兔同笼的思想，可以得到乙换工具后工作了(240350)(63)30-?÷-=分钟。

【例 18】 (难度等级 ※※※※)(2009年十三分小升初入学测试题）甲、乙两人同时加工同样多的零件，

甲每小时加工40个，当甲完成任务的

12时,乙完成了任务的12

还差40个.这时乙开始提高工作效率,又用了7.5小时完成了全部加工任务.这时甲还剩下2０个零件没完成.求乙提高工效后每小时加工零件多少个? 【解析】 当甲完成任务的12时，乙完成了任务的12

还差40个,这时乙比甲少完成40个； 当乙完成全部任务时，甲还剩下20个零件没完成,这时乙比甲多完成20个；

所以在后来的7.5小时内，乙比甲多完成了402060+=个，那么乙比甲每小时多完成607.58÷=个．所以提高工效后乙每小时完成40848+=个．

【例 19】 (难度等级 ※※※※）甲、乙两项工程分别由一、二队来完成.在晴天,一队完成甲工作要1２

天,二队完成乙工程要1５天；在雨天,一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%．结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨?

【解析】 在晴天,一队、二队的工作效率分别为

112和115，一队比二队的工作效率高111121560-=;在雨天,一队、二队的工作效率分别为()11140%1220?-=和()13110%15

50?-=，二队的工作效率比一队高

3115020100-=.由11:5:360100

=知,3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同,此时完成了工程的1113512202

?+?=，所以在施工期间，共有6个晴天１0个雨天. 方法二:本题可以用方程的方法,在方程解应用题中会继续出现。

【例 20】 (难度等级 ※※※※)一项工程，甲独做需1０天，乙独做需15天.如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原来的45，乙只能完成原来的910

．现在要8天完成这项工程,两人合做天数尽可能少，那么两人要合做多少天?

【解析】 因为甲比乙的工作效率高,又要求合做的天数尽可能的少,所以除了两人合作之外,其余工程应由甲

单独完成．现设两人合作x 天，则甲单独做８-x 天，于是得到方程（110×８0％+115

×9０％） ×x ＋110

×(8-x ）=l ，解出x =5．所以,在满足条件下,两人至少要合作５天． 【例 21】 （难度等级 ※※※※）一项挖土万工程，如果甲队单独做,16天可以完成,乙队单独做要20天能完成．现在两队同时施工,工作效率提高20％．当工程完成

14时，突然遇到了地下水，影响了施工进度,使得每天少挖了４7．25方土,结果共用了１0天完成工程．问整工程要挖多少方土？

【解析】 甲、乙合作时工作效率为(116+120)×(1+20%)=27200.则14的工程量需14÷27200=5027

(天)，则遇到地下水后，甲、乙两队又工作了1０-5027=22027(天）．则此时甲、乙合作的工作效率为34÷22027=81880．遇到地下水前后工作效率的差为: 27200-81880＝1894400

，则总工作量为４7.25÷1894400

＝1１０0方土.

【例 22】 (难度等级 ※※※※)（２009年第七届“希望杯”六年级第1试）甲、乙两个工程队分别负责

两项工程．晴天,甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天,甲和乙的工作效率分别是晴天时的30%和80%．实际情况是两队同时开工、同时完工．那么在施工期间，下雨的天数是 天．

【解析】 在晴天,甲、乙两队的工作效率分别为110和116,甲队比乙队的工作效率高113101680

-=; 在雨天，甲队、乙队的工作效率分别为

1330%10100?=和1180%1620?=，乙队的工作效率比甲队高1312010050

-=.由于两队同时开工、同时完工，完成工程所用的时间相同，所以整个施工期间,晴天与雨天的天数比为13:8:155080

=. 如果有8个晴天，则甲共完成工程的

13815 1.2510100?+?=，而实际的工程量为1,所以在施工期间，共有8 1.25 6.4÷=个晴天,15 1.2512÷=个雨天.

模块三、工程问题方法与技巧

（一)整体分析法

【例 23】 （难度等级 ※※※)甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，若甲队先挖4天后，再由乙队单

独挖16天，共挖了这条水渠的

25．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖,各需要多少天? 【解析】 法一:甲、乙合作完成工程的25需要:230125

?=（天).甲队先做4天,比合作少了1248-=(天）;乙队后做16天,比合作多了16124-=（天），所以甲队做8天相当于乙队做4天，甲、乙两队工作效率的比是4:81:2=．甲队单独工作需要：3030290+?=(天);乙队单独工作需要:3030245+÷=(天）。

法二:我们知道，甲乙合作，每天可以完成工程的130

，而题目中给定的“甲队先挖4天,再由乙队单独挖16天”,相当于甲乙两队先合作4天,然后再由乙队单独挖12天，于是两队合作4天，可以完成工程的1243015

?=，也就是说乙队12天挖了22451515-=,于是乙队的工作效率为41121545÷=，那么甲队的工作效率就是

111304590-=，即甲队单独做需要90天,乙队单独做需要45天。工程问题里面也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系．其实这一点是与工程习惯无关的.

【例 24】 (难度等级 ※※※)（2008年第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第二试,第8题）

甲、乙、丙三人生产一批玩具,甲生产的个数是乙、丙二人生产个数之和的12

，乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之和的13

,丙生产了５0个。这批玩具共有__＿_____＿＿______＿个. 【解析】 如果直接研究甲、乙、丙三者之间的关系,可能会略显复杂,我们需要引入一个中间量：甲乙丙三人生产玩具数量的总和。甲是乙丙和的

12，则总和为3，甲占了1份,甲占了总数的13;乙是甲丙和的13，同理可知乙占了总数的14，那么可知丙生产的玩具占总数的11513412

--=,所以总数是55012012÷

=(个).

【例 25】 （难度等级 ※※※)（2008年实验中学考题）几个同学去割两块草地的草,甲地面积是乙地面