(完整版)计算方法练习题与答案.doc
练习题与答案
练习题一
练习题二
练习题三
练习题四
练习题五
练习题六
练习题七
练习题八
练习题答案
练习题一
一、是非题
1.
x *
–12.0326 作为 x 的近似值一定具有
6 位有效数字，且其误差限
1 10 4
( )
2
。
2. 对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。 ( )
3.
一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
( )
x 2
4.
1
( )
用
2
近似表示 cos x 产生舍入误差。
5. 3.14 和 3.142 作为 的近似值有效数字位数相同。
( )
二、填空题
y 12
3 4 9
x 1
2
3
1.
为了使计算
x 1
x 1
的乘除法次数尽量少，应将该
表达式改写为 ；
2. x * –0.003457是 x 舍入得到的近似值，它有
位有效数字，误差限
为
，相对误差限为
；
3. 误差的来源是 ；
4. 截断误差为
；
5.
设计算法应遵循的原则是 。
三、选择题
1． x * –0.026900作为 x 的近似值，它的有效数字位数为 ( ) 。
(A) 7；
(B) 3；
(C) 不能确定
(D) 5.
2．舍入误差是 ( )产生的误差。
(A) 只取有限位数(B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值
(C) 观察与测量(D) 数学模型准确值与实际值
3．用 1+x 近似表示 e x 所产生的误差是 (
)误差。
(A). 模型
(B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入
1
．用 * 2
2 表示自由落体运动距离与时间的关系式
(g 为重力加速度 )，s t 是在
4s =
gt
时间 t 内的实际距离，则 s t s * 是（ ）误差。 (A). 舍入
(B). 观测 (C). 模型 (D). 截断
5． 1.41300作为 2 的近似值，有 ( )位有效数字。
(A) 3 ；
(B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题
22
1． 3.142，3.141， 7 分别作为 的近似值，各有几位有效数字？
2． 设计算球体积允许的相对误差限为
1%，问测量球直径的相对误差限最大为
多少？
3． 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：
1
1 x
, | x | 1
x 1
1 dt | x |
1
(1) 1 2x 1 x
， (2) x
1 t 2
(3) e
x
1, | x | 1，
(4)
ln(
x 2 1 x) x
1
1
4．真空中自由落体运动距离 s 与时间 t 的关系式是 s= 2 gt 2
，g 为重力加速度。现设 g 是精确的，而对 t 有 0.1 秒的测量误差，证明：当 t 增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。
5*
. 采用迭代法计算
7
，取
x 0 2
x k
1
1 ( x k 7 )
2 x k
k=0,1, ,
若
x
k
是 7 的具有 n 位有效数字的近似值，求证
x
k 1
是 7
的具有 2n 位有效数字的
近似值。
练习题二
一、是非题
1. 单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( )
2. 牛顿法是二阶收敛的。
( ) 3. 求方程
x 3 x 1 0 在区间 [1, 2] 内根的迭代法总是收敛的。
( ) 4. 迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。
( )
5. 求非线性方程 f (x)=0根的方法均是单步法。()
二、填空题
1. 1. 用二分法求非线性方程 f (x)=0 在区间 (a,b)内的根时，二分 n 次后的误差
限为；
1. 2. 设f (x)
可微 ,求方程
x f ( x)
的牛顿迭代格式是；
2. 3. 用二分法求方程 x3 x 1 0 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区
间为，要求准确到 10 3 ，则至少应二分次；
3. 4. ( x) x ( x2 5)
，要使迭代格式
x
k 1 ( x k ) 局部收敛到 x
*
5
，则
的取值范围是；
4. 5. 求方程 x3 x 4 0
根的单点割线法是，其收敛阶为；
双点割线法是，其收敛阶为。
三、计算题
1. 用二分法求方程 x2 x 1 0 的正根，使误差小于0.05。
2.求方程 x3 x 2 1 0 在x
1.5
附近的一个根，将方程改写为下列等价形
式，并建立相应迭代公式。
1 x
k 1
1
(1) x 1
1
x2，迭代公式x k2 ；
1
(2) x3 1 x2 ，迭代公式x
k 1
1 x k
2
3 ；
x 2 1 x
k 1
1
x k 1 ；
(3) x 1 ，迭代公式
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取收敛最快的方法求具有 4 位有效数字的近似值。
3.用牛顿切线法求5
的近似值。取
x
2
,计算三次，保留三位小数。
4.用割线法求方程x
3 3x 1 0 的在
x
1.5
附近的一个根，精确到小数点
后第二位。
四 * 、证明题
已知方程
f ( x)
，试导出求根公式
x
k 1
x k 2 f ( x k ) f ( x k )
2[ f ( x k )] 2 f ( x k ) f ( x k )
并证明：当 x *
是方程
f ( x)
的单根时，公式是
3 阶收敛的。
练习题四
一、是非题
3 1 1
A 2 5 3
．矩阵 1 2 5 具有严格对角优势。 ( )
1
3 1 1
A
1 5
3
2． 1 2 5 是弱对角优势矩阵。
( )
3．高斯—塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快。
( ) 4． || M || 1 是迭代格式 x
( k 1)
M x ( k )
f
收敛的必要条件。
( )
*
5 . 逐次超松弛迭代法是高斯—赛德尔迭代法的一种加速方法。
( )
3x 1 5x 2 1 1.解方程组
x 1 2x 2
的雅可比迭代格式（分量形式）为
， 该迭代矩阵的谱半径 (B 1)
；
3x 1 5x 2
1
2. 解 方 程组 x 1
2x 2
的高斯—赛德尔迭代格式（分量形式）
为
，迭代矩阵
B
2
， 该迭代矩阵
的谱半径
( B 2
)
；
3. 幂法的迭代公式为
；
4* ． QR 算法是用来求
矩阵的全部特征值的一种方法。 5* ．雅可比方法是用来求
矩阵的全部特征值及特征向量的一种变换
方法。
三、选择题
1. 解方程组
Ax
b 的迭代格式 x
(k 1)
M x ( k ) f
收敛的充要条件是 ( ) （A ） || A || 1； （B ）|| M || 1；
（C ）
(A)
1 ；
（D ）
(M )
1 。
2．幂法的收敛速度与特征值的分布（
）
（ A ）有关； （ B ）无关；
（C ）不一定。
3．幂法是用来求矩阵（
）特征值及特征向量的迭代法。
（ A ）按模最大；
（B ）按模最小；
（ C ）任意一个；
（D ）所有的。
4．解代数线性方程组的松弛法收敛的必要条件是
（ ）
（A ） 0 1 ； （B ） 0 1 ；
（C ）
2 ；
（D ）
02
。
5．反幂法是用来求矩阵（ ）特征值及特征向量的迭代法。 （ A ）按模最大； （B ）按模最小； （ C ）任意一个；
（D ）所有的。
四、计算题
1．用简单迭代法（雅可比迭代法）解线性方程组
3x 1
x 3
5 x 1 3x 2 x 3 1 x 1 x 2 4x 3
8
取
x (0) (0,0,0) T ，列表计算三次，保留三位小数。
2．用高斯—赛德尔迭代法解线性方程组
3x 1 x 3 5 x 1 3x 2 x 3
1
x 1 x 2
4x 3
8
取 x (0)
(0,0,0) T ，列表计算三次，保留三位小数。
4
0 0
A
1 2 1 3．用幂法求矩阵
1
2
按模最大特征值及相应特征向量，列表
计算三次，取 x
(0)
(1,1,1)T ，保留两位小数。
4* ．取
1.46 ，用松弛法解线性方程组
2x 1 x 2 1
x 1 2x 2 x 3 0 x 2 2x 3 x 4 1
x 3
4x 4 0
取 x (0)
(0,0,0) T ，列表计算三次，保留三位小数。
4 1 0
A
1 2 1
5*．用雅可比方法求实对称矩阵
0 1 1 的特征值及相应特征
位小数计算，
0.1）。
2 1 0
A
1 3 1
6*．用 QR 算法求矩阵
0 1 4 的全部特征值。
练习题五
一、是非题
1.
在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。
()
( x x 1 )( x x 2 )
2. (x 0 x 1 )( x 0 x 2 ) 表示节点 x
0 处的二次插值基函数。 ( )
3. 牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次
插值的结果。 ( ) 4.
在拉格朗日插值中，插值节点
x 0
, x 1
,L , x
n
必须按顺序排列。
( ) 5.
利用等距节点的牛顿插值公式计算 x
附近的
f ( x)
，用后插公式。
(
)
二、填空题
1. 已知
n 3
，则三次插值基函数 l 2
( x)
=_____________________。
n
l i ( x) ______
2. n+1 个节点的拉格朗日插值基函数 l i
( x)
的和 i 0
。
3. 已知 f ( x) x 4 ，取节点
x
k
k (k
0,1,2, ），用线性插值求 f ( 2.1) 的近似
值，其计算公式
f (2.1)P 1
(2.1)
________________ 。
4. ______________插值不仅要求插值函数和被插值函数在节点取已知函数值而
且取已知导数值。
5. 已知
f ( 1)
2, f (0) 1, f (2)
3, 则 f [ 1,0]
__________________，
f [ 0,2] ___________， f [ 1,0,2]
__________ ，牛顿二次插值多项式
N 2 ( x)
。
三、选择题
x x 1
)点的基函数 .
．函数 x
x
1 表示线性插值 (
1
(A)
x
；
(B) y
0 ；
(C)
x
1
(D) y
1 。
．过点 ( 1,1), (0,3), (2,4)
的二次插值多项式
p 2
( x)
中 x 2
的系数为 (
).
2
(A) –0.5 (B) 0.5 (C) 2 (D) -2
3．给定互异的节点
x 0
, x 1,L , x n
, p(x)
是以它们为插值节点的插值多项式，则
p( x) 是一个 (
).
(A). n+1 次多项式 (B). n 次多项式
(C). 次数小于 n 的多项式 (D). 次数不超过 n 的多项式
4． f ( x)
3x 99
50x 6 7x, 差商 f [1,2,22 , ,2100 ] (
)
(A) 0
(B) -3 (C) 50 (D) -7
5．对于次数不超过
n 的多项式 f ( x), 它的 n 次插值多项式 p(x)为 ( ). (A) 任意 n 次多项式(B) 任意不超过 n 次的多项式
(C)
f ( x)
本身 (D) 无法确定
四、计算题 1. 已知
f ( 1)
2, f (1) 3, f (2)
4,
求
f (x)
的牛顿插值多项式
N 2 ( x) ，及
f (1.5)
的近似值，取三位小数。
2. 证明：若 f (x)二阶连续可微，则对于 f (x) 的以 x 0
, x
1
为节点的一次插值多项
式
P 1
( x)
，插值误差
( x 1 x 0
)2
f ( x)
f ( x) P( x)
max
1
8
x 0 x x 1
3. 设 f ( x) x
4
2 x
1
，利用拉格朗日插值余项求以 -1，0，1，2 为插值节点
的三次插值多项式。
4 * ．已知函数 y f ( x) 的数据 f (1) y 0 , f (2) y 1 ,
f (1) m 0 ，用基函数法求 f (x)的二次插值多项式 H 2 ( x) 使
H 2
(1) y 0
, H 2
(2)
y 1, H 2 (1) m 0 .
5 *
．要给出
f ( x)
e x
在区间 [-2,2] 上的等距节点函数表，用分段三次 Hermite
插
值求 e x 的近似值 ，要使误差不超过
10 8 ，问函数表的步长 h 应为多少？
x i 1 1 4 6. 已知的 f(x)函数表
2
4
5
f ( x i )
(1) 求 f (x)的二次插值多项式； (2) 用反插值求 x ，使 f (x)=0。
练习题六
一、判断题
1 ． 在等距节点的情况下，才能计算函数的差分。 ( )
2 ． 向前差分与向后差分不存在等量关系。 ( ) 3． 已知观察值 ( x i
, y i
) (
i 0,1,2,
,n)，用最小二乘法求得的拟合多项式其次
数 为 n 次 。
(
) 4． 利用最小二乘原理对一组数据找出合适的数学公式来拟合，首先应确定公
式的类型。 (
) 5 ． 数据拟合的步骤首先是建立正规方程组。 (
)
二、填空题
1． 已知某函数的二阶向前差分 2
f 1 为 0.15,则其二阶向后差分
2
f 3 为
_______。
2． 利用牛顿前插公式计算某点的近似值，应首先确定公式中的 t ，其计算公
式为 t =____________。
3． 已知函数 y
f ( x)在[a, b]上的 n
1个节点 x i 处的函数值 y
i ，则其三次样条插 值函数 s(x)满足的条件为
________________________。
． 已知 ( x i , y i ) i 1,2,
,30)，其线性拟合的正规方程组为 _________。
(
4
y
x ( x i , y i )
b
做变换 _____________后为线性
． 用形如 ax 的非线性拟合数据
5
拟合 y
= a bx 。
三．选择题
1. ( )是利用函数的值求自变量的值。
(A) 三次样条插值 (B) 反插值
(C) 分段插值
(D) 爱尔米特插值
2．记 i y i y i *
, i
1,2,L
,n
,最小二乘法原理要求下列哪个为最小 ( )
n
n
n
max i
2
(B) i i
i
i
(A) 1 i n 1 (C) i 1 (D) i 1
3．当线性方程组满足 ( )时称为超定方程组。
(A) (A) 未知数的个数等于方程的个数 (B) (B) 未知数的个数大于方程的个数 (C) (C) 未知数的个数小于方程的个数
(D) (D) 未知数的个数与方程的个数大小任意
4． x *
是超定方程组 Ax b 的最小二乘解的充分必要条件是 ( ).
(A) x *是 A T Ax
A T b 的解
(B) x *是 AA T x A T b 的解
(C) x * 是 A T x b T 的解 (D) 三者都不对
P n ( x) 1 d n 2 1) n
]
n n! dx n [( x
．勒让德多项式 2
是 ( ) 5
(A) 小于 n 次的多项式 (B) 等于 n 次的多项式 (C) 大于 n 次的多项式
(D) 小于等于 n 次的多项式 四、计算题
1． 已知函数 y
f (x)的函数表如下 , 解答下列问题
x i
f ( x i )
(1)
列出相应的差分表；
(2) 分别写出四次牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式；
(3) 用三次插值多项式求 f (0.04)和f (0.32)
的近似值。
2． 已知 f (1.3)
14.8, f (1.6)
17.4, f (2.4)
18.5, f (3.1)
20.0 ，按最小二乘原
理求一次多项式拟合上述数据。
3x 1 2x 2 2 4x 1 5x 2
3
3． 求超定方程组
2 x 1 x 2
11
的最小二乘解。
x i 2 1 0
1
2 4．已知观察值 y i
y 0
y 1
y 2 y 3
y 4
利用 f (x)的二次拟合多项式 p 2 ( x), 求f
(0)
的近似值。 5．用形如
y a ln x b
的函数拟合下列数据
x i f ( x i )
练习题七
一、填空题
1. 已 知 f (1)
1.1 ， f (2)
1.2 ， f (3)
1.5
，则三点式高斯求积公式为
3
f ( x)dx
3
(
)，用抛物线求积公式求得
f ( x)dx （
）。
1
1
2. 已知 f
3 ， f 0.5
4 ， f 1
3
，则用三点式可求得
f (0) （
）， f
(0.5) （
）， f (1)
（
），且 f ( x)
（
）。
b
f ( x)dx
C 2 [a,b] 时 ,
3. 复合梯形求积公式为
a
（
），当 f ( x)
其余项 R n ( f ) ( )。
4. 数值积分代数精确度的定义是（
）。
b
n
f ( x)dx A k f ( x k )
5.
求积公式 a
k 0
的代数精度以（ ）求积公式为最高，具 有（ ）次代数精度，其节点称为（ ）点。 二、选择题
1. 求积公式研究的误差为（ ） 。
A.观测误差
B.模型误差
C.舍入误差
D.截断误差
b a
2. 已知在 [a,b] 上，
f ( x)
2 ，且 f ( x) C 2
[ a,b] ，步长 h
n ，则复合梯
形求积公式的误差限为（
）。
(b a)3
(b a) 3
A.
6
B.
6
b a h 2
h 3
C. 6
D. 6
3. 梯形公式、抛物线公式及 n 阶 N C 求积公式的代数精度分别至少为（ ）。
A. 1,2,n
B. 2,3,n
C. 1,3,n
D. 1,4,n+1
4.
数值微分的二点公式中，其误差限为（ ）， 其中
h x
1
x
x 0
x
1
。
A ． O(h 2 )
h
f ( )
B. 2
h f ( ) D. h
max f ( x)
C. 2
2 x
x x 1
C 4
[ 0,2] ，在 [0 ， 2]内 f
( 4 )
( x)
2
f (x)dx
有两位整数，用复
5. 已知 f (x)
1
， 0 合抛物线求积公式计算要保证有 5 位有效数字，步长最多应为（
）。
A. 0.1
B. 0.2
C. 0.3
D. 0.4
三、判断题
b n
f (x)dx
A k f (x k )
1 、 高斯求积公式 a
2n+1 。
(
)
k 1
的代数精度为
2 、 梯形求积公式和抛物线求积公式都是高精度方法。 ( )
3 、 在使用插值型求积公式时，勿须进行误差分析。
(
) 4、 n 越大，
N
C 求积公式的代数精确度就越高，相应地求积公式的稳定性
也越好。
( ) 5、 具有 n+1 各节点的插值型求积公式至少具有 n+1 次代数精度。 ( )
四、计算题 1 dx
1
、 分别用梯形公式和抛物线公式计算积分
4 x
， [0 ， 1]八等分，并估计
1
误差。
2
2)dx
2、 n=4，用复合梯形公式求
( x 3 的近似值，取四位小数，并估计误
差。
3、 用复合抛物线公式计算
1.5 e x dx
1 104
，要使截断误差不超过 2
，应至少
将区间 [0，1.5]多少等份？
2
f ( x)dx A 0 f (0) 2 A 1 f (1) 3A 2
f (2)
，求 A 0 , A 1 , A 2
4、 设有求积公式 0 使代数
精度尽量高。
5、 利用二次插值推导出数值微分的三点公式，并由此计算
f (x)
(1 x) 2 在
x
1.0,1.1
和 1.2处的导数值。
练习题八
一、填空题
y
y x 1
1. 用 Euler 方法解常微分方程初值问题
y(0) 1 ，步长
h 0.1
，计
算格式为
y
n 1
=（
），
y
1
=（
）。
y f ( x, y)
2. 求解常微分方程初值问题y(x0 ) y0 改进的欧拉公式为
（）
3. 常微分方程初值问题的数值解法一般分为（）法和（）法。
4.求解常微分方程初值问题的 Adams 公式是（）步法。
5.求解常微分方程初值问题的四阶 R-K 方法的局部截断误差为
（）。
二、选择题
1、已知一个求解常微分方程的差分公式的局部截断误差为O( h
2
)
，则该方法的
阶是（）。
A．1B．2C．0D．3
2、求解一阶常微分方程初值问题的梯形公式为（）步法。
A．多B．2C．3D．1
3、梯形公式是求解常微分方程的（）阶方法。
A．2B．4C．3D．5
4、四阶 R-K 方法每步要计算（）次f
的值。
A． 4 B．5 C． 2 D．3 5、改进的Euler 公式的局部截断误差为（）。
A. O( h2 )
B.
O (h3 ) C. O (h4) D.O( h5)
三、判断题
1、R-K 法是一类低精度的方法。( )
2、求解微分方程初值问题的二阶R-K 方法是多步法。( )
3、梯形方法是一种隐式的多步法。( )
4、求解微分方程初值问题的向后Euler 法是隐式方法。( )
5、求解常微分方程初值问题的预估—校正公式的局部截断误差为O (h 2 ) 。
( )
四、计算题
1、用 Euler 法求解
y 2x y
y(0) 1 （0
x 1 ）
h 0.2 ，保留两位小数。
2、 用 Euler 法求
x
t 2
dt
y(x)e
在
x
0.5, 1.0 , 1.5 , 2.0 处的近似值，保留
5 位小数。
3、 用改进的 Euler 法（梯形公式）解初值问题
y 8 3y
y(1) 2
（ 1 x 2 ）
取步长 h 0.2，至少保留 5 位小数。
4、 用预估—校正公式求初值问题
y
xy 2
y( 0)
1
（
0 x 1 ）
的数值解，取步长 h
0.2 ，以四位有效数字计算。
五 *
、证明题
对常微分方程初值问题
y
y 0
y(0) 1
2 h n
y n
h
证明梯形公式求得的近似解为
2 ，并进一步证明当步长
h
时，
y
n
e x
。
计算方法练习册答案
习题一
一、1．；．；．；．；．．
2 3
4 5
y 12 (3 ( 4 9t )t )t, t
1 4, 1 10 6, 1 10 3 二、1．
x 1 ； 2 ． 2
6 ； 3．略；
4．略； 5．略．
三、 1．C ； 2．A ； 3．C ； 4．C ； 5．A ． 2x 2
四、1．4 位，3 位，3 位；
2． 0.333% ； 3 ．（ 1） 1 3x
2x 2 ， （ 2）
1
1
2
1 3
arctan
x 2!
x
3!
x
， （ 4） ln( x
2
1 x)
；4．略；
1 x( x 1) ，（ 3）
5．略．
习题二
一、1． ；2． ；3． ；4． ．
b a
x n 1
x n x n
f ( x n )
[ 1
,1],
10
二、 1． 2 n ； 2．
1 f ( x n ) ； 3． 2
；
(
5
,0)
x
n 1
x n
x n 3 x n 4
x n 3
x n 3
( x n x 0 ), 1, ． 5
； 5．
x 0
x 0
4
3
x n 1
x
n
x n
x n 4
( x n x n 1 ), 1.618
x n 3
x n x
n 1 3 x
n 1
．
三、 1． 1.59375 ； 2．（ 1）收敛，（
2）收敛，（ 3）发散，（ 2）收敛速度
快，
x *
1.467 ； 3．
2.236 ；4． 1.88 ．
四、略．
习题三
一、1．；2．；．；．；．．
3 4 5
二、 1．
2,
4,
6 ； 2．8, 7, 56 ；
1 0 0
2 1 0 2 0 0 A LU 1 1 0
0 3
1 , 1 3 0
2 2
L
2
2
4 2
1
0 0
2 2
3
3
3．
3
3
；
1
1
2 ,
2
2
1
4．7； 5．
3 3 ．
三、 1．B ； 2．B ； 3．B ； 4．B ； 5．D ．
四、 1．x=（ 2, -2, 1） T ； 2．x=（ 1, 1,1）T ； 3．x=（ 1, 1, 1, 1） T
； 4． x=（2, 1, -1）T ． 习题四
一、1． ；2． ；3． ；4． ；5． ．
x 1
5
x 2
1
(k 1)
( k)
3
3,
5
二、 1． x 2 (k 1)
1 x 1( k)
6
；
2
(k 1)
5 (k) 1 0
5
x 1
3
x 2
3,
3 ,
5
6
( k 1)
1
(k 1)
5
x 2
2 x 1
6
2．
；
y k
Ax k 1
m k max(y k )
x k
1 y k
3． m k ； 4．任意实的非奇异； 5．实对称．
三、 1．D ； 2．A ； 3．A ； 4．C ； 5．B ．
四、 1 ． x= （ 2.444, 0.333, -2.531） T ； 2 ． x= （ 2.399, 0.401, -2.499 ） T
；
3． 1 4, v 1
(1,
0.47, 0.14)
4．略； 5．略； 6．略．
习题五
一、1．；2．；．；． ；5． ．
3
4
( x x 0 )( x x 1 )( x x 3 )
1； ． 22.5
二、 ．
( x
2
x 0 )( x 2
x 1 )( x 2
x 3 )
；
2． ； 1
3 4． Hermite ； 5． 1, 1,
2
, 2 ( x 1)
2
(x 1) x
3
3
．
三、 1．A ； 2．A ； 3．D ； 4．A ； 5．C ．
四、 1． N 2 (x) 2 1 (x 1) 5 ( x 1)( x 1)
5 x 2
1 x 5, 0.125
； 2．略；
2 2
2
2
3 ．
2x 3 x
2
1 4 ． H
2 ( x) y 0 ( x 2 2x) y 1 ( x
2 2x 1) m 0 ( x 2
3x 2) ；
5．0.03；6．(1) 8 x 2
3x 23
71
15
15 , (2) 21 ．
习题六
一、1． ；2．
；3．
；4．
；5． ．
x x 0
二、 1． 0.15 ； 2． h ； 3．略；
30
30
30
x i
a 0 y i
i 1 i 1
30
30
a 1
30
1
x i
2 x i y i
y
． x i
, x
4
i 1 i 1
i 1 ； 5． y
三、 1．B ； 2．C ； 3．C ； 4．A ； 5．B ．
四、1．略；
2 ． 12.36 2.53x ；
3 ．
1
( 2 y 0
y 1
y 3 2 y 4 )
4． 10
； 5．
y 0.53084 ln x 习题七
5 f (2
5 ) 8
f (2)
5 f ( 2 5
), 2.467
一、1．9
5
9
9
5
h
( f (x 0 )
n
1
(b a) 3
f ( x n ) 2 f (x i ) ), f ( )
3． 2
i 1
12n 2
1 x ．
x= （ 1.6530,
0.6612 ） T
2.93748 ．
；2．4, 0, 4, 8；
； 4．略； 5．高斯（ Gauss ）， 2n 1，高斯（ Gauss ）． 二、 1．D ； 2．C ； 3．C ； 4．D ； 5．D ． 三、1． ；2． ；3． ；4． ；5． ．
四、 1． T 8 0.22316,
4
7
R 0.40691 10 ,
S 4
0.18595, R 0.3179 10 ；
A 0
1 A 1
2 1
2．
T
4
8.25,
, , A 3
9 ；
R 0.5； 3．8；4．
3
3
5． 0.247,
0.217,
0.187 ．
习题八
一、 1．
0.9 y
n
0.1x n 0.1,
y
n 1
y n
h
( f ( x n , y n ) f ( x n 1, y n 1 ))
1
； 2．
2
； 3．单步，多步； 4．多； 5． 0( h 5 )
．
二、 1．A ； 2．D ； 3．A ； 4．A ； 5．B ．
三、1． ；2． ；3． ；4．
； ． ．
四、 1．
5
n 0 1 2 3 4 5 x n 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 y n
1
1.2
1.52 1.98
2.62
3.46
2．
n 0 1 2 3 4 x n 0 0.5 1.0 1.5 2.0 y n 0 0.5
0.88940 1.07334 1.12604
3．
n
0 1 2 3 4 5
x n 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
y n 2 2.30769 2.47337 2.56258 2.61062 2.63649
4．
n 0 1 2 3 4 5
x n 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
y n 1 1.02 1.086 1.311 1.598 2.205
五、略．
计算方法——第二章——课后习题答案刘师少
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。 （2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于
简便运算的练习试题和答案
乘法交换律：a×b＝b×a 乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c） 38×25×4 42×125×8 25×17×4 （25×125）×（8×4） 49×4×5 38×125×8×3 (125×25)×4 5 ×289×2 （125×12）×8 125×（12×4） 乘法交换律和结合律的变化练习 125×64 125×88 44×25 125×24 25×28 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 357＋288＋143 158＋395＋105 167＋289＋33 129＋235＋171＋165 378＋527＋73 169＋78＋22 58＋39＋42＋61 138＋293＋62＋107 乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c （80＋4）×25 （20＋4）×25 （125＋17）×8 25×（40＋4）15×（20＋3）
乘法分配律正用的变化练习： 36×3 25×41 39×101 125×88 201×24 乘法分配律反用的练习： 34×72＋34×28 35×37＋65×37 85×82＋85×18 25×97＋25×3 76×25＋25×24 乘法分配律反用的变化练习： 38×29＋38 75×299＋75 64×199＋64 35×68＋68＋68×64 其他的一些简便运算。 800÷25 6000÷125 3600÷8÷5 58×101－58 74×99
姓名： （1）125×15×8×4 （2）25×24 （3）125×16 （4）75×16 （5）125×25×32 （6）25×5×64×125 （7）125×64+125×36 （8）64×45+64×71-64×16 （9）21×73+26×21+21 姓名：（1）（720+96）÷24 （2）（4500-90）÷45 （3）6342÷21 （4）8811÷89 （5）73÷36+105÷36+146÷36 （6）（10000-1000-100-10）÷10 （7）238×36÷119×5 （8）138×27÷69×50 （9）624×48÷312÷8 （10）406×312÷104÷203
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。
小学四年级简便运算的练习题和答案
运算定律练习题 （1）乘法交换律：a×b＝b×a 乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c） 38×25×4 42×125×8 25×17×4 （25×125）×（8×4） 49×4×5 38×125×8×3 (125×25)×4 — 5 ×289×2 （125×12）×8 125×（12×4） (2) 乘法交换律和结合律的变化练习 | 125×64 125×88 44×25 125×24 25×28 （3）加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 357＋288＋143 158＋395＋105 167＋289＋33 129＋235＋171＋165 ~ 378＋527＋73 169＋78＋22 58＋39＋42＋61 138＋293＋62＋107
（4）乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c 正用练习 （80＋4）×25 （20＋4）×25 （125＋17）×8 25×（40＋4）15×（20＋3） （5）乘法分配律正用的变化练习： 36×3 25×41 39×101 125×88 201×24 ( （6）乘法分配律反用的练习： 34×72＋34×28 35×37＋65×37 85×82＋85×18 25×97＋25×3 76×25＋25×24 ~ （7）乘法分配律反用的变化练习： 38×29＋38 75×299＋75 64×199＋64 35×68＋68＋68×64 ； ☆思考题：（8）其他的一些简便运算。 800÷25 6000÷125 3600÷8÷5 58×101－58 74×99
【思路导航】在除法里，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商不变。 325÷25 =（325×4）÷（25×4） =1300÷100 =13 【练一练1】 （1）450÷25 （2）525÷25 （3）3500÷125 / （4）10000÷625 （5）49500÷900 （6）9000÷225 ! 【经典例题二】计算25×125×4×8 【思路导航】如果先把25与4相乘，可以得到100，同时把125与8相乘，可以得到1000；再把100和1000相乘就可以了。运用了乘法交换律和结合律。 25×125×4×8 =（25×4）×（125×8） =100×1000 =100000【练一练2】 （1）125×15×8×4 （2）25×24 （3）125×16 （4）75×16 （5）125×25×32 （6）25×5×64×125 (
计算方法课后题答案之习题二
习题二 1. 证明方程043 =-+x x 在区间[1，2]内有一个根。如果用二分法求它具有5位有效数字的根，需要 二分多少次。 证明: （1） 不妨令 4)(3-+=x x x f ，求得： 02)1(<-=f 06)2(>=f 又因为4)(3-+=x x x f 在区间[1，2]内是连续的，所以在区间[1，2]内有至少一个根。 又因为 13)(2'+=x x f 在区间[1，2]内013)(2'>+=x x f ，所以4)(3-+=x x x f 单调。 得证，043 =-+x x 在区间[1，2]内仅有一个根。 （2）具有5位有效数字的根，说明根可以表示成 5 4321.a a a a a ，所以绝对误差限应该是 5a 位上的 一半，即： 4105.0-?=ε。由公式： ε≤-+1 2 k a b 可得到, 14=k 迭代次数为151=+k 次。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. 用二分法求方程 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内的近似根（精确到10-3）。 解：043499.05625.099749.0)25.1(5.1sin )5.1(2 >=-=-=f 009070.0190930.0)22(2sin )2(2 <-=-=-=f 所以0)2 (sin )(2 =-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，又 x cos )('-=x x f 在区间[1.5，2]内 0x cos )('<-=x x f 所以 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，且唯一。符合二分条件，可以用二分法，二分的 次数为：
六年级数学简便计算专项练习题(附答案+计算方法汇总)
六年级数学简便计算专项练习题（附答案＋计算方法汇总） 小学阶段（高年级）的简便运算，在一定程度上突破了算式原来的运算顺序，根据运算定律、性质重组运算顺序。如果学生没真正理解运算定律、性质，他只能照葫芦画瓢。在实际解题的过程当中，学生的思路不清晰，常出现这样或那样的错误。因此，培养学生思维的灵活性就显得尤为重要。 下面，为大家整理了8种简便运算的方法，希望同学们在理解的基础上灵活运用，不提倡死记硬背哟！ 1.提取公因式 这个方法实际上是运用了乘法分配律，将相同因数提取出来，考试中往往剩下的项相加减，会出现一个整数。 注意相同因数的提取。 例如： 0.92×1.41＋0.92×8.59 =0.92×（1.41+8.59） 2.借来借去法 看到名字，就知道这个方法的含义。用此方法时，需要注意观察，发现规律。还要注意还哦,有借有还，再借不难。 考试中，看到有类似998、999或者1.98等接近一个非常好计算的整数的时候，往往使用借来借去法。 例如： 9999+999+99+9 =9999+1+999+1+99+1+9+1－4 3.拆分法
顾名思义，拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。这需要掌握一些“好朋友”，如：2和5，4和5，2和2.5，4和2.5，8和1.25等。分拆还要注意不要改变数的大小哦。 例如： 3.2×12.5×25 =8×0.4×12.5×25 =8×12.5×0.4×25 4.加法结合律 注意对加法结合律 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 的运用，通过改变加数的位置来获得更简便的运算。 例如： 5.76＋13.67＋4.24＋ 6.33 =（5.76＋4.24）＋(13.67＋6.33) 5.拆分法和乘法分配律结合 这种方法要灵活掌握拆分法和乘法分配律，在考卷上看到99、101、9.8等接近一个整数的时候，要首先考虑拆分。 例如： 34×9.9 = 34×(10－0.1) 案例再现：57×101=？ 6.利用基准数 在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数字，当然要记得这个数字的选取不能偏离这一系列数字太远。 例如： 2072+2052+2062+2042+2083
速算24点的技巧
速算24点的技巧 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
速算24点的技巧 “巧算24点”是一种数学游戏，游戏方式简单易学，能健脑益智，是一项极为有益的活动． “巧算24点”的游戏内容如下：一副牌中抽去大小王剩下52张，（如果初练也可只用1～10这40张牌）任意抽取4张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次，如抽出的牌是3、8、8、9，那么算式为（9—8）×8×3或3×8＋（9—8）或（9—8÷8）×3等． “算24点”作为一种扑克牌智力游戏，还应注意计算中的技巧问题．计算时，我们不可能把牌面上的4个数的不同组合形式——去试，更不能瞎碰乱凑．这里向大家介绍几种常用的、便于学习掌握的方法： 1．利用3×8＝24、4×6＝24求解． 把牌面上的四个数想办法凑成3和8、4和6，再相乘求解．如3、3、6、10可组成（10—6÷3）×3＝24等．又如2、3、3、7可组成（7＋3—2）×3＝24等．实践证明，这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法． 2．利用0、11的运算特性求解． 如3、4、4、8可组成3×8＋4—4＝24等．又如4、5、J、K可组成11×（5—4）＋13＝24等． 3．在有解的牌组中，用得最为广泛的是以下六种解法：（我们用a、b、c、d 表示牌面上的四个数） ①(a—b）×（c＋d） 如（10—4）×（2＋2）＝24等． ②（a＋b）÷c×d 如（10＋2）÷2×4＝24等． ③（a－b÷c）×d 如（3—2÷2）×12＝24等． ④（a＋b－c）×d
用简便方法计算下面各题
用简便方法计算下面各题 4.8×0.25 2.4×12.5 1.25×1.6×2.5 4.76×99+4.76 58.5×101-58.5 18.7×99+18.7 2.85×99 4.23×101 5.8×102 5.4×10.1 6.8×9.9 2.5×10.2 12.5×（100+8）9.4×10.1 93.7×0.32+93.7×0.68 2.52×101 1.25×0.7+1.25×1.2+12.5 3.6×2.5 7.2×0.2＋2.4×1.4 12.7×9.9＋1.2710.7×16.1-151×1.07
1、学校图书室长9.7 m，宽5.3 m，用边长0.9 m的正方形瓷砖铺地，70块够吗？（不考虑损耗。） 2、某公司出租车的收费标准如下：收费标准4 km及以内10元，超出4 km （不足1 km按1 km计算）每千米1.2元，某乘客要乘出租车去30 km处的某地，应付车费多少元？ 3小强家的固定电话收费标准如下：前3分钟收费0.4元，超过3分钟每分钟收费0.12元（不足1分钟按1分钟计算）。小强给爷爷和奶奶打电话用时8分钟52秒，他这一次通话的费用是多少？ 4、某市自来水公司供水收费标准如下：每月用水在12吨及以内，每吨收费2.65元；超出12吨部分，每吨3.8元。王琼家八月份用水18吨，付给自来水公司收费人员100元，应找回多少钱？ 5、刘强从家骑车到学校要用0.4小时，刘强的家离学校有多远？如果他改为步行，每小时走4.8km，0.9小时能到学校吗？（骑车：12千米/时） 6、我市某出租车公司租车计费方法如下：乘车路程不超过4km，收费8.5元（起步价）；超过部分按每千米1.5元加收费（不足1km，按1km计算）。爸爸和小亮乘车回家的路程为14.1km，付给出租车司机100元，应找回多少元？
巧算24点的经典题目及技巧
巧算 24 的经典题目 算 24 点”的技巧 1 .利用3X 8= 24、4X 6= 24求解。 把牌面上的四个数想办法凑成 3和8、4和6,再相乘求 解。女口 3、3、6、10 可组成(10—6-3)X 3= 24 等。又如 2、3、3、7 可组成(7 + 3 — 2)X 3= 2 4 等。实践证明,这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法。 2 .利用0、11的运算特性求解。 如3、4、4、8可组成3X 8+ 4 — 4 = 24等。又如 4、5、J 、 K 可组成 11X( 5— 4)＋ 13= 24 等。 3.在有解的牌组中,用得最为广泛的是以下六种解法： (我们用 个数) 女口( 10 + 2)- 2X 4= 24 等。 女口( 3—2-2)X 12= 24 等。 如( 9＋ 5— 2)X 2= 24 等。 如 11X 3＋ l — 10= 24 等。 如( 4— l )X 6＋ 6= 24 等。 里面并没有 3 ,其实除以 1/3 ,就是乘 3. 例题 2： 5551 ：解法 5*( 5-1/5 ) 这道体型比较特殊, 5* 算是比较少见,一般的简便算法都 是 3*8 , 2*12 , 4*6 , 15+9 , 25-1 ,但 5*25 也是其中一种 一般情况下,先要看 4 张牌中是否有 2, 3, 4, 6, 8, Q , 如果有，考虑用乘法，将剩余的 3个数凑成对应数。如果有两个相同的 6, 8 , Q ,比如已有两 个 6,剩下的只要能凑成 3, 4, 5 都能算出 24,已有两个 8,剩下的只要能凑成 2, 3, 4,已有两 个Q,剩下的只要能凑成 1 , 2, 3都能算出24,比如(9, J , Q, Q )。如果没有 2, 3, 4, 6, 8, Q,看是否能先把两个数凑成其中之一。总之，乘法是很重要的， 24是30以下公因数最多的整数。 ( 2 )将 4 张牌加加减减，或者将其中两数相乘再加上某数，相对容易。 ( 3)先相乘再减去某数，有时不易想到。例如( 4，10，10，J ) ( 6 ， 10 ， 10 ， K ) ( 4)必须用到乘法，且在计算过程中有分数出现。有一个规律，设 4 个数为 a,b,c,d 。必有 a b+c=24 或 ab-c=24 d=a 或 b 。若 d=a 有 a(b+c/a)=24 或 a(b-c/a)=24 如最常见的(1, 5, 5, 5), (4 , 4, 7, 7)( 3 , 3,乙7)等等。(3 , 7, 9 , K )是个例外，可惜还有另一种常规方法， 降低了难度。只 ⑴5 5 5 1 ： 5 ( 5-1/5 )=24 ⑶2 7 10 10: ((2 X (7+10))-10)=24 ⑸2 8 10 10: ((2+(10/10)) X 8)=24 ⑺2 8 8 9: ((2-(8-9)) X 8)=24 ⑼2 8 9 9: ((2+(9/9)) X 8)=24 (11)3 3 3 9: ((9-(3/3)) X 3)=24 (13)3 3 3 3: ((3 X (3 X 3))-3)=24 (15)3 3 3 5: ((3 X 3)+(3 X 5))=24 (17)3 3 3 7: ((7+(3/3)) X 3)=24 ⑵2 7 9 10: ((7-(2-9))+10)=24 ⑷2 8 8 8: ((2 X (8+8))-8)=24 ⑹2 9 10 10: ((9+(10/2))+10)=24 ((8-(2-8))+10)=24 ((2 ((3 ((3 ((3 ⑻2 8 8 10: ⑽2 8 9 10: (12)3 3 3 10: (14)3 3 3 4: (16) 3 3 3 ((3+(3-3)) X (8+9))-10)=24 X (10-3))+3)=24 X (3+4))+3)=24 X (3+3))+6)=24 X 8)=24 a 、 b 、 c 、 d 表示牌面上的四 ① (a — b )X( c ＋ d ) 如( 10—4)X( 2＋2)= 24等。 ⑤a X b + c — d ?( a — b ) X c + d 例题 1 ： 3388 ：解法 8/(3-8/3)=24 按第一种方法来算,我们有 8 就先找 3,你可能会问这
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)＝2,f (2)＝3,f (4)＝5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式
数值计算方法习题答案(绪论,习题1,习题2)
引论试题（11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 2 11222k k k k k k k k x a x a x x x x x +-??-+=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为
025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为 00678.07 .20183 .011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 21021 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字 6102 1 113255-?≤-π，具有7位有效数字
四年级下册简便方法计算练习题
四年级下册简便方法计算练习题126×6×8 600÷25÷4 55×36＋64×55 755－122－78 600÷25 （8＋80）×125 125×18 234×80×5 781－499 125×38＋125×30 25×32 4004×25 25×16－25×10 25×16×125 （125＋16）×8 79×99＋79 781×101－781 79×16＋79×78＋79×6 25×101
789×99 800÷125 1736＋403 2000÷125 65＋93×65＋6×65 9999＋999＋99＋9 158+262+138 375+219+381+225 5001－247－1021－232 （181+2564）+2719 378+44+114+242+222 276+228+353+219 (375+1034)+(966+125) (2130+783+270)+1017 99+999+9999+99999 7755－(2187+755) 2214+638+286 3065－738－1065 899+344
2370+1995 3999+498 1883－398 12×25 75×24 138×25×4 (13×125)×(3×8) (12+24+80)×50 704×25 25×32×125 32×(25+125) 88×125 102×76 58×98 178×101－178 84×36+64×84 75×99+2×75 83×102－83×2 98×199 123×18－123×3+85×123 50×(34×4)×3 25×（24+16） 178×99+178 79×42+79+79×57 7300÷25÷4 8100÷4÷75 16800÷120 30100÷2100 32000÷400 49700÷700
24点计算要领技巧
24点计算的奥密及计算要领 巧算24点 “算24点”是一种数学游戏，正如象棋、围棋一样是一种人们喜闻乐见的娱乐活动。 它始于何年何月已无从考究，但它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受。这种游戏方式简单易学，能健脑益智，是一项极为有益的活动。 “算24点”的游戏内容如下：一副牌中抽去大小王剩下52张，（如果初练也可只用1～10这40张牌）任意抽取4张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24。每张牌必须用一次且只能用一次，如抽出的牌是3、8、8、9，那么算式为（9—8）×8×3或（9—8÷8）×3等。 “算24点”作为一种扑克牌智力游戏，还应注意计算中的技巧问题，不能瞎碰乱凑。这里向大家介绍几种常用的、便于学习掌握的方法： 1．利用3×8＝24、4×6＝24求解。 把牌面上的四个数想办法凑成3和8、4和6，再相乘求解。如3、3、6、10可组成（10—6÷3）×3＝24等。又如2、3、3、7可组成（7＋3—2）×3＝24等。实践证明，这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法。 2．利用0、11的运算特性求解。 如3、4、4、8可组成3×8＋4—4＝24等。又如4、5、J、K可组成11×（5—4）＋13＝24等。 3．最为广泛的是以下七种解法（我们用a、b、c、d表示牌面上的四个数） ①(a—b）×（c＋d）如（10—4）×（2＋2）＝24等。 ②（a＋b）÷c×d 如（10＋2）÷2×4＝24等。 ③（a－b÷c）×d 如（3—2÷2）×12＝24等。 ④（a＋b－c）×d 如（9＋5—2）×2＝24等。 ⑤a×b＋c—d 如11×3＋l—10＝24等。 ⑥（a－b）×c＋d 如（4—l）×6＋6＝24等。 ⑦（a×b）÷（c＋d）如（6×8）÷（1＋1）＝24等。 需要说明的是：一副牌（52张）中，任意抽取4张可有1820种不同组合，其中有458个牌组算不出24点，如A、A、A、5。 “巧算24点”能极大限度地调动眼、脑、手、口、耳多种感官的协调活动，对于培养我们快捷的心算能力和反应能力很有帮助，还能帮助提高数学成绩。 你也来试试“巧算24点”吧，相信你会很快喜欢上它的！ 例题参考： 1118 (1+1+1)*8=24 1126 (1+1+2)*6=24 1127 (1+2)*(1+7)=24 1128 (1*1+2)*8=24 1129: (1+2)*(9-1)=24 11210: (1+1)*(2+10)=24 1134: (1+1)*3*4=24 1135: (1+3)*(1+5)=24 1136: (1*1+3)*6=24 1137: (1*1+7)*3=24 1138: (1-1+3)*8=24 1139: (1+1)*(3+9)=24
数值计算方法试题集和答案
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。
24点计算方法和技巧
24= 2x12 24=48^ 2 笫一类：利用乘除常见算式进行凑数’=3x8 =72^3 =4x 6 =96+4 水“这几个乘除算式记得越懿悉，凑数的时候对数字就越敏感！ 【例】利用虹感乘庞(可以任意添加括号).用乙7.头10四个数字计算出24,每个数字必须都使用一次且仅使用一次(下同)。 【解析】第一步；2.人9、10中岀现了数字2,考虑是否可以利用技12 = 24进行凑数。笫二规既然想利用2x12 = 24进行凑数，那么己知4个数中的2就要甫勝在外，即需用人乂10凑岀1人显然9-7+10 = 12,故最后结果为：2刈今-？ + 10)二24 【例】灵3. 4. 9 【解析11第一步，给定4个数字中有3,可以考虑是否可以利用3x1 24逬行凑数。 第二步；既然想利用衣，茁进行凑数，那么己知4个数中的一个3就要排除在外， 即需用氛罷9凑出鴿己知有个数字9比8多1,那么用剩下的氣斗凑出 一个1 即可◎显然4-3=1,故最后结果为：3x(9-(4-3)) = 3x(9+3^4)=24【解析2】第一歩*给定4个数字中有4,可以考虑是否可以刑用4x424进行凑数。 第二步：既然想利用仆2加逬行湊数，那么己知4个数中的4就要排除在外，即需用3> 3. 9凑岀6.显然3+3=6,这样多出来个9、如何将多岀的9消耗掉呢？ 因为9是3的平方〔详见后面的技巧3),即9-3=3,故最后结果为: 4x(2 3 + ?) 二24 【例】4. 4, 10, 10 【解析】第一步’给定4个数字中有二很想利用4x6 = 24进行凑数，但用4、10, 10很难凑岀么故只能另想办法。显然，不可能利用3x8=24或"12 “4进行凑数, 于是不妨 考虑采用除法进行凑数。 第二扒己知数中有丄考虑能否利用96-4 = 2^1逬行湊数 笫三歩：既然想利用96^4=24进行凑数’那么己知4个数中的一个4就要桦除在外, 即需用4. 10. 10凑出96.显然10x10-4 = 96 T故最后结果为； (10*10-4)+4 = 24 【例】6, 10. lh 12 【解析】第一步：出现了数字6,考虑是否可以利用4x6二24进行凑数，即需用16 11. 12 凑出斗，显然不可能。 第二步：因为基本乘法算式中有2xl2 = 24,且有现成的数字口可以考虑能否用2x12 = 24进行凑数。 第三步’既然想利用2x12 = 24进行凑数，那么需用& 10. 11凑出2.显悠 10^(11-6>2,故最后结果为’ 10^(11-6)x12-24
计算方法习题答案
计算方法第3版习题答案 习题1解答 1.1 解：直接根据定义得 *411()102x δ-≤?*411()102r x δ-≤?*3*12211 ()10,()1026 r x x δδ--≤?≤?*2*5331()10,()102r x x δδ--≤?≤ 1.2 解：取4位有效数字 1.3解：433 5124124124 ()()() 101010() 1.810257.563 r a a a a a a a a a δδδδ----++++++≤≤=?++? 123()r a a a δ≤ 123132231123 ()()() a a a a a a a a a a a a δδδ++0.016= 1.4 解：由于'1(),()n n f x x f x nx -==，故***1*(())()()()n n n f x x x n x x x δ-=-≈- 故** * ***(()) (())()0.02()r r n f x x x f x n n x n x x δδδ-= ≈== 1.5 解： 设长、宽和高分别为 ***50,20,10l l h h εεωωεεεε=±=±=±=±=±=± 2()l lh h ωωA =++，*************()2[()()()()()()]l l l h h l h h εδωωδδδωδδωA =+++++ ***4[]320l h εωε=++= 令3201ε<，解得0.0031ε≤， 1.6 解：设边长为x 时，其面积为S ，则有2()S f x x ==，故 '()()()2()S f x x x x δδδ≈= 现100,()1x S δ=≤，从而得() 1 ()0.00522100 S x x δδ≈ ≤ =? 1.7 解：因S ld =，故 S d l ?=?，S l d ?=?，*****()()()()()S S S l d l d δδδ??≈+?? * 2 ()(3.12 4.32)0.010.0744S m δ=+?=, *** ** * () () 0.0744 ()0.55%13.4784 r S S S l d S δδδ= = = ≈ 1.8 解：（1）4.472 （2）4.47 1.9 解：(1) （B ）避免相近数相减 (2)（C ）避免小除数和相近数相减 (3)（A ）避免相近数相减 (3)（C ）避免小除数和相近数相减，且节省对数运算 1.10 解 （1）357sin ...3!5!7!x x x x x =-+-+ 故有357 sin ..3!5!7! x x x x x -=-+-， （2） 1 (1)(1)1lnxdx ln ln ln N+N =N N +-N N +N +-? 1 (1)1ln ln N +=N +N +-N 1.11 解：0.00548。 1.12解：21 16 27 3102 ()()() -? 1.13解：0.000021
24点游戏规则和解题方法
24点游戏规则和解题方法 “巧算24点”的游戏内容如下：一副牌中抽去大小王剩下52张，其中J、Q、K、A 分别相当于10、11、12、13（如果初练也可只用1～10这40张牌），任意抽取4张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24。每张牌必须用一次且只能用一次，如抽出的牌是3、8、8、9，那么算式为（9—8）×8×3或3×8＋（9—8）或（9—8÷8）×3等。 “算24点”作为一种扑克牌智力游戏，还应注意计算中的技巧问题。计算时，我们不可能把牌面上的4个数的不同组合形式——去试，更不能瞎碰乱凑。这里向大家介绍几种常用的、便于学习掌握的方法： 1．利用3×8＝24、4×6＝24求解。 把牌面上的四个数想办法凑成3和8、4和6，再相乘求解。如3、3、6、10可组成（10—6÷3）×3＝24等。又如2、3、3、7可组成（7＋3—2）×3＝24等。实践证明，这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法。 2．利用0、11的运算特性求解。 如3、4、4、8可组成3×8＋4—4＝24等。又如4、5、J、K可组成11×（5—4）＋13＝24等。 3．在有解的牌组中，用得最为广泛的是以下六种解法：（我们用a、b、c、d 表示牌面上的四个数） ①(a—b）×（c＋d）如（10—4）×（2＋2）＝24等。 ②（a＋b）÷c×d如（10＋2）÷2×4＝24等。 ③（a－b÷c）×d如（3—2÷2）×12＝24等。 ④（a＋b－c）×d如（9＋5—2）×2＝24等。 ⑤a×b＋c—d 如11×3＋l—10＝24等。 ⑥（a－b）×c＋d 如（4—l）×6＋6＝24等。
游戏时，同学们不妨按照上述方法试一试。 需要说明的是：经计算机准确计算，一副牌（52张）中，任意抽取4张可有1820种不同组合，其中有458个牌组算不出24点，如A、A、A、5。 （1）一般情况下，先要看4张牌中是否有2，3，4，6，8，Q， 如果有，考虑用乘法，将剩余的3个数凑成对应数。如果有两个相同的6，8，Q，比如已有两个6，剩下的只要能凑成3，4，5都能算出24，已有两个8，剩下的只要能凑成2，3，4，已有两个Q，剩下的只要能凑成1，2，3都能算出24，比如（9，J，Q，Q）。如果没有2，3，4，6，8，Q，看是否能先把两个数凑成其中之一。总之，乘法是很重要的，24是30以下公因数最多的整数。 （2）将4张牌加加减减，或者将其中两数相乘再加上某数，相对容易。 （3）先相乘再减去某数，有时不易想到。例如（4，10，10，J） （6，10，10，K） （4）必须用到乘法，且在计算过程中有分数出现。有一个规律，设4个数为a,b,c,d。必有ab+c=24或ab-c=24d=a或b。若d=a 有a(b+c/a)=24 或 a(b-c/a)=24 如最常见的（1，5，5，5）, （2，5，5，10）因为约分的原因也归入此列。（5，7，7，J） （4，4，7，7）（3，3，7，7）等等。（3，7，9，K）是个例外，可惜还有另一种常规方法，降低了难度。只能用此法的只有10个。 （5）必须用到除法，且在计算过程中有分数出现。这种比较难，比如（1，4，5，6），（3，3，8，8）（1，8，Q，Q）等等。 只能用此法的更少，只有7种。 （6）必须用到除法，且在计算过程中有较大数出现，不过有时可以利用平方差公式或提公因数等方法不必算出这个较大数具体等于几。比如（3，5，7，K），（1，6，J，K）等等。只能用此法的只有1６种。 （7）最特殊的是（6，9，9，10），9*10/6+9=24，9是3的倍数，10是2的倍数，两数相乘的积才能整除6，再也找不出第二个类似的只能用此法解决的题目了。试一试，你也是算24的专家了。 （1，3，4，6）（1，4，5，6）（1，5，5，5）（1，5，J，J）