石群自动控制原理(第9章

第九章线性系统的状态空间分析与综合9-1 线性系统的状态空间描述

9-2 线性系统的可控性与可观性

9-3 线性定常系统的反馈结构及状态观测器9-4 李雅普诺夫稳定性分析

9-5 控制系统状态空间设计

9凯莱-哈密顿定理

设n 阶矩阵A 的特征多项式：

则A 满足其特征方程，即

推论1 矩阵A 的次幂可表示为A 的n-1阶

多项式：

式中与A 阵的元素有关。

1110

()n n n f I A a a a λλλλλ??=?=++++ 1110()n n n f A A a A a A a I

??=++++ ()k k n ≥1

0 , n k m

m m A A k n α?==≥∑m α

9秩判据

线性定常连续系统：其状态完全可控的充分必要条件是：

其中，A 为n 维方阵；称为系统的可

控性判别阵。0()()(), (0), 0x

t Ax t Bu t x x t =+=≥ 1

n rank B AB A B n ???=??

1 n S B AB A B ???=??

9PBH 秩判据

线性定常连续系统：其状态完全可控的充分必要条件是：

式中，

是矩阵A 的所有特征值。另一种等价描述为：

说明：因为这个判据是由波波夫(Popov ) 和贝尔维奇(Belevitch ) 首先提出，并由豪塔斯(Hautus ) 最先指出其可广泛应用性，故称为PBH 秩判据。

0()()(), (0), 0x

t Ax t Bu t x x t =+=≥ (1,2,,)i i n λ= [] ; 1,2,,i rank I A B n i n

λ?== [] ; rank sI A B n s C

?=?∈

9对角线规范型判据

线性定常连续系统：矩阵A 的特征值两两相异，变为对角线规范型：

系统完全可控的充要条件不包含元素全为零的行

12,,,n λλλ 12 0 0 n x x Bu λλλ????

??=+?????? 0()()(), (0), 0x

t Ax t Bu t x x t =+=≥ B

4. 输出可控性

如果系统需要控制的是输出量，而不是状态，则需要研究系统的输出可控性。

9输出可控性(与状态可控没有必然联系)

若在有限时间间隔内，存在无约束分段连续控制

函数能使任意初始输出转移到任意最终输出，则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。?输出可控性判据

设线性定常连续系统的状态空间描述为：[]01,t t []01(),,u t t t t ∈0()y t 1()y t []01, (0), 0,x

Ax Bu x x t t y Cx Du

=+=∈=+

输出可控性矩阵：输出可控充要条件是10 n S CB CAB CA B D ???=??

(1)q n p ×+0 rank S q

=111111()100

()1010()()()()()

t At A t t t At A t t x t e x e Bu t dt y t Ce x C e Bu t dt Du t ??=+=++∫∫[]01, (0), 0,x

Ax Bu x x t t y Cx Du

=+=∈=+ 系

统式中，u 为p 为输入向量；y 为q 维输出向量；x 为n 维状态向量。

状态空间表达式的解为：

5. 线性定常连续系统的可观测性判据

考虑时系统的状态方程和输出方程为：

式中，x 为n 维状态向量，y 为q 维输出向量。A 为常值矩阵，C 为常值矩阵。

?格拉姆矩阵判据

上述系统完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异。

格拉姆矩阵0u =0, (0), 0, x

Ax x x t y Cx ==≥= n n ×q n ×10t >110(0,)T t A t T At M t e C Ce dt Δ=∫1 n C CA rank n CA ???????=?????? 21 () ()T T T T T T n T rank C A C A C A C n ???=??

?秩判据线性定常连续可观充要条件可观测阵

9PBH 秩判据

线性定常连续系统：其完全可观测的充分必要条件是：式中，

是A 的所有特征值。

9对角线规范型判据

上述系统完全可观测充要条件是：

当A 特征值两两相异时，对角线规范型中不包含全零列。0, (0), 0, x

Ax x x t y Cx ==≥= (1,2,,)i i n λ= ; 1,2,, ; i i C rank n i n I A C rank n s C I A λλ??==???????=?∈????? 12 0 , 0 n x x y Cx λλλ??????==?????? 12,,,n λλλ C

?数学基础矩阵的对角化

一个矩阵如果和对角阵相似，则称这个矩阵可对角化。9矩阵可对角化的条件

设方阵A 可对角化，即A 与相似,

则存在可逆阵P ，使得：

即。是A 的n 个线性无关特征向量，

是A 的n 个特征值。

12(,,,)n D diag λλλ= 1 P AP D AP PD ?==12121212121122(,,,)

(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)

1,2,,0 , 1,2,,n n n n n n n i i i i P X X X A X X X X X X diag AX AX AX X X X AX X i n

X i n

λλλλλλλ=====≠= 12,,,n X X X 12,,,n λλλ

定理1：n 阶方阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。

定理2：属于A 的不同特征值的特征向量是线性无关的。 定理3：若n 阶方阵A 有n 个相异特征值，则A 可对角化，且

注意：定理3的逆命题不成立。例如，n 阶单位阵I 是可对角化的，但其n 个特征值都为1，非互异。

定理4：设为n 阶方阵A 的s 个互异特征值，是A 的属于的个线性无关的特征向量,。则下述向量线性无关：12,,,n λλλ 121

1212(,,,)

(,,,)

(,,,)n n n A diag P X X X P AP diag λλλλλλ?==～ 12,,,s λλλ 12,,,i i i im X X X i λi m 1,2,,i s = 12111212122212,,,;,,,;;,,,s

m m s s sm X X X X X X X X X

小结

当A 的特征多项式方程有重根时，如果每个特征值都有满足一定条件的、数量的、线性无关的特征向量的话，A 也可以对角化。

在复数域中，对A 的特征多项式进行因式分解，即：称为的代数重数。

每个特征值有一个特征子空间，称特征子空间的维数为的几何重数，记作。 定理5：n 阶复方阵A 的特征值的几何重数小于等于代数重数。121212()()()() , , s n n n A s i j s f i j n n n n λλλλλλλλλ=???≠≠+++= i n i λ,1,2,,i V i s λ= i V λi m i i

m n ≤i λi λ

定理6：n 阶复方阵A 的特征多项式为：

则：

9求相似对角阵的方法

⑴求解A 的特征值

121212()()()() , , s n n n A s i j s f i j n n n n λλλλλλλλλ=???≠≠+++= 1,1,2,,(),1,2,,i i s i i i i m n i s m n r I A n n i s

λ====?=?=∑ 方阵A 可

对角化

1()(),,i

s n A i i j i f I A i j λλλλλλ==?=?≠≠∏