函数的奇偶性知识点与题型

函数的奇偶性

一、基本概念：

1、 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-,那么

函数()x f 就叫做偶函数。偶的图像关于y 轴对称,并在y 轴两侧的单调性相反，反之成立； 若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为

偶函数，()-x f ()x g 为偶函数.当()x g ≠0时，)()

(x g x f 为偶函数。

2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，那么函数()x f 就叫做奇函数

一个函数如果是偶函数或者是奇函数，我们称这个函数具有奇偶性。

⑶奇函数的图像关于坐标原点对称，并在原点两侧的单调性相同，反之成立

⑷若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时，)

()(x g x f 是偶函数。 若)(x f 和)(x g 一个为奇函数，另一个为偶函数，则)(x f ±)(x g 既不是奇函数又不是偶函数，)(x f )(x g 为奇函数

3、 常见函数的奇偶性

一次函数b kx y += 当b ≠0时是非奇非偶，当b=0时是奇函数。

二次函数c bx ax y ++=2 当b ≠0时是非奇非偶，当b=0时是偶函数。 反比例函数x

k y =（k ≠0）是奇函数。 .常函数()()为常数c c x f =是偶函数 ()f x =0既是偶函数又是奇函数

二、判断奇偶函数的常用方法

1.定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;

若函数的定义域是关于原点对称的,再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立.

2.验证法:判断()x f 与()x f -的关系,只需验证()()0=±-x f x f 及

)()(x f x f -=1±是否成立即可. 3.图像法:奇（偶）函数等价于它的图像关于原点(y 轴)对称。

4.性质法:利用上述性质来判断,即利用奇偶函数的和、差、积、商的奇偶性,以及复合函数的奇偶性来判断,

题型一 判断函数的奇偶性

例1 （1）一般函数的奇偶性

⑴ ()()()R x x f x f x G ∈--=, ⑵()()1-=x x f x x

-+11， ()1,1x ∈-

（2）分段函数的奇偶性

判断函数?????<---=>+-=)

0(32)

0(0)

0(32)(22x x x x x x x x f 是否为奇函数，并证明。

(3) 抽象函数的奇偶性

设函数()x f 对于任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+求证：()x f 是奇函数 题型2、利用奇偶性求函数值

例1：已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f

题型3、利用奇偶性比较大小

例2：已知偶函数)(x f 在()0,∞-上为减函数，比较)5(-f ，)1(f ，)3(f 的大小。 题型4、利用奇偶性求解析式

例3：已知)(x f 为偶函数时当时当01,1)(,10<≤--=≤≤x x x f x ，求)(x f 的解 析式

题型5、利用奇偶性讨论函数的单调性

例5：若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间。 题型6、利用奇偶性求参数的值

例6：定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，

若