浅谈正定二次型的判定方法

摘要二次型与其矩阵具有一一对应关系,可以通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性

及其应用.本文主要通过正定二次型的定义，实矩阵的正定性的定义，特征值法，矩阵合同以及相应的推导性质来判定二次型的正定性。

关键词二次型矩阵正定性应用

1 引言

在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题.

现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，下面将用二次型的性质来求函数的最值和证明不等式因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.

2 二次型的相关概念 2.1 二次型的定义

设p 是一个数域，ij a ∈p ，n 个文字1x ,2x ,…，n x 的二次齐次多项式

22121111212131311

(,,,)22n

n nn n

ij i

i j f x x x a x a x x a x x a x a x x

===++++=

∑∑

),...,2,1,,(n j i a a ji ij ==称为数域上p 的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实数时，f 称

为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即

12(,,...,)n f x x x =2221112...n n d x d x d x +++称f 为标准型.

定义1 在实数域上，任意一个二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范性

22222

121z z z z z p p r ++++---…………,其中正平方项的个数p 称为

f 的正惯性指数，负平方项的个数称为的f 负惯性指数.

2.2 二次型的矩阵形式

二次型12(,,...,)n f x x x 可唯一表示成12(,,...,)n f x x x =T x Ax ，其中12(,,...,)T n x x x x =，

()ij n n A a ?=为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A 为二次型的矩阵（必是对称矩阵），

称A 的秩为二次型f 的秩.

2.3 正定二次型与正定矩阵的概念

定义2.3.1 设12(,,...,)n f x x x =T x Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(,,...)0n f c c c >，则称f 为正定二次型,称A 为正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c ≥，则称f 为半正定二次型，称A 为半正定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c <，则称f 为负定二次型，称A 为负定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c ≤，称f 为半负定二次型，称A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A 为不定矩阵.

定义2 另一种定义具有对称矩阵A 的二次型,AX X f T =

(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0

成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T

，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵

A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.

注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定

性的二次型及其矩阵称为不定的.

二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.

定义3 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式

)1(212

2221212111n i i i a a a a a a a a a k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k

k k k k k ≤<<<≤

称为A 的一个k 阶主子式.而子式

),,2,1(||2122221

11211n k a a a a a a a a a A kk

k k k k k ==

称为A 的k 阶顺序主子式.

3 实二次型正定的判别方法及其性质

定理1 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是它的

正惯性指数等于n

证明设实二次型AX X x x x f n '=),,,(21 经线形替换PY X =化为标准形

222211n

n y d y d y d f +++= )1( 其中.,,2,1,n i R d i =∈由于p 为可逆矩阵,所以n x x x ,,,21 不全为零时n y y y ,,,21 也不全为零,反之亦然.

)(?如果f 是正定二次型,那么当n x x x ,,,21 不全为零,即n y y y ,,,21 不全为零时,

有

222211>+++=n n y d y d y d f )2(

若有某个),1(n i d i ≤≤比方说.0≤n d 则对1,0121=====-n n y y y y 这组不全为零的数,代入)1(式后得.0≤=n d f 这与f 是正定二次型矛盾.因此,必有

),,2,1.(0n i d i =>

即f 的正惯性指数等于n

)(?如果f 的正惯性指数等于,n 则),,2,1(,0n i d i =>于是当n x x x ,,,21 不全为零,即当n y y y ,,,21 不全为零时)2(式成立,从而f 是正定型

定理2 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是对任

何n 维实的非零列向量X 必有0>'

A X X 证明 )(?由假设f 是正定二次型,故存在实的非退化的线形替换,QY X =使

2221n

y y y AX X +++=' )1( 对,0≠X 因Q 非奇异,故,0≠Y 于是由)1(可知0>'

A X X )(?设AX X '的秩与正惯性指数分别为r 与,p 先证,p r =如,r p <则由惯性定理,

存在非退化的线形替换,QY X =使得

21221'r p p y y y y AX X ---++=+ )2(

由假设,对任何,0,0>'

≠AX X X 但对列向量 0)0,,0,1,0,,0(≠'= Q X （因Q 是非奇异阵,1是X 的第1+p 个分量）却有

01<-='

A X X 这与假设矛盾.故p r =.再证n r =.如果,n r <则)2(式应化为

n r y y y AX X r <+++=,2

)3( 于是取

0)1,0,,0(≠'= Q X

由)3(即得,0='

A X X 又与假设矛盾,故,p n r ==即f 是正定二次型定理3 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是f 的

规范形为2

222121),,,(n

n y y y x x x f +++= 证明 )(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理1可知

f 的正惯性指数为n ，则二次型AX X x x x f n '=),,,(21 可经过非退化实线形替换成

222121),,,(n

n y y y x x x f +++= )(?f 的规范形为2222121),,,(n

n y y y x x x f +++= ,则f 的正惯性指数为,n 由定理1可知f 为正定二次型

定理4 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵

A 与单位矩阵合同

证明 )(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理3,可

知f 的规范形为2

222121),,,(n

n y y y x x x f +++= 此即存在非退化线形替换(CY X =其中C 可逆),使得

222121)()(),,,(n

n y y y ACY C Y CY A CY AX X x x x f +++=''='='= 所以,E AC C ='因此矩阵A 单位矩阵合同

)(?矩阵A 单位矩阵合同,则存在可逆矩阵,C 使得E AC C ='，令CY X =则

2222121)()(),,,(n

n y y y ACY C Y CY A CY AX X x x x f +++=''='='= 因此,由证明4,可知f 是正定二次型

定理5 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵

A 的主子式全大于零

证明 )(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,以k A 表示A 的

左上角k 阶矩阵,下证),,,2,1(,0n k A k =>考虑以k A 为矩阵的二次型

j k i k

j i ij

k x x a

x x x g ∑∑===

21),,,(

由于)0,,0,,,,(),,,(2121 k k x x x f x x x g =所以当k x x x ,,,21 不全为零时,由f 正定二次型可知,0>g 从而g 为正定二次型,故.0>k A

)(?对二次型的元数n 作数学归纳法

当1=n 时,,)(2

1111x a x f =因为,011>a 所以f 正定,假设,1>n 且对1-n 元实二次型结

论成立

由于,01111>=a a 用111a a i -

乘A 的第1列到第i 列,再用11

1a a

i -乘第A 的第1行到第i 行),,,3,2(n i =经此合同变换后A ,可变为以下的一个矩阵

????

? ??00001

11A a B = 因为矩阵A 与B 合同,所以B 是一个n 阶对称矩阵.从而1A

也是对称矩阵.上述的变换不改变A 的主子式的值,因此B ,的主子式也全大于零,而B 的

)2(n k k ≤≤阶主子式等于1A 的1-k 阶主子式乘以,11a 并且011>a 于是1A 的主子式全大于

零,由归纳假设,1A 与1-n I 合同,所以A 与单位矩阵合同,此即f 是正定二次型

定理6 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵

A 的顺序主子式全都大于零

证明 )(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理5可知

A 的主子式全大于零,所以A 的顺序主子式也全大于零.

)(?对二次型的元数n 作数学归纳法

当1=n 时,,)(2

1111x a x f =由条件知,011>a 所以)(1x f 是正定的.

假设充分性的判断对于1-n 元的二次型已经成立,现在来证n 元的情形.

令1A =?????

??----1,11

,11,111n n n n a a a a

????

? ??=-n n n a a ,11 α

于是矩阵A 可以分块写成：

A =???

??'

nn a A αα1 则1A 的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,1A 是正定矩阵则存在可逆的1-n 阶矩阵,G 使得1-='n E AG G 令1C =???

??10

于是???

??''=???? ?????? ??'

???? ?

-nn n nn a G G E G

a A G AC C αααα11

1110

010

再令2C =???

??--10'1

a G E

n 则有???

?''-=''-ααG G a E C AC C C nn n 0

012112

令 21C C C = d G G a nn =''-αα

就有??????

?='d AC C

1 两边取行列式,d A C

,则由条件,0>A 因此0>d .

??????

????????? ?????????

??=??????? ??d d d 11

11111

11 所以矩阵A 与单位矩阵合同,因此A 是正定矩阵即f 是正定二次型

定理7 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵

T T T A ('=是实可逆矩阵)

证明 )(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理4可知

存在可逆矩阵,C 使得E AC C =' 则 111

1)()(----'='=C C C C A

令1

-=C

T ,则T T A '=

)(?若,T T A '=

则 )()(),,,(21TX TX TX T X AX X AX X x x x f n '=''='='= 令TX Y =

则 2

222121),,,(n

n y y y Y Y x x x f +++='= 所以f 为正定二次型.

定理8 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是AT

T '

正定矩阵(其中T 是实可逆矩阵)

证明 )(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A 是正定阵,

令(1

Y X T

=-其中T 可逆)

则 ATY T Y TY A TY x x x f n ''='=)()(),,,(21 又因非退化线性替换不改变正定性,则

ATY T Y x x x f n ''=),,,(21

是正定二次型,所以AT T '是正定阵

)(?AT T '是正定阵,令ATY T Y y y y g n ''=),,,(21 ,则),,,(21n y y y g 是正定二次型

令TY X =

则),,,(21n y y y g AX X x x x f n '==),,,(21 是正定二次型

定理9 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵

A 的全部特征值都是正的

证明 )(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A 是正定阵,

又对于任意一个n 阶实对称矩阵,A 都存在一个n 阶正交矩阵,T 使得AT T AT T 1

'-=成

为对角形

令AT T AT T 1

'-==????

?n λλ

1 则),,2,1(,0n i i =>λ否则与f 为正定二次型相矛盾，则AT T

-特征值为n λλλ,,,21 均大于零,即为正的.

又相似矩阵有相同特征值，则A 的特征值也均为正

)(? A 的全部特征值均为正的,则存在一个n 阶正交矩阵,T 使得

AT T AT T 1

'-==????

?n λλ

其中),,2,1(n i i =λ为A 的特征值,此由相似矩阵有相同的特征值得到.

令,TY X =

则 2

22221121),,,(n

n n y y y ATY T Y AX X x x x f λλλ+++=''='= 所以f 为正定二次型

定理10 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵

A 是正定阵

证明 )(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型, 则由正定阵的

定义可知A 是正定阵.

)(? A 是正定阵,则A 的顺序主子式全都大于零.由定理6可知f 是正定二次型.

性质：若A 为n 阶实正定阵，显然

A ，1

A -也是正定阵

注 (1) 若A 是负定矩阵，则A -为正定矩阵.

(2) A 是负定矩阵的充要条件是：).,,2,1(,0||)1(n k A k k =>-

其中k A 是A 的k 阶顺序主子式.

(3) 对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:

a.对称矩阵A 是半正定（半负定）的;

b.A 的所有主子式大于（小于）或等于零；

c.A 的全部特征值大于（小于）或等于零.

例 1 考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+,问λ为何值时，f

为正定二次型.

解利用顺序主子式来判别,二次型f 的矩阵为1142124A λλ-??

?= ? ?-??

，A 的顺序主子式为 110

?=>；

2144

λλ

=-；

2311

214484(1)(2)12

λλλλλλ-?=-=--+=--+-.

于是，二次型f 正定的充要条件是：230,0?>?>，有2

240λ?=->，可知，22λ-<<；

由34(1)(2)0λλ?=--+>, 可得12<<-λ,

所以，当12<<-λ时, f 正定.

例 2 已知A E -是n 阶正定矩阵，证明1E A --为正定矩阵.

分析：只要证明1

E A --的特征值全大于零即可证明由A E -正定知A 是实对称矩阵，从而

111()()T

T E A E A E A ----=-=-

即1

E A --也是实对称矩阵.设A 的特征值为k λ(1,2,)k n = ,则A E -的特征值为

1k λ-(1,2,)k n = ,

而1

E A --的特征值为1

λ-

(1,2,)k n = ,

因为A E -是正定矩阵，所以,10k λ->(,从而

λ<，

故，1

10k

λ-

>(1,2,)k n = 即，1E A --的特征值全大于零，故，1E A --为正定矩阵.

例 3 设有n 元二次型222

121122231(,,)()()()n n n f x x x x a x x a x x a x =++++++ 其中(1,2,,)i a i n = 为实数，试问：当12,,,n a a a 满足何种条件时，二次型1(,,)n f x x 为正定二次型.

解令

11212211000010000100000

0010

1n n n n

a y a x y x a x y a -?? ?????

? ? ? ? ? ?= ? ? ?

? ? ? ???

?? ? ???

当

12110000100

00100

00010

n n

a a a a -

=1121(1)0n n a a a ++-≠ ，即当12(1)n n a a a ≠- 时，原二次型为正定二次型.

例 4 设A ,B 分别是,m n 阶正定阵，试判定分块矩阵00A C B ??

= ???

是否为正定矩

阵

解因为,A B 都是实对称阵，从而C 也是实对称阵.且,0,m n

X R

X +?∈≠令

12X X X ??

= ?

?? 则12,m n X R X R ∈∈，且至少一个不为零向量.于是

()11211222000T T

T T T X A X CX X X X AX X BX X B ????==+> ? ?????

故C 为正定阵.

例 5 若A 是n 阶实对称阵，证明：A 半正定的充要条件是对任何μ>0，

B E A μ=+正定.

证 A 是实对称阵，从而存在正交阵T ，使

1'n A T T

λλ?? ?= ? ???

,其中1,,n λλ 为A 的全部实特征值.

先证必要性若A 半正定，则0,(1,2,,).i i n λ≥= 又因为

1'B E A T T

n μλμμλ+??

=+= ? ?+??

所以B 的全部特征值为0(1,2,,)i i n μλ+>= 又'm n

B B R

+=∈，∴B 为正定阵.

再证充分性若A 不是正定阵，则存在0k λ<，此时可令2

λμ=-

，则0μ>，但

1'2k

n B E A T T μλλμμλ+??

? ?=+=

?+?

即B 中有一个特征值为

λ<，这与B 为正定阵的假设矛盾，从而得证A 是半正定的.

例 6 设()ij A a =是阶正定阵，证明：

（1）对任意i j ≠，都有

();ij ii jj a a a < （2）A 的绝对值最大元素必在主对角线上.

证（1）A 正定，从而A 的一切2阶主子式均大于0，当i j ≠时

0ii ij ii jj ij ij

a a a a a a a =->

移项后，开方即证

()(,,1,2,,)ij ii jj a a a i j i j n <≠= .

（2）设的主对角线上最大元素为kk a （由于A 正定，0kk a >).再由第一问结论可知

()()ij ii jj kk a a a a i j <=≠

由此即证

(,1,2,,)ij kk a a i j n ≤= 即A 中绝对值最大元素必在主对角线上.

结束语

二次型的研究起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的理论，二次型的理论在数学和物

理的许多分支都有着广泛的应用.用二次型来解决初等数学、微积分中的一些问题，有时会起到意想不到的效果.

本文通过研究二次型的性质，借助例子说明二次型在求多元函数的的极值、最值、证明不等式、及判断二次曲线的形状等方面的应用.将多元元函数求极值问题化为一个二次型问

题.在三元及三元以上多元函数求极值时，这个方法比一般工科高等数学教材中介绍的求极值方法好用，而且能够确定是极大值还是极小值.

参考文献

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[8] 郭忠矩阵正定性的判定[J]. 科学通报 2007.

[9] 钱志祥，林文生.浅谈正定二次型的实际应用[J].科学创新导报，2009.

矩阵的正定性及其应用论文

矩阵的正定性及其应用摘要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义．在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例．一、二次型有定性的概念定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T = (1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0. 定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p = 定理5 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C , 使 C C A T =.即E A 与合同。推论1 若A 为正定矩阵, 则0||>A .

正定二次型的判定及应用数学论文

毕业论文（设计）论文（设计）题目：正定二次型的判定及应用姓名刘洁学号 11111022015 院系数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级 2011级2班指导教师王永忠年月日

目录摘要 (1) ABSTRACT (2) 第1章引言 (3) 1.1 研究背景及意义 (3) 第2章二次型 (4) 2.1 二次型 (4) 2.3 正定二次型与正定矩阵 (4) 第3章正定二次型的判定及应用 (7) 3.1 正定二次型的判别方法 (7) 3.2 正定二次型在实际中的应用 (15) 第4章结论 (18) 参考文献 (19) 致谢 (20)

摘要在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用。关键词：正定二次型；正定矩阵；顺序主子式；

ABSTRACT In the quadratic form,the positive definite quadratic form has a special position.This paper has summarized some judjement methods of the positive definite quadratic form and given some applications in inequalities proving and extreme problems. Key words: positive definite quadratic; positive definite matrix; principal minor determinant

正定二次型的性质及应用汇编

目录摘要 (2) 关键词 (2) Abstract (2) Keywords (2) 前言 (2) 1预备知识 (2) 1.1二次型定义 (2) 1.2正定二次型定义 (3) 2 正定二次型的性质 (3) 3 正定二次型的应用 (7) 3.1正定二次型在解决极值问题中的应用 (7) 3.2正定二次型在分块矩阵中的应用 (9) 3.3正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 (9) 3.4正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 (10) 3.5正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用 (12) 3.6正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵） (12) 3.7正定二次型在解线性方程组中的应用 (12) 3.8正定二次型在物理力学问题中的应用 (13) 结束语 (13) 参考文献 (14)

正定二次型的性质及应用摘要：本文主要探讨了正定二次型的性质，结合例题重点介绍了正定二次型的应用，如研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等. 关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵 The properties and Applications of positive definite Quadratic Forms Abstract ：In this paper ，the properties of positive definite quadratic form is discussed. By giving examples, we mainly introduce the applications of positive definite quadratic form, such as the application to extremum questions 、studying the polynomial root and applications in physics et al. Keywords ：positive definite quadratic form; positive definite matrix; congruence; elementary transformation ；partitioned matrix. 前言二次型是线性代数的主要内容之一，正定二次型是是实二次型中一类特殊的二次型，占有特殊的地位.正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中,且有很大的实用价值，它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程技术也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而对正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式详细介绍了正定二次型的一些应用. 1 预备知识 1.1 二次型定义设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,...,,21的二次齐次多项式 ()+++++++=n n n n n x x a x a x x a x x a x a x x x f 2222221121122 11121222,...,, …+2n nn x a

二次型的正定性及其应用

毕业论文题目：二次型的正定性及其应用学生姓名：孙云云学生学号：0805010236 系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别：2012 届指导教师：李远华

目录摘要 (1) 前言 (2) 1 二次型的概念 (2) 1.1 二次型的矩阵形式 (2) 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (2) 2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (3) 3 二次型的应用 (8) 3.1 多元函数极值 (8) 3.2 线性最小二乘法 (13) 3.3 证明不等式 (15) 3.4 二次曲线 (18) 结论 (18) 致谢 (19) 参考文献 (19)

二次型的正定性及其应用学生：孙云云指导老师：李远华淮南师范学院数学与计算科学系摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Sun YunYun Instructor: Li YuanHua Department of mathematics and Computational Science, Huainan Normal University Abstract:Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves. Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application

二次型的几何分类及其应用

二次型的几何分类及其应用田金慧内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用 1导言在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，

并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。 2 二次型及其标准型所谓二次型就是一个二次齐次多项式。定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 22 212111222(,, ,)n nn n f x x x a x a x a x =++ + n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+ （1）称为n 元二次型，简称二次型【2】。当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。本文仅讨论实二次型。若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成 12,1 (,, ,)n T n ij i j i j f x x x a x x X AX ===∑ （2）其中，11 12121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ???，12 n x x X x ?? ? ?= ? ? ??? ，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵

二次型及其应用

滨江学院毕业论文题目二次型及其应用院系滨江学院理学系专业信息与计算科学学生姓名刘峰学号20102314014 指导教师吴亚娟职称副教授二Ｏ一四年五月十日

目录引言 (1) 1、二次型的相关定义和定理 (1) 1.1二次型的定义 (1) 2、二次型在初等数学中的应用 (2) 2.1不等式证明 (2) 2.2多项式的因式分解 (4) 2.3判断二次曲线的形状 (6) 3、二次型在几何方面的应用 (7) 3.1求平面线图形的面积 (8) 4、多元函数极值方面的应用 (9) 4.1条件极值 (9) 4.2无条件极值 (10) 5、求多元函数积分方面的应用 (11) 5.1二次型的正交变换 (11) 5.1重积分的计算 (12) 5.2求曲面积分 (13) 6、结束语 (14) 7、参考文献 (14)

二次型及其应用刘峰南京信息工程队大学滨江学院理学系专业：信息与计算科学学号：20102314014 摘要: 二次型是高等代数学中的内容之一，研究二次型是现代科学技术的需求，目前二次型的研究理论物理力学、环境工程、科学技术中都有重要的作用，对二次型简单的研究必须先写好二次型的矩阵，同时运用矩阵的一些理论能更好的应用于社会生活中的一般例子，随着我们人类生产生活的不断进步，不断现代化，二次型的运用也是一项不可或缺的研究。关键字：极值；几何；重积分；引言二次型是高等代数学中的一个重点内容，它的理论在自然科学，环境工程、工程技术之中广泛的应用，求出问题的最大值与最小值，多项式的因式分解，判别二次曲线图形的形状和计算曲面图形的面积等等内容在代数学中占有重要的地位。目前在许多相关书籍和教材的资料中，对二次型和它的一些的应用归纳的越来越详细，还有在其他领域中的应用也越来越广泛，比如在数学建模中的应用，在教学中的应用也越来越多。本文主要探讨常见的二次型最值问题，不等式问题，曲面积分问题，重积分问题,等等一些应用。 1、二次型的相关定义和定理 1．1、二次型的概念和定义在《高等代数》中涉及的一些相关理论设P 是一个数域,P a ij ∈,一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式： ()212111121213131122222323222 ,,,22222n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =+++ +=+++++ = + 1 1 n n ij i j i j a x x === ∑∑，

正定矩阵及其应用

本科毕业论文(设计) 正定矩阵及其应用学生姓名：学号：专业：指导老师：答辩时间：装订时间：

A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science，Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 Positive definite matrices and their applications Student Name: Student No.: Specialty:s Supervisor: Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:

摘要矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用. 关键词：矩阵正定二次型正定矩阵极值

正定矩阵及其应用

本科毕业论文(设计) 正定矩阵及其应用学生：学号：专业：指导老师：答辩时间：装订时间：

Abstract The matrix is very important in advanced algebra. It is not only an important branch, but also have become a powerful tool for studying finite dimensional space and quantity r- elationship in the real of modern science and technology. However , extending from the m- atrices, the positive definite matrix is a special matrix, which is a foundation for studying quadratic form and apply properly to both functions and inequality. Thus, its special prop- erty and wide applications have drawn scholars' attention, and a lot of research have been done. This paper begins with the matrix' primary concept and properties, going from the e- asy to the difficult. We define the positive definite matrix and its equivalent one, the sum up its properties and partial evidence, and summarize the determined theorems. At last, we study its application in theory and the solution of the function extremum. Keywords: matrix，positive definite quadratic，positive definite matrix，extremum

正定二次型的性质及应用

摘要............................................. 错误!未定义书签。关键词............................................. 错误!未定义书签。Abstract.......................................... 错误!未定义书签。Keywords.......................................... 错误!未定义书签。前言............................................... 错误!未定义书签。1预备知识........................................ 错误!未定义书签。二次型定义........................................ 错误!未定义书签。正定二次型定义.................................... 错误!未定义书签。 2 正定二次型的性质............................... 错误!未定义书签。 3 正定二次型的应用 (7) 正定二次型在解决极值问题中的应用 (7) 正定二次型在分块矩阵中的应用...................... 错误!未定义书签。正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 (9) 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 (10) 正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用........ 错误!未定义书签。正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）错误!未定义书签。正定二次型在解线性方程组中的应用.................. 错误!未定义书签。正定二次型在物理力学问题中的应用.................. 错误!未定义书签。结束语.. (13) 参考文献.......................................... 错误!未定义书签。

二次型的应用与思想方法

第一章绪论二次型是高等代数的重要内容之一,二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究.二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中常常用到,二次型应用的领域十分广泛.例如在解决极值问题方面的应用,在解决多项式根的有关问题的应用,在解决二次曲线方程和二次曲面方程中的应用等等. 基于二次型的重要性和广泛性,本文开头总结了二次型的定义及相关知识,将二次型的定义方法、二次型的矩阵表示作了系统介绍,其中在实二次型中占有特殊的地位的正定二次型是学习的重点,理解定义并熟练掌握常用的判别条件,为应用正定二次型做好知识的储备,也为下文研究其数学思想奠定了知识储备.本文在第三章重点研究了二次型中的一些重要的数学思想与方法,数学思想和数学方法是从数学知识提炼出的数学学科的精髓,是将数学知识转化为数学能力的桥梁.从知识中总结思想方法,又将思想方法应用到实践中,这是学习数学的本质.本文重点分析总结了二次型在二次曲面和二次曲线中的应用、二次型中的可逆线性变换、将二次型化为标准型等方面与数形结合思想方法、转化的思想方法、分类讨论的思想方法、分解的思想方法的相互渗透. 下面将通过具体定义与例题相结合的方式阐述出二次型所渗透的数学思想与方法.

第二章二次型的基本知识 2.1 二次型的定义在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程式 222ax bxy cy f ++=. （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度θ,作转轴（反时针方向转轴） cos sin sin cos .x x θy θ,y x θy θ''=-??''=+? (2) 把方程(1)化成标准方程.在二次曲面的研究中也有类似的情况. (1)的左端是一个二次齐次多项式.从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含有平方项.二次齐次多项式不但在几何上出现,而且在数学的其他分支及物理、力学也常常会碰到. 设P 是一数域,一个系数在数域P 中的n y y y ,,,21 的二次齐次多项式 2121111212112 2222 22()222n n n n n nn n f x ,x ,,x a x a x x a x x a x a x x a x . =++++++++ （3）称为数域P 上的一个n 元二次型,或者,在不致引起混淆时简称二次型.例如: 222 112132233 3243x x x x x x x x x +++++. 就是有理数域上的一个三元二次型. 2.2 二次型的矩阵表示首先我们引入定义：定义2.1 设1212;n n x ,x ,,x y ,y ,,y 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系 1111122122112222112. n n n n n n n n nn n x c y c y c y , x c y c y c y ,x c y c y c y =+++??=+++??? ?=+++? (4) 称为由12,,,n x x x 到12,,,n y y y 的一个线性替换,如果系数行列式

二次型及其应用

学生毕业论文课题名称二次型及其应用姓名兰海峰学号 1209401-23 学院数学与计算科学学院专业数学与应用数学指导教师陈暑波副教授 2016 年 3月 15日 ※※※※※※※※※ ※※ ※※ ※ ※ ※※※※※※※※※ 2016届学生毕业论文材料（四）

湖南城市学院本科毕业设计（论文）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业设计（论文），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本科毕业设计（论文）作者签名：二○一六年六月日

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1. 二次型基本理论 (2) 1.1 二次型的矩阵表示 (2) 1.2 矩阵的合同关系 (2) 1.3 二次型的标准型、规范型及其性质 (3) 1.4 正定二次型及其性质 (3) 2. 二次型的实例应用 (5) 2.1 二次型在初等数学中的应用 (5) 2.1.1 二次型与因式分解 (5) 2.1.2 二次型与不等式的证明 (7) 2.1.3 二次型在曲线上的应用 (7) 2.1.4 求解多元二次函数最值 (9) 2.1.5 二次型与条件极值 (12) 2.2 二次型在高等数学中的应用 (13) 2.2.1 二次型在曲面上的应用 (13) 2.2.2 二次型在最小二乘法上的应用 (14) 参考文献 (17) 致谢 (17) 附录 (18)

正定二次型

5..4 正定二次型一、定义：假设12(,)(),T n f x x x f X X AX == 为实二次型，T A A =，12(,)T n X x x x O =≠ ，则 1、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==> ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为正定二次型，矩阵A 称为正定矩阵。 2、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==< ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为负定二次型，矩阵A 称为负定矩阵。 3、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==≥ ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为半正定二次型，矩阵A 称为半正定矩阵。 4、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==≤ ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为半负定二次型，矩阵A 称为半负定矩阵。二、判定定理： 1、二次型12(,)n f x x x 正定A ?为正定矩阵12(,)()0T n f x x x f X X AX ?==> 12(,)n f x x x ? 的标准型222 1122n n d y d y d y +++ 中的系数0,1,2i d i n >= 12(,)n f x x x ? 的正惯性指数等于n 12(,)n f x x x ? 的规范性为222 12n y y y +++ A ?合同于单位矩阵E ?存在可逆矩阵C 使得T A C C =A ?的顺序主子式全大于零12(,)n f x x x ?- 负定。证明：（1）二次型222 1122n n d x d x d x +++ 正定0,1,2i d i n ?>= 事实上，如果0,1,2i d i n >= ，则对任意的12(,)n x x x O ≠ ， 22211220n n d x d x d x +++> ，即222 1122n n d x d x d x +++ 正定。反之，如果222 1122n n d x d x d x +++ 正定，则对于向量12(1,00),(0,10)(0,01)n εεε=== 有()0,1,2i i f d i n ε=>= （2）非退化现行替换不改变二次型的正定性

浅谈正定二次型的判定方法

浅谈正定二次型的判定方法摘要二次型与其矩阵具有一一对应关系,可以通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用.本文主要通过正定二次型的定义，实矩阵的正定性的定义，特征值法，矩阵合同以及相应的推导性质来判定二次型的正定性。关键词二次型矩阵正定性应用 1 引言在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题. 现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，下面将用二次型的性质来求函数的最值和证明不等式因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义. 2 二次型的相关概念 2.1 二次型的定义设p 是一个数域，ij a ∈p ，n 个文字1x ,2x ,…，n x 的二次齐次多项式 22121111212131311 (,,,)22n n n nn n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x a x x ===++++= ∑∑ ),...,2,1,,(n j i a a ji ij ==称为数域上p 的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实数时，f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即 12(,,...,)n f x x x =2221112...n n d x d x d x +++称f 为标准型. 定义1 在实数域上，任意一个二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范性 22222 121z z z z z p p r ++++---…………,其中正平方项的个数p 称为 f 的正惯性指数，负平方项的个数称为的f 负惯性指数.

正定矩阵的应用

关于正定矩阵应用的综述数学与应用数学专业数学1201班 XXX 指导老师 XXX 摘要：对正定矩阵的一些性质，给出了正定矩阵的几个应用，并对这些应用中结论的证明作了进一步的补充. 关键词：正定矩阵；可逆矩阵；正交矩阵； 1. 引言矩阵的思想很早就已经有了，至少可以追溯到汉代中国学者在解线性方程组时的应用上.而经过近几年的发展，矩阵论已经是代数学中的一个重要分支了，而正定矩阵因其特有的性质及应用也受到了人们的广泛关注. 正定矩阵是一类重要的矩阵，在二次型和欧式空间等方面有着较为广泛的应用，研究它的性质对拓展欧式空间有着极其重要的意义. 由正定矩阵的一些基本性质 , 并且运用这些性质从而得出正定矩阵的新性质. 二次齐次多项式是一类重要的多项式，在实际工作和理论研究中占据重要地位.它在数学的许多分支以及物理学中会经常用到，尤其是对于实二次型中的正定二次型，更占有特殊的地位.我们把正定二次型的系数矩阵叫做正定矩阵.因此，对于正定矩阵的讨论在矩阵理论方面或实际应用方面都有着极其重要的意义.本文主要是从正定矩阵的一些性质出发，并结合已有的知识将正定阵的性质作了进一步扩充及应用. 2. 正定矩阵的应用 2.1. 矩阵正定在运算中的性质应用定理1:若A 与B 都是同阶正定矩阵,则矩阵AB 的特征根都大于零. 证明：AB 都是正定矩阵,故有非奇异矩阵P Q 、,使,T T A P P B Q Q ==,于是,()()1T T T T T T T T A B P PQ Q Q QP PQ Q Q PQ PQ Q -?===因为T PQ 非奇异,故 () ()T T PQ PQ 是正定阵,从而与它相似的矩阵AB 的特征值都是正数. 应注意的是,定理1中仅指A B ?的特征值是大于零的,而由于AB 不一定是对称阵,所

二次型的正定性及其应用

毕业论文题目：二次型的正定性及其应用学生姓名：孙云云学生学号： 0805010236 系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别： 2012 届指导教师：李远华

目录摘要 (1) 前言 (1) 1 二次型的概念 (2) 1.1 二次型的矩阵形式 (2) 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (2) 2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (3) 3 二次型的应用 (8) 3.1 多元函数极值 (8) 3.2 线性最小二乘法 (12) 3.3 证明不等式 (14) 3.4 二次曲线 (16) 结论 (17) 致谢 (17) 参考文献 (17)

淮南师范学院2012届本科毕业论文1 二次型的正定性及其应用学生：孙云云指导老师：李远华淮南师范学院数学与计算科学系摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Sun YunYun Instructor: Li YuanHua Department of mathematics and Computational Science, Huainan Normal University Abstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves. Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.

二次型的性质及应用

唐山师范学院本科毕业论文题目二次型的正定性及其应用学生王倩柳指导教师张王军讲师年级 2012级数学专接本专业数学与应用数学系别数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系 2014 年5月

郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师张王军的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文（设计）作者（签名）： 2014 年月日

目录摘要 (1) 前言 (1) 1 二次型的历史及概念 (2) 1.1二次型的历史 (2) 1.1 二次型的矩阵形式 (2) 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3) 2 二次型的正定性判别方法及其性质 (3) 3 二次型的应用 (6) 3.1 多元函数极值 (6) 3.2 证明不等式 (12) 3.3 因式分解.................................. (错误!未定义书签。) 3.4 二次曲线 (13) 结论 (14) 参考文献 (15) 致谢 (14)

二次型的正定性及其应用学生：王倩柳指导老师：张王军摘要：二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Wang qianliu Instructor: Zhang wangjun Abstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of application. Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别