高等代数考研真题 第一章 多项式
第一章 多项式
1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4
(1)X -整除,而()1f x -能
被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）
（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2
+px+q ，求p,q 之值。 （2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2
+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0
（x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0
证明：x 2
+1∣f(x)，x 2
+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表
示正整数d 整除正整数n ）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，
g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由： （1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x)
5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证
明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项
式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出
f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。 8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x 3+9x 2-22x+8，g(x)=x 2+x -2，
将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=C k (x)g(x)k + C k-1(x)g(x)k-1+ … + C 1(x)g(x)+C 0(x)
其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1, …,k。（15分 ）
（2）设d(x)=( f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分） 9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x) f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x), 则g 2(x)∣f 2(x)。
10、（上海交大2005—15分）假设()f x = 2
3
2
3
3111222121
31
41
x x
x x x x ------ （1）证明：存在实数c(0 11、（大连理工2005—10分）设f(x) ，g(x)是数域P 上的多项式，证明：在数域P 中，若 f 3 (x)∣g 3 (x),则f(x)∣g(x)。 12、（北航2001—10分）求一个次数最低的多项式，使其被x 2 +1除余x+1，被x 3 +x 2 +1除余 x 2-1。 13、（北航2003—10分）设h(x) ，f(x) ，g(x)均为域F 上的一元多项式，若h(x)∣f(x)，而 h(x)不整除g(x)，证明h(x)不整除f(x) +g(x)。 14、（南航2003—20分）求满足以下条件的三次多项式f(x)： （1）x -3整除f(x)； （2）x+3除f(x)的余数是4； （3）x+2除f(x)的余数等于x -2除f(x)的余数。 15、（北京科大2004—15分）求一个三次多项式f(x)，使得f(x)+1能被(x -1)2整除，而f(x)-1 能被(x +1)2 整除. 16、（南航2003—20分）设A ∈C n×n , f(x)，g(x)∈C[x]，f(x)的次数大于0，g(x)是A 的最小 多项式。证明： (1)若d(x)是f(x)，g(x)的最大公因式，则rank(d(A))=rank(A); (2) f(A)可逆的充分必要条件是f(x)，g(x)互质（或互素）。 17、（南航2005—35分）本题中等都是多项式。 （1）设a≠b，用（x -a ），（x -b ）除f(x)的余数分别为r 1和r 2 ，求用（x -a ）（x -b ）除f(x)的余式。(10分) (2)证明：若(f(x)，g(x))=d(x)，f(x)∣h(x)，g(x)∣h(x)则f(x)g(x)∣d(x)h(x)。(10分)) （3）设f(x)= f 1(x) f 2(x)，次（f 1(x)）>0，次（f 2(x)）>0，且(f 1(x) f 2(x))=1。 证明：若次（g(x)）<次(f(x))，且f 2(x)不整除g(x)，则存在u(x)和v(x)，使得 u(x) f 1(x)+v(x) f 2(x)= g(x) 成立，且满足次(u(x))<次(f 2(x))，次(v(x))<次(f 1(x))。(15分) 18、（北京科大2005—10分）求出所有的多项式f(x)，使得（x -1)f(x +1) -（x +2)f(x)≡0。 19、（北交大2002—12分）多项式f(x)=x 5+3x 4+x 3+x 2+3x+1 g(x)=x 4+2x 3+x+2 求(f(x)，g(x))和u(x)，v(x)，使u(x) f(x)+v(x)g(x)=(f(x)，g(x)) 20、（南航2002—20分）设f(x)=x 4 -4x 3+5x 2 -2x -2 ，g(x)=x 3-x 2 +2x -2 (1)已知1- i 是f(x)的根，求f(x)的其余三个根 .(6分) （2）求u(x)，v(x)使u(x) f(x)+v(x)g(x) =(f(x)，g(x)) 。(14分) 21、（上海交大2002—12分）设f 1(x)=a f(x)+b g(x)，g 1(x)=c f(x)+d g(x)且a b c d ≠0。 证明(f(x)，g(x))= (f 1(x)，g 1(x))。 22、（北理工2003—15分）设多项式h(x) ，f(x) ，g(x)有 f(x 5) +xg(x 5)+x 2h(x 5)=(x 4+x 3 x 2+x+1)k(x) 证明：x -1是h(x) ，f(x) ，g(x)的一个公因式。 23、（重大2004—10分）证明：如果d(x)︱f(x)，d(x)︱g(x)，且d(x)是f(x)与g(x)的一个组 合，那么d(x)是f(x)与gx)的一个最大公因式。 24、（北邮2004—18分）设多项式f(x) ≠0，h(x)为任意多项式，证明：若(f(x)，g(x))=1， 则(f(x)，g(x) h(x))= (f(x)，h(x))，问反之是否成立？ 25、（北理工2004—15分）给定不全为零的多项式f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)，证明：存在六个多项 式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，h 1(x)，h 2(x)，h 3(x)使 123123123f (x)f (x)f (x) g (x)g (x)g (x)h (x) h (x) h (x) =（f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)） 这里（f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)）表示f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)表示的首项系数为1的最大公因式。 26、（北邮2005—18分）试问k 为何值时，整系数多项式f(x)=x 2+(k+6)x+4k+2和g(x)= x 2+(k+2)x+2k 的最大公因式是一次的？并求出这时的最大公因式(f(x)，g(x))。 27、（北航2002—10分）证明当且仅当(f(x)，g(x))=1，(f(x)，h(x))=1时有(f(x)，g(x) h(x))=1。 28、（西安交大2004—12分）证明：数域P 上的一元多项式f(x)与g(x)互质（即互素）的充 要条件是存在P 上的多项式u(x) ，v(x)，使得：u(x) f(x)+v(x)g(x)=1。 29、（北京化工大2002—20分）设A 是n 级矩阵，()A m x 是A 的最小多项式，()f x 是多项式且其次数?(()f x )≥1。 证明：（1）若()f x ︱()A m x ，则()f A 是退化矩阵，即︱()f A ︱=0； （2）若()d x =（()f x ，()A m x ），即两多项式的首项系数为1的最大公因式，则它们的秩相等：(()r f A = (())r d A ； （3）f(A)是非退化矩阵的充要条件是（()f x ，()A m x ）=1。 30、（北大2002—12分）对于任意非负整数n ，令221()(1)n n n f x x x ++=-+， 证明2(1,())1n x x f x ++= 31、（北理工2005—15分）设A 为数域F 上的n 阶矩阵，f(x )，g(x)∈F[x]，证明：如果d(x ) 是f(x)与g(x)的一个最大公因式，那么齐次线性方程组d(A)X =0的解空间等于f(A)X =0的解空间与g(A )X =0的解空间的交集。 32、（北交大2005—15分）设A 为n 阶方阵，g(x)是A 的最小多项式，f(x)是次数大于零的 任一多项式，证明方阵f(A)可逆的充分必要条件是f(x)与g(x)互素。 33、（东南2005—10分）设F 一数域，多项式f(x)，g(x) ∈F[x]具有性质：当h(x)∈F[x] 且f(x)︱h (x)，g(x)︱h (x)时，必有f(x)g (x)︱h (x) 。证明：（f(x)，g (x)）=1 34、（重大2005—10分）设A 为方阵，g (λ) 证明：f (A)可逆?(f (λ)，g (λ))=1 35、（南开2000—15分）设f(x)是数域P 上的多项式，这里n≥1；且设f(x)的一阶微商可以 整除f(x)。证明f(x)=a(x -b)n ，a,b ∈P ，a ≠0。 36、（南开2001—10分）设()f x 是复数域上首项系数为1的n 阶多项式，如 ()((),()) f x f x f x '=(x -b 1) (x -b 2)，b 1≠b 2 且x -b 1是()f x '的k 重因式（这里()f x '是()f x 的一阶微商），问()f x =？为什么？ 37、（清华1998—16分）试求多项式f =x 3 +px+q 的判别式D(f )(即用f 的系数表出D(f )。 判别式定义为D(f )=(x 1-x 2)2 (x 1-x 3)2 (x 2-x 3)2 ；x 1 ，x 2 ，x 3为f 的复根，p,q 为实数) 38、（北航2001—10分）用线性代数方法证明：若一个n 次多项式P(x )在n+1个互不相等 的数1x ，2x ，… ，1n x +处取值为0，则P(x )≡0 39、（北大2000—10分）设f(x)和p(x)都是首项系数为1的整系数多项式，且p(x)在有理数Q 上不可约，如果f(x)与p(x)有公共根，证明: (1)在Q[x]中，p(x)整除f(x)； (2)存在首项系数为1的整系数多项式g(x)，使得f(x)= g(x) p(x) 40、（北航2000—10分）设p(x)是一个整系数多项式，又知p(0)及p(1)都是奇数，证明p(x)=0 没有整数根。 41、（浙大2003—10分）设f(x)是一个整系数多项式。证明存在一个偶数a 及一个奇数b ， 使得f(a)与f(b)都是奇数，则f(x)没有整数根。 42、（北交大2003—15分）设f(x)复数域上次数大于0的多项式，且f(x )︱f(x n )，n 是大于1 的整数。证明：f(x)的根只能是零或单位根。 43、（大连理工2004—24分）设R,Q 分别表示实数域，有理数域，f(x)，g(x)∈Q[x]. (1)证明：如果在R[x]中有g(x)︱f(x)，则在Q[x]中，也有g(x)︱f(x)。 (2)证明：f(x)与g(x)在Q[x]中互素当且仅当f(x)，g(x)在R[x]中互素。 (3)证明：设f(x)是Q[x]中不可约多项式，则f(x)的根都是单根。 44、（重大2005—15分）设f(x)=x 3+6x 2 +3px+8，试确定P 的值使f(x)有重根并求其根。 45、（清华2001—20分）（1）叙述并证明关于整数系数多项式不可约性的“艾森斯坦 （Eisenstein ）判别法”。 （2）此判别法有哪些推广？尽量多地叙述之。 46、（北航2004—20分）设f(x )= 1 10n n n n a x a x a --+++ 是一个整系数多项式，如果存在 一个素数P ，使得 （1）p 不能整除n a (2)p ︱1n a -，2n a -，… ，0a （3）p 2 不能整除0a 则此多项式在有理数域上是不约的。 47、（北京化工大2004—10分）设12,,n a a a 是两两互异的整数。 证明：21 ()1()n i f x x a ==+-∏在Q[x ]中不可约，这里Q 表示有理数域。 48、（东南2004—15分）设12,,n a a a 互不相同的整数， 12()()()()1n g x x a x a x a =---- ， （1）求证()g x 在有理数域Q 上不可约。 （2）对于整数t ≠-1，问12()()()()n h x x a x a x a t =---+ 在有理数域Q 上是否可 约，为什么？ 49、（浙大2004—10分）设整系数多项式()f x 的次数是2n m =或21n m =+（其中为正整 数）。证明：如果有(1)k ≥个不同的整数1,,k L αα使()i f α取值1-或1则()f x 在有理数域上不可约。（提示：用反证法） 50、（北师大2005—10分）试用n 元初等对称多项式1 1 (),1,2,,k k i i i i x x x k n σ<<=∑= 表 达下列多项式： （1）2n =，2 12()x x - （2）2 12x x ∑，此处∑表示对脚标进行所有可能的n 元置换后对不同的项求和 （3）4 1x ∑ 51、（西安交大2005—12分）求由下述行列式所表示的一元多项式()f x 的最高次幂项： 12341 2311 1 2 2 31 22 1 ()n n n n n x f x x x x x x ααααααααααααααααααα---= 其中，12,,n a a a 为数域P 中的数。 52、（西安电子科大2005—12分）设021(),(),,()n f x f x f x - 是1n -（2n ≥）个多项式， 证明：如果多项式2121()()()n n n n n f x xf x x f x --+++ 能被231 1n x x x -++++ 整除，则每个()(1,2,,1)i f x i n =- 的所有系数之和为零。 53、（华南师大2004—15分）设c 是复数，并且是有理数Q 上的一个非零多项式的根，令J={()()()0}f x Q x f c ∈=。证明J 中存在唯一的首项系数为1的多项式()p x ，使得对于任意()f x ∈J ，()()(),()()f x p x q x q x Q x =∈ 54、（华南师大2003—15分）设(),()f x g x 是数域F 上的多项式，m 是一正整数。 证明：()()()()m m f x g x f x g x ? 55、（华南师大2004—15分）设()f x 是数域F 上的多项式，1 2 12()()()()k k ks s f x cp x p x p x = 是其标准分解式（0,0,()i i c k p x ≠>是首项系数为1不可约多项式），()f x '是()f x 的导数。证明：（1） 12()()()()((),()) s f x cp x p x p x f x f x =' （2）()f x 无重因式当且仅当((),())f x f x '=1 56、（华南师大2002—12分）设()f x ，()g x 是数域F 上的多项式， 11()()(),()()()f x d x f x g x d x g x ==，证明：()d x 是(),()f x g x 的最大公因式当且仅当 11((),())1f x g x = 57、（华南师大1999—20分）（1）设a ≠0，证明：()()m m n n x a x a --的充要条件m n ； （2）设(),(),() f x g x h x 是数域F 上的多项式，证明((),()())1f x g x h x =的充要条件是 ((),())1f x g x =且((),())1f x h x = 58、（华南师大2005—15分）令f(x)与g(x)是数域F 上的多项式， a,b,c,d∈F 且ad -bc ≠0，证明(af(x)+bg(x),cf(x)+dg(x))/=(f(x),g(x)) 59、（华南师大1998—15分）设F 是数域，11 (),,()[],,0n f x f x F x a F a -∈∈≠ 证明：若1 ()()n n n i i i x a f x x -=-∑ ，则必有()(),0,1,2,1i x a f x i n -=- 60、（华南师大1998—10分）求多项式432()651f x x x x x =-+--的有理数。 61、（华南师大2000—20分）（1）设(),()f x g x 是两个不同时为0的实系数多项式，证明：对于任意正整数n ，((),())((),())n n n f x g x f x g x = （2）设是a 一个实数，证明：多项式1221()n n n n n f x x ax a x a x a ---=+++++ 最多只有一个实根（不计重数） 62、（华南师大1997—10分）设32210()f x x a x a x a =+++，i a 为整数，0,1,2i = 如果2010a a a a +为奇数，证明：()f x 无正整根。 第一章多项式习题解答1.用g( x)除f ( x)，求商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) x3 3x2 x 1, g (x) 3x2 2x 1 3x 2 2x 1 x3 3x 2 x 1 1 x 7 x3 2 x2 1 x 3 9 3 3 7 x2 4 x 1 3 3 7 x2 14 x 7 3 9 9 26 x 2 9 9 1 x 7 , r ( x) 26 x 2 q( x) 9 9 . 3 9 2）f ( x) x4 2x 5, g(x) x2 x 2 x2 x 2 x 4 0x3 0 x2 2 x 5 x2 x 1 x4 x3 2x2 x3 2x2 2x x3 x2 2x x2 4x 5 x2 x 2 5x 7 q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 . 2.m, p, q 适合什么条件时，有 1）x2 mx 1| x3 px q x 2 mx 1 x3 0 x2 px q x m x3 mx2 x mx2 ( p 1) x q m x2 m2 x m (m2 p 1) x ( q m) 当且仅当 m2 m 时x2 1| x3 px q . 本题也可用待定系数法求解.当x2 mx 1| x3 px q 时，用 x2 mx 1 去除x3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为x q .于是有x3 px q ( x q)( x2 mx 1) x3 (m q)x2 (mq 1) x q . 因此有 m2 p 1 0, q m . 2）x2 mx 1| x4 px2 q 由带余除法可得 x4 px2 q ( x2 mx 1)( x2 mx p 1 m2 ) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 当且仅当 r ( x) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 0 时 x2 mx 1 | x4 px2 q .即 m(2 p m2 ) 0 ，即m 0, 或 p m2 2, q 1 p m2 0 q 1 p, q 1. 本题也可用待定系数法求解 .当x2 mx 1| x4 px2 q 时，用 x2 mx 1 去除x4 px2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为x2 ax q .于是有 x4 px2 q (x 2 ax q)( x2 mx 1) x4 (m a) x3 (ma q 1) x2 (a mq) x q. 比较系数可得 m a 0, ma q 1 p, a mq 0. 消去 a 可得 m 0, 或p m2 2, q 1 q 1. p, 3.求g( x)除f ( x)的商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) 2x5 5x3 8x , g (x) x 3; 解：运用综合除法可得 3 2 0 5 0 8 0 6 18 39 11 7 327 2 6 1 3 39 109 327 商为 q(x) 2x4 6x3 13x2 39 x 109 ，余式为 r (x) 327. 第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9731929269 791437134373 132131232223232 ----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 1 752 5 422225200222223232 342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 m x m q x p m m x m x m q x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+) ()1()1(01 222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1. 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 )1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--0 10)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或???==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 )1)((2224++++=++mx x q ax x q px x .)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++= 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f 解：运用综合除法可得 327 1093913623271170 83918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r 第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1. 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--010)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或? ??==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p §1 数域[达标训练题] 一 填空题 1．数集{0}对 运算封闭. 2．自然数集N 对 运算封闭. 3．数集},{Z b a bi a ∈+对 封闭. 二 判断题 1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域. 三 证明 1. 证明},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域,这里n 不是完全平方数. 2. 证明},2{3 Q b a b a ∈+不是数域. 3. 若21,P P 是数域,证明21P P 也是数域,而21P P 不一定是数域. §1 数域[达标训练题解答] 一 填空题 1．加法、 减法、 乘法；2.加法、乘法 ；3.加法、减法、乘法. 二 判断题 1. ( T)； 2. ( F) 三、解答题 1．证明显然n Q ∈1,0. 对任意的)(,2211n Q n b a n b a ∈++, )()(2211n b a n b a +±+=)(21a a ±+n b b )(21±)(n Q ∈; )()(2211n b a n b a +?+ n b a b a bn b a a )()(12212121+++=)(n Q ∈. 当011≠+n b a 时, n b a n b a 1122++ ) (21212 12121212121n Q n n b a a b b a n b a n b b a a ∈?--+--= .故},{)(Q b a n b a n Q ∈+=对加法减法乘法除法 封闭.即},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域. 2．证明 因为 ∈3 2},2{3 Q b a b a ∈+, ?=?333 422},2{3 Q b a b a ∈+. 即} ,2{3Q b a b a ∈+对乘法不封闭.所以 } ,2{3Q b a b a ∈+不是数域. 3．证明 由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而2 1P P 包含有理数域.令21,P P b a ∈, 则1,P b a ∈, 2,P b a ∈.由于21,P P 是数域,故 高等代数例题 第一章 多项式 1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有2 3 1x mx x px q +-++ 2．45P 7 设3 2 ()(1)22f x x t x x u =++++，3 ()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、 u 的值。 3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3 x px q ++有重根的条件。 5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x - 6．46P 25 证明：如果233 12(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1n x -在复数域内和实数域内的因式分解。 8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？ 9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。求证： 11((),())((),())f x g x f x g x =。 10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ； （2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最 小公倍式。证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()() [(),()]((),()) f x g x f x g x f x g x = 。 11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2m n f x x x =+-所得余式为 。 12． 求证：如果()d x |()f x ，()d x |()g x ，且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与 ()g x 的一个最大公因式。 13． 14 3 4141)g( , 21212321)(23423456 -+--=+--+-- =x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。 14． 设22()(1) 21m n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。证：()g x |()f x 。 第一章 多项式 1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4 (1)X -整除,而()1f x -能 被4(1)X +整除。 2、（南航2001—20分） （1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2 +px+q ，求p,q 之值。 （2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2 +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2 +1∣f(x)，x 2 +1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表 示正整数d 整除正整数n ）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)， g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由： （1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证 明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项 式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出 f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。 若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。 8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x 3+9x 2-22x+8，g(x)=x 2+x -2， 将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=C k (x)g(x)k + C k-1(x)g(x)k-1+ … + C 1(x)g(x)+C 0(x) 其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1, …,k。（15分 ） （2）设d(x)=( f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分） 9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x) f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x), 则g 2(x)∣f 2(x)。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------高等代数第一次作业 第一章 多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则 。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则 。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则 。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ）√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （ ）√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 （ ）× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是（ ）B A 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x 四、计算题 数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1? 解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题 试证用21x -除()f x 所得余式为2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。 证明：设余式为ax b +，则有2()(1)()f x x q x ax b =-++ 第一章 多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则 。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则 。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则 。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ）√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （ ）√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 （ ）× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是（ ）B A 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x 四、计算题 数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1 解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题 试证用21x -除()f x 所得余式为 2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。 证明：设余式为ax b +，则有2()(1)()f x x q x ax b =-++ (1),(1)f a b f a b =+-=-+ 求得a =2)1()1(,2)1()1(-+=--f f b f f 高等代数第二次作业 第一章 多项式 §4—§6 一、填空题 1. 当()p x 是 多项式时，由()|()()p x f x g x 可推出()|()p x f x 或()|()p x g x 。不可约 高等代数自学总结 多项式环 引言：经过这段时间的自学学习。我对多项式理论有了更深的了解。我觉得难的是sturm 定理的证明和牛顿公式的证明。让我印象最深的是带余除法在λ-矩阵相抵标准型中的应用。 在当今信息时代，多项式在计算机科学，现代通信，编码和密码等领域都有应用。——李珍珍2016.9.30 重点学习目标： 1，理解概念 2，掌握重要定理 3，会求多项式函数在各数域上的标准分解式 4.会判断根所在的范围 5.会做相应习题各数系数多项式唯一因式分解定理 s l s l l c x a c x a c x a x f x f ）））的标准分解式为 的复系数多项式次数大于---=(...(()()(02121t s k t t k r s r q x p x q x p x c x c x a x f x f )...()()...()()()(02112111++++--=的标准分解式为 的实系数多项式 次数大于 各数域上的不可约多项式 （复系数多项式唯一因式分解定理） 每一个次数大于0的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积。 （实数域多项式唯一因式分解定理） 每一个次数大于0的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次因式乘积。（△＜0）） （是两个解，那么 和中必有解，如果在）（）（）（则同余方程组 个整数。 是任意给定的是两两互素的正整数，设中国剩余定理 s s s s s m m m d c d c Z m b x m b x m b x s b b b m m m ...mod mod ... ....................mod mod ,...,,,...,,2122112121≡???????≡≡≡次数的和） 与积的次数与们的较大次数 和差的次数小于等于它与（｝ ｛，则 ，设命题g f g f g f g f f g g f g f x K x g x f =+=≤±∈deg deg )deg(deg ,deg max )deg(][)(),(1. ()(首项的乘积）等于这两个多项式乘积的首项两个非零多项式例如：(3x 2+5x 3)(2x 4+3x 2)=6x 6+9x 4+10x 7+15x 5 (3x 2+5x 3)(2x 4+3x 2)首项5x 3·2x 4=10x 7 满足加，乘两种代数运算和6条运算法则叫环。 满足交换率的环叫交换环。 有单位元e 的环叫整环。 命题2环R 的一个非空子集R1为一个子环的充要条件是R1对于R 的减法与乘法都封闭。证明:必要性：因为R1是R 的子环a,b 属于R1→a+b=a-(-b)属于R1,ab=-a(-b)属于R1充分性。由于R1非空，所以存在c 属于R1。 因为c-c 属于R ，所以0属于R1。 任给a,b 属于R1，则-b 属于R1， 因为a+b=a-(-b)属于R1,ab 属于R1。 所以R 的加法和乘法可看成是R1的加法和乘法，显然R1的加法满足交换率，结合率，因为0属于R1，对于任意b 属于R1，有-b 属于R1。 显然R1的乘法满足结合率，和对加法的左右分配率。 所以R1成为一个环，所以R1是R 的一个子环。 第二章 多项式 1． 设f (x )，g (x )和h (x )是实数域上的多项式．证明：若f (x )2 = x g (x )2+x h (x )2，那么 f (x ) = g (x ) = h (x ) = 0． 1． 求f (x )被g (x )除所得的商式和余式： (i) 14)(24--=x x x f ,13)(2 --=x x x g (ii) 13)(235-+-=x x x x f ,23)(3 +-=x x x g 证明：k x f x )(|必要且只要)(|x f x 2． 令)(),(),(,)(2121x g x g x f x f 都是数域F 上的多项式，其中0)(1≠x f 且)()(21x g x g |)()(21x f x f ，)(1x f |)(1x g ．证明：)(2x g |)(2x f ． 3． 实数m, p , q 满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式q px x ++4？ 、 4． 设F 是一个数域，F a ∈．证明：a x -整除n n a x -． 5． 考虑有理数域上多项式 1 )1)(2()1()(-+++++=n k n k x x x x f n k x x )1()2(++???+，这里n 和k 都是非负整数．证明：1+k x |1)1()()1(++++-n k x x f x ． 6． 证明：1-d x 整除1-n x 必要且只要d 整除n 1． 计算以下各组多项式的最大公因式： (i)32103)(,343)(2 3234-++=---+=x x x x g x x x x x f ； 第一章多项式 1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X ?整除,而()1f x ?能被4(1)X +整除。 2、（南航2001—20分） （1）设x 2?2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。 （2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2+1)h(x)+(x ?1)f(x)+(x ?2)g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1)f(x)+(x+2)g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d ?1∣x n ?1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)，g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由： （1）如果g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证明P 是素数当且仅当任取正整数a，b 若p∣ab 则p∣a 或p∣b。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x)，由f(x)∣g(x)h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。 8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6?6x 5?8x 4+19x 3+9x 2?22x+8，g(x)=x 2 +x ?2，将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=C k (x)g(x)k +C k-1(x)g(x)k-1+…+C 1(x)g(x)+C 0(x) 其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1,…,k。（15分） （2）设d(x)=(f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分）9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x)f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x),则g 2(x)∣f 2(x)。 第二章 多项式 一 综述 1. 多项式是中学代数的主要内容之一.本章从两个不同的角度对一元多项式进行了讨论；首先用纯代数的观点,从一元多项式的一般形式入手,在一般数域上讨论了一元多项式,围绕着一元多项式的因式分解这一中心内容,分别讨论了一元多项式的概念.运算.整除理论.最大公因式和重因式等内容,从而建立了一元多项式的一般理论；然后用代数的观点进一步在具体数域（即,,C R Q ）上讨论了一元多项式的根与因式分解问题,从而在具体数域上发展了多项式的因式分解理论.在学习一元多项式的基础上,鉴于多元多项式的复杂性,仅讨论了多元多项式的基本概念与对称多项式基本定理及应用. 2. 本章内容学生部分熟悉,但如此严格地系统讨论一元多项式的整除理论及多项式的因式分解和多项式的根的问题还是初次见到,特别是对于准确地刻化概念.严谨地推导论述,学生很不习惯,因此在教学中要注意训练学生正确掌握概念.学会推理有理有据,做好示范. 二 内容、要求 1. 内容：一元多项式的定义和运算.多项式的整除性（整除、带余除法）.最大公因式（概念.性质.辗转相除法.互素）.唯一分解定理.重因式.多项式函数与多项式的根.复数.实数.有理数域上的多项式的因式分解.有理数域上的多项式的可约性及有理根.多元多项式.对称多项式（不讲）. 2. 要求：掌握数域上的一元多项式的概念.运算.次数定理及应用；理解多项式的整除概念和性质,理解和掌握带余除法；掌握最大公因式的概念.性质.求法,以及多项式互素的概念和性质；理解不可约多项式的概念,掌握多项式的唯一分解定理；理解多项式的导数及重因式的概念,掌握多项式有无重因式的判别法；掌握多项式函数及多项式的根的概念；掌握复.实数域上的多项式因式分解定理；熟练掌握有理系数多项式的有理根的求法. 2.1 一元多项式的定义和运算 一 教学思考 1. 本节纯形式地定义了一元多项式的概念及有关运算（加.减.乘）.从中注意一元多项式的定义与中学数学中多项式的联系与区别,以及多项式相等的概念分析.另外一个重要的结论是所谓的“次数定理”,其本身证明易于理解,重要的是应用它证明有关问题. 2. 本节内容较简,注意概念的准确.严密. 二 教学过程 1. 基本概念 定义1. 数环R 上一个文字x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式： 2012n n a a x a x a x ++++ （1）其中,(1,2,,)i n N a R i n ∈∈=. 定义2. 若数环R 上两个一元多项式(),()f x g x 具有完全相同的项,或者仅差一些系数为0的项,则称()f x 和()g x 相等.记作()()f x g x =. 定义 3. 若2012()n n f x a a x a x a x =++++ (0)n a ≠,n n a x 叫做()f x 的最高次项,非负整数 n 叫做()f x 的次数,记作(())f x ??.（即(()))f x n ??=. 定义4. 设 2012()n n f x a a x a x a x =++++, 2012()m m g x b b x b x b x =++++是数环R 上两个多项式,且m n ≤； （1）()f x 与()g x 的和（记为）()()f x g x +指的是多项式： 0011()()()()m n m m n n a b a b x a b x a b x +++++++++,这里m n <时,取10m n b b += ==. （2）()f x 与()g x 的积（记为）()()f x g x 指的是多项式： 2012m n m n c c x c x c x ++++++, 其中011110k k k k k c a b a b a b a b --=++++,(0,1,2,,)k m n =+.(完整版)高等代数多项式习题解答.doc
高等代数多项式习题解答
高等代数多项式习题解答(供参考)
高等代数多项式试题库(精品文档)
高等代数例题(全部)
高等代数考研真题 第一章 多项式
高等代数作业 第一章 多项式答案
高等代数作业第一章多项式答案
高等代数自学总结 多项式
(完整版)高等代数多项式
高等代数考研真题__第一章_多项式
高等代数教案第二章多项式