求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法样本

求解二次规划问题的拉格朗

日及有效集方法——最优化方法课程实验报告

学院: 数学与统计学院

班级: 硕2041班

姓名: 王彭

学号:

指导教师: 阮小娥

同组人: 钱东东

资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。

求解二次规划问题的拉格朗日

及有效集方法

摘要

二次规划师非线性优化中的一种特殊情形, 它的目标函数是二次实函数, 约束函数都是线性函数。由于二次规划比较简单, 便于求解( 仅次于线性规划) , 而且一些非线性优化问题能够转化为求解一些列的二次规划问题, 因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视, 称为求解非线性优化的一个重要途径。二次规划的算法较多, 本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一般约束凸二次规划的有效集方法。

关键字: 二次规划, 拉格朗日方法, 有效集方法。

【目录】

摘要................................................ 错误!未定义书签。

1 等式约束凸二次规划的解法.......................... 错误!未定义书签。

1.1 问题描述.................................... 错误!未定义书签。

1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题........ 错误!未定义书签。

1.2.1 拉格朗日方法的推导.................... 错误!未定义书签。

1.2.2 拉格朗日方法的应用.................... 错误!未定义书签。

2 一般凸二次规划问题的解法.......................... 错误!未定义书签。

2.1 问题描述.................................... 错误!未定义书签。

2.2 有效集法求解一般凸二次规划问题.............. 错误!未定义书签。

2.2.1 有效集方法的理论推导.................. 错误!未定义书签。

2.2.2 有效集方法的算法步骤.................. 错误!未定义书签。

2.2.3 有效集方法的应用...................... 错误!未定义书签。

3 总结与体会........................................ 错误!未定义书签。

4 附录.............................................. 错误!未定义书签。

4.1 拉格朗日方法的matlab程序................... 错误!未定义书签。

4.2 有效集方法的Matlab程序..................... 错误!未定义书签。

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1 等式约束凸二次规划的解法

1.1 问题描述

我们考虑如下的二次规划问题

???=+b Ax t s x c Hx x T T ..,21min (1.1) 其中n n R H ?∈对称正定, n m R A ?∈行满秩, n R x c,∈, m R b ∈。

1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题

1.2.1 拉格朗日方法的推导

首先写出拉格朗日函数:

)(2

1)L(x,b Ax x c Hx x T T T --+=λλ, (1.2) 令

0),(,0),(=?=?λλλx L x L x ,

得到方程组

,A -Hx T b Ax c -=--=λ 将上述方程组写成分块矩阵形式:

.0H ??????--=????????????--b c x A

A T λ(1.3) 我们称伤处方程组的系数矩阵

??????0A

-A -H T 为拉格朗日矩阵。

下面的定理给出了线性方程组(1.1)有唯一解的充分条件。

定理1 设n m R H ?∈对称正定, n m R A ?∈行满秩。若在问题(1.1)的解*x 处满

足二阶充分条件, 即

,0,0,,0d T =≠∈?>Ad d R d Hd n

则线性方程组(1.4)的系数矩阵非奇异, 即方程组( 1.4) 有唯一解。其中, 方程组(1.4)为( 1.1) 对应的齐次方程组:

00A -H T =????????????-v d A

( 1.4) . 下面, 我们来推导方程(1.3)的求解公式。根据定理1, 拉格朗日矩阵必然是非奇异的, 故可设其逆为

??????--=??????C B B G T 0A

-A -H T . 由恒等式

????=??????--????????m n

m m n n T I I C B B G 000A -A -H T 可得 .,0,

0,A HG T m T n m m n T T n I AB AG C A HB I B ==-=--=+??

于是由上述四个等式得到矩阵C B,G,的表示式

)

7.1(.)()6.1(,

)()5.1(,

)(H G 111111111-1----------==-=T T T T A AH C AH A AH B AH A AH A H 因此, 由(1.3)可得解得表示式

)8.1(,x ??????-+-=??????--??????--=??????Cb Bc b B Gc b c C B B G T T λ

其中, C B,G,分别由(1.5),(1.6),(1.7)给出。下面给出x 和λ的另一种等价表示式。设k x 是问题(1.1)的任一可行点, 即k x 满足b =k Ax 。而在此点处目标函数的梯度为c Hx x f k k +=?=)(g k , 利用k x 和k g , 可将(1.8)改写为

二次规划问题

序列二次规划法求解一般线性优化问题: 12min (x) h (x)0,i E {1,...,m }s.t.(x)0,i {1,...,m } i i f g I =∈=?? ≥∈=? (1.1) 基本思想：在每次迭代中通过求解一个二次规划子问题来确定一个下降方向，通过减少价值函数来获取当前迭代点的移动步长，重复这些步骤直到得到原问题的解。 1.1等式约束优化问题的Lagrange-Newton 法考虑等式约束优化问题 min (x) s.t.h (x)0,E {1,...,m} j f j =∈= (1.2) 其中:,n f R R →:()n i h R R i E →∈都为二阶连续可微的实函数. 记1()((),...,())T m h x h x h x =. 则(1.3)的Lagrange 函数为： 1(,)()*()()*()m T i i i L x u f x u h x f x u h x ==-=-∑ （1.3）其中12(,,...,)T m u u u u =为拉格朗日乘子向量。约束函数()h x 的Jacobi 矩阵为：1()()((),...,())T T m A x h x h x h x =?=??. 对（1.3）求导数，可以得到下列方程组： (,)()A()*(,)0(,)()T x u L x u f x x u L x u L x u h x ??? ???-?===?????-???? （1.4）现在考虑用牛顿法求解非线性方程（1.4）. (,)L x u ?的Jacobi 矩阵为： (,)()(,)() 0T W x u A x N x u A x ?? -= ?-??

求解二次规划问题

实验2 求解二次规划问题 LINDO 可以求解二次规划（QP ）问题。例如： ?? ? ??<=+>++-+=7.011.19.02.1..4.03min 22y y x y x t s y xy y x f 由LAGRANGE 乘子法，得 ()()()7.011.19.02.14.0322-+-++-+-+-+y C y x B y x A y xy y x ，分别对x 、y 求偏导，得到两个约束条件： 4 .09.020 2.16->++-->+--C B A x y B A y x 在LINDO 中输入下列命令： MIN X+Y+A+B+C ST 6X-Y-1.2A+B>0 2Y-X-0.9A+B+C>-0.4 1.2X+0.9Y>1.1 X+Y=1 Y<0.7 END QCP 4 注释：MIN X+Y+A+B+C 一句只代表变量的出场顺序； QCP 4 一句代表前4行不是原问题真正的约束，原问题真正的约束从第5行开始。 LINDO 运行后输出以下结果：STATUS OPTIMAL QP OPTIMUM FOUND AT STEP 7 OBJECTIVE FUNCTION V ALUE 1) 1.355556 V ARIABLE V ALUE REDUCED COST X 0.666667 0.000000 Y 0.333333 0.000000

A 10.888889 0.000000 B 9.400000 0.000000 C 0.000000 0.366667 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -0.666667 3) 0.000000 -0.333333 4) 0.000000 -10.888889 5) 0.000000 9.400000 6) 0.366667 0.000000 NO. ITERATIONS= 7 这个结果说明：LINDO求解此二次规划问题（QP）共用7步迭代得到最优解fmin = 1.355556，X = 0.666667，Y = 0.333333。第5个松弛变量取值0.366667，其它松弛变量都取0值，即，这个最优解使得前4个约束条件都取等号；其对偶问题的最优解（影子价格）DUAL PRICES为Y1 = -0.666667，Y2 = -0.333333，Y3 = -10.888889，Y4 = 9.4，Y5 = 0。农户生产的优化模型本文内容取自生产实践，豫东一个普通农户，该农户所在地区的农业生产条件、气候状况属于中等。下列各变量的假设均建立在农村一般农业生产条件、气候状况之上。假设（面积单位：亩）： X1 = 用于完成上缴国家任务的小麦一年总种植面积 X2 = 用于生产、生活的小麦一年总种植面积 X3 =用于生产、生活的油菜一年总种植面积 X4 =用于生产、生活的红薯一年总种植面积 X5 =用于完成上缴国家任务的棉花一年总种植面积 X6 =用于生产、生活的棉花一年总种植面积 X7 =用于完成上缴国家任务的玉米一年总种植面积 X8 =用于生产、生活的玉米一年总种植面积 X9 =用于生产、生活的芝麻一年总种植面积 X10 =用于生产、生活的花生一年总种植面积 X11 =用于生产、生活的大豆一年总种植面积 X12 =用于生产、生活的西瓜一年总种植面积 X13 =用于生产、生活的番茄一年总种植面积 X14 =用于生产、生活的白菜一年总种植面积 X15 =用于生产、生活的辣椒一年总种植面积 X16 =用于生产、生活的茄子一年总种植面积

拉格朗日乘子法约束最优化

一、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。 “拉格朗日乘子法约束最优化” 拉格朗日乘子法求约束最优化问题实例。采用拉格朗日乘子法如下最优化问题： )(),(min 212121x x x x x l +++=λλ。在MA TLAB 中编写函数ex1208.m 来进行求解，具体代码如下所示。 %%%ex1208.m 拉格朗日乘子法求最优化解 x=zeros(1,2) %用syms 表示出转化后的无约束函数 syms x y lama f=x+y+lama*(x^2+y^2-2); %分别求函数关于x 、y 、lama 的偏导 dx=diff(f,x); dy=diff(f,y); dlama=diff(f,lama); %令偏导为零，求解x 、y xx=solve(dx,x); %将x 表示为lama 函数 yy=solve(dy,y); %将y 表示为lama 函数 ff=subs(dlama,{x,y},{xx,yy}); %代入dlama 得关于lama 的一元函数 lamao=solve(ff); %求解得lama0 xo=subs(xx,lama,lamao) %求得取极值处的x0 yo=subs(yy,lama,lamao) %取极值处的y0 fo=subs(f,{x,y,lama},{xo,yo,lamao}) %取极值处的函数值程序运行结果为： xo= 1 -1 yo= 1 -1 fo= 2 -2 流程图：

二、编程解决以下科学计算和工程实际问题。、 1、利用MA TLAB提供的randn函数声称符合正态分布的10 5随机矩阵A, 进行如下操作：（1）A各列元素的均值和标准方差。（2）A的最大元素和最小元素。（3）求A每行元素的和以及全部元素之和。（4）分别对A的每列元素按升序、每行元素按降序排序。代码： clear all;close all; clc; A=randn(10,5); meanA=mean(A); %(1)A各列元素的均值 stdA=std(A); %(1)A各列元素的标准方差 maxA=max(max(A)); %(2)A的最大元素 minA=min(min(A)); %(2)A的最小元素 rowsumA=sum(A,2); %(3)A每行元素的和 sumA=sum(rowsumA); %(3)A全部元素的和 sort1=sort(A); %(4)A的每列元素按升序排列 sort2=sort(A,2,’descend’); %(4)A的每列元素按降序排列运行结果：因生成矩阵随机，故无固定结果流程图：

多元函数求极值(拉格朗日乘数法)

第八节多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。教学重点：多元函数极值的求法。教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。教学内容：一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 ),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <，则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >，则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。例1 函数2 243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面 2 243y x z +=的顶点。

例２函数2 2y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面2 2y x z +-=的顶点。例３函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： ),(,0),(0000==y x f y x f y x 证不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x 类似地可证 ),(00=y x f y

二次规划问题

9.2.4 二次规划问题 9.2.4.1 基本数学原理如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这种规划为二次规划。其数学模型为：其中，H, A,和Aeq为矩阵,f, b, beq, lb, ub,和x为向量。 9.2.4.2 相关函数介绍 quadprog函数功能：求解二次规划问题。语法： x = quadprog(H,f,A,b) x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,fval] = quadprog(...) [x,fval,exitflag] = quadprog(...) [x,fval,exitflag,output] = quadprog(...) [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(...) 描述： x = quadprog(H,f,A,b) 返回向量x，最小化函数1/2*x'*H*x + f'*x ，其约束条件为A*x <= b。 x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)仍然求解上面的问题，但添加了等式约束条件 Aeq*x = beq。 x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub)定义设计变量的下界lb和上界ub，使得lb <= x <= ub。 x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0)同上，并设置初值x0。 x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0,options)根据options参数指定的优化参数进行最小化。 [x,fval] = quadprog(...)返回解x处的目标函数值fval = 0.5*x'*H*x + f'*x。 [x,fval,exitflag] = quadprog(...)返回exitflag参数，描述计算的退出条件。 [x,fval,exitflag,output] = quadprog(...)返回包含优化信息的结构输出output。 [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(...)返回解x处包含拉格朗日乘子的 lambda参数。变量：各变量的意义同前。

求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法

求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法 ——最优化方法课程实验报告学院：数学与统计学院班级：硕2041班姓名：王彭学号：3112054028 指导教师：阮小娥同组人：钱东东

求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法摘要二次规划师非线性优化中的一种特殊情形，它的目标函数是二次实函数，约束函数都是线性函数。由于二次规划比较简单，便于求解（仅次于线性规划），并且一些非线性优化问题可以转化为求解一些列的二次规划问题，因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视，称为求解非线性优化的一个重要途径。二次规划的算法较多，本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一般约束凸二次规划的有效集方法。关键字：二次规划，拉格朗日方法，有效集方法。 - 1 -

《最优化方法》课程实验报告 - 2 - 【目录】摘要........................................................................................................................... - 1 -1 等式约束凸二次规划的解法............................................................................... - 3 - 1.1 问题描述.................................................................................................... - 3 - 1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题............................................ - 3 - 1.2.1 拉格朗日方法的推导...................................................................... - 3 - 1.2.2 拉格朗日方法的应用...................................................................... - 4 - 2 一般凸二次规划问题的解法............................................................................... - 5 - 2.1 问题描述.................................................................................................... - 5 - 2.2 有效集法求解一般凸二次规划问题........................................................ - 6 - 2.2.1 有效集方法的理论推导.................................................................. - 6 - 2.2.2 有效集方法的算法步骤.................................................................. - 9 - 2.2.3 有效集方法的应用........................................................................ - 10 - 3 总结与体会......................................................................................................... - 11 - 4 附录..................................................................................................................... - 11 - 4.1 拉格朗日方法的matlab程序................................................................. - 11 - 4.2 有效集方法的Matlab程序 .................................................................... - 11 -

拉格朗日乘数法

§4 条件极值 (一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． (二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法．基本要求： (1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法． (2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给较好学生． —————————————————————— 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,,，则水箱容积 xyz V = 焊制水箱用去的钢板面积为 xy yz xz z y x S ++=)(2),,( 这实际上是求函数 ),,(z y x S 在 xyz V = 限制下的最小值问题。这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件 )(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下，求函数 ),,,(21n x x x f 的极值条件极值与无条件极值的区别条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。例如，求马鞍面 12 2+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形（x31马鞍面）从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。

二次规划起作用集方法

《非线性规划》课程设计题目：二次规划起作用集方法院系：数理学院应用数学系专业：数学与应用数学姓名学号：119084112 数112 指导教师：日期：2014年6月19日

摘要二次规划（QP）是指目标函数为决策变量x的二次函数，而约束函数是线性函数的非线性规划.二次规划规划问题是最简单的一类非线性约束优化问题，并且某些非线性规划可以转化为求解一系列二次规划问题，因此二次规划的求解方法也是求解非线性规划的基础之一. 关键词：二次规划；起作用集；乘子向量 Abstract Quadratic programming (QP) refers to the objective function for the quadratic function of the decision variables x, and the constraint function is a linear function of nonlinear programming, quadratic programming problem is the simplest nonlinear constraint optimization problems, and some nonlinear programming can be transformed into solving a series of quadratic programming problem, so the solving methods of quadratic programming is also one of the basis of solving nonlinear programming. Keywords: Quadratic programming; Work set; Multiplier vector

流体运动描述方法(欧拉法和拉格朗日法)

在流体力学里，有两种描述流体运动的方法：欧拉（Euler)和拉格朗日（Lagrange)方法。欧拉法描述的是任何时刻流场中各种变量的分布，而拉格朗日法却是去追踪每个粒子从某一时刻起的运动轨迹。在一个风和日丽的午后，YC坐在河岸边看河水流，恩，她总是很闲。如果YC的位置不动，她在自己目光能及的河面上划出一块区域，数某一时刻经过的船只数，如果可能的话，再数数经过的鱼儿数；当然，如果手头有些仪器，她可以干干正事，比如测测水流的速度、水的压力、水的温度等，由此得到每一时刻这一河流区域水流各物理量的分布。那么YC是在用欧拉方法研究流体。这时，YC忽然看到一条船上坐着她的初恋情人，虽然根据陈安对初恋情人的定义，YC根本没有初恋情人。现在假设她有，天哪，他们有20年没见面了，他还欠她20元呢，不能放了他。于是YC记下第一眼看到初恋情人的时间，并迅速测出此时船的位置和速度，然后撒腿追去。假设这条船是顺水而下，船的速度即是水流的速度。每隔一个时间点，她便测一下船的速度和位置。为了曾经的爱情，还有那不计利息的20元，她越过山岗，淌过小溪，直到那条船离开了她的视线。于是，她得到了这条船在河流中的运动轨迹。YC此时所用的研究方法就是拉格朗日法。 Understood? 而在一些复杂的两相流动问题里，比如粒子在流场中运动的问题，我们关注的是粒子的运动轨迹，因此，我们可以用拉格朗日方法追踪粒子在流场中的运动，同时，用欧拉方法来计算流场的各物理量。在许多工程领域，都有纤维在流场中运动的问题。如果将纤维在流场中的运动视为两相流动，必须为纤维作一些改变，因为它不同于一般的刚性粒子。它细长，细长到你无法用一个粒子来代表一根纤维；它柔，柔得自己的每一部分可以相对于其他部分发生变形。我在《柔性纤维的妖娆运动》里，为slender and flexible纤维建立了模型，把纤维离散成一个个粒子，并在粒子之间建立了弹性或粘弹性的连接。为了研究纤维在流场中运动的问题，我们首先用欧拉法来研究流场，通过求解Navier-Stokes方程，得到流场中每一时刻每一位置的各个物理量。根据这些物理量，我们算出每个纤维粒子在这一时刻这一位置流场中所受的流体动力（hydrodynamic force),则可以算出每个纤维粒子的运动。假设一根纤维离散为100个粒子，算出每个粒子的运动，将每一时刻这些粒子的位置连接起来，就回复成一根纤维的运动轨迹了。所以说，我们是用拉格朗日方法在追踪纤维的运动轨迹，同时还可以得到变形纤维的妖娆模样呢！我在前一篇博文中说：“在某年某月某一天，两个毫无关系的人，走到了同一个学校、同一个班级，并从此没再分开。这其实是个很危险的旅程，如果一个人早一年，另一个人晚一年；又或许，如果一个人开始想去一个大学，却在最后改变了主意。这样，两个人就失去了相识的初始条件和边界条件，陪在他们身边的，就会是另外的人了。”你们看出来了吗？这里其实用的是拉格朗日方法，因为我是在追踪人的轨迹。如果我和他不能在某一时空同时出现，那么我和他就不可能相遇、相爱、结为夫妻，因为他的轨迹和我是不同的。但是，即使在1987年9月1日，我没有在中国纺织大学的纺织871班级里遇到他，那么我也可能遇见并爱上另一个男生，因为在这样一个时空区域里，总会有人出现。这就是欧拉方法，我不去追踪他，我只坐在我的时空里，静静等待属于我的那个人。也就是说，获得爱情有两种方法。一种是拉格朗日法，你拼命去追踪你爱的人；另一种是欧拉法，你静静地坐在你的时空里，等待属于你的那个人。那么，哪种方法更能获得幸福呢？

二次规划解法

2、对于二次规划模型求解：问题1：先求出ij c ，结果如下表： 330.7 320.3 300.2 258.6 198 180.5 163.1 181.2 224.2 252 256 266 281.2 288 302 370.7 360.3 345.2 326.6 266 250.5 241 226.2 269.2 297 301 311 326.2 333 347 385.7 375.3 355.2 336.6 276 260.5 251 241.2 203.2 237 241 251 266.2 273 287 420.7 410.3 395.2 376.6 316 300.5 291 276.2 244.2 222 211 221 236.2 243 257 410.7 400.3 380.2 361.6 301 285.5 276 266.2 234.2 212 188 206 226.2 228 242 415.7 405.3 385.2 366.6 306 290.5 281 271.2 234.2 212 201 195 176.2 161 178 435.7 425.3 405.2 386.6 326 310.5 301 291.2 259.2 237 226 216 198.2 185 162 由于二次规划模型中约束条件151 {0}[500,],1,2,7,ij i j X s i =∈=∑的存在，必须加以处理。引进0-1变量15,...2,1,=i n i ，则 151{0}[500,],1,2,7,ij i j X s i =∈=∑可以等价转换为下面的三个约束条件： i j ij s X ≤∑=151 i j ij Mn X ≤∑=151 i j ij n X *500151≥∑= 其中M 为一个很大数。这样就可以得到下面的lingo 程序： sets : s/1..7/:sx; a/1..15/:z,y,n,t; links(s,a):c,x; endsets

改进求解凸二次规划中的Lemke算法.

改进求解凸二次规划中的Lemke 算法张璐辽宁工程技术大学理学院,辽宁阜新(123000 E-mail:zhanglu85517@https://www.360docs.net/doc/e37358835.html, 摘要:通过对经典的Lemke 互补转轴算法求解凸二次规划问题的分析,找到了Lemke 算法的局限性。本文在Lemke 算法求解线性互补问题的基础上修正了经典的Lemke 算法的迭代过程,提出了一种改进的Lemke 算法,通过算例证明了算法能有效克服解的局限性,减少了凸二次规划问题的迭代过程,提高了算法的效率。关键词:非线性规划;凸二次规划;线性互补问题;Lemke 算法 1.引言二次规划问题是最简单而又最基本的非线性规划问题,其目标函数是二次函数,约束是线性等式或不等式。对于二次规划问题,可行域是凸集,所以当目标函数是凸函数时,任何K-T 点都是二次规划问题的极小点。研究二次规划问题的算法不仅仅是为了解决二次规划问题本身,同时也是为了更好的求解其他非线性规划问题。因为大多数最优化方法是从二次函数模型导出的,这种类型的方法在实际中常常是有效的,其主要是因为一般函数的极小点附近常可用二次函数很好地进行近似。由于二次规划是特殊的非线性规划,因此求解非线性规划问题的方法均可用于二次规划问题的求解。同时,由于二次规划本身的特殊性,对它的求解可以采用一些更有效的方法[1]。因此,不论从数学角度还是应用角度来看,二次规划问题的研究都具有重要意义。到目前为止,已经出现了很多求解二次规划问题的算法,并且现在仍有很多学者在从事这方面的研究工作。所以,需要我们对现存的有效的求解二次规划问题的算法进行改进,得到新的求解算法来克服某些算法的缺点,并且给出具体的实例显示该算法的有效性。本文主要研究凸二次规划的求解算法,以及线性互补问题的性质等相关问题。对Lemke 算法进行进一步研究,对它可能出现退化的原因和迭代过程以及局限性进一步分析。本文通过分析经典的Lemke 互补转轴算法求解含有等式

二次规划实验举例

最优化算法实验指导书 2.二次规划求解例1 求解下面二次规划问题 21212221x 6x 2x x x x 2 1)x (f min ---+= sub.to 2x x 21≤+ 2x 2x 21≤+- 3x x 221≤+ 21x 0,x 0≤≤ 解：x f x H x 2 1)x (f '+'= 则??????--=2111H ，?? ????--=62f ，??????=21x x x 在MA TLAB 中实现如下： >> H = [1 -1; -1 2] ; >> f = [-2,-6]; >> A = [1 1; -1 2; 2 1]; >> b = [2; 2; 3]; >> lb = zeros(2,1); >> [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],lb) Warning: Large-scale method does not currently solve this problem formulation, switching to medium-scale method. > In C:\MATLAB6p5\toolbox\optim\quadprog.m at line 213 Optimization terminated successfully. x = 0.6667 1.3333 fval = -8.2222 exitflag = 1

output = iterations: 3 algorithm: 'medium-scale: active-set' firstorderopt: [] cgiterations: [] lambda = lower: [2x1 double] upper: [2x1 double] eqlin: [0x1 double] ineqlin: [3x1 double] 例 1123 2212123min 246y x x x x x =+--- ..s t 1232131232 3 4 ,,0x x x x x x x x x +≤+≤+≤≥ （1）标准形式：由 2212123246y x x x x x =+--- 22121231(22)2462 x x x x x =+--- 知 200020000H ?? ?= ? ??? 为半正定矩阵，约束不必改动。（2）在编辑窗口建立一个存放各种信息的M 文件，在MA TLAB 中实现如下： >> H = [2 0 0;0 2 0;0 0 0]; >> f = [-2 -4 -6]; >> A = [1 1 0; 0 1 1; 1 0 1]; >> b = [2; 3; 4]; >> C =[]; >> d=[]; >> xm=[0; 0; 0];

求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法样本

求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法——最优化方法课程实验报告学院: 数学与统计学院班级: 硕2041班姓名: 王彭学号: 指导教师: 阮小娥同组人: 钱东东

资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法摘要二次规划师非线性优化中的一种特殊情形, 它的目标函数是二次实函数, 约束函数都是线性函数。由于二次规划比较简单, 便于求解( 仅次于线性规划) , 而且一些非线性优化问题能够转化为求解一些列的二次规划问题, 因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视, 称为求解非线性优化的一个重要途径。二次规划的算法较多, 本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一般约束凸二次规划的有效集方法。关键字: 二次规划, 拉格朗日方法, 有效集方法。

【目录】摘要................................................ 错误!未定义书签。 1 等式约束凸二次规划的解法.......................... 错误!未定义书签。 1.1 问题描述.................................... 错误!未定义书签。 1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题........ 错误!未定义书签。 1.2.1 拉格朗日方法的推导.................... 错误!未定义书签。 1.2.2 拉格朗日方法的应用.................... 错误!未定义书签。 2 一般凸二次规划问题的解法.......................... 错误!未定义书签。 2.1 问题描述.................................... 错误!未定义书签。 2.2 有效集法求解一般凸二次规划问题.............. 错误!未定义书签。 2.2.1 有效集方法的理论推导.................. 错误!未定义书签。 2.2.2 有效集方法的算法步骤.................. 错误!未定义书签。 2.2.3 有效集方法的应用...................... 错误!未定义书签。 3 总结与体会........................................ 错误!未定义书签。 4 附录.............................................. 错误!未定义书签。 4.1 拉格朗日方法的matlab程序................... 错误!未定义书签。 4.2 有效集方法的Matlab程序..................... 错误!未定义书签。

拉格朗日分析方法

1 摘要幻灯片1 z 拉格朗日对偶 z 拉格朗日对偶的强度 z 拉格朗日对偶的解 2 拉格朗日对偶幻灯片2 z 考虑 d Dx b Ax t s x c Z IP ≥≥′=..min X 是整数 z {}d Dx eger x X ≥?=|int z 在X 中求最优情况能有效的求解 2．1 公式幻灯片3 z 考虑 ()()X x t s Ax b x c Z ∈?′+′=..min λλ z 对固定的λ，问题得到有效的求解 z ()()() i i m i Ax b x c Z ?′+′==λλ,...,1min z ()λZ 是凹的，肯分段的线性的 2．2 弱对偶性幻灯片4 如果(有最优解且)D ,0≥λ，则()IP Z Z ≤λ z 证明：是(的一个最优解 *x )D z 则因此 0*≤?Ax b () IP Z x c Ax b x c =′≤?′+′***λ z 因为()() ,,* **Ax b x c Z X x ?′+′≤∈λλ，因此()IP Z Z ≤λ

2．3 关键问题 z 考虑拉格朗日对偶：幻灯片5 ()0 ..max ≥=λλt s Z Z D z IP D Z Z ≤z 我们需要求一个分段的线性凹函数的最大值幻灯片6 3 LD 的强度 3．1 主要定理幻灯片7 {.|int d Dx eger x X ≥?=}，注意到()X CH 是多面体，则 () X CH x b Ax t s x c Z D ∈≥′=..min 3．2 例子幻灯片8 15 6323521..3min 2121212121≤+≥+≤+??≥??x x x x x x x x t s x x ???≥0,21x x 整数

二次型及其矩阵表示

第六章二次型第一讲二次型及其矩阵表示、标准形教学目的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩阵表示方法. 教学重点与难点：二次型的矩阵表示教学计划时数：2课时教学过程：一、二次型的概念定义1：含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 22 2 121112221212112323221,1(,, ,)22222n nn n n n n n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x x a x x --=+++++ ++++++ （1）称为二次型. 附：1、当ij a 为复数时,f 称为复二次型；当ij a 为实数时,f 称为实二次型； 2、ij a 可以等于0，即（1）式中的各项都存在. 例1 ()2 2 2 12312313,,2454f x x x x x x x x =++-；()123121323,,f x x x x x x x x x =++ 都为实二次型；二、二次线性与对称矩阵在（1）式中,取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=令12(,,,)T n x x x x =，则（1）式可化为 11121121 222212121 2 (,,,)(,, ,).n n T n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x x Ax a a a x ???? ??? ??? == ??? ??????? 称12(,, ,)T n f x x x x Ax =为二次型的矩阵形式，记为()T f x x Ax =，其中实对称矩阵A 称为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，即()()R A R f =.

拉格朗日插值法知识讲解

拉格朗日插值法

5.2 拉格朗日（Lagrange）插值可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，例如，多项式是无穷光滑的，容易计算它的导数和积分，故常选用代数多项式作为插值函数。 5.2.1 线性插值问题5.1给定两个插值点其中，怎样做通过这两点的一次插值函数？过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。如图5.1所示。图5.1 线性插值函数在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式构造通过两点的一条直线。下面先用待定系数法构造插值直线。设直线方程为，将分别代入直线方程得：当时，因，所以方程组有解，而且解是唯一的。这也表明，平面上两个点，有且仅有一条直线通过。用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推广，故这种构造方法通常不宜采用。当时，若用两点式表示这条直线，则有：

（5.1）这种形式称为拉格朗日插值多项式。，，称为插值基函数，计算，的值，易见（5.2）在拉格朗日插值多项式中可将看做两条直线，的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位都是平等的。拉格朗日插值多项式型式免除了解方程组的计算，易于向高次插值多项式型式推广。线性插值误差定理5.1记为以为插值点的插值函数，。这里，设一阶连续可导，在上存在，则对任意给定的，至少存在一点，使（5.3）证明令，因是的根，所以可设对任何一个固定的点，引进辅助函数：则。由定义可得，这样至少有3个零点，不失一般性，假定，分别在和上应用洛尔定理，可知在每个区间至少存在一个零点，不妨

《线性代数》教学大纲-哈尔滨理工大学

《线性代数》教学大纲 Lin ear Aigebra 课程编号：070A1060 适用专业：理工管各专业学时：40 学分：3 一、内容简介内容包括：行列式，矩阵的运算，向量的线性相关性，线性方程组的基本理论及解法，特征值与特征向量的概念与计算，矩阵的相似对角阵及用正交变换化对称矩阵为对角阵的方法，化二次型为标准形，线性空间与线性变换。二、本课程的目的和任务线性代数是高等学校理工科和经济学科等有关专业的一门重要基础课。它不但是其它数学课程的基础，也是各类工程及经济管理课程的基础。另外，由于计算机科学的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决，于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。三、本课程与其它课程的关系本课程的先修课是高等数学中的“空间解析几何与向量代数”部分。作为基础课，它是许多后继课，如计算方法、数理统计、运筹学以及其他专业基础课和专业课的基础。随着对教学内容的改革，本课程可以与高等数学中的某些部分结合起来讲授，如向量代数；又可在多元函数的微分学中介绍其部分应用，如二次型的正定性。四、本课程的基本要求通过本课程的学习，要求学生熟练掌握行列式的计算，矩阵的初等变换，矩阵秩的定义和计算，禾U用矩阵的初等变换求解方程组及逆阵，向量组的线性相关性，禾U用正交变换化对称矩阵为对角形矩阵等有关基础知识，并具有熟练的矩阵运算能力和利用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继课及进一步扩大知识面奠定必要的数学基础。具体要求如下： n阶行列式的定义第一讲二阶与三阶行列式、全排列及其逆序数、目的：理解n阶行列式的定义。要求：掌握二阶、三阶行列式的计算，会求全排列的逆序数，利用定义计算简单的行列式。第二讲对换、行列式的性质目的：理解n阶行列式的性质。

Quadprog二次规划问题

Quadprog 什么是二次规划？如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这样规划为二次规划。其数学模型为： ?? ???≤≤=≤+ub x lb beq x Aeq b Ax t s x f Hx x T T x ·..21min ，式中，Ｈ,Ａ，和Aeq 为矩阵 f,ｂ, beq, lb, ub , 和x 为向量。利用quadprog 函数求解二次规划问题，其调用格式为： ● x=quadprog(H,f,A,b) 这个函数的功能是：用来解最简单，最常用的模型： x f Hx x T T +2 1 Subject to Ax ≤b ● x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) 仍然求解上面的问题，但添加了等式约束条件Aeq*x=beq 。 ● x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,) 定义设计变量的下届Ib 和上界ub,使得lb<=x<=ub 。 ● x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0) 同上，并设置初值x0。 ● x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0,options) 根据options 参数指定的优化参数进行最小化。 ● [x,fvaI]=quadprog(H,f,A,b) 这个函数的功能是，返回解x 处的目标函数值fval=x f Hx x T T +2 1 ● [x,fvaI,exitfIag]=quadprog(H,f,A,b) 返回exitfIag 参数，描述计算的退出条件。 ● [x,fvai,exitfIag,output]=quadprog(H,f,A,b) 返回包含优化信息的结构输出output,其中包括：迭代次数，使用的算法，共轭梯度迭代的使用次数等信息。 ● [x,fvaI,exitfIag,output,Iambda]=quadprog(H,f,A,b) 返回解x 处包含拉格朗日乘子的lambda 参数。其中，LAMBDA.ineqlin 对应于线性不等式，LAMBDA.eqlin 对应于线性等式约束。