复变函数及积分变换试题及答案
第一套
第一套
一、选择题（每小题3分，共21分）
1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。
2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C +
3.
2|2|1(2)z dz
z -==-⎰（ ）
。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。
A. 1
01
()2()n n f d c i
z ξξ
πξ+=
-⎰ B. 0()!n n f z c n =
C. 2
01()2n k f d c i
z ξξπξ=
-⎰
D. 210!
()2()n n k n f d c i
z ξξ
πξ+=
-⎰
5. z=0是函数z
z sin 2
的（ ）。
A.本性奇点
B.极点
C. 连续点
D.可去奇点
6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1
z z
w -=
B. z 1z w -=
C. z
z 1w -= D. z
11
w -=
7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。
A.
22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k
s 1
.
二、填空题（每小题3分，共18分）
1.
23
(1)i += [1] ；
----------------------------------------
装
--------------------------------------订
-------------------------------------
线
----------------------------------------------------
2. 幂级数∑∞
=1
n n
n z ！收敛于 [2] ；
3. 设0Z 为复函数
）（z f 的可去奇点，则）（z f 在该点处的留数为 [3] . ；
4. 通过分式线性映射z k
z λ
ωλ
-=-（k 为待定复常数）可将 [4] 映射成单位圆内部
1ω<；
5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1
z
ω=
三种特殊形式的映射复合而成，分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ； 6. 求积分
()i x e x dx ωδ∞
--∞
=⎰
[6] ；
三、判断题 （每小题2分，共10分）
1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。（ ）
2. ()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是：(,)u x y 与(,)v x y 在D 内可微，且满足C-R 方程。 （ ）
3.将z 平面上一个点集映射到ω平面上一个点集，z 的参数方程是：()z z t =，ω的参数方程是：
[()]f z t ω=，则函数z 与ω导数满足伸缩率不变性、旋转角不变性和保角性。 （ ）
4. 拉氏变换的微分性质为：若[()]()f t F s =L ，则[()]()(0)f t tF s f '=-L 。（ ）
5. 傅里叶级数00
1
()cos()n
n
n f t c A n t ωθ∞
Γ==+
+∑表示一个周期为T 的信号()f
t Γ
可以分解为简谐波之和，
这些简谐波的（角）频率分别为一个基频0ω的倍数。（ ）
四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）
1. 当b a ，分别等于多少时，函数）（3
2
2
3
y -y bx i x )z (f ++=axy 在复平面上处处解析?
2. 计算
2||2(8)()z z
dz z z i =-+⎰。
3. 将函数在指定圆环内处展开为洛朗级数：21
()(1)
z f z z z +=
-，0||1z <<.
4. 利用留数定理计算积分 22||2sin (1)
z z
dz z z =-⎰
5. 求微分方程组(29)(3)0
(0)(0)1
(27)(5)0(0)(0)0
x x x y y y x x x x x y y y y y '''''''-+-++===⎧⎨
'''''''++--+===⎩的解
一、选择题（每小题3分，共21分）
1. A
2. B
3.B
4. A
5. A
6. D
7. A
.
二、填空题（每小题3分，共18分）
1.
3
4k 4k 2[cos isin ]k 0,1,2636
3ππππ
⎛⎫⎛⎫+
++
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；或533
3
3
6
6
2
2,2,2e e e π
ππ
2. z
e ； 3. 0； 4. 上半平面()Im
z 0>； 5. 反演映射 6. 1
.
三、判断题 （每小题2分，共10分）
1. ×
2. √
3. √
4. √
5. √
四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分） 1. 解：3223y y bx v axy x u -=+=,
u v x y u v y
x ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩
（3分）
222
22222
3,2,2,333,
22u u v v
x a y a x y b x y b x y
x
y x y x a y b x y a x y b x y
∂∂∂∂=+===
-∂∂∂∂⇒+=-=（3分）
33=-=⇒b a , （3分）
2. 解：
2z 2z dz 8-z (z i)=+⎰（）2
28z i
z
i z π=-=-
（5分）
（或判断出-i 在圆内，22不在圆内，得2分）
29
π
=
（4分）
3. 将函数在指定圆环内处展开为洛朗级数：1z 0,1)
(z z 1
z )z (f 2<<-+=
2222z 1z 12121
f (z)z (z 1)z (z 1)1z z z
+-+=
==---- （5分）
（或：写出洛朗级数公式2分）
22
12n n z z z
∞
==-∑2212
222n z z z z
-=-
------
1z 0<< （4分）
4. 解：由于函数在积分区域内有可去奇点z=0与单极点z=1
（4分）
2221sin Re ((),0)0,
Re ((),1)lim(-1)sin 1(-1)
z z
s f z s f z z z z →===
（3分）
由留数定理，原积分2
2sin 1i π= （2分）
5. 解：2222
(29)()(3)()12(27)()(5)()32s s X s s s Y s s
s s X s s s Y s s
⎧-+-++=+⎨++--+=+⎩（4分）
整理得
2222()()4
1()()1s X s Y s s X s Y s s +⎧
-=⎪⎪+⎨
⎪+=⎪-⎩
（4分） 解得222211211()31343421211()313434s X s s s s s Y s s s s ⎧
=++⎪⎪-++⎨⎪=-+
⎪-++⎩
（4分）
再取拉氏变换得到其解为：
121()cos 2sin 2333
221()cos 2sin 2333t t x t e t t y t e t t
⎧=++⎪⎪⎨
⎪=--⎪⎩
（3分）
第二套
一、选择题（每小题3分，共21分）
1. 13i +的指数式为（ ）。 A 、23
2i e
π B 、23
i e
π C 、3
2i e
π D 、6
2i e
π
2. 复函数LnZ （ ）。
A 在复平面上处处解析；
B 在复平面上处处不解析；
C 除去原点外处处解析；
D 除去原点及负半实轴外处处解析. 3. 由柯西积分公式得，积分
||12z dz
z =-⎰的值为（ ）
。 A.0 B. 1 C. 2 D.无解 4. 洛朗级数的正幂部分叫（ ）。
A 、主要部分
B 、解析部分
C 、无限部分
D 、都不对
5. z 1
sin 在点z=0处的留数为（ ）。
A.-1
B.0
C.1
D.2
6. 保角映射具有的性质有（ ）。 A. 反演性、保圆性、保对称性 B. 共形性、保角性、保对称性 C. 共形性、保圆性、保对称性
D. 反演性、保角性、保对称性
7. kt =（e ）L （ ），（()Re s k >）。 A.
22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k
s
1
.
二、填空题（每小题3分，共18分）
1.
(
)
5
3i -= [1] 。
2. 幂级数
()
2
1
!n n
n n z n
∞
=∑
收敛半径为： [2] 。
3. 孤立奇点可分为可去奇点、极点和 [3] 三种。
4. 通过分式线性映射1i z e
z
ϕ
α
ωα-=-，(1α<，ϕ为实数)可将 [4] 映射成单位圆内部
1ω<。
5. 在扩充复平面上两点1z 与2z 是关于圆周C 的对称点的充要条件是通过1z 与2z 的任何圆周Γ与C
[5] 。
6. 按定义，函数()f x 的傅里叶变换式为 [6] 。
三、判断题 （每小题2分，共10分）
1. 如果平面点集G 中的每一点都是它的内点，则称G 为开集。 （ ）
2. ln z 的所有分支可表示为ln 2z Lnz k i π=+。 （ ）
3. 设函数()f z ω=在0z 的邻域内有定义，且在0z 具有保角性和伸缩率不变性，则称()f z ω=在0z 时共形的。 （ ）
4. 傅里叶级数()()001
cos n n n f t c A n t ωθ∞
Γ==+
+∑中()/2
0/21T T c f t dt T
Γ-=
⎰的物理意义：表示周期信号在一个周期内的平均值，也叫做交流分量。 （ ）
5. 拉氏变换的微分性质为：若[()]()f t F s =L ，则[()]()(0)f t tF s f '=-L 。 （ ）
四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）
1. 设()
3232
my nx y i x lxy +++为解析函数，试确定l,m,n 的值
2. 计算积分
3
C
z
dz z -⎰
，:2C z =；
3. 将下列各级数在指定圆环域内展开为洛朗级数
()()
2
1
12z z +-，12z <<；
4. 利用留数定理求积分（圆周均取正向）
()()
15
2
3
3
2
4
12z z dz z
z =++⎰
5. 求微分方程式的解
(4)cos (0)(0)(0)0(0)y y t
y y y y c '''''''''+=====（c 为常数）
第二套
一、选择题（每小题3分，共21分）
1. C
2.D
3. A
4. B
5. C
6. C
7.C .
二、填空题（每小题3分，共18分）
1. (
)
16
3i -+ 2. 0 3.本性奇点 4. 单位圆内部
1z <
5. 正交
6.
()()i t F f t e dt ωω+∞
--∞
=⎰
三、判断题 （每小题2分，共10分）
1. √
2. ×
3. √
4. ×
5. √ 四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）
1. 解：由题意知：实部32u my nx y =+、虚部32v x lxy =+
2u nxy x ∂=∂，223u my nx y ∂=+∂，223v x ly x ∂=+∂，2v lxy y
∂=∂ （2分） 由于(
)
3232
m y n x y i x
l x y +
++为解析函数，故有u v x y u v y
x ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ （2分） 即
222
22233nxy lxy my nx x ly
=-⎧
⎨+=--⎩ （3分）解得m=1，n=-3，l=-3 （2分） 2. 解：由z-3=0，得奇点为z=3（3分）此时不在C 的环域内，由柯西基本定理（3分）知03
C
z
dz z =-⎰
（3分）
3. 解：22121555112
z z z z --
=++++- （3分）
()()22222111121111
115510121112z z z z z z z z =---+-++-
()()()2121000112111155102n n n
n n n n n n z z z
∞∞∞++====-----∑∑∑ （3分）
2343221112111112555510204080
z z z z z z z z =⋅⋅⋅++-------⋅⋅⋅<< （3分）
4. 解：函数
()()
15
2
3
2
412z z
z ++在3z =的外部，除∞点外没有其他奇点，因此根据定理二与规则四有：
()()
()15
2
3
2
4
2Re ,12C
z dz i s f z z
z π=-∞⎡⎤⎣⎦++⎰
（3分）
2112Re ,0i s f
z z π⎡
⎤
⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
（3分）()()23
2412Re ,0112i s z z z π⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥++⎣⎦
2i π= （3分） 5. 解：方程两边取拉氏变换，得4
3
2s ()()1
s
Y s cs s Y s c s -+-=+ （2分） 解出3221()(1)(1)
c Y s s s s s =
+++（3分） 1
2222221[]Re [,0]Re [,1](1)(1)(1)(1)(1)(1)
st st
e e s s s s s s s s s s s -=+-++++++L
2222
Re [,]Re [,](1)(1)(1)(1)
st st
e e s i s i s s s s s s ++-++++（3分） 2222201lim()lim()lim()lim()(1)(1)(1)(1)()(1)()
st st st st
s s s i s i e e e e s s s s s s s i s s s i →→→→-=+++++++++- 11
1(cos sin )22
t t e t t -=-++- （2分）
因此，原方程的解1
1
1
32211()[()][
][](1)(1)
y t Y s c s s s s ---==+++L L L 211
1(cos sin )222
t c t t e t t -=+-++-（5分） 第三套
一、填空题（每空2分，共20分）
1．复数3
12i
-的实部为 [1] ，虚部为 [2] 及其共轭复数为 [3] .
2．已知()f z u iv =+是解析函数，其中221ln()2u x y =+，则v
y
∂=∂ [4] .
3．设C 为正向圆周1z =,则
dz i
e z ⎰
-
C
2
2π
= [5] .
4．幂级数31n
n z n
∞
=∑的收敛半径为 [6] .
5．0z =是ln(1)
()z f z z
+=的奇点，其类型为 [7] . 6．设2
11
()1(1)(1)(1)(1)(1)
n n f z z z z z =
-+--++--+--，则
Res[(),1]f z = [8] .
7．δ函数的傅里叶变换为()F ω= [9] . 8．函数 1
()(1)
F s s s =
- 的拉普拉斯逆变换为()f t = [10] .
二、选择题（每小题2分，共20分）
1．复数168
2525z i =
-的辐角为（ ） A ．1
arctan 2
B ．-1arctan
2
C ．π-arctan 12
D ．2
1arctan
+π 2．方程2Re 1z =所表示的平面曲线为（ ）
A ．圆
B ．直线
C ．椭圆
D ．双曲线 3．在复平面上，下列关于正弦函数sin z 的命题中，错误．．的是（ ） A ．sin z 是周期函数 B ．sin z 是解析函数 C ．sin 1z ≤
D ．z cos )z (sin ='
4．设C 为正向圆周1z =，则dz z
z
⎰C
cos =（ ） A ．i π B ．2i π C ．0
D ．1
5．在拉氏变换中，函数1()f t 与2()f t 的卷积，12()()f t f t *为（ ）
A ．12()()t f t f t dt -∞⎰
B ．120
()()t
f f d τττ⎰
C ．120
()()t
f f t d τττ-⎰
D ．120
()()t
f f t d τττ-⎰
6．幂级数1
1!n n z n -∞
=∑的收敛区域为（ ）
A ．0z <<+∞
B ．z <+∞
C ．01z <<
D ．1z <
7．设()(2)z
e f z z z =-的罗朗级数展开式为n n n c z +∞=-∞
∑，则它的收敛圆环域为（ ）
A ．02z <<或2z <<+∞
B ．022z <-<或22z <-<+∞
C ．02z <-<+∞
D ．022z <-<
8．3z π=是函数sin()3()3z f z z π
π
-=-的（ ） A ．一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点
9．2
Res[
,2](2)z
i z i -=+（ ）
A ．2i
B ．-1
C ．2i -
D ．1
10．0()t t δ-的傅里叶变换为（ ）
A ．1
B ．0t
C ．0i t e ω-
D ．0i t e ω
三、计算题（每小题8分，共24分）
1． 已知|
|2
sin
4()d f z z
ζ
π
ζ
ζζ==
-⎰，求(12)f i -，(1)f ，(1)f '。
2． 计算积分2d (1)
z
C
e z z z -⎰
，:3C z =取正向。
3． 求函数21
()2z f z z z
+=-在孤立奇点处的留数。
四、综合题（共36分）
1．设i y x y x z f 22332)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值。（8
分）
2．将函数1
()(1)(2)
f z z z =
--分别在011z <-<与02z <-<+∞圆环域内展开为罗伦级数。
（10分）
3．求余弦函数0()cos f t t ω=的傅里叶变换。（8分）
4．用Laplace 变换求解常微分方程。（10分）
331(0)(0)1,(0)2
y y y y y y y '''
'''-+-=-⎧⎨'''===⎩
第三套
一、填空题 1．
35, 65, 3655i -；2．22
x x y +；3．0；4．1；5．可去奇点；6．-1；7．1； 8．1e t
-
二、选择题
B D
C B
D ，B A B C C
三、计算题 (每题5分，共20分)
1、解：（1）因为1252i -=>不在曲线C ：2ζ=内
所以根据柯西定理得：(12)0f i -= （2分）
（2）已知1z =在曲线C ：2ζ=内，由柯西积分公式得：
|
|2
sin
4(1)d sin .2214
f i i ζ
π
ζ
πζππζ==
==-⎰ （3分）
（3）由高阶导数公式得：
22|
|2
1
sin
24(1)d (sin )2(1)44f i i ζ
ζπ
ζ
πζζππζ==''=
=⋅=-⎰ （3分） 2、解：设2()(1)
z
e f z z z =-在曲线C 内除0,1z =±之外处处解析， （2分）
又因为0,1z =±是2()(1)
z
e f z z z =-的一阶极点，根据留数定理得：
3
21
d 2R
e [(),](1)z
k C
k e z i s f z z z z π==-∑⎰
Re [(),0]2s f z i π=-，Re [(),1]s f z e i π=，1
Re [(),1]s f z i e
π-= （4分）
21
d (2)(1)z C
e z i e z z e
π=+--⎰ （2分）
3、解：由21
()2z f z z z
+=
-得：
0z =和2z =都是()f z 的孤立奇点，并且是一阶极点， （2分）
1Re [(),0]2s f z =- （3分） 3
Re [(),2]2
s f z = （3分）
四、综合题
1．解：22332),(,),(y x y x v y x y x u =-=
y x y
v
xy x v y y u x x u 22224,4,3,3=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂ （4分）
均连续，要满足R C -条件，必须要
222234,43y xy y x x ==成立
即仅当0==y x 和4
3
=
=y x 时才成立，所以函数)(z f 处处不解析； （2分） ,0)))0(0
,0(0,0(=∂∂+∂∂=
'x v i
x
u f )1(16
27
)4343()4
3,43()4
3,43(i x
v
i
x
u i f +=
∂∂+∂∂=+' （2分） 2解：11()(1)(2)(1)(1(1)f z z z z z ==------）1
(1)
011
n
n z z +∞
=-=--<-<∑ （5分） 211()1(1)(2)(2)(1)
(2)
f z z z z z ==
---+
-2
1(1)12(2)n
n n z z +∞
+=--=<-<+∞-∑ （5分） 3． 解：
0()[()]c o s i t
F F f t te dt ωωω+∞
--∞
==⎰
001()2i t i t i t
e e e dt ωωω+∞--∞
=+⎰ 00()()1[]2
i t
i t e e dt ωωωω+∞---+-∞=
+⎰001
[2()2()]2
πδωωπδωω=-++
00[()()πδωωδωω=-++ （8分） 4．解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得
))
0()0()((3)0()0()0()(223y Sy S Y S y y S y S S Y S '---''-'--S
S Y y S SY 1)())0()((3-
=--+)3()33(21
1)()133(223-++-+-
=-+-S S S S
S Y S S S
)1452(123-+-=S S S S 2)1)(12(1
--=S S S
即 1
1
1)1(12)(-+=--=
S S S S S S Y 故 1)]([)(1+==-t e S Y t y L
黄山学院 学年度第 学期 《工程数学》( 本 科)期末试卷 (时间120分钟)
试卷编号:
院(系) 班 姓名 学号 得分
一、填空题（每空1分，共20分）
1．复数11i i i i -+-的实部为 [1] ，虚部为 [2] 及其共轭复数为 [3] . 2．已知()f z u iv =+是解析函数，其中cos x u e y =，则v
y
∂=∂ [4] . 3．设C 为正向圆周2z =,则2
sin ()2
C
z
dz z π
=-⎰
[5] .
4．设1lim 1n n n
a i a +→∞=+，则幂级数01n n n a
z n ∞
=+∑的收敛半径为__ [6]__.
5．0z =是ln(1)
()z f z z
+=的奇点，其类型为 [7] . 6．设2
11
()1(1)(1)(1)(1)(1)
n n f z z z z z =
-+--++--+
--，则
Res[(),1]f z = [8] .
7．δ函数的傅里叶变换为()F ω= [9] . 8．函数 1
()(1)
F s s s =
- 的拉普拉斯逆变换为()f t = [10] .
二、选择题（每小题2分，共20分）
1．复数3(cos sin )55z i ππ
=--的三角表示式为（ ）
A ．443(cos sin )55i ππ-+
B ．44
3(cos sin )55
i ππ-
----------------------------------------
装
--------------------------------------
订
-------------------------------------
线
----------------------------------------------------
C ．44
3(cos sin )55
i ππ+
D ．44
3(cos sin )55
i ππ--
2．在下列复数中，使得2z e =成立的是（ ） A ．2z = B ．ln 22z i π=+ C ．2z =
D ．ln 2z i π=+
3．设z x iy =+，解析函数()f z 的虚部为323v y x y =-，则()f z 的实部u 可取为（ ） A ．223x xy - B ．233xy x - C ．233x y y -
D ．3333y x -
4．设C 为从i -到i 的直线段，则||C
z dz =⎰（ ） A ．i B ．2i C ．i - D ．2i - 5．复数列2
n i n z e
π
=的极限为（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．不存在 6．以0z =为本性奇点的函数是（ ）
A ．sin z
z
B ．
1
(-1)
z z C ．
21cos z
z -
D ．1
sin z
7．设()(2)z
e f z z z =-的罗朗级数展开式为n n n c z +∞
=-∞
∑，则它的收敛圆环域为（ ）
A ．02z <<或2z <<+∞
B ．022z <-<或22z <-<+∞
C ．02z <-<+∞
D ．022z <-<
8．设函数22
()(1)iz
e f z z =+，则()Res ,f z i -=⎡⎤⎣⎦（ ） A ．0
B ．4ie -
C ．4
ie
D ．
4
e
9．0()t t δ-的傅里叶变换为（ ）
A ．1
B ．0t
C ．0i t e ω-
D ．0i t e ω 10．在拉氏变换中，函数1()f t 与2()f t 的卷积，12()()f t f t *为（ ）
A ．12()()t f t f t dt -∞
⎰
B ．120
()()t
f f d τττ⎰
C ．120
()()t f f t d τττ-⎰ D ．120
()()t
f f t d τττ-⎰
三、计算题（每题8分，共24分） 1．23371
()f z d z
ξ
ξξξξ=
++=
-⎰，求).1(i f +'
2． 计算积分
2
d (1)
z
C
e z z z -⎰
，:3C z =取正向。 3．求函数21
()2z f z z z
+=
-在孤立奇点处的留数。
四、综合题（共36分）
1．设a 、b 是实数，函数22()()f z axy bx y i =++在复平面解析，则分别求a 、b 之值，并求()f z '.
（8分） 2．将1
()()
f z z z i =
-在010z z i ==与处展成罗伦级数。（10分）
3．求余弦函数0()cos f t t ω=的傅里叶变换。（8分）
4．用拉普拉斯变换求解常微分方程：232(0)0,(0)1
t y y y e y y '''⎧-+=⎨'==⎩（10分）
黄山学院 学年度第 学期 《工程数学》( 本 科)期末试卷 (答案)
一、填空题
32-
，12-，3122i -+；cos x
e y ；0；22
；可去奇点；-1；1；1e t - 二、选择题
C B B A
D ，D A A C D 三、计算题
1、⎰=
-++=
321
73)(ξ
ξξξξd z
z f ，求).1(i f +'
解：因173)(2++=ξξξϕ在复平面上处处解析
由柯西积分公式知，在3 = ++==-=32)173(2)(2) ()(ξπϕπξξξϕz z i z i d z z f （4分） 所以 )76(2)(+='z i z f π （2分） 而点 i +1在3 )136(2]7)1(6[2)1(i i i i f +-=++=+'ππ （2分） 2、解：设2 ()(1) z e f z z z =-在曲线C 内除0,1z =±之外处处解析， （2分） 又因为0,1z =±是2 ()(1) z e f z z z =-的一阶极点，根据留数定理得： 3 21 d 2R e [(),](1)z k C k e z i s f z z z z π==-∑⎰ Re [(),0]2s f z i π=-，Re [(),1]s f z e i π=，1 Re [(),1]s f z i e π-= （4分） 2 1 d (2)(1)z C e z i e z z e π=+--⎰ （2分） 3、解：由21 ()2z f z z z += -得： 0z =和2z =都是()f z 的孤立奇点，并且是一阶极点， （2分） 1 Re [(),0]2s f z =- （3分） 3 Re [(),2]2 s f z = （3分） 四、综合题 1．解：)(z f 是复平面上的解析函数，则2 2),(,),(y bx y x v axy y x u +==在平面上满足C — R 方程，即：x y y x v u v u -==, 故 bx ax y ay 22-== 对y x ,∀ 成立， （4分） i x y xy z f b a )(2)(,1,222-+=-==⇒ iz y i x i z x i y v i u z f x x 2)()2(2)(-=+=-+=+=' （4分） 2．解：)(z f 在复平面有孤立奇异点00=z 与i z =1， （1）1||0< 100 11/11()()()11n n n n i i f z i iz i z z z z z z i i ∞∞ -==-=⋅=⋅=⋅⋅-=---∑∑ （2分） （2）+∞<<||1z 时 ∑∑∞ =∞ =+==-⋅=-⋅ =00222)(1111111 )(n n n n n z i z i z z i z z i z z z f （3分） （3）1||0<- )(1111 11)(i z i i i z i i z i i z i z i i z z f ---⋅-=-+ -⋅-=-+⋅-= 10 10)()(-∞ =-∞=⋅-=⋅-⋅--=∑∑n n n n n n i i z i i z i z i （3分） （4）+∞<-<||1i z 时 ∑∞ =--⋅-=-+ ⋅ -=0)(1111)(n n i z i i z i z i i z z f （2分） 3． 解： 0()[()]c o s i t F F f t te dt ωωω+∞ --∞ ==⎰ 001()2i t i t i t e e e dt ωωω+∞--∞ =+⎰ 00()()1[]2i t i t e e dt ωωωω+∞---+-∞=+⎰ 001 [2()2()]2 πδωωπδωω=-++ 00[()()πδωωδωω=-++ （8分） 4．解：令 )())((s Y t y =L ，对方程两边求拉氏变换得： 2 1 )(2))(3(1)(2-=+-+-S S Y S SY S Y S （4分） 12 1 )()23(2+-= +-S S Y S S 2 2)2(1 )2)(1(1) 2)(1(1)(-=--+--= S S S S S S Y （3分） t te t y 2)(=∴ （3分） 黄山学院 学年度第 学期 《工程数学》( 本 科)期末试卷 (时间120分钟) 试卷编号: 院(系) 班 姓名 学号 得分 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. Lnz Lnz 22=。 （ ） 2.实部与虚部满足柯西—黎曼方程的复变函数是解析函数。 （ ） 3.幂级数的和∑∞ =-=00)()(n n n z z C z f 在收敛圆的内部是一个解析函数。 （ ） 4. 分式线性函数具有保形性、保对称点性以及保圆性。 （ ） 5. 单位脉冲函数)(t δ是偶函数。 （ ） 二、填空题（每空2分，共20分） 1.i 22+的复指数形式为 [1] ，三角表示式为 [2] 。 ---------------------------------------- 装 -------------------------------------- 订 ------------------------------------- 得分 得分 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ ）；3. 2 11 )(z z f += ， =)0()5(f （ ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（ ）极点；5． z z f 1 )(=， =∞]),([Re z f s （ ） ； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 )2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； 得分 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 231i -的幅角是 ；2.)1(i Ln +-的主值是 （ ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4 sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 ) 1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) 1sin 1 的孤立奇点为 z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 复变函数与积分变换试题(一) 1． 一、填空(3 分×10) 1．ln(-1- 3 i ) 的模 .幅角 。 2．-8i 的三个单根分别为： . . 。 3．Ln z 在 的区域内连续。 4． f ( z ) = z 的解极域为： 。 5． f (z ) = x 2 - y 2 + 2xyi 的导数 f (z ) = 。 7．指数函数的映照特点是： 。 8．幂函数的映照特点是： 。 9．若F ( ) =F [f (t )].则 f (t )= F - 1 f [( )] 。 10．若f (t )满足拉氏积分存在条件.则 L [f (t )]= 二、(10 分) -1x 2 + 1 y 2.求函数u (x ,y )使函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )为 解析函数.且 f (0)=0。 、(10 分)应用留数的相关定理计算 dz |z |= 2 z 6 (z -1)(z -3) 四、计算积分(5 分×2) dz |z |= 2 z ( z - 1) 6． Re s sin 3z ,0 z 3 已知v (x , y ) = 2．c(z co-s i z)3 C：绕点i一周正向任意简单闭曲线。 五、(10 分)求函数f ( z) =z(z1-i)在以下各圆环内的罗朗展式。 1．0 | z - i | 1 2．1 | z - i | + 六、证明以下命题：(5 分×2) (1)(t - t )与e-iwt o构成一对傅氏变换对。 + (2)+e-i t dt=2() - x + y + z = 1 七、(10分)应用拉氏变换求方程组x + y+z = 0满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解 y + 4z = 0 y(t)。 八、(10 分)就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。 复变函数与积分变换试题与答案 一、填空题：（每题3分） 1.i 31--的三角表达形式： ； 指数表达形式： ； 几何表达形式： . 2．=-i 2)3( ； 3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度，则≤?z z f C d )( . 4．级数21n z z z +++++L L 的和函数的解析域是 。 5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是 。 二、 判断正确与错误（画对错号，每题3分） 1．因为|sin |1z ≤，所以在复平面上sin z 有界。 （ ） 2、若函数()z f 在0z 处解析，则)()(z f n 也在0z 解析。 （ ） 3．如果u (x ,y )，v (x ,y )的偏导数存在，那么f (z )=u +iv 可导。 （ ） 4．在z o 处可导的函数，一定可以在z o 的邻域内展开成罗朗级数。 （ ） 5. 解析函数构成的保形映照具有保圆性 （ ） 三、解答题（每题8分） 1．设22()i f z xy x y =+，则()f z 在何处可导？何处解析？ 2．已知f （z ）的虚部为222 121),(y x y x v +-=，求解析函数 0)0()(=+=f iv u z f 且. 3.求积分 ,C I zdz =? C 为沿单位圆(||1)z =的逆时针一周的曲线。 4.求sin d (1) C z z z z -? ?，其中C 为||2z =。 5.求e d cos z C z z ??，其中C 为||2z =。 6．把函数) 2)(1(1 2-+z z 在2||1< 复变函数与积分变换试题（一） 一、填空（3分×10） 1．)31ln(i --的模 ，幅角 。 2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。 3．Ln z 在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为： 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f 。 6．=?? ? ???0,sin Re 3z z s 。 7．指数函数的映照特点是： 。 8．幂函数的映照特点是： 。 9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f 。 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]= 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函 数，且f (0)=0。 三、（10分）应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×2） 1．?=-2||) 1(z z z dz 2．? -c i z z 3 )(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<- [试题分类]:复变函数与积分变换 [题型]:单选 [分数]:2分 1.复数 3 – 2i的虚部为（）。 A. 3 B.– 2i C.– 2 D.–i [答案]:C 2.算式(3 – 2i) – (–1 + i) 的值等于（）。 A. 4 –i B. 4 – 3i C. 2 –i D. 2 – 3i [答案]:B 3.算式(–1 + i)2的值等于（）。 A. –2i B. 2 – 2i C. 2 D. 2i [答案]:A 4.算式的值等于（） A. B. C. D. [答案]:D 5.已知z1和z2 是两个复数，以下关于共轭复数运算的式子（）是正确的。 A. B. C. D. [答案]:A 6.方程组的解为（）。 A. B. C. D. [答案]:B 7. 复数的三角表示式为（）。 A. B. C. D. [答案]:D 8.复数z的主辐角在（）上不连续。 A. 负实轴 B. 正实轴 C. 原点及负实轴 D. 原点及正实轴 [答案]:C 9. 复数的三角表示式为（）。 A. B. C. D. [答案]:D 10. 的值等于（）。 A.8i B.–8i C. 8 D.–8 [答案]:B 11. 圆周方程的复数形式为（）。A. B. C. D. [答案]:A 12.复数的模等于（）。 A.13 B.49 C.7 D. [答案]:C 13.复数6 – 8i的模等于（）。 A. 10 B.–10 C. D. 100 [答案]:A 14.复数2 + 3i的主辐角（）。A. B. C. D. [答案]:B 15.复数–4 + 6i的主辐角（）。A. 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题每小题3分,共计15分 1．231i - 2. )1(i Ln +-的主值是 ； 3. 2 11 )(z z f += , = )0() 5(f 0 ,4．0=z 是 4 sin z z z -的 一级 极点； 5． z z f 1 )(=,=∞]),([Re z f s -1 ； 二．选择题每题3分,共15分 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为 ； A y x iu u z f +=')(； B y x iu u z f -=')(； C y x iv u z f +=')(； D x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ,则0d )(=⎰C z z f ． A 23-z ； B 2 ) 1(3--z z ； C 2)2()1(3--z z ； 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛,则级数在 A 2-=z 点条件收敛 ； B i z 2=点绝对收敛； C i z +=1点绝对收敛； D i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是 A 如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析； C 如果 0)(=⎰ C dz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； D 函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域 内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是 ． A 的可去奇点；为z 1 sin ∞ B 的本性奇点；为z sin ∞ C ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞三．按要求完成下列各题每小题10分,共40分 1．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析,由C-R 条件 ,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c 给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分; 2．计算⎰-C z z z z e d )1(2 其中C 是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 4.34arctan 3 A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg() B i i -=- 2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+ 2 .||D z z z ⋅= 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） .z A z e + 2 sin . 1 z B z + .tan z C z e + .sin z D z e + 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 22Lnz Lnz = .cos sin iz C e z i z =+ . ||D z = 7．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） .ln 223 i A z i ππ=++ .ln 423 i B z i ππ=++ .ln 226 C z i π π=++ .ln 426 D z i π π=++ 8．已知31z i =+，则下列正确的是（ ） 12.i A z e π= 34 .i B z π= 712 .i C z e π= 3.i D z π= 9．积分 ||34 2z dz z =-⎰的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10 ()z C e dz z i π-⎰等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） 复变函数与积分变换试题 系别班级学号姓名 得分评卷人 -------------- 一、填空(每题3分，共24分) 1.(上£1严的实部是 _______ ,虚部是________ ,辐角主值是______ 1-V3/ 2.满足lz + 21 + lz-2K5的点集所形成的平面图形为,该图形是 否为区域—. 3. 7(z)在福处可展成Taylor级数与/(%)在处解析是否等价？ . 4. (l + i)i的值为______________________________________________ 主值为. 5.积分，的值为 _____________ ，f '—dz. = ________ . Juw z J izi=2 4) a--)" 1 -L 6.函数J (z)=——7"-3在Z =。处Taylor展开式的收敛半径是 ______ . z-l 7.设F [<(。]=Z3), F 则F [/1(0*/2(r)]=, 其中力⑺* /2(0定义为. 8.函数/(外=任的有限孤立奇点z°=_，Z。是何种类型的奇点？ . Z 得分评卷人二、(6分)设/仁)=/一丫3+2//〃问/仁)在何处可导？何 处解析？并在可导处求出导数值. 三、(8分)设i ，= eXsiny,求p 的值使P 为调和函数，并求出解 析函数 f(z) = u + iv. 四、(10分)将函数〃z) = "—在有限孤立奇点处展开为 2z~ — 3z +1 Laurent 级数. 得分评卷人 -------------- 五、计算下列各题(每小题6分，共24分) 1. /(z) = f 求/(1 + ) J 图7 4-z 2. 求出/(z) = eV 在所有孤立奇点处的留数 3. L(f 32产(”。) 4. 尸——二~＜公 J 。1 + sin- x 六、(6分)求上半单位圆域｛2：1[1<1,11]12>0｝在映射卬=22下 的象. 模拟试卷一 一.填空题 1. =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-7 11i i . 2. I= ()的正向为其中0,sin >=-⎰a z c dz z e z c z ,则I= . 3. z 1 tan 能否在R z <<0内展成Lraurent 级数？ 4．其中c 为2=z 的正向：dz z z c 1 sin 2 ⎰ = 5. 已知()ω ω ωsin =F ，则()t f = 二.选择题 1.()()z z z f Re =在何处解析 (A) 0 (B)1 (C)2 (D)无 2.沿正向圆周的积分. dz z z z ⎰=-2 2 1sin = (A)21sin i π. (B) 0. (C)1sin i π. (D)以上都不对. 3． () ∑+∞ -∞ =--n n n z 14的收敛域为 (A) . 414 1 <- 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题〔每题3分，共计15分〕 1．231i -的幅角是 ；2.)1(i Ln +-的主值是 〔 〕；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f 〔 0 〕，4．0=z 是 4sin z z z -的〔 一级 〕极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s 〔-1 〕； 二．选择题〔每题3分，共15分〕 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔 〕； 〔A 〕 y x iu u z f +=')(； 〔B 〕y x iu u z f -=')(； 〔C 〕y x iv u z f +=')(； 〔D 〕x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f 〔 〕，则0d )(=⎰C z z f ． 〔A 〕 23-z ； 〔B 〕2 )1(3--z z ； 〔C 〕2)2()1(3--z z ； 3．如果级数∑∞=1n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛； 〔C 〕i z +=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散． ４．以下结论正确的选项是( ) 〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； 〔C 〕如果0)(=⎰C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； 〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．以下结论不正确的选项是〔 〕． (A) 的可去奇点；为z 1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为z ∞三．按要求完成以下各题〔每题10分，共40分〕 〔1〕．设)()(2 222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 复变函数与积分变换试题及答案5 复变函数与积分变换试题与答案 1．若 u(x,y)与v(x,y)都是调和函数，则f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是解析函数。 2．因为 |sinz|?1，所以在复平面上sinz有界。 3．若 f(z)在z0解析，则f(n)(z)也在z0解析。 2 4．对任意的z，Lnz?2Lnz 二填空1．2． ii?arg??2?2i ， ?2?2i 。 ln(?3i)? ， ii? 。 2f(z)?2z?4z下，曲线C3.在映照在 z?i处的伸缩率是，旋转角 是。 1??0是z1?e2zRes[4,0]?z的阶极点，。 三解答题设 f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)。问常数a,b,c,d13为何值时 f(z)在复平面上处处解 析？并求这时的导数。 求 (?1)C的所有三次方根。 其中C是z?3． 4． z2dz?0到z?3?4i的直线段。 |z|2ezcoszdz。(积分曲线指正向) dz?|z|?2z(z?1)(z?3)5．。(积分曲线指正向) f(z)?6 将 1(z?1)(z?2)在1?|z|?2上展开成罗朗级数。 |z|?1保形映照到单位圆内|w|?1且满足 11πf()?0argf?()?222的分式线性映， 7.求将单位圆内 照。四解答题 1．求 0 t?0f(t)kt?e t?0 的傅氏变换。 设 f(t)?t2?te?t?e2tsin6t??(t), 求f(t)的拉氏变换。 F(s)?1s2(s2?1)，求F(s)的逆变换。 设 4. 应用拉氏变换求解微分方程 ty2y3ye, (0) 1y(0)0y 总分: 100分考试时间:分钟 填空题 1. |z-i|=|z-1|的图形是___(1)___ .(6分) (1).参考答案:线段i到1的垂直平分线 判断题 2. 若存在，则在处解析。(6分) 正确错误 参考答案：错误 解题思路： 3. 解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。(6分) 正确错误 参考答案：正确 解题思路： 4. 若和的偏导数连续，则可导。(6分) 正确错误 参考答案：错误 解题思路： 5. 若是的奇点，则在处不可导。(6分) 正确错误 参考答案：错误 解题思路： 单选题 6. (cos+isin)3= 。(5分) (A) cos(3)+isin(3) (B) cos (C) cos(3)+3isin(3) (D) cos 参考答案：A 7. 设z=x+iy，则下列函数为解析函数的是。(6分) (A) f（z）=x2-y2+i2xy (B) f（z）=x-iy (C) f（z）=x+i2y (D) f（z）=2x+iy 参考答案：A 8. 在复平面上方程|z-1|+|z+1|=4表示。(5分) (A) 直线 (B) 圆周 (C) 椭圆周 (D) 抛物线 参考答案：C 9. 设，则的零点个数为。(5分) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 参考答案：C 10. 关于函数，以下哪个说法是错误的。(5分) (A) 它是有界函数 (B) 它是周期函数 (C) 它仅有实零点 (D) 它是解析函数 参考答案：A 11. 。(6分) (A) (B) (C) (D) 参考答案：C 12. arg。(5分) (A) - (B) -+2,(k=0,±1,±2) (C) (D) +2,(k=0,±1,±2) 参考答案：C 13. ln(-4-3i)= 。(6分) (A) ln5+i(-π+arctg) (B) ln5+i(π+arctg) (C) ln5+i(-π+arctg) (D) ln5+i(π+arctg) 参考答案：A 14. 2sini= 。(5分) (A) (B) (C) (D) 参考答案：C 15. arg（-1+）= 。(6分) (A) - (B) (C) 得分 得分 «复变函数与积分变换»期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ ）；3. 2 11)(z z f +=，=)0()5(f （ ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（ ）极点；5． z z f 1 )(=， =∞]),([Re z f s （ ） ； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 ) 1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰ C dz z f （C ）如果 0)(=⎰ C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算⎰ -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； 得分 复变函数与积分变换试题及答案 2 复变函数与积分变换试题（一） 一、填空（3分×10） 1．)31ln(i --的模 ，幅角 。 2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。 3．Ln z 在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为： 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f 。 6．=⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 。 7．指数函数的映照特点是： 。 8．幂函数的映照特点是： 。 9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f 。 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]= 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为 解析函数，且f (0)=0。 三、（10分）应用留数的相关定理计算 ⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2 ||) 1(z z z dz 3 4 5 ∞ =4z 2312(3,)3)(1(1Re 6 6⨯=⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡--分）z z z s ⎥⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0 ∴原式=（2分） 2 3126 ⨯⨯i π=i 6 3π - 四、1．解：原式⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡-π=∑=k k z z z s i ,) 1(1 Re 221 （3分） z 1=0 z 2=1 ] 11[2+-=i π=0 （2分） 2．解：原式i z z i =''=s co ! 22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π- 五、1．解： n n i i z i i z i i z i i z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-=-+ ⋅ ⋅-=+-⋅-=0111111 )(111)(11)(分）（分）（分）（ 1 1 ) (--∞ =-=∑n n n i z i n n n i z i )(1 -=∑∞ -=（2分） 2．解：⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-+⋅ -=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11) (11)(1)(1 1)(2 分）（分）（ （1分）n n i z i i z ∑∞ =⎪⎭⎫ ⎝⎛ ---= 02 )(1 2 0)(11+∞ =-=∑n n n i z i 20 )(--∞=-=∑n n n i z i （2 分）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案
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