Matlab在复变函数中应用

数学实验(一)

西安交通大学理学院

二??八年十一月

MATLAB在复变函数中的应用

复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。

使用MATLAB来进行复变函数的各种运算;介绍留数的概念及MATLAB的实现;介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开和Laurent展开;利用Matlab 实现Laplace变换和Fourier变换。

1 复数和复矩阵的生成

i,j,sqrt(,1)在MATLAB中，复数单位为，其值在工作空间中都显示为0，

1.0000i。

1.1 复数的生成

z,a，b,iz,a，bi复数可由语句生成，也可简写成。

z,r,exp(i,theta)另一种生成复数的语句是，也可简写成z,r,exp(thetai)，其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。 1.2 创建复矩阵创建复矩阵的方法有两种。

(1)如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵

A,[3，5,i,,2，3i,9,exp(i,6),23,exp(33i)]例如: (2)可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式例如:

re,rand(3,2) ;

im,rand(3,2) ;

com,re，i,im

com,

[0.6602，0.3093i0.3412，0.3704i

0.3420，0.8385i0.5341，0.7027i

0.2897，0.5681i0.7271，0.5466i]

注意实、虚矩阵应大小相同。

2 复数的运算

1,复数的实部和虚部

复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。调用形式

real(x)x 返回复数的实部

imag(x)x 返回复数的虚部

2(共轭复数

复数的共轭可由函数conj实现。

调用形式

conj(x)x 返回复数的共轭复数

3(复数的模和辐角

复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。调用形式

abs(x)x 复数的模

angle(x)x 复数的辐角

例:求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角

(3，4i)(2,5i)13i1,8213，2i2ii,4i，ii1,i(1) (2) (3) (4) 由MATLAB输入如下:

a,[1/(3，2i),1/i,3i/(1,i),(3,4i),(2,5i)/2i,i^8,4,i^21，i] a,

0.2308,0.1538i1.5000,2.5000i,3.5000,13.0000i1.0000,3.0000i real(a) %实部

ans,

0.2308 1.5000 –3.5000 1.0000 imag(a) %虚部

ans,

–0.1538 –2.5000 –13.0000 –3.0000 conj(a) %共轭复数

ans,

0.2308+0.1538i 1.5000+2.5000i –3.5000+13.0000i

1.0000+3.0000i

abs(a) %模

ans,

0.2774 2.9155 13.4629 3.1623 angle(a) %辐角

ans,

–0.5880 –1.0304 –1.8228 -1.2490 4(复数的乘除法

复数的乘除法运算由“/”和“”实现。 ,

例复数的乘除法演示。

x,4,exp(pi/3i)

2.0000,

3.4641i

y,3,exp(pi/5i)

2.4271,1.7634i

y1,3,exp(pi/5,i)

y1,

2.4271，1.7634i

x/y

ans,

1.2181,0.5423i

x/y1

ans,

0.1394,1.3260I

(？)/5i(？)/(5,i)(？)/5,i 由此例可见，相当于，和不相等。

5(复数的平方根

复灵敏的平方根运算由函数sqrt实现。调用形式

x sqrt(x) 返回复数的平方根值

6(复数的幂运算

xnx^n复数的幂运算的形式为，结果返回复数的次幂。

例求下列各式的值

(,1)^(1/6)

ans,

0.8660+0.5000 i

7(复数的指数和对数运算

复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。调用形式

exp(x) 返回复数x的以e为底的指数值

log(x) 返回复数x的以e为底的对数值例求下列式的值(参见参考资料【4】P.68.2–15)。

log(,i)

ans,

0,1.5708i

log(,3，4i)

ans,

1.6094，

2.2143i

8(复数的三角函数运算

复数的三角函数运算函数参见下面的复数三角函数

复数三角函数表

函数名函数功能函数名函数功能

xx的正弦函数值的反正弦值返回复数返回复数sin(x)asin(x)

xx的余弦函数值的反余弦值返回复数返回复数cos(x)acos(x)

xx的正切函数值的反正切值返回复数返回复数tan(x)atan(x)

xx的余切函数值的反余切值返回复数返回复数cot(x)acot(x)

xxsec(x)asec(x)返回复数的正割函数值的反正割值返回复数

xxcsc(x)acsc(x)返回复数的余割函数值的反余割值返回复数

x的双曲余切返回复数

x返回复数的双曲正弦值 sinh(x)coth(x) 值

x的双曲正割返回复数x返回复数的双曲余弦值 cosh(x)sech(x) 值

x的双曲余割返回复数x返回复数的双曲正切值 tanh(x)csch(x) 值

9( 复数方程求根

复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。见下面的例子. 3x，8,0例求方程所有的根(参见参考资料【4】P.32.1–16)。

,,solve(x^3，8,0)

ans,

[ –2]

[1,i,3^(1/2)]

[1，i,3^(1/2)]

3 留数

留数定义:

f(z)设a是的孤立奇点，C是a的充分小看邻域内一条把a点包含在其内部1f(z)dz,C,2if(z)Res[f(z),a]的闭路，积分称为在a点的留数或残数，记作。在MATLAB中，可由函数residue实现。

residue 留数函数(部分分式展开)

[R,P,K],residue(B,A) 函数返回留数，极点和2个多项式比值

B(s)/A(s)的部分分式展开的直接项。

B(s)R(1)R(2)R(n),，，？，，K(s)A(s)s,P(1)s,P(2)s,P(n)

如果没有重根，则向量B和A为分子、分母以s降幂排列的多项式系数，留数返回为向量R、极点在向量P的位置，直接项返回到向量K。极点的数目

n,length(A),1,length(R),length(P)length(B),length(A)。如果，则直接项系length(K),length(B),length(A)，1数为空;否则。如果存在M重极点即有

P(j),？,P(j，m,1)则展开项包括以下形式

R(j)R(j，1)R(j，m,1)，，？，2ms,P(j)(s,P(j))(s,P(j))

[B,A],residue(R,P,K) 有3个输入变量和2个输出变量，函数转换部分

因式展开还为系数为B和A的多项式比的形式。

注意:数值上讲，分式多项式的部分因式展开实际上代表了一类病态问题。

A(S)如果分母多项式是一个近似有重根的多项式，则在数值上的一点微小变化，包括舍入误差都可能造成极点和留数结果上的巨大变化。因此使用状态空间和零点—极点表述的方法是可取的。

求如下函数的奇点处的留数。例

z，1

2z,2z

在MATLAB实现如下

[r,p,k],residue([1,1],[1,,2,0]) r,

1.5000

–0.5000

[ ]

Res[f(z),2],1.5;Res[f(z),0],,0.5所以可得。

例计算下面的积分

zdz4,C,z1

|z|,2其中C为正向圆周。 (参见参考资料【4】P.158.例2) 解:先求被积函数的留数

[r,p,k],residue([1,0],[1,0,0,0,,1])

0.2500

–0.2500–0.0000 i

–0.250+0.0000 i

–1.0000

1.0000

0.0000+1.0000 i

0.0000–1.0000 i

k,0

[ ]

|z|,2可见在圆周内有四个极点，所以积分值等于

2,pi,(0.25，0.25,0.25,0.25),0。

4 Taylor级数展开

Taylor级数开展在复变函数中有很重要的地位，如分析复变函数的解析性等。

f(x)x,x0函数在点的Taylor级数开展为

^2^3,,,f(x),x0，f(x0)(x,x0)，f(x0)(x,x0)/2!，f(x0)(x,x0)/3!，？在MATLAB中可由函数taylor来实现。

taylor 泰勒级数展开

taylor(f)f 返回函数的五次幂多项式近似。此功能函数可有3个附加

参数。

taylor(f,n)n,1 返回次幂多项式。

taylor(f,a)a 返回点附近的幂多项式近似。

taylor(r,x)findsym(f) 使用独立变量代替函数。

例求下列函数在指定点的泰勒开展式(参见参考资料【4】P.143.12)。

21/zz,0,,1tgz,z0,pi/4 (1) (2);

MATLAB实现为:

taylor(1/x^2,,1)

3，2,x，3,(x，1)^2，4,(x，1)^3，5,(x，1)^4，6,(x，1)^5

taylor(tan(x),pi/4)

ans,

1，2,x,1/2,pi，2,(x,1/4,pi)^2，8/3,(x,1/4,pi)^3，10/3,

(x,1/4,pi)^4，64/15,(x,1/4,pi)^5

例再看下面的展开式

taylor(sin(x)/x,10)

ans,

1,1/6,x^2，1/120,x^4,1/5040,x^6，1/362880,x^8

x,0展开式说明是此函数的伪奇点～

taylor这里的展开式运算实质上是符号运算，因此在MATLAB中执行此命

symsx,z？令前应先定义符号变量，否则MATLAB将给出出错信息～

共形映射成像特点

复变函数中的共形映射可以解释为从一个平面到另一个平面的单叶保角变换。其最大的特点是能够将一个不规则的区域变换到一个易于我们研究的区域。

我们知道，在流体力学中，复数的引入使许多问题的研究变得简单，例如流量、环流，流量、复速度的表示和研究都得到一定的简化。而在研究一个物体表面流体的作用时，如果物体表面是不规则的，例如机翼剖面，那么研究难度将会增大很多。同样在电场，电势研究方面，对于不规则物体的电场研究也是一个难点。而保形变换能够将不规则形状变换到一个规则的形状，例如圆形或者矩形，那么在这个规则的形状下研究，问题将得到很大的简化。

由于共形映射具有诸如保角等优良的性质，它已经不单单只为解决数学问题提供帮助，在更为广阔的方面都有所应用。它的各种变换形式更是在不同领域的学科中发挥着重要作用。比较著名的如默比乌斯变换，施瓦茨-克里斯托费尔变换等

等。在弹性力学、静电学、热流与流体力学等学科中，共形映射都能采取一种化繁为简的方法解决很多重要而复杂的实际问题。

复变函数的理论发展和实际应用日趋成熟，复变函数研究的中心对象解析函数也在理论上形成了较为完整的理论体系，然而解析函数的可视化发展却甚为缓1慢。《Visual Complex Analysis》一书将理论上难以理解的复变函数理论通过二维复平面表现出来，在共形映射的成像方面也介绍甚少。而在各种关于复变函数理论的书籍中，共形映射部分也仅仅是理论上的给出基本共形映射，诸如线性变换，指数变换等变换的区域描述。各种常见共形映射的图形，诸如:线性函数，指数函数，幂函数，儒科夫斯基函数等，通过比较不容单页性区域上的成像，加深这些函数的成像原理和过程。最后给出了一个用Maltab做的复变函数作图工具，能够实现常见区域上的共形映射的二维、三维的动态或者静态图形。线性函数一般具有形式

abazb， w,0,,,,adbccdczd，

的变化成为线性变化。简记为. wLz,()【注】条件ad-bc?0是必要的，否则导致L(z)恒为常数。

例3.1 求将上半平面变到的变换，并做出该共形映射的图像，满wwR,,0

足: , 。 Liw(),Li'()0,0

解:从到单位圆的变换为: Im0z,

zi,i, ,,ez+i从单位圆到到圆的函数为 wwR,,0

ww,0 ,,R复合得到:

w-wzi,i,0， =eRz+i所以

所求变化为:

zi, wRiw,，0z+i实现上述变换的程序以及结果如下: 程序3-1:

x=-20:0.1:20; %产生上半平面的格点 y=0.1:0.1:20;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

z=xx+yy*i;

w=5*i*(z-i)./(z+i)+1/7*pi %函数 subplot(2,2,1); cplxmap(z,w); %自带函数作图 subplot(2,2,2); surf(real(z),real(w),imag(w),imag(z)); %图二colorbar('vert'); title('三维图形');

subplot(2,2,3);

plot(real(z),imag(z)); %原上半平面格点

title('原上半平面格点');

w=5*i*(z-i)./(z+i)+1/7*pi; subplot(2,2,4);

plot(real(w),imag(w)); %映射后的图形

title('映射后的图形');

运行结果:如图3-1

图3-1 为了详细得到映射过程，即具体从原来的上半平面中的哪部分到新图形的哪

部分，我们可以设点原来上半平面的区域范围来作图: 程序3-2:

x=0:0.1:20; %产生上半平面的格点

y=0.1:0.1:20;

[xx,yy]=meshgrid(x,y); z=xx+yy*i;