选修11导数的应用恒成立问题存在性问题教案

教学过程

、导入

【教学建议】

导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状 ^态。

导入的方法很多，仅举两种方法：

①情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；

②温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。极值与最值的区别和联系

⑴函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是

函数在整个定义域上的情况，是对函数在整个定义域上的函数值的比较.

(2) 函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数

在区间内的单调性.

(3) 如果连续函数在区间(a, b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.

(4) 可用函数的单调性求f(x)在区间上的最值，若f(x)在［a, b］上单调递增，贝U f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a),若f(x)在［a, b］上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.

二、知识讲解

考点恒成立恒题立问题a A f (X M亘成立二a> f(X hax ；a兰f(X )恒成立=a兰f(X h n

(2)能成立问题的转化：a n f(x )能成立二a A f(x)min；a兰f (x能成立n a兰f(x h ax

(3)恰成立问题的转化： a f x在M上恰成立：j a f x的解集为

a f x在M上恒成立

a _ f x在C R M上恒成立

另一转化方法：若x?D, f(x) _ A在D上恰成立，等价于f (x)在D上的最小值

f min (x^ A，若D, f(x)乞B在D上恰成立，则等价于 f (x)在D上的最大值

max(X)二B?

(4)若不等式f X?g x在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y = f X和图象在函数y

= g x图象上方；

(5)若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y二f x和图象在函数

y二g x图象下方；

考点2存在性问题

(1)设函数f x、g x，对任意的x1 a, b i, 存在X2 e C , d】，使得f (x i)兰g(x2 ),

则f min X g

min X

(2)设函数f x 、g x ，对任意的? a , b 1,存在x 2 C, d 1,使得f X ［乞g x 2 ,

则 f max X 空 g max X 。

(3)设函数f x 、g x ，对任意的? a , b l,存在x 2 ? C, d 】，使得f % =g x 2 , 则f x 在x 「a , b l 上的值域M 是g x 在X2 ? C, d 】上的值域N 的子集。即：M - No

(4)设函数f x 、g x ，存在X i ? la ,b l,存在X 2 -

(5)设函数

x 、g x ，存在￡ ? a , b l,存在X 2 ? C , d 】，使得f &岂g X 2，则

f mn x

g max X

类型三一、恒成精问题例题1

已知函数 f (x) = X 2 -2ax ? 1, g(xH-，其中 a 0 , x = 0 ?对任意 x [1,2]，都有

f(x) g(x)恒成立，求实数a 的取值范围；

函数，min (X ^

：：'：：

(1)

，所以a 的取值范围是0 ：：： a ：：：—. 3 3

【总结与反思】在函数的导数应用中极值和最值往往都的联立出现的，尤其是最值的求解过程中，一定会涉及到极值的求解部分，所以也可以说：极值不一定是最值，但是最值一定

是极值。

例题2

已知f(x)= ax + cx + d(a 丰是 R 上的奇函数，当 x = 1时，f(x)取得极值一2.

f max X —

g min X

C, d I ,使得 f x i - g X 2，则

【解析】由

y + y

X 2 -2ax 1

0= a 2

成立，只需满足

x 2X 2+1

(x)二

X 3 X 2x 2

的最小值

大于a 即可.对:(X )戸

x 3 x 2x 2

1 求导,

(X) 2x 4 x 2

0，故(x)在x [1,2]是增

(1) 求f(x)的解析式；

⑵证明对任意X I、X2^ (- 1, 1),不等式丨f(X” —f(X2)|< 4恒成立.

解：⑴由f(x)= ax + cx+ d(a M 0是R上的奇函数，知f(0) = 0,解得d = 0,

所以f(x)= ax3+ cx(a z 0)f'x) = 3ax2+ c(a丰 0)

由当x= 1时，f(x)取得极值—2，得f(1) = a + c=- 2,且f'(羽3a + c= 0,解得

a= 1, c=—3,所以f(x)= x —3x.

⑵令f' x) > 0,解得x<—1，或x> 1;令f' x(< 0，解得一1 < x< 1,

从而函数f(x)在区间(一g,—1)内为增函数，(一1, 1)内为减函数，在(1 , + g)为增函数.

故当x€ ［— 1 , 1］时，f(x)的最大值是f(—1) = 2,最小值是f(1) = —2,

所以，对任意X1、x2€ (一1, 1), |f(x1) —f(x2)|< 2—(—2) = 4.

【总结与反思】在函数的导数应用中极值和最值往往都的联立出现的，尤其是最值的求解

过程中，一定会涉及到极值的求解部分，所以也可以说：极值不一定是最值，但是最值一定

是极值。

类型二存在性问题

.例题1

已知a -0,函数f (x) =(x2 -2ax)e X，设f (x)在［-1,1］上是单调函数，求a的取值范围.

【解析】根据题意，f (x)二［x2-2(a-1)x-2a］e X, f (x) =0,为二a-1 - 1 a2,X2 二a-1 1 a2，当a-0时，f(x)在［-1,1］上为单调

1 ----- 3

函数的充要条件是X2 -1, x^a-V 1 a2-1，解a ，综上，f(x)在［-1,1］上为

3 3

单调函数的充要条件是a ，即a的取值范围为a -—。

4 4

【总结与反思】本题主要考查含参数的单调性，在闭区间上通过单调性来求参数的取值范围。

例题2

1 2

已知函数f x = In x

ax 2-2x a = 0存在单调递减区间，求 a 的取值范围

f x 存在单调递减区间，所以 f ' x J _ax _2—ax 2 2x _[ 0

X. 0,=能成立，设u X 舟2

x 2 x

x 2

由题设a=0,所以a 的取值范围是 -1,0 0,

【总结与反思】本题主要考查含参数的单调性，在闭区间上通过单调性来求参数的取值范围。

四、课堂运用

1.当础1,2时，不等式x 2 mx ^：： 0恒成立，则m 的取值范围是

2. 设a 1，若对于任意的 [a,2a]，都有y [a,a 2]满足方程log a x log a ^3，这

时a 的取值集合为 ___________

x -y 乞0

3. 若任意满足 x ? y -5 _0的实数x, y ，不等式a(x 2 y 2^(x y)2恒成立，则实数a 的

y _3 乞 0

最大值是 ___ 。

4. 不等式ax_、. x 4-x 在X ，〔0,3】内恒成立，求实数 a 的取值范围。

答案与解析

1.【答案】m ：：一5

x 2十4 x 2 mx 4 ：： 0 时，由 x 2 mx 4 :: 0

得 m ：：-

【解析】因为函数

由u x 皑2

x 2

1 d x x _

―1 得，u min Xu-1

.于是，a ? -J , 【解析】当

「

2. 【答案】

【解析】由方程log a X log a y =3可得y = H ，对于任意的［a, 2a ］，可得

-'—-a ，依题意得 2 x

22 2a<+

y 3

【解析】由不等式a(x

2 y 2

^(x y)2可得

x y ,由线性规划可得1 ，由

x 2

y x

4.【答案】a <-l

【解析】画出两个函数 y =ax 和y —, x 4 - x 在1.0,31

上的图象如图知当

0,3 1时总有ax_ ,x 4-X 所以

巩固

1. 不等式sin 2 x -4sin x ? 1 -a ：：： 0有解，则a 的取值范围是 ___________

2. 已知两函数 f x =7x 2 -28x-c ， g x =2x 3 4x^40x ，对任意

1-3,3 ］,都有

勺X 成立，求实数c 的取值范围；

3. 已知两函数 f X i=7x 2 -28x -c , g x i ；=2x 3 - 4x 2 -40x ，存在 x ?［七3 ］,使 f x 勺 x 成立，求实数c 的取值范围;

3.【答案】

25 13

e 2

a a <

2 二 2 2 a - a

函数单调性得最大值为

a ，

4. 已知两函数f x =7X 2-28X -C , g x =2x 3 ? 4x 2-40x ，对任意

|』,3 ］，都有

f 咅_g

,求实数C 的取值范围；

5. 已知两函数 f X =7X 2-28X -C , g X =2X 3 ?4X 2—40X ，存在 X I , X

^ ( 3,3 ］,都有

f X

_g X 2 ,求实数C 的取值范围；

答案与解析 1. 【答案】a .2

【解析】原不等式有解 =a .sin 2x -4sin x ? 1 = sin x -2 ； -3 [-l ^sinx ^l 有解，而

2. 【答案】C _45

【解析】设 h (x 尸g (x )_f (x ) =2X 3_3X 2_12X *，问题转化为x 运［七3 ［时，h (x )Z O 恒成立，故 h min X

_0。令 J x i=6x 2

-6X _12 =6 x J x —2 =0，得 x = -1 或 2。由导数知识，可知 h X 在日-1

1单调递增，在

口,2 1单调递减，在|2,3 1单调递增，且h 」=C -45 , h X 极大值二h -1 =C 7 ,

I X 极小值=h

=C -20 , h \ 3 =C —9

,.?. hmm [X

=h 「3 =c _45，由 C -45 .

丄0，得 C .丄45。

3. 【答案】c_J

【解析】据题意：存在I-3,3 ］,使f X 匀x 成立，即为：h x=gx-fx_0在I-3,3 I 有解，故 h max X _0，知 h max X j=C_0，于是得 C 。 4. 【答案】C -195

【解析】它与(1 )问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意X 1 , X 2 ? 2,3 ］, 都有f X 1

成立，不等式的左右两端函数的自变量不同， X 1 , X 2的取值在［G3 ］上具有

任意性，.??要使不等式恒成立的充要条件是：

f max (X )乞

g min (X )??X ?【弋⑧。：

f (x )=7(x —2 2 —c —28,X 壬 I~3,3 ］.?. f (X 爲=f

戸47 —c ,

?/ g X =6x 2

?8x -40 =2 3x 10 x-2

g X =0 在区间 l_3,3 I 上只有一个解 x =2。

g(x 瓜=g(2 )=78 ,. 147—c 兰48，即 C H195.

5.【答案】c _ -130

sin x _2

=2，所以a /。

恒成立与存在性问题的基本解题策略

“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。（一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导

(完整版)恒成立存在性问题

专题恒成立存在性问题知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范围． 3、已知两函数2 )(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为

高中数学恒成立与存在性问题

高中恒成立问题总结解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。 XXX 核心思想: 1.恒成立问题的转化: 恒成立; 2.能成立问题的转化: 能成立; 3.恰成立问题的转化: 若在D 上恰成立在D 上的最小值; 若在D 上恰成立在D 上的最大值. 4.设函数,，对任意的，存在，使得，则 ; 设函数,，对任意的，存在，使得，则 ; 设函数,，存在，存在，使得，则 ; 设函数,，存在，存在，使得，则; 5.若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象上方; 若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象下方. 6.常见二次函数 ①.若二次函数（或）在R 上恒成立，则有（或）; ②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解. ()a f x >?()max a f x >()()min a f x a f x ≤?≤恒成立()a f x >?()min a f x >()()max a f x a f x ≤?≤能成立A x f D x ≥∈)(,?)(x f A x f =)(min ,D x ∈B x f ≤)(?)(x f B x f =)(max ()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min min ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max max ≤()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min max ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max min ≤()()f x g x >()y f x =()y g x =()()f x g x <()y f x =()y g x =2()(0)0f x ax bx c a =++≠>0<00a >???0<

恒成立与存在性

4.导数应用（恒成立与存在性）恒成立： min max x M ，f ()恒成立(),x M ，f ()恒成立()x a f x a x a f x a ?∈≥?≥?∈≤?≤ 存在性：max min x M ，f ()恒成立(),x M ，f ()恒成立()x a f x a x a f x a ?∈≥?≥?∈≤?≤ 【题型1】恒成立问题求参数范围：min )()(x f a x f a ?> 1.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+，若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；a 1≥- 练习：1.f(x)=xcosx-sinx,x [0,]2π ∈,求证：f(x)≤0. 'f(x)=-xsinx 2. 设c x x x x f 8129-2)(23++=，对任意的∈x ［0,3］，都有2)(c x f <成立,求c 的取值范围. c<-1或c>9 【题型2】恒成立问题求参数范围（分离参数法） 1. 已知函数x a x x f ln )(2+= ，若函数x x f x g 2)()(+=在［1，4］是减函数，求实数a 的取值范围。 222)(x x a x x g -+='， 2 63-≤a 练习：已知)10(cos )(<<-+=-x x x ae x f x （1）若对任意的0)(),1,0(<∈x f x 恒成立，求a 的取值范围。 1-≤a （2）求证：)10(2 1sin 2 <<+<+-x x x e x 。 h(x)1时，。 '(2l n 2)()x x a f x x -+= 2ln 2ln +（1a 0)x x a x >-≥

恒成立问题与存在性问题(最新精华)

恒成立问题与存在性问题思路一：（1）若函数)(x f 在D 区间上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，则不等式a x f >)(在区间D 上恒成立a x f >?min )(；不等式a x f ≥)(在区间D 上恒成立a x f ≥?min )(；不等式a x f <)(在区间D 上恒成立a x f )(或))((a x f ≥在区间D 上恒成立a m ≥?；不等式a x f <)(或a x f ≤)(在区间D 上恒成立a n ≤?。例题1：已知函数.ln )(x x x f = （1）求函数.ln )(x x x f =的最小值；（2）若对所有的1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围。答案：（1）11min )()(---==e e f x f ；（2）]1,(-∞ 变式：设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+= （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若当]1,1[1--∈-e e x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围。答案：（1）递增区间是),0(+∞；递减区间是)0,1(- （2）22 ->e m （3）)3ln 23,2ln 22(--

函数恒成立与存在性问题

恒成立与存在性问题基本方法：恒成立问题： 1. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≥恒成立等价于min ()f x k ≥. 2. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≤恒成立等价于max ()f x k ≤. 3. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥等价于min max ()()f x g x ≥. 4. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≤等价于max min ()()f x g x ≤. 5. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≥. 6. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≤. 7. ()f x 在区间[],a b 上单调递增，等价于[]min ()0,,f x x a b '≥∈. 8. ()f x 在区间[],a b 上单调递减，等价于[]max ()0,,f x x a b '≤∈. 存在性问题： 1. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≥成立，等价于max ()f x k ≥. 2. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≤成立，等价于min ()f x k ≤. 3. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≥成立，等价于max min ()()f x g x ≥. 4. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≤，等价于min max ()()f x g x ≤. 5. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≥. 6. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≤. 参变分离：解决有关参数的恒成立问题或存在性问题时经常会用到参变分离的方法：就是在

存在性与恒成立

专题训练恒成立存在性问题知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>??? ≤??在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若, D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则 ()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则 ()()x g x f max max ≤。 6、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在 []b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。即：M ?N 。 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 8、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方；题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】 1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决． 2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．简解：（1）由1 20122 32 ++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大于a 即可．对1 2)(2 3++=x x x x ?求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，3 2)1()(min = =??x ，所以a 的取值范围是32 0<