高等代数(多项式)

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第一章多项式习题解答1.用g( x)除f ( x)，求商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) x3 3x2 x 1, g (x) 3x2 2x 1 3x 2 2x 1 x3 3x 2 x 1 1 x 7 x3 2 x2 1 x 3 9 3 3 7 x2 4 x 1 3 3 7 x2 14 x 7 3 9 9 26 x 2 9 9 1 x 7 , r ( x) 26 x 2 q( x) 9 9 . 3 9 2）f ( x) x4 2x 5, g(x) x2 x 2 x2 x 2 x 4 0x3 0 x2 2 x 5 x2 x 1 x4 x3 2x2 x3 2x2 2x x3 x2 2x x2 4x 5 x2 x 2 5x 7 q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 . 2.m, p, q 适合什么条件时，有 1）x2 mx 1| x3 px q x 2 mx 1 x3 0 x2 px q x m x3 mx2 x mx2 ( p 1) x q m x2 m2 x m (m2 p 1) x ( q m) 当且仅当 m2 m 时x2 1| x3 px q .

本题也可用待定系数法求解.当x2 mx 1| x3 px q 时，用 x2 mx 1 去除x3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为x q .于是有x3 px q ( x q)( x2 mx 1) x3 (m q)x2 (mq 1) x q . 因此有 m2 p 1 0, q m . 2）x2 mx 1| x4 px2 q 由带余除法可得 x4 px2 q ( x2 mx 1)( x2 mx p 1 m2 ) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 当且仅当 r ( x) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 0 时 x2 mx 1 | x4 px2 q .即 m(2 p m2 ) 0 ，即m 0, 或 p m2 2, q 1 p m2 0 q 1 p, q 1. 本题也可用待定系数法求解 .当x2 mx 1| x4 px2 q 时，用 x2 mx 1 去除x4 px2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为x2 ax q .于是有 x4 px2 q (x 2 ax q)( x2 mx 1) x4 (m a) x3 (ma q 1) x2 (a mq) x q. 比较系数可得 m a 0, ma q 1 p, a mq 0. 消去 a 可得 m 0, 或p m2 2, q 1 q 1. p, 3.求g( x)除f ( x)的商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) 2x5 5x3 8x , g (x) x 3; 解：运用综合除法可得 3 2 0 5 0 8 0 6 18 39 11 7 327 2 6 1 3 39 109 327 商为 q(x) 2x4 6x3 13x2 39 x 109 ，余式为 r (x) 327.

高等代数多项式习题解答

第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9731929269 791437134373 132131232223232 ----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 1 752 5 422225200222223232 342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 m x m q x p m m x m x m q x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+) ()1()1(01 222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.

本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 )1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--0 10)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或???==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 )1)((2224++++=++mx x q ax x q px x .)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++= 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f 解：运用综合除法可得 327 1093913623271170 83918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r

高等代数复习题精选

第一章多项式自测题 一、填空题 1. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的一个最大公因式为 ． 2. 1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x --=++ ++∈,若|()x f x ,则0a = ;若 1()x f x =是的根,则012n a a a a +++ += . 3.若((),())1f x f x x '=+,则 是()f x 的 重根. 4.44x -在有理数域,实数域,复数域上的标准分解式为 , , . 二、选择题(以下所涉及的多项式,都是数域P 上的多项式) 1.设()|(),()|(),()0,()()x f x x g x x g x f x ???≠且与不全为0,则下列命题为假的是( ). A.()|(()()()())x u x f x v x g x ?+ B.deg(())min{deg (),deg(())}x f x g x ?≤（deg 意思为次数） C.若存在(),()u x v x ,使()()()()(),u x f x v x g x x ?+=则((),())()f x g x x ?= D.若|(),x a x ?-则()()0f a g a == 2.若((),())1f x g x =,则以下命题为假的是( ). A.23((),())1f x g x = B.1))()(),((=+x g x f x f C.()|()()g x f x h x 必有()|()g x h x D. 以上都不对 3.下列命题为假的是( ). A.在有理数域上存在任意次不可约多项式 B.在实数域上3次多项式一定可约 C.在复数域上次数大于0的多项式都可约 D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根 4.下列命题为真的是( ). A.若2()()p x f x ,则()()p x f x 是二重因式 B.若()(),(),()p x f x f x f x '''是的公因式,则()p x 的根是()f x 的三重根 C.()f x 有重根(),()f x f x ''?有一次因式

高等代数多项式习题解答(供参考)

第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1. 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--010)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或? ??==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p

习题与复习题详解(线性空间)----高等代数

习题5. 1 1． 判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 答 是． 因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R +⊕==∈∈o 其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈. 因为,a b R a b ab R + + ?∈?⊕=∈, ,R a R a a R λλλ++?∈∈?=∈o , 所以R + 对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕; (2) ()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕; (3) R +中存在零元素1, ?a R +∈, 有11a a a ⊕=?=; (4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==o ; (6)()()a a a a a λ μμλμλμλλμ??==== ??? o o o o ; (7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕o o o ; 所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为 按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否. A B B A ∴⊕⊕与不一定相等. 故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ?中，{}2222/0,,W A A A P W P ??==∈判断是否是的子空间.

高等代数作业 第一章 多项式答案复习进程

高等代数作业第一章多项式答案

高等代数第一次作业 第一章 多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则 。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则 。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则 。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ）√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （ ）√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 （ ）× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是（ ）B A 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x 四、计算题 数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1? 解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题 试证用21x -除()f x 所得余式为 2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。 证明：设余式为ax b +，则有2()(1)()f x x q x ax b =-++ (1),(1)f a b f a b =+-=-+ 求得a =2)1()1(,2)1()1(-+=--f f b f f 高等代数第二次作业

高等代数多项式试题库(精品文档)

§1 数域[达标训练题] 一 填空题 1．数集{0}对 运算封闭. 2．自然数集N 对 运算封闭. 3．数集},{Z b a bi a ∈+对 封闭. 二 判断题 1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域. 三 证明 1. 证明},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域,这里n 不是完全平方数. 2. 证明},2{3 Q b a b a ∈+不是数域. 3. 若21,P P 是数域,证明21P P 也是数域,而21P P 不一定是数域. §1 数域[达标训练题解答] 一 填空题 1．加法、 减法、 乘法；2.加法、乘法 ；3.加法、减法、乘法. 二 判断题 1. ( T)； 2. ( F) 三、解答题 1．证明显然n Q ∈1,0. 对任意的)(,2211n Q n b a n b a ∈++, )()(2211n b a n b a +±+=)(21a a ±+n b b )(21±)(n Q ∈; )()(2211n b a n b a +?+ n b a b a bn b a a )()(12212121+++=)(n Q ∈. 当011≠+n b a 时, n b a n b a 1122++ ) (21212 12121212121n Q n n b a a b b a n b a n b b a a ∈?--+--= .故},{)(Q b a n b a n Q ∈+=对加法减法乘法除法 封闭.即},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域. 2．证明 因为 ∈3 2},2{3 Q b a b a ∈+, ?=?333 422},2{3 Q b a b a ∈+. 即} ,2{3Q b a b a ∈+对乘法不封闭.所以 } ,2{3Q b a b a ∈+不是数域. 3．证明 由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而2 1P P 包含有理数域.令21,P P b a ∈, 则1,P b a ∈, 2,P b a ∈.由于21,P P 是数域,故

高等代数例题(全部)

高等代数例题 第一章 多项式 1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有2 3 1x mx x px q +-++ 2．45P 7 设3 2 ()(1)22f x x t x x u =++++，3 ()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、 u 的值。 3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3 x px q ++有重根的条件。 5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x - 6．46P 25 证明：如果233 12(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1n x -在复数域内和实数域内的因式分解。 8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？ 9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。求证： 11((),())((),())f x g x f x g x =。 10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ； （2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最 小公倍式。证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()() [(),()]((),()) f x g x f x g x f x g x = 。 11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2m n f x x x =+-所得余式为 。 12． 求证：如果()d x |()f x ，()d x |()g x ，且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与 ()g x 的一个最大公因式。 13． 14 3 4141)g( , 21212321)(23423456 -+--=+--+-- =x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。 14． 设22()(1) 21m n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。证：()g x |()f x 。

习题与复习题详解线性空间高等代数

习题与复习题详解线性 空间高等代数 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

习题5. 1 1．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 答 是． 因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R +⊕==∈∈其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈. 因为,a b R a b ab R ++?∈?⊕=∈, ,R a R a a R λλλ++?∈∈?=∈, 所以R +对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕; (2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕; (3) R +中存在零元素1, ?a R +∈, 有11a a a ⊕=?=; (4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==; (6)()()a a a a a λμμλμλ μλλμ?? ==== ?? ? ;

(7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕; 所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为 按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否. A B B A ∴⊕⊕与不一定相等. 故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ?中，{}2222/0,,W A A A P W P ??==∈判断是否是的子空间. 答 否. 121123123345?????? ? ? ??????? 例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭. 习题 1．讨论22P ?中 的线性相关性. 解 设11223344x A x A x A x A O +++=, 即1234 1 234 12341234 00 ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=??+++=??+++=??+++=? . 由系数行列式3111111 (3)(1)111111 a a a a a a =+- 知, 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关； 2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中 解 设11223344x x x x ααααα=+++

高等代数考研真题 第一章 多项式

第一章 多项式 1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4 (1)X -整除,而()1f x -能 被4(1)X +整除。 2、（南航2001—20分） （1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2 +px+q ，求p,q 之值。 （2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2 +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2 +1∣f(x)，x 2 +1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表 示正整数d 整除正整数n ）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)， g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由： （1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证 明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项 式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出 f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。 若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。 8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x 3+9x 2-22x+8，g(x)=x 2+x -2， 将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=C k (x)g(x)k + C k-1(x)g(x)k-1+ … + C 1(x)g(x)+C 0(x) 其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1, …,k。（15分 ） （2）设d(x)=( f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分） 9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x) f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x), 则g 2(x)∣f 2(x)。

高等代数复习提纲

高等代数复习提纲 一． 多项式 1. 带余除法—->辗转相除法- 1uf vg +=的运用 2. 不可约多项式，标准分解式，特别是实数域和复数域情形。 3. 根与标准分解式（复数域），重因式判定。 4. 有理根计算。Eisenstein 判别法变形运用。 二． 行列式 基本性质与算法， 行列式仅是后继高代内容的研究工具。 三． 线性方程组 核心内容。线性相关性判定及线性组合方式计算是两个核心概念。 1. 消元法：初等行变换是代数最基本方法。 2. 向量组线性相关性概念，秩的计算，矩阵非零r 级子式计算，极大无关组 的求法。 3. 方程组三种等价形式的运用。 4. 线性方程组有解判别定理与向量组秩关系。 5. 解的结构与极大无关组。 四． 矩阵 1. 矩阵乘积的秩。 2. 逆矩阵计算 3. 初等变换与初等矩阵：左乘变行，右乘变列。 4. 分块的思想：与矩阵乘积，方程组关系等。 五． 二次型 1. 二次型几何意义。 2. 二次型矩阵，标准型计算。合同概念。 3. 规范形几何意义。特别是实二次型。 4. 正定性的判定。与向量内积关系等： 例如： ()();T r A r A A =T A A 正定当且仅当0AX =只有零解，其中A 不必是方阵。 六 线性空间 1. 线性空间定义。 2. 基（维数），坐标，同构.n V P ? 3. 向量组线性相关性判定?同构 坐标向量组相关性? 线性方程组。 4. 子空间的交与和基的计算，维数公式。 5. 直和：交为{0}. 七．线性变换 1. 线性变换矩阵表示：线性变换=矩阵（基固定），这一相等保持线性关系和乘

积，从而一切关于线性变换问题完全等价于一个矩阵问题。 2. 基变换前后矩阵相似。 3. 特征值，特征向量的计算和性质。注意特征向量和特征向量坐标的区别：首先计算的是特征向量坐标！ 4.可对角化判定。 值域与核的基的计算，“维数公式“。 八．λ矩阵 1. 初等变换注意事项。 2. 标准型计算：简便算法。 3. 行列式因子，不变因子，初等因子，Jordan块之间对应关系。 九．欧氏空间 1. 定义和基本性质。 2. 标准正交基。 3. Schmidt正交化方法。 4. 正交矩阵，正交变换。 5. 实对称矩阵标准型 5. 正交补。 6.内射影计算。 7.同构.n ? V R

高等代数作业 第一章 多项式答案

---------------------------------------------------------------------------------------------------高等代数第一次作业 第一章 多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则 。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则 。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则 。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ）√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （ ）√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 （ ）× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是（ ）B A 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x 四、计算题 数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1? 解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题 试证用21x -除()f x 所得余式为2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。 证明：设余式为ax b +，则有2()(1)()f x x q x ax b =-++

高等代数作业第一章多项式答案

第一章 多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则 。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则 。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则 。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ）√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （ ）√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 （ ）× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是（ ）B A 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x 四、计算题 数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1 解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题 试证用21x -除()f x 所得余式为 2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。 证明：设余式为ax b +，则有2()(1)()f x x q x ax b =-++ (1),(1)f a b f a b =+-=-+ 求得a =2)1()1(,2)1()1(-+=--f f b f f 高等代数第二次作业 第一章 多项式 §4—§6 一、填空题 1. 当()p x 是 多项式时，由()|()()p x f x g x 可推出()|()p x f x 或()|()p x g x 。不可约

第四章习题与复习题(线性空间)----高等代数教程文件

第四章习题与复习题(线性空间)----高等 代数

习题5. 1 1．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R +⊕==∈∈其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为 A B AB BA ⊕=- 按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 4．在22P ?中，{}2222/0,,W A A A P W P ??==∈判断是否是的子空间. 习题5.2 1．讨论22P ?中 1234111111,,,111111a a A A A A a a ????????==== ? ? ? ????????? 的线性相关性. 2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中 1234010011001111ααααα?????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ?-?????????? 2111，=，=，=，3010 2212342347P ααααα??????????? = ? ? ? ? ?-?????????? 110-11-1103.在中求在基=，=，=，=下的坐标.11100000 4．已知3R 的两组基

（Ⅰ）： 123111ααα?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? 11=，=0，=0-11 （Ⅱ）：123121βββ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? 23=，=3，=443 （1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵； （2） 已知向量123123,,,,,αααααβββ?? ? ? ??? 1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1； （3） 已知向量123123,,,,,βββββααα?? ? ? ??? 1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2; （4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量γ. 5．已知P [x ]4的两组基 （Ⅰ）：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，， （Ⅱ）：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g （1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵； （2） 求在两组基下有相同坐标的多项式f (x ). 习题5.3 证明线性方程组 12345123451 23453642022353056860 x x x x x x x x x x x x x x x +--+=?? +--+=??--+-=? 的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构. 习题5.4 1．求向量()1,1,2,3α=- 的长度.

高等代数自学总结 多项式

高等代数自学总结 多项式环 引言：经过这段时间的自学学习。我对多项式理论有了更深的了解。我觉得难的是sturm 定理的证明和牛顿公式的证明。让我印象最深的是带余除法在λ-矩阵相抵标准型中的应用。 在当今信息时代，多项式在计算机科学，现代通信，编码和密码等领域都有应用。——李珍珍2016.9.30 重点学习目标： 1，理解概念 2，掌握重要定理 3，会求多项式函数在各数域上的标准分解式 4.会判断根所在的范围 5.会做相应习题各数系数多项式唯一因式分解定理 s l s l l c x a c x a c x a x f x f ）））的标准分解式为 的复系数多项式次数大于---=(...(()()(02121t s k t t k r s r q x p x q x p x c x c x a x f x f )...()()...()()()(02112111++++--=的标准分解式为 的实系数多项式 次数大于

各数域上的不可约多项式 （复系数多项式唯一因式分解定理） 每一个次数大于0的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积。 （实数域多项式唯一因式分解定理） 每一个次数大于0的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次因式乘积。（△＜0）） （是两个解，那么 和中必有解，如果在）（）（）（则同余方程组 个整数。 是任意给定的是两两互素的正整数，设中国剩余定理 s s s s s m m m d c d c Z m b x m b x m b x s b b b m m m ...mod mod ... ....................mod mod ,...,,,...,,2122112121≡???????≡≡≡次数的和） 与积的次数与们的较大次数 和差的次数小于等于它与（｝ ｛，则 ，设命题g f g f g f g f f g g f g f x K x g x f =+=≤±∈deg deg )deg(deg ,deg max )deg(][)(),(1. ()(首项的乘积）等于这两个多项式乘积的首项两个非零多项式例如：(3x 2+5x 3)(2x 4+3x 2)=6x 6+9x 4+10x 7+15x 5 (3x 2+5x 3)(2x 4+3x 2)首项5x 3·2x 4=10x 7 满足加，乘两种代数运算和6条运算法则叫环。 满足交换率的环叫交换环。 有单位元e 的环叫整环。 命题2环R 的一个非空子集R1为一个子环的充要条件是R1对于R 的减法与乘法都封闭。证明:必要性：因为R1是R 的子环a,b 属于R1→a+b=a-(-b)属于R1,ab=-a(-b)属于R1充分性。由于R1非空，所以存在c 属于R1。 因为c-c 属于R ，所以0属于R1。 任给a,b 属于R1，则-b 属于R1， 因为a+b=a-(-b)属于R1,ab 属于R1。 所以R 的加法和乘法可看成是R1的加法和乘法，显然R1的加法满足交换率，结合率，因为0属于R1，对于任意b 属于R1，有-b 属于R1。 显然R1的乘法满足结合率，和对加法的左右分配率。 所以R1成为一个环，所以R1是R 的一个子环。

(完整版)高等代数多项式

第二章 多项式 1． 设f (x )，g (x )和h (x )是实数域上的多项式．证明：若f (x )2 = x g (x )2+x h (x )2，那么 f (x ) = g (x ) = h (x ) = 0． 1． 求f (x )被g (x )除所得的商式和余式： (i) 14)(24--=x x x f ,13)(2 --=x x x g (ii) 13)(235-+-=x x x x f ,23)(3 +-=x x x g 证明：k x f x )(|必要且只要)(|x f x 2． 令)(),(),(,)(2121x g x g x f x f 都是数域F 上的多项式，其中0)(1≠x f 且)()(21x g x g |)()(21x f x f ，)(1x f |)(1x g ．证明：)(2x g |)(2x f ． 3． 实数m, p , q 满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式q px x ++4？ 、 4． 设F 是一个数域，F a ∈．证明：a x -整除n n a x -． 5． 考虑有理数域上多项式 1 )1)(2()1()(-+++++=n k n k x x x x f n k x x )1()2(++???+，这里n 和k 都是非负整数．证明：1+k x |1)1()()1(++++-n k x x f x ． 6． 证明：1-d x 整除1-n x 必要且只要d 整除n 1． 计算以下各组多项式的最大公因式： (i)32103)(,343)(2 3234-++=---+=x x x x g x x x x x f ；