3.1.2两条直线平行与垂直的判定 教案
创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者：凤呜大王*
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
●三维目标
1．知识与技能
(1)让学生掌握直线与直线的位置关系．
(2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法．
2．过程与方法
(1)利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法．
(2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法．
3．情感、态度与价值观
(1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识．
(2)通过这节课的学习，培养学生用“联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣．
(3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神．
●重点难点
重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直．
难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明．
重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的方式．为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率之积为－1时，它们是相互垂直的即可．
●教学建议
本节课是在学习直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系．核心内容是两条直线平行
与垂直的判定．结合本节知识的特点，建议采用引导发现法，先从学生已有的知识经验出发，采用数形结合的思想，把两条直线平行与垂直的几何关系代数化，由于学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯，故教学过程中，教师应采取循序渐进的原则，注意到直线的倾斜角同斜率的关系，在几何关系代数化的过程中，注意向学生渗透分类讨论思想．
●教学流程
创设问题情境，引出问题：直线的平行与垂直同其斜率间分别存在什么关系？
?
引导学生回忆初中几何知识，先建立倾斜角同平行与垂直间的关系.?
通过引导学生回答所提问题理解斜率同直线的平行与垂直的关系.?通过例1及其变式训练，使学生理解直线的平行同其斜率间的关系.
?通过例2及其变式训练，使学生理解直线的垂直同其斜率间的关系.?错误!?错误!?错误!
课标解读
1.理解两条直线平行或垂直的判断条件．(重点)
2．会利用斜率判断两条直线平行或垂直．(难点) 3．利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母
分类讨论．(易错点)
两条直线平行与斜率之间的关系
1．若两条直线平行，其倾斜角什么关系？反之呢？
【提示】两条直线平行其倾斜角相等；反之不成立．
2．有人说：两条直线平行，斜率一定相等．这种说法对吗？
【提示】不对，若两直线平行，只有在它们都存在斜率时，斜率相等，若两直线都垂直于x轴，虽然它们平行，但斜率都不存在．
两条直线平行与斜率之间的关系
设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：
前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°
对应关系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?两直线斜率都不存在
图示
两条直线垂直与斜率之间的关系【问题导思】
1．如图，直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，若l1⊥l2，则α1与α2之间存在什么关系？
【提示】α2＝α1＋90°.
2．当直线l1的倾斜角为0°时，若直线l1⊥l2，则l2的斜率应满足什么条件？
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【提示】直线l2的斜率不存在，如图，当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则l2的倾斜角为90°，其斜率不存在．
两条直线垂直与斜率的关系
对应关系
l1与l2的斜率都存在，分别为
k1，k2，
则l1⊥l
2
?k1·k2＝－1
l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜
率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2图示
两条直线平行关系的判定
判断下列各组中的直线l1与l2是否平行：
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；
(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；
(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．
【思路探究】依据两条直线平行的条件逐一判断便可．
【自主解答】(1)k1＝
1－(－2)
2－(－1)
＝1，k2＝
－1－4
－1－3
＝5
4
，k1≠k2，l1与l2不平行．
(2)k1＝1，k2＝
2－1
2－1
＝1，k1＝k2，
∴l1∥l2或l1与l2重合．
(3)k1＝
0－1
1－0
＝－1，k2＝
0－3
2－(－1)
＝－1，k1＝k2，而k MA＝
3－1
－1－0
＝－2≠－1，∴l1∥l2.
(4)l1与l2都与x轴垂直，∴l1∥l2.
判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜
率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直
线平行．
已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1
∥l 2，则x ＝________.
【解析】 ∵直线l 1的斜率不存在，且l 1∥l 2， ∴l 2的斜率也不存在． ∴点(2,1)及(x,6)的横坐标相同， ∴x ＝2. 【答案】 2
两条直线垂直关系的判定
判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：
(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；
(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)．
【思路探究】 求出斜率，利用l 1⊥l 2?k 1k 2＝－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断．
【自主解答】 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－(－1)
2－(－2)＝
1
2，k 1k 2
＝1，故l 1与l 2不垂直． (2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－2
20－10＝1
10，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.
(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－40
10－(－10)＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.
使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；
(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；
(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率
公式要对参数进行讨论．
已知直线l 1⊥l 2，若直线l 1的倾斜角为30°，则直线l 2的斜率为________． 【解析】 由题意可知直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝3
3
， 设直线l 2的斜率为k 2，则k 1·k 2＝－1， ∴k 2＝－ 3. 【答案】 － 3
直线平行与垂直关系的综合应用
D
四点，试判定图形ABCD 的形状．
【思路探究】 先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．
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【自主解答】 A 、B 、C 、D 四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得 k AB ＝
5－3
2－(－4)＝13，
k CD ＝0－3－3－6＝1
3
，
k AD＝
0－3
－3－(－4)
＝－3，
k BC＝3－5
6－2
＝－1
2.
∴k AB＝k CD，由图可知AB与CD不重合，
∴AB∥CD.
由k AD≠k BC，∴AD与BC不平行．
又k AB·k AD＝1
3×(－3)＝－1，
∴AB⊥AD.
故四边形ABCD为直角梯形．
1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明确定目标．
2．证明两直线平行时，仅k1＝k2是不够的，注意排除重合的情况．
3．判断四边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的四边形．
已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
【解】四边形ABCD是平行四边形．
证明如下：如图所示，
AB边所在直线的斜率k AB＝－1－0
2－0
＝－1
2
，
CD边所在直线的斜率k CD＝3－2
2－4
＝－1
2
，
BC 边所在直线的斜率k BC ＝2－(－1)4－2＝3
2，
DA 边所在直线的斜率k DA ＝3－02－0＝32
. 所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ， 由题意知AB ∥CD ，BC ∥DA . 故四边形ABCD 是平行四边形．
分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用
(12分)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－
2，a ＋2)．
(1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值．
【思路点拨】 (1)x C ≠x D 斜率存在,l 1∥l 2→k 1＝k 2→a 的值 (2)l 1⊥l 2→分情况讨论→求a 的值 【规范解答】 设直线l 2的斜率为k 2， 则k 2＝2－(a ＋2)1－(－2)
＝－a 3.2分
(1)若l 1∥l 2，设直线l 的斜率为k 1，则k 1＝－a
3.
又k 1＝2－a a －4，则2－a a －4＝－a
3，
∴a ＝1或a ＝6.4分
经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2. (2)若l 1⊥l 2，
①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－1
2，不符合题意.8分
②当k 2≠0时，l 2的斜率存在，
此时k 1＝2－a
a －4
.
∴由k 2k 1＝－1，可得a ＝3或a ＝－4. 所以，当a ＝3或a ＝－4时， l 1⊥l 2.12分
1．由l 1∥l 2比较k 1，k 2时，应首先考虑斜率是否存在，当k 1＝k 2时，还应排除两直线重合的情况．
2．由l 1⊥l 2比较k 1，k 2时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0的情况．
3．在l 1∥l 2及l 1⊥l 2相关问题的处理中，树立分类讨论的意识．
1．两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1∥l 2?k 1＝k 2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行．
2．两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于0，
则两条直线也垂直．
3．在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．
1．已知直线l 1∥l 2，直线l 1的斜率k 1＝2，则直线l 2的斜率k 2＝( ) A ．不存在 B.1
2
C ．2
D ．－1
2
【解析】 ∵l 1∥l 2且k 1＝2， ∴k 2＝2. 【答案】 C
2．已知直线l 1的斜率k 1＝－85，直线l 2的斜率k 2＝5
8，则l 1与l 2的位置关系为( )
A ．平行
B ．重合
C ．垂直
D ．无法确定 【解析】 ∵k 1·k 2＝－1， ∴l 1⊥l 2. 【答案】 C
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3．直线l 1的斜率为2，直线l 2上有三点M (3,5)，N (x,7)，P (－1，y )，若l 1⊥l 2，则x ＝________，y ＝________.
【解析】 ∵l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－1
2，
∴7－5x －3＝y －5－1－3
＝－12，∴x ＝－1，y ＝7.
【答案】 －1 7
4．(1)已知直线l 1经过点M (－3,0)，N (－15，－6)，l 2经过点R (－2，32)，S (0
，5
2)，
试判断l 1与l 2是否平行．
(2)l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，－6)，问l 1与l 2是否垂直？ 【解】 (1)∵k MN ＝0－(－6)
－3－(－15)＝12，k RS ＝52－3
2
0－(－2)＝1
2，∴l 1∥l 2.
(2)∵k 1＝tan 45°＝1，k 2＝－6－(－1)
3－(－2)＝－1，
∴k 1·k 2
＝
－
1.
∴
l 1
⊥
l 2.
一、选择题
1．下列说法正确的有( )
①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【解析】 当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确，故选A.
【答案】 A
2．经过两点A (2,3)，B (－1，x )的直线l 1与斜率为－1的直线l 2平行，则实数x 的值为( )
A ．0
B ．－6
C ．6
D ．3 【解析】 直线l 1的斜率k 1＝x －3
－1－2＝3－x 3，由题意可知3－x
3＝－1，∴x ＝6.
【答案】 C
3．若直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，且l 1⊥l 2，则( ) A ．α1－α2＝90° B ．α2－α1＝90° C ．|α1－α2|＝90° D ．α1＋α2＝180°
【解析】 如图所示．
由图(1)可知α1＝α2＋90°，由图(2)可知α2＝α1＋90°， ∴|α1－α2|＝90°. 【答案】 C
4．过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为( ) A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．以上都不正确
【解析】 过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k 1＝3－60－3＝2－3；过点(6，2)，
(2,0)的直线的斜率k 2＝2－06－2
＝3＋ 2.因为k 1·k 2＝－1，所以两条直线垂直．故选
A.
【答案】 A
5．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形
C ．以A 点为直角顶点的直角三角形
D ．以B 点为直角顶点的直角三角形
【解析】 k AB ＝－1－12＋1＝－2
3，k AC ＝4－11＋1＝32，
∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角． 【答案】 C 二、填空题
6．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD .其中正确的序号是________．
【解析】 ∵k AB ＝－35，k CD ＝－3
5，
k AC ＝1
4，k BD ＝－4，
∴k AB ＝k CD ，k AC ·k BD ＝－1， ∴AB ∥CD ，AC ⊥BD . 【答案】 ①④
7．经过点M (m,3)和N (2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．
【解析】 由题意知，直线MN 的斜率存在， ∵MN ⊥l ，∴k MN ＝m －32－m ＝14，解得m ＝145.
【答案】
14
5
8．(2013·洛阳高一检测)已知平行四边形ABCD 中，A (1,1)，B (－2,3)，C (0，－4)，则点D 的坐标为________．
【解析】 设D (x ，y )，由题意可知，AB ∥CD 且AD ∥BC . ∴k AB ＝k CD 且k AD ＝k BC ，
∴?
??
3－1－2－1＝y ＋4x ，－4－30＋2＝y －1
x －1，解得{ x ＝3，y ＝－6， ∴D 点的坐标为(3，－6)． 【答案】 (3，－6) 三、解答题
图3－1－5
9．如图3－1－5，在?OABC 中，O 为坐标原点，点C (1，3)． (1)求OC 所在直线的斜率．
(2)过C 作CD ⊥AB 于D ，求直线CD 的斜率． 【解】 (1)∵点O (0,0)，C (1,3)，
∴OC 所在直线的斜率k OC ＝3－0
1－0＝3.
(2)在?OABC 中，AB ∥OC ， ∵CD ⊥AB ， ∴CD ⊥OC ，
∴k OC ·k CD ＝－1，k CD ＝－1k OC ＝－1
3.
故直线CD 的斜率为－1
3
.
10．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR 的形状，并给出证明．
【解】 OP 边所在直线的斜率k OP ＝t ， QR 边所在直线的斜率k QR ＝(t ＋2)－2(1－2t )－(－2t )＝t ，
OR 边所在直线的斜率k OR ＝－1
t .
PQ 边所在直线的斜率k PQ ＝
(2＋t )－t
(1－2t )－1＝－1t ，
∵k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，∴OP ∥QR ，OR ∥PQ ， ∴四边形OPQR 是平行四边形． 又k QR ·k OR ＝t ×(－1
t )＝－1，∴QR ⊥OR .
∴四边形OPQR 是矩形．
11．已知A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形(A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列)．
【解】 设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图．
由于直线AB 的斜率k AB ＝3，直线BC 的斜率k BC ＝0，则k AB ·k BC ＝0≠－1，即AB 与BC 不垂直．故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边．
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创作者： 凤呜大王*
(1)若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD . ∵k BC ＝0，∴CD 的斜率不存在．从而有x ＝3.
又∵直线AD 的斜率k AD ＝k BC ，∴y －3x ＝0，即y ＝3.此时AB 与CD 不平行．故所
求点D 的坐标为(3,3)，
(2)若AD 是直角梯形的直角边，则AD ⊥AB ，AD ⊥CD . ∵k AD ＝
y －3x ，直线CD 的斜率k CD ＝y
x －3
，又由于AD ⊥AB ，∴y －3x ·3＝－1.① 又∵AB ∥CD ，∴y
x －3＝3.②
由①②可得?
??
x ＝185，
y ＝9
5
.此时AD 与BC 不平行． 综上可知，使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或(185，9
5
)．
已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．
【思路探究】 分别计算直线AB 和CD 的斜率；注意斜率不存在的情形． 【自主解答】 ∵A ，B 两点纵坐标不等， ∴AB 与x 轴不平行．∵AB ⊥CD ， ∴CD 与x 轴不垂直，－m ≠3，m ≠－3.
①当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1. 而m ＝－1时C ，D 纵坐标均为－1， ∴CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意； ②当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式 k AB ＝
4－2
－2m －4－(－m －3)＝2－(m ＋1)
，
k CD ＝3m ＋2－m 3－(－m )＝2(m ＋1)m ＋3.
∵AB ⊥CD ，∴k AB ·k CD ＝－1， 即
2
－(m ＋1)·2(m ＋1)m ＋3
＝－1，解得m ＝1.
综上m 的值为1或－1.
1．本题以A ，B 两点的纵坐标不相等为切入点，按直线AB 是否与x 轴垂直为标准分类讨论，从而做到不重不漏．
2．在点的坐标用参数表示的题目中，由于参数的取值可能导致直线的斜率不存在，或使斜率为0，故求解时，常采用分类讨论的思想求解．
已知三点A (m －1,2)，B (1,1)，C (3，m 2－m －1)，若AB ⊥BC ，求m 的值． 【解】 设直线AB ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 2＝m 2－m －1－13－1＝m 2－m －2
2.
①当m －2＝0，即m ＝2时，k 1不存在，此时，k 2＝0，则AB ⊥BC ； ②当m －2≠0，即m ≠2时，k 1＝1
m －2.
由k 1k 2＝m 2－m －22·1
m －2＝－1，解得m ＝－3.
综上，若AB ⊥BC ，则m ＝2或m ＝－3
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创作者：凤呜大王*
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
c c ∥∥b a b a ∥?本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。 一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β a b a =?? βαβ α ∥b a ∥?b a b a //// ??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα ∥?a β ∥a ?α αββ////∩??b a P b a b a =α β//?α β b a P b ∥a b a αα ??α ∥a ?
两条直线平行与垂直的判定说课稿
《两条直线平行与垂直的判定》的说课稿 江川县第二中学：杨雪芳 课题：§ 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）必修（2）第三章第一节第二部分的内容 课时：1课时 下面，我从教材分析、学情分析、教学目标及教学重难点设计、课堂结构设计、教学过程设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行简单说明。 一、教材分析 直线与方程是平面解析几何初步的第一章，主要内容是用坐标法研究平面上最基本、最简单的几何图形——直线。学习本章，既能为进一步学习解析几何的圆、圆锥曲线、线性规划、以及导数、微分等做好知识上的必要准备，又能为今后灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。 本节课是在学生学习了直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系。核心内容是两条直线平行与垂直的判定。它既是直线斜率概念的深化和简单应用，也是后续内容学习的重要基础。因此，我认为本节课的教学重点为：根据两条直线斜率判定两条直线平行与垂直。 用斜率判定两条直线的位置关系，体现了用代数方法研究几何问题的思想，这是贯穿于本节乃至本章内容始终的一种思想方法，它是解析几何研究问题的基本思想，本质还是数形结合。因此体会数形结合的数学思想也是本节课的教学任务之一。 二、学情分析： 在初中数学中，学生已学习过两条直线平行与垂直的判定。对两条直线平行与垂直的几何判断方法并不陌生，并且具备了一些初步推理能力。但用两条直线的斜率判定两条直线平行与垂直，是用代数方法研究几何问题，学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯。要学好本节内容，学生还需具备三角函数的有关知识，但此前学生并没有这方面的知识储备。尤其是对诱导公式 的认识是有一定困难的。因而要导出两条直线垂直的斜率条件，学生会感到困难。因此，我确定本节课的教学难点为：探究两条直线斜率与两条直线垂直的关系。 三、教学目标、重难点的确定 《课程标准》指出本节课的学习目标是：能根据斜率判定两条直线平行或垂直。根据《课标》要求和本节教学内容，结合学生的实际，我把本节课的教学目标确定为： （一）知识技能 1.掌握两条直线平行与垂直的条件。
时两条直线的平行与垂直配套练习必修
两条直线的平行与垂直(2) 分层训练 1 . .若直线ax y 1 0和直线2x by 1 0垂直，则a,b满足() (A)2a b 0 (B)2a b 0 (C)ab 2 0 (D)ab 2 0 2 ..已知两点A( 2,0), B(0,4) ，则与 直 线AB垂直的直线方程可写成( ) (A)2x y m 0 (B)2x y m 0 (C) x 2 y m 0 (D) x 2y m 0 3?已知两点A( 1,3), B(3,1)，点C在坐标轴上.若ACB -,则这样的点C有 ( ) (A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个 4.原点在直线I上的射影是P( 2,1)，则|的方程为( ) (A)x 2y 0 (B) x 2y 4 0 (C)2x y 5 0 (D) 2x y 3 0 5.已知直线mx 4y 2 0 和2x 5y n 0互相垂直，且垂足为(1,p)，则m n p的 值是() (A)24 (B)20 (C) 0 (D) 4 6?根据条件，判断直线l i与I2是否垂直： (1)l i的倾斜角为45°, I2的方程是x y 1 : _______________________ ; (2)I1 经过点M (1,0), N(4,5) , J过点R( 6,0), S( 1,3): ________________________ . 7?直线I在y轴上的截距为2,且与直线l': x 3y 2 0垂直，则I的方程是__________ 8.已知直线Ax 4y 2 0和直线2x y C 0垂直且垂足的坐标为(1,m),则 A ______ , C ________ ,m ________ . 9?求经过点(2,1)，且与直线2x y 10 0垂直的直线I的方程.
直线、平面平行与垂直的判定及其性质 复习
直线、平面平行的判定及其性质 知识点一、直线与平面平行的判定 ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种） 位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行 公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点 符号表示a?αa∩α=A a||α 图形表示 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a 与平面α平行.（a||b） 判定 文字描述直线和平面在空间永无交点，则直线 和平面平行（定义） 平面外的一条直线与平面内的一条直线平 行，则该直线与此平面平行 图形 条件a与α无交点 结论 a∥αb∥α
知识点二、直线与平面平行的性质 性质 文字描述一条直线与一个平面平行， 则这条直线与该平面无交点 一条直线和一个平面平行，则过 这条直线的任一平面与此平面 相交，这条直线和交线平行． 图形 条件 a∥αa∥α，a?β，α∩β＝ b 结论 a∩α＝?a∥b 线面平行，则线线平行 特别提示 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通 过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行， 证得“线面”平行. 判定 文字描述如果两个平面无公共 点，则这两个平面平行一个平面内有两条相 交直线与另一个平面 平行，那么这两个平面 平行． 如果两个平面同时垂直于 一条直线，那么这两个平 面平行。 图形 条件 α∩β＝?a，b?β a∩b＝P a∥α b∥α l⊥α l⊥β 结论 α∥βα∥βα∥β
知识点四、平面与平面平行的性质 性质 文字描述如果两个平行平面同时和第 三平面相交，那么他们的交 线平行如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面 图形 条件α∥β β∩γ＝b α∩γ＝a α∥β a?β 结论a∥b a∥α 直线、平面垂直的判定及其性质 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义判定 语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直线都 垂直，我们就说直线l与平面互相垂直， 记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形 条件b为平面α内的任一直线，而l对这 一直线总有l⊥b l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，mα，nα 结论l⊥αl⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直） 知识点二、直线和平面垂直的性质 性质 语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条直线 垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.图形
必修二示范教案两条直线平行与垂直的判定
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 整体设计 教学分析 直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明. 三维目标 1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力. 2.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力. 重点难点 教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直. 教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？根据倾斜角 和斜率的关系,能否利用斜率来判定两条直线平行呢? 思路2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢?你认为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？ ②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？ ③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？ ④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？ ⑤l1∥l2时，k1与k2满足什么关系？ ⑥l1⊥l2时，k1与k2满足什么关系？ 活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例. ②数形结合容易得出结论. ③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率,即tan90°不存在. ④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率. ⑤必要性：如果l1∥l2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k1=k2.
两直线的平行与垂直的条件
复习引入： 直线名称 已知条件 直线方程 使用范围 示意图 点斜式 k y x P ),,(111 )(11x x k y y -=- 存在k 斜截式 b k ， b kx y += 存在k 两点式 ) ,(11y x （),22y x 1 21 121x x x x y y y y --= -- 2121,y y x x ≠≠ 截距式 b a , 1=+b y a x 0,0≠≠ b a 一般式 A 、 B 、 C R ∈ 0=++C By Ax 022≠+B A 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 2．斜率存在时两直线的平行与垂直． 设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k ，它们的方程分别是： 1l ：11b x k y +=； 2l ：22b x k y +=． 两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特 征王新敞 ⑴两条直线平行(不重合)的情形． 如图，从位置关系、倾斜角、斜率的定义、正切函数的性质分析，得以下结论： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如 果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 王新敞 要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立． 例1 两条直线1l ：0742=+-y x ， 2l ：052=+-y x ．求证：1l ∥2l 例2 求过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程．（两种方法） 注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧。一般地，直线0=++C By Ax 中系数A 、B l 2l 1 α2 α1 x O y
第2章习题课直线、平面平行与垂直分析
直线、平面平行与垂直 1．能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明．2．进一步体会化归思想在证明中的应用． a 、 b 、 c 表示直线，α、β、γ表示平面． 位置关系 判定定理(符号语言) 性质定理(符号语言) 直线与平面平行 a ∥b 且________?a ∥α a ∥α，________________?a ∥ b 平面与平面平行 a ∥α， b ∥α，且________________ ?α∥β α∥β，________________?a ∥b 直线与平面垂直 l ⊥a ，l ⊥b ，且________________ ?l ⊥α a ⊥α，b ⊥α?________ 平面与平面垂直 a ⊥α， ?α⊥β α⊥β，α∩β＝a ，____________ ?b ⊥β 一、选择题 1．不同直线M 、n 和不同平面α、β．给出下列命题： ① ?????α∥βm ?α?M ∥β； ② ? ??? ?m ∥n m ∥β?n ∥β； ③ ?????m ?αn ?β?M ，n 异面； ④ ? ????α⊥βm ∥α?M ⊥β． 其中假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的个数有( ) A ．4 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a 、b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为( ) ①a ⊥α，b ∥α?a ⊥b ；②a ⊥α，a ⊥b ?b ∥α； ③a ∥α，a ⊥b ?b ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 4．过平面外一点P ：①存在无数条直线与平面α平行；②存在无数条直线与平面α垂直；③有且只有一条直线与平面α平行；④有且只有一条直线与平面α垂直，其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( ) A ．线段 B 1C
高中数学2.1.3两条直线的平行与垂直(2)教案苏教版必修2
2.1.3 两条直线的平行与垂直（2） 教学目标: 1. 掌握利用斜率判定两条直线垂直的方法，感受用代数方法研究几何问题的思想； 2. 通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养学生严谨、辩证的思维习惯. 教材分析及教材内容的定位： 本节课和上节课研究的内容有类似之处，都是通过方程研究几何性质的. 教学重点： 用斜率判断两直线垂直的方法. 教学难点： 理解直线垂直的解析刻画. 教学方法： 探究合作. 教学过程： 一、问题情境 1?复习回顾：（1）利用直线的斜率关系判断两条直线平行； （2）利用直线的一般式方程判断两条直线的平行. 2 ?本节课研究的问题是：一一两条直线垂直， 两条直线垂直，那么他们的斜率之间有什么关系，体现在方程有何特征？ 二、学生活动 探究：两条直线垂直，即倾斜角的差为直角，那么他们的斜率如何？ 不妨设直线丨1,丨2（斜率存在）所对应的倾斜角分别为a 1, a 2,对应的斜率分别为k1, k2. 因为两条直线相互垂直，不妨设 a 1 — a 2= 90 .根据倾斜角与斜率的关系，我们知道 当倾斜角不是直角时，斜率存在，从而有k1=tan a 1, k2= tan a 2，于是根据诱导公式有 1 k1 tan 1 tan （90° 2） tan 2
即k i k2=—1 .此时，若两直线平行，则两直线的斜率乘积为一1. 反之，如果两直线的斜率(斜率存在)互为负倒数，即k i k2=—1,根据倾斜角和斜率 的关系以及正切函数的单调性可知倾斜角的差等于直角，从而说明它们互相垂直. 三、建构数学 两直线垂直. 一般地，设直线l i,丨 2 (斜率存在)所对应的斜率分别为k i, k2，则 11 I2 k i k2 1 说明： (1)如果直线丨1,丨2的斜率有一个不存在，那么其中有一条直线(不妨设 为I 1 )与X轴垂直，此时两条直线垂直的等价条件为I 2的斜率为0； (2)在利用以上结论判定两直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即 斜率存在，因此在讨论问题过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论. (3)设直线I 1: Ax + By+ Ci= 0, 12：Ax+ By + C2= 0，那么两条直线垂直的等价条件 为：A1A2 B1 B20 . 四、数学运用 例1 (1 )已知四点A(5, 3), B (10, 6) , C(3, —4) , D(—6 , 11),求证：AB丄 CD 3 2 (2)已知直线I 1的斜率k1= ,直线12经过点A (3a, —2) , B( 0 , a +1),且I』 4 12 ,求实数a的值. 例2 已知三角形的顶点为A (2 , 4), B (1, —2), C (—2 , 3),求BC边上的高AD 所在的直线. 例3在路边安装路灯，路宽23m,灯杆长2. 5m且与灯柱成1200角.路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直. 当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？ (精确到0. 01m) 练习： 1. 求过点A(0 , —3),且与直线2x+ y—5= 0垂直的直线的方程. 2. 已知直线I与直线I : 3x+4y —12= 0互相垂直，且与坐标轴围成的三角形面积为6,求直线I的方
(完整版)直线、平面平行与垂直的综合问题
第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题 考点一 立体几何中的探索性问题 [典例] (2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧?CD 所在平面垂直，M 是?CD 上异于C ，D 的点． (1)证明：平面AMD ⊥平面BMC . (2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． [解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ?平面ABCD ， 所以BC ⊥平面CMD ，所以BC ⊥DM . 因为M 为?CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC . 因为DM ?平面AMD ，所以平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下： 连接AC 交BD 于O . 因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为AC 的中点． 连接OP ，因为P 为AM 的中点， 所以MC ∥OP . 又MC ?平面PBD ，OP ?平面PBD ， 所以MC ∥平面PBD . [题组训练] 1.如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°. (1)求三棱锥P -ABC 的体积； (2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PM MC 的值． 解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝3 2 . 由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高， 又P A ＝1， 所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝3 6 .
两条直线的平行与垂直教案
教学目标 1、掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想； 2、通过分类讨论、数形结合等数学思想的运用，培养学生思维的严谨性、辩证性. 教学重难点 重点：两条直线平行和垂直的条件 难点：把两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题 教学过程 (一)温故知新 1、回顾什么是倾斜角、斜率？斜率的公式？ 2、平面上两直线位置关系有哪几种？ (二)两条直线的平行 1、当两条直线都有斜率且不重合 思考： 如果L 1∥L 2，则α1 α2，k 1 k 2. 若两条直线的斜率相等: 即k 1=k 2，则α1 α2，它 们的位置关系 是 . 结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率 ；反之，如果它们的斜率相等，那么它们 ， 即 前提： . 2、当不重合的两直线L 1和L 2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是 ，它们的位置关系是 . 例题解析 形。四点所得的四边形是梯，，），，（），，（、求证：顺次连接例)44(),32(27-53-21 D C B A
例2、求过点A(2,-3)且与直线2x+y-5=0平行的直线的方程. （三）两条直线垂直．- 思考：当两条直线的斜率都存在 1、如果L 1⊥L 2，这时α1与α2满足什么关系？斜率满足什么关系？ 2、若k 1·k 2 = -1，则α1与α2满足什么关系？两直线有什么位置关系？ 结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率 ； 反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们 ， 即?⊥21l l （前提： ） 3、思考：如果两直线L 1,L 2中的一条斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？ .,),1,0(),2,3(,4 3)2(; ),116(4-36,103,5)1(3212211的值求实数且经过点直线的斜率已知直线求证：，），，（），（），（已知四点、例a l l a B a A l k l CD AB D C B A ⊥+-=⊥- 例4、如图，已知三角形的顶点为A(2，4),B(1，-2),C(-2，3), 求BC 边上的高AD 所在直线方程.
空间直线和平面总结知识结构图+例题
【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 期中复习 ［知识串讲］ 空间直线和平面： （一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 线线∥ 线面∥ 面面∥ 公理 4 (a//b,b//c a//c) 线面平行判定 αβ αγβγ //,//I I ==???? a b a b 面面平行判定1 a b a b a //,//???? ??ααα 面面平行性质 a b a b A a b ??=????? ?ααββαβ ,//,////I 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ?I 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? A b α a β a b α 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理 PA AO PO a a OA a PO a PO a AO ⊥ ? ⊥?⊥ ⊥?⊥ α α α ,为 在内射影 则 线面垂直判定1面面垂直判定 a b a b O l a l b l , , ? = ⊥⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? α α I a a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α β αβ 线面垂直定义 l a l a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α α 面面垂直性质，推论2 αβ αβ β α ⊥ = ?⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? I b a a b a , αγ βγ αβ γ ⊥ ⊥ = ?⊥ ? ? ? ? ? I a a 面面垂直定义 αβαβ αβ I=-- ?⊥ ? ? ? l l ，且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 线线∥线面⊥面面∥ 线面垂直判定2面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b // ⊥ ?⊥ ? ? ? α α a b a b ⊥ ⊥ ? ? ? ? α α // a a ⊥ ⊥ ? ? ? ? α β αβ // αβ α β // a a ⊥ ⊥ ? ? ? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： （三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°
《两条直线平行与垂直的判定》教学设计
《两条直线平行与垂直的判定》教学设计 一、教材分析 本课内容选自普通高中新课程标准实验教科书人教版数学必修2的第三章第二节，介绍的是平面解析几何的知识。从本章开始学生初步、系统地了解平面解析几何的知识，在第一、二章的学习中，学生已掌握了高中立体几何的初步知识，这有利于学生从新的角度了解高中数学几何教学内容编排体系。通过本章知识的学习可以让学生从新认识平面几何的知识，又可以为选修里面的圆锥曲线理论知识的学习打下重要的基础，起到承上启下的作用。同时在本章中，学生初步尝试从新的观念来认识直线和方程的联系，再从基本概念和基本方法深化对直线方程的理解，从而使知识规律化、系统化、网络化。这种学习方式的过程和方法一经掌握，可以轻松地学习第四章圆的方程的内容。 本节内容是在学习了直线的倾斜角和斜率的基础上，重点学习直线与直线在平面中的特殊位置关系。只有掌握了两条直线的位置关系，才能更进一步的来学习直线方程，教材利用两条直线的倾斜角和斜率的关系引出了两条直线的平行和垂直的位置关系这一节课的知识结构非常系统，有利于学生形成规律性的知识网络。 二、知识结构分析 以上的简要教材分析，可从这一章的知识结构的思维导图中得以充分体现。 三、课标的分析 《普通高中数学课程标准》关于直线与方程的内容标准指出：
将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想贯穿本章教学的始终，帮助学生不断地体会数形结合的思想方法。 从课标中这部分内容标准的要求，可以知道直角坐标系使几何研究又一次飞跃，几何从此跨入了一个新的时代。在欧氏几何里，我们直接依据图形中点、直线、平面的关系，研究图形的性质。现在我们采用另外一种研究方法：坐标法。坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法。在平面直角坐标系中，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线的方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式等等。可以让学生既对几何产生兴趣，又让学生可以轻松的学习几何。在教学中应注意引导学生将所学知识与现实实际联系，提高学生解决问题的能力。 四、教学对象的分析 1、学生的知识、技能的基础。学生在义务教育阶段，学生学习过函数的图像。知道在直角坐标系中，点可以用有序实数对（x,y ）表示，但没有系统接受过解析几何研究问题的思想方法。因此要进行对本章内容的简要说明，我要研究的是什么？用什么样的方法来研究。在第一节的教学中学生学习了直线的倾斜角和斜率，奠定了一定的知识、技能和心理基础。但学生对解析几何的分析能力、思维能力、探究能力有待进一步培养和提高。学生在初中已经学习过一些一次函数的知识，在教学中应多加考虑新旧知识的相互衔接。 2、学生认知心理特点及认知发展水平。高一学生对几何有很高兴趣，尤其对直线的位置关系很感兴趣，因此创设教学情境，激发学习兴趣显得尤为重要，但学生的动机水平往往较低，意志力不强，学习主动性还有待于调动。 3、学生的社会背景。我们的学生数学的学习基础较差，学生中还有一些中考数学成绩不高，没有形成好的学习习惯，还有的初中没有培养成良好的数学思维，给教学上带来一定困难。在教学中要多注重培养学生良好的数学思维。 五、教学目标的设计 根据以上教材分析、教学对象分析和课标中的三个维度的课程目标，设计本课的教学目标。 1．知识与技能目标： （1）让学生掌握直线与直线的位置关系。 （2）让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法。 2．过程与方法目标： （1）利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法，即 2121//k k l l =?； （2）利用两直线垂直时，倾斜角的关系“01290+=αα”得到了两直线垂直的判定方法，即。12121-=?⊥k k l l ，并且对于特殊情况进行了研究。
线面平行与垂直关系的转化
三垂线定理 一、温故 1.线面平行的判定及性质定理 2.线面垂直的判定及性质定理 3.求线面所成角步骤 二、探究 思考1：面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢？ 例1：已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,, a α?a AO ⊥。 求证：a PO ⊥； 例2.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。 P B
例3.已知：点O 是ABC ?的垂心，PO ABC ⊥平面，垂足为O ，求证：PA BC ⊥ 例4.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。 例5.在正方体1AC 中，求证：1111 1,AC B D AC BC ⊥⊥； 例6．已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,, a α?a PO ⊥。 求证：a AO ⊥； P B 1 A C O D A C B P
例7．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）AD BC ⊥； （2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ?的垂心； 线面平行与垂直关系的转化 1.对于命题：①b a a b b a ⊥?⊥,//； ②αα//,b a b a ?⊥⊥； ③ c a b a c b a ////,,,?=???βαβα；④ c b a c a b ////,,,?=?=?=?ααγγββα，其中正确的命题个数是 2.若直线a ，b 没有公共点，则下列命题：①存在与a ，b 平行的直线；②存在与a ，b 垂直的平面；③存在经过a 而与b 垂直的平面；④存在经过a 而与b 平行的平面. 其中正确的命题序号是 3.已知a ，b 和平面α，下列推理：①α⊥a 且b a a b ⊥??；②αα⊥?⊥b a b a 且//；③b a a //b //??αα且；④ααα??⊥⊥a a b a 或且//b ，其中正确的命题序号是 4.下列说法：①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一组平行线垂直，该直线必在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线，其中正确的个数是 5.空间四边形ABCD 的四条边相等，则它的对角线AD 、BC 的关系是 6.对于命题：① αα⊥????⊥a b b a //；②αα////a b b a ?????；③αα⊥?? ?? ⊥a b b a //；④ αα//b b a a ?? ?? ⊥⊥其中正确的命题是 7.在正方体ABCD-A ?B ?C ?D ?中，边对角线BD ?的一个平面交AA ?于E ，交CC ?于F ， D A B C
高中数学必修二两条直线的平行与垂直
2.1.3 两条直线的平行与垂直 重难点：能熟练掌握两条直线平行和垂直的条件并灵活运用，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题． 经典例题：已知三角形的两个顶点是B (2,1)、C (-6, 3), 垂心是H (-3, 2), 求第三个顶A的坐标． 当堂练习： 1．下列命题中正确的是（） A．平行的两条直线的斜率一定相等 B．平行的两条直线的倾斜角相等 C．斜率相等的两直线一定平行D．两直线平行则它们在y轴上截距不相等 2．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y轴上的截距为，则m,n的值分别为（） A．4和3 B．-4和3 C．-4和-3 D．4和-3 3．直线:kx+y+2=0和:x-2y-3=0, 若,则在两坐标轴上的截距的和（） A．-1 B．-2 C．2 D．6 4．两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是（） A. m=1 B．m= 1 C．D．或 5．如果直线ax+(1-b)y+5=0和(1+a)x-y-b=0同时平行于直线x-2y+3=0,则a、b的值为（） A．a=, b=0 B．a=2, b=0 C．a=-, b=0 D．a=-, b=2 6．若直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+(a2-1)=0平行但不重合，则a等于（） A．-1或2 B．-1 C．2 D． 7．已知两点A（-2，0），B（0，4），则线段AB的垂直平分线方程是（） A．2x+y=0 B．2x-y+4=0 C．x+2y-3=0 D．x-2y+5=0 8．原点在直线上的射影是P（-2，1），则直线的方程为（） A．x+2y=0 B．x+2y-4=0 C．2x-y+5=0 D．2x+y+3=0 9．两条直线x+3y+m=0和3x-y+n=0的位置关系是（） A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．与m,n的取值有关 10．方程x2-y2=1表示的图形是（） A．两条相交而不垂直的直线B．一个点 C．两条垂直的直线D．两条平行直线 11．已知直线ax－y＋2a＝0与直线(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则a等于（） A．1 B．0 C．1或0 D．1或－1 12．点（4，0）关于直线5x+4y+21=0对称的点是（） A．（-6，8）B．（-8，-6）C．（6，8）D．（-6，-8）
2018届高考数学复习—立体几何：(二)空间直线、平面关系的判断与证明—2.平行与垂直关系的证明(试题版)
【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质 【典型例题】 [例1]?(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱 AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP . ?(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ?(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF . [例2]?(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证： ①B,C,H,G四点共面； ②平面EF A1∥平面BCHG . ?(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证： ①EG∥平面BB1D1D； ②平面BDF∥平面B1D1H . 【变式训练】 1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1 的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______. 2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外 一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平 面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH . 3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱 A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1 相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1 . 4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝ 1,H是B1C1的中点. (1)求证：E,B,F,D1四点共面； (2)求证：平面A1GH∥平面BED1F . 题型2：直线、平面垂直的判断及性质 【典型例题】 [例1]?(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE . ?(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面
两条直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定 学习目标: 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直. 3.能应用两条直线平行或垂直的判定与性质解释生活实践中的现象和问题,并能进行实际应用. 基础知识 1.设两条不重合的直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,若l 1∥l 2,则k 1 _=__ k 2;反之,若k 1=k 2,则l 1 _∥_ l 2.特别地,若两条不重合的直线的斜率不存在,则这两条直线也平行. 2.如果两条直线_都有斜率__,且它们互相垂直,那么它们的斜率_之积等于-1_;反之,如果它们的斜率之积等于-1_,那么它们互相垂直.即_k 1·k 2=-1_?l 1⊥l 2, l 1⊥l 2? __ k 1·k 2=-1_. 1.两条直线平行的判定 (1)l 1∥l 2,说明两直线l 1与l 2的倾斜角相等,当倾斜角都不等于90°时,有k 1=k 2; 当倾斜角都等90°时,斜率都不存在. (2)当k 1=k 2时,说明两直线l 1与l 2平行或重合. 2.两直线垂直的判定 (1)当两直线l 1与l 2斜率都存在时,有k 1·k 2=-1?l 1⊥l 2;当一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时,也有l 1⊥l 2. (2)若l 1⊥l 2,则有k 1?k 2=-1或一条直线斜率不存在,同时另一条直线的斜率为零. 3.如何判断两条直线的平行与垂直 判断两条直线平行或垂直时,要注意分斜率存在与不存在两种情况作答.
典 例 剖 析 题型一 直线平行问题 例1:下列说法中正确的有( ) ①若两条直线斜率相等,则两直线平行. ②若l 1∥l 2,则k 1=k 2. ③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交. ④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:当k 1=k 2时,两直线平行或重合,所以①不成立. 在②中,斜率可能不存在,所以不成立. 在④中,而直线也可能重合,所以不成立. 因此,只有③正确. 规律技巧:判定两条直线的位置关系时,一定要考虑特殊情况,如两直线重合,斜率不存在等.一般情况都成立,只有一种特殊情况不成立,则该命题就是假命题. 变式训练1:已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m 的值为 ( ) A.-8 B.0 C.2 D.10 题型二 直线垂直问题 例2:已知直线l 1的斜率k 1= ,直线l 2经过点A(3a,-2),B(0,a 2+1),且l 1⊥l 2,求实数a 的值. 分析:已知l 1的斜率存在,又l 1⊥l 2,所以l 2的斜率也应存在.设为k 2,则由k 1?k 2=-1,可得关于a 的方程,解方程即可. 34 22212122221:l k ,k l l ,k k k 1(2)3.033333,1,41,43a a a a a a =⊥=∴?=-∴+--+=--+?= 解设直线的斜率为则且
高中数学2.1.3两条直线的平行与垂直(1)教案苏教版必修2
2.1.3 两条直线的平行与垂直（1） 教学目标： 1. 掌握利用斜率判定两条直线平行的方法，感受用代数方法研究几何问题 的思想； 2. 通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养学生严谨、辩证的思 维习惯. 教材分析及教材内容的定位： 解析几何研究的另一方面内容就是根据方程研究几何性质， 本节课是初次接触这方面的 内容，要让学生学会研究方程. 教学重点： 用斜率判定两直线平行的方法 . 教学难点： 理解直线平行的解析刻画. 教学方法： 合作交流. 教学过程： 一、问题情境 1.复习回顾： （1）直线方程的形式与标准方程； （2）各类标准方程的局限性 2.本节课研究的问题是：如何利用直线的方程研究两条直线的位置关系， 重点是平行. 二、学生活动 对应的斜率分别为 k i , k 2. k i = tan a i , k 2= tan a 2, 于是有 k i = k 2.此时， 探究：两条直线平行，即倾斜程度相同, 那么它们的斜率如何? 如果倾斜程度相同，不妨设直线 I i , I 2 （斜率存在）所对应的倾斜角分别为 因为倾斜程度相同，则倾斜角相等，即 a i = a 2 .根据倾斜角与斜率的关系， 我们知道 当倾斜角不是直角时，斜率存在，从而有
若两直线平行，则两直线的斜率相等. 反之，如果两直线(不共线)的斜率相等，即k i= k2,根据倾斜角和斜率的关系以及正 切函数的单调性可知倾斜角相等，从而说明它们互相平行. 三、建构数学 两条直线的平行. 一般地，设直线11, 12 (不共线，斜率存在)所对应的斜率分别为k i, k2, 则11 // 12 k i = k2. 说明： (1)如果直线丨1,丨2的斜率都不存在，那么它们都与X轴垂直，从而1 1 / 1 2； (2)在利用以上结论判定两直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即斜率存在，因此在讨论问题过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论. (3)若直线1 仁A i x+ By + C = 0, 12：Ax+ B2y + C2 = 0(A i, A2, B i, B2全不为零)平行， 那么两直线平行的等价条件为：AB2 AB且BC2 BC1. 四、数学运用 例1求证：顺次连结A (2,—3), B(5, 7), C(2, 3) , D(- 4 , 4)四点所得的 2 四边形是梯形. 例2 求过点A( 2, —3),且与直线2x+ y—5 = 0平行的直线的方程. 变式练习： 1. 求过点A(0, —3),且与直线2x+ y—5= 0平行的直线的方程. 2. 若直线1与直线2x+y —5= 0平行，并且在两坐标轴截距之和为 6.求直线1的方程. 3. 若直线1平行于直线2x + y—5 = 0,且与坐标轴围成的三角形面积为9,求直线I 的方程. 例3 已知两条直线：(3 + m)x + 4y = 5 —3m与2x + (5 + n)y= 8 , m为何值时，两直线平行. 变式练习： 4. 直线1仁2x+ (n+ 1) y+4 = 0 与12: mx+ 3y —2 = 0 平行，求m的值. 五、要点归纳与方法小结