2019版高考数学(文)一轮全国通用版：单元过关检测

2019版高考数学（文）一轮全国通用版单元过关检测卷

单元过关检测（一）

(第一章)

(120分钟150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(2018·长沙模拟)设集合A={x|x2-2x≤0},B={y|y=x2-2x,x∈A},则A∪B=

( ) A.[-1,2] B.[0,2]

C.(-∞,2]

D.[0,+∞)

【解析】选A.集合A={x|x2-2x≤0}=[0,2],B={y|y=x2-2x,x∈A}=[-1,0],

则A∪B=[-1,2].

【变式备选】(2018·昆明模拟)设集合A={x|y=lg(x-1)},集合B={y|y=-x2+2},则A∩B等于( )

A.(1,2)

B.(1,2]

C.[1,2)

D.[1,2]

【解题指南】求出A中x的范围确定出A,求出B中y的范围确定出B,找出A与B的交集即可. 【解析】选B.由A中y=lg(x-1),得到x-1>0,解得:x>1,即A=(1,+∞),由B中y=-x2+2≤2,得到B=(-∞,2],则A∩B=(1,2].

2.命题:“若x2+y2=0,则x=0且y=0”的逆否命题是 ( )

A.若x2+y2=0,则x=0且y≠0

B.若x2+y2≠0,则x≠0或y≠0

C.若x=0且y=0,则x2+y2≠0

D.若x≠0或y≠0,则x2+y2≠0

【解析】选D.命题“若x2+y2=0,则x=0且y=0”的逆否命题是:“若x≠0或y≠0,则x2+y2≠0”.

3.(2018·锦州模拟)集合M={x|x=3n,n∈N},集合N={x|x=3n,n∈N},则集合M与集合N的关系

( )

【解析】选D.因为1∈M,1?N;0∈N,0?M;所以M?N且N?M.

【变式备选】(2018·洛阳模拟)已知集合A={-1,1,3},B={1,a2-2a},且B A,则实数a的不同取值个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选C.因为B A,所以a2-2a=-1或a2-2a=3,解得:a=1或a=-1或a=3,所以实数a的不同取值个数为3.

4.(2018·重庆模拟)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的 ( )

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选C.设x>0,y∈R,当x=1,y=-1时,满足x>y但不满足x>|y|,故x>0,

y∈R,“x>y”推不出“x>|y|”,而“x>|y|”“x>y”,故“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.

5.(2018·合肥模拟)已知命题p: x<0,x3<0,那么p是( )

【解析】选C.因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题p: x<0,x3<0,那么p为:

x0<0,≥0.

6.设A=,B={x|x≥a}.若A?B,则实数a的取值范围是

( )

A.a<

B.a≤

C.a≤1

D.a<1

【解析】选C.A={1,2,3,4},由A?B得a≤1.

【误区警示】本题易误选A或B,出现错误的原因是忽视了集合A中“x∈Z”这一条件及对端点值的验证.

7.已知x∈R,则x>5的一个必要不充分条件是( )

A.x>7

B.x<6

C.x<4

D.x>3

【解析】选D.本题的题意等价于四个选项中的一个不能得出x>5 ,而x>5可以得出四个选项中的一个.只有x>3符合.

8.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A?B,则实数c的取值范围是( )

A.(0,1]

B.[1,+∞)

C.(0,1)

D.(1,+∞)

【解析】选B.要使y=lg(x-x2)有意义,则x-x2>0,

解得00,所以0

【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:

选B.因为要使y=lg(x-x2)有意义,则x-x2>0,

解得0

B={x|0

9.(2018·威海模拟)给定两个命题p,q,“(p∨q)为假”是“p∧q为真”的

( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.“(p∨q)为假”?p∨q为真,

而“p∧q为真”?/p∨q为真,反之不成立.

所以“(p∨q)为假”是“p∧q为真”的必要不充分条件.

10.已知函数f(x)=x2+bx+c,则“c<0”是“?x0∈R,使f(x0)<0”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解题指南】把问题转化为方程x2+bx+c=0有根的情况解答.

【解析】选A.若c<0,则Δ=b2-4c>0,所以?x0∈R,使f(x0)<0成立.若?x0∈R,使f(x0)<0,则有Δ=b2-4c>0,当c=1,b=3时,满足Δ=b2-4c>0,所以“c<0”是“?x0∈R,使f(x0)<0”的充分不必要条件.

【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因就是不能进行合理转化,尤其反推时,不知道举反例,而导致误选C.

11.(2018·成都模拟)下列命题正确的个数是 ( )

①命题“?x0∈R,+1>3x0”的否定是“?x∈R,x2+1≤3x”;

②函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件;

③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立

?(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立;

④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是

“a·b<0”.

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选B.①根据特称命题的否定是全称命题,所以①正确;

②f(x)=-=cos2ax,最小正周期是=π?a=±1,所以②正确;

③当a=2时,x2+2x≥2x在x∈[1,2]上恒成立,而(x2+2x)min=3<(2x)max=4,所以③不正确;

④因为a·b=|a||b|cos,因为 =π时a·b<0,所以④不正确.

【变式备选】(2018·济南模拟)下列叙述中正确的是( )

A.命题“若a>1,则a2>1”的否命题为:“若a>1,则a2≤1”

B.命题“?x0>1,使得-+2x0-1≥0”的否定“?x≤1,使得-x2+2x-1<0”

C.“x>-1”是“<-1”成立的必要不充分条件

D.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题是假命题

【解析】选C.逐一考查所给的选项:

A.命题“若a>1,则a2>1”的否定为:“若a>1,

则a2≤1”,其否命题为:“若a≤1,则a2≤1”;

B.命题“?x0>1,使得-+2x0-1≥0”的否定“?x>1,都有-x2+2x-1<0”;

C.因为由“x>-1”不能得到“<-1”,而由“<-1”能得到“x>-1”,所以“x>-1”是“<-1”成立的必要不充分条件是正确的;

D.因为“若x=y,则sin x=sin y”是正确的,所以“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题是真命题.

12.(2018·葫芦岛模拟)设命题p:实数x,y满足x2+y2<4,命题q:实数x,y满足

则命题p是命题q的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选D.作出不等式组对应的区域如图:

则不等式组对应的区域在圆x2+y2=4内部和外部都有点存在,故命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.设集合A={2,4,6,8,10},B={4,8},则A B=________.

【解析】集合A={2,4,6,8,10},B={4,8},

则A B={2,6,10}.

答案:{2,6,10}

14.命题p:?x0∈R,≤0,命题q:?x∈(0,+∞),x>sin x,其中真命题是______;命题p的否定是______.

【解析】对任意的x∈R,2x>0,因此命题p是假命题,设f(x)=x-sin x, f′(x)= 1-cos x≥0,因此函数f(x)是R上的增函数,f(0)=0,因此当x>0时,有f(x)> f(0)=0,即x>sin x恒成立,因此命题q是真命题.命题p的否定为: ?x∈R,2x>0.

答案:q?x∈R,2x>0

15.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},集合A×B中属于集合{(x,y)|log x y∈N}的元素的个数是________.

【解析】由定义可知A×B中的元素为(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),

(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8).

其中使log x y∈N的有(2,2),(2,4),(2,8),(4,4),共4个.

答案:4

16.(2018·西宁模拟)在下列结论中:

①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;

②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件;

③“p∧q”为真是“p”为假的充分不必要条件;

④“p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件.正确的是________.

【解析】结论①“p∧q”为真,说明p,q同为真,故能推出“p∨q”为真,而“p∨q”为真,说明p,q中至少一个为真,故不能推出“p∧q”为真,故前者是后者的充分不必要条件,故正确;结论②“p∧q”为假,说明p,q中至少一个为假,故不能推出“p∨q”为真,“p∨q”为真也不能推出“p∧q”为假,故前者是后者的既不充分也不必要条件,故错误;结论③p∧q为真,说明p,q

都为真,能推出“p”为假,若“p”为假,则p为真,不能推出p∧q为真,前者是后者的充分不必要条件,故正确;结论④“p”为真,则p为假,可推出“p∧q”为假,而只要满足q为假,p无论真假,都有“p∧q”为假,故“p∧q”为假不能推出“p”为真,故正确,综上可得结论①③④正确.

答案:①③④

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}.

(1)若A∩B={2},求实数a的值.

(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.

【解析】由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,故集合A={1,2}.

(1)因为A∩B={2},所以2∈B,代入B中的方程,得a2+4a+3=0,解得a=-1或a=-3,

当a=-1时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件;

当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件.

综上可知:a的值为-1或-3.

(2)对于集合B中的方程x2+2(a+1)x+(a2-5)=0,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).

因为A∪B=A,所以B?A.

①当Δ<0,即a<-3时,B=?,满足条件;

②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足条件;

③当Δ>0,即a>-3时, B=A={1,2}才能满足条件,

则由根与系数的关系得

矛盾;

综上,a的取值范围是(-∞,-3].

18.(12分)已知集合A={y|y=x2-x+1,≤x≤2},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.

【解析】y=x2-x+1=+,

因为≤x≤2,所以≤y≤2,A=.

由x+m2≥1,得x≥1-m2,

所以B={x|x≥1-m2}.

因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,

所以A?B,所以1-m2≤,解得m≥或m≤-,

故实数m的取值范围是m≥或m≤-.

【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是没有注意“x∈A”是“x∈B”的充分条件与“x

∈A”成立的充分条件是“x∈B”的区别;二是由A?B得出1-m2<,进而得出错误结论. 19.(12分)已知命题p:函数f(x)=log a x在区间(0,+∞)上是单调递增函数;命题q:不等式

(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立.若p∨q是真命题,且p∧q为假命题,求实数a的取值范围.

【解析】若命题p为真,则a>1.

若命题q为真,则a-2=0或

可得-2

因为p∨q是真命题,且p∧q为假命题,

所以p,q一真一假,

所以或

即a>2或-2

20.(12分)已知A={x|x2-3x+2≤0},B={x|4x-a·2x-2a2≥0}.

(1)当a=1时,求A∩B.

(2)若A?B,求实数a的取值范围.

【解析】(1)因为x2-3x+2≤0,所以1≤x≤2,所以由题意得A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}; 当a=1时,4x-a·2x-2a2=(2x-2)(2x+1)≥0,所以2x-2≥0,x≥1,B={x|x≥1},

A∩B={x|1≤x≤2}∩{x|x≥1}={x|1≤x≤2}.

(2)因为4x-a·2x-2a2=(2x-2a)(2x+a)≥0,

若a>0,因为2x+a>0,所以2x-2a≥0,解得x≥1+log2a,即B={x|x≥1+log2a},又因为A?B,所以1+log2a≤1,解得:0

若a=0,B=R,显然A?B;

若a<0,2x-2a>0,所以2x+a≥0,解得x≥log2(-a),即B={x|x≥log2(-a)},又因为A?B,所以log2(-a)≤1,解得:-2≤a<0.

综上可知:-2≤a≤1.

21.(12分)已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y=x2-x+,0≤x≤3}.

(1)若A∩B=?,求a的取值范围.

(2)当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时,求(R A)∩B.

【解题指南】(1)先化简集合A,B,再由题意列关于a的不等式组求解.

(2)先由题意确定a的值,再求解.

【解析】A={y|ya2+1},B={y|2≤y≤4}.

(1)当A∩B=?时,

解得≤a≤2或a≤-.

即a∈(-∞,-]∪[,2].

(2)由x2+1≥ax,得x2-ax+1≥0,

依题意Δ=a2-4≤0,

即-2≤a≤2.

所以a的最小值为-2.

当a=-2时,A={y|y<-2或y>5}.

所以R A={y|-2≤y≤5},

故(R A)∩B={y|2≤y≤4}.

22.(12分)求证:方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.

【解题指南】充分性与必要性分两步证明→充分性:a≤0或a=1作为条件;必要性:ax2+2x+1=0有且只有一个负数根作为条件.

【证明】充分性:当a=0时,方程为2x+1=0,

其根为x=-,方程只有一负根.

当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1,方程只有一负根.

当a<0时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,

且<0,方程有一正一负两个根.

所以充分性得证.

必要性:若方程ax2+2x+1=0有且只有一负根.

当a=0时,符合条件.

当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,

则Δ=4-4a≥0,所以a≤1,

当a=1时,方程有一负根,x=-1.

当a<1时,若方程有且只有一负根,

则所以a<0.

所以必要性得证.

综上,方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.

单元过关检测（二）

(第二章)

(120分钟150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.设f(log2x)=2x(x>0),则f(2)的值是( )

A.128

B.16

C.8

D.256

【解析】选B.令t=log2x,则x=2t,所以f(t)=,f(2)=24=16.

2.已知函数f(x)=x+cos x,则f′= ( )

A. B. C.1- D.

【解析】选A.因为f′(x)=1-sin x,

所以f′=1-sin=1-=.

3.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )

A.y=cos x

B.y=sin x

C.y=ln x

D.y=x2+1

【解析】选A.由选项可知,B,C项均不是偶函数,故排除B,C项,A,D项是偶函数,但D项与x轴没有交点,即D项的函数不存在零点.

4.函数y=log2(x2+2x-3)的单调递减区间为( )

A.(-∞,-3)

B.(-∞,-1)

C.(1,+∞)

D.(-3,-1)

【解析】选A.由x2+2x-3>0得原函数的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞),函数y=log2(x2+2x-3)为复合函数,则单调递减区间即为函数y=x2+2x-3的递减区间,即(-∞,-3).

5.(2018·重庆模拟)设a=,b=,c=ln,则( )

A.c

B.c

C.a

D.b

【解析】选B.很明显:a>0,b>0,c<0,且==,函数f(x)=

在区间(0,e)上单调递增,则错误！未找到引用源。>1,ln a>ln b,a>b,据此可得:c

选B.很明显:a>0,b>0,c<0,且a6==,b6==,所以a>b,因此有a>b>c.

6.设f(x)=则不等式f(x)>2的解集为( )

A.(1,2)∪(3,+∞)

B.(,+∞)

C.(1,2)∪(,+∞)

D.(1,2)

【解析】选C.或?或?1.

7.函数f(x)=的图象大致是( )

【解析】选B.由条件知f(x)=-f(-x),函数为奇函数,由定义域得x≠±1,排除C;当0

时,f(x)>0,排除D;当x>1时,f(x)<0,排除A.故选B.

【变式备选】已知函数f(x)=x2+px+q与函数y=f(f(x))有一个相同的零点,则p与q ( ) A.均为正值 B.均为负值

C.一正一负

D.至少有一个等于0

【解析】选D.设x0是函数f(x)=x2+px+q与函数y=f(f(x))的共同零点,则f(x0)=0且

f(f(x0))=f(0)=0,则q=0,由此判断选D.

8.已知函数f(x)=x3-3x2+mx+n,若存在三个实数a,b,c满足,a>b>c且f(a)=f(b)=f(c),则实数m 的取值范围是( )

A.(0,3)

B.(-∞,3)

C.(3,+∞)

D.(-3,3)

【解析】选B.因为f(x)=x3-3x2+mx+n,所以f′(x)=3x2-6x+m,要使存在三个实数

a,b,c满足,a>b>c且f(a)=f(b)=f(c),即该函数有两个极值点,也就是说f′(x)=3x2-6x+m有两个不同的零点,所以(-6)2-12m>0,所以m<3.

【变式备选】已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x-1)的图象关于点(1, 0)对称.若对任意的x,y∈R,不等式f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立,则当x>3时,x2+y2的取值范围是( )

A.(3,7)

B.(9,25)

C.(13,49)

D.(9,49)

【解析】选C.因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1, 0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于点(0, 0)对称,即函数y=f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),又因为f(x)在R上为增函数,且

f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立,所以f(x2-6x+21)< -f(y2-8y)=f(8y-y2).

所以x2-6x+21<8y-y2,即(x-3)2+(y-4)2<4.设M(x,y),则当x>3时,M表示以(3,4)为圆心,2为半径的右半圆内的任意一点,则x2+y2表示在半圆内任取一点,与原点的距离的平方,结合圆的知识可知:13

9.已知P是圆(x-1)2+y2=1上异于坐标原点O的任意一点,直线OP的倾斜角为θ,若|OP|=d,则函数d=f(θ)的大致图象是( )

世纪金榜导学号37680749

【解析】选D.依题意得d=所以对应图象是D.

10.某同学在研究函数f(x)=(x∈R)时,分别给出下面几个结论:

①等式f(-x)+f(x)=0在x∈R时恒成立;

②函数f(x)的值域为(-1,1);

③若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);

④函数g(x)=f(x)-x在R上有三个零点.

其中正确结论的序号是 ( )

A.①②

B.①②③

C.①③④

D.①②③④

【解析】选B.因为f(x)=(x∈R),所

以,f(-x)+f(x)=+==0,所以①正确;因为

f(x)==的图象如图所示:

由图象可知函数f(x)是奇函数,且在R上为单调增函数,值域为(-1,1),所以②③正确;

因为g(x)=f(x)-x,所以,g(0)=f(0)-0=0,

当x>0时,g(x)=f(x)-x=<0,

当x<0时,g(x)=f(x)-x=>0,

函数g(x)=f(x)-x在R上只有一个零点,所以④不正确.

11.已知m=log a+log a3,n=log b6-log b3,若m

( ) A.0

C.a>b>1

D.0

【解析】选B.m=log a+log a3=log a2,n=log b6-log b3=log b2,因为m

因此或错误！未找到引用源。或

错误！未找到引用源。所以a>b>1或0

12.(2018·柳州模拟)已知函数f(x)=若函数h(x)= f(x)-mx+2有三个不同的零点,则实数m的取值范围是( )

A.

B.∪(1,+∞)

C.∪[1,+∞)

D.

【解题指南】函数h(x)=f(x)-mx+2有三个不同的零点,即为f(x)-mx+2=0有三个不同的实根,可令y=f(x),y=g(x)=mx-2,分别画出y=f(x)和y=g(x)的图象,通过图象观察,结合斜率公式,即可得到m的范围.

【解析】选A.函数h(x)=f(x)-mx+2有三个不同的零点,即为f(x)-mx+2=0有三个不同的实根, 可令y=f(x),y=g(x)=mx-2,

分别画出y=f(x)和y=g(x)的图象,

A(0,-2),B(3,1),C(4,0),

则g(x)的图象介于直线AB和AC之间,

则k AC

【变式备选】(2018·深圳模拟)若关于x的方程|ln x|-ax=0(0

【解析】设y=ax与y=ln x(x>1)相切时的切点为(x1,ln x1),则k==?x1=e?a=,

又y=ax过点(4,ln 4)时a=,

如图可知满足条件的实数a的取值范围是.

答案:

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=log0.5(-x)+x2,则

f(2)=________.

【解析】因为当x∈(-∞,0)时,f(x)=log0.5(-x)+x2,所以,f(-2)=log0.52+(-2)2 =-1+4=3,

又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(2)=-3.

答案:-3

14.(2018·茂名模拟)若函数f(x)=(x+m)e x(m∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为2e,则函数f(x)的极小值是________.

【解析】因为f′(x)=e x+(x+m)e x=(x+m+1)e x,所以由导数的几何意义可得切线的斜率

k=(m+2)e=2e?m=0,故f(x)=xe x,令f′(x)=(x+1)e x可得x=-1,则函数的极小值为f(-1)=-e-1.

答案:-

15.若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于________.

【解析】由f(1+x)=f(1-x)得函数f(x)关于x=1对称,故a=1,则f(x)=2|x-1|,由复合函数单调性得f(x)在[1,+∞)上单调递增,故m≥1,所以实数m的最小值等于1.

答案:1

16.已知函数f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),且函数y=f′(x)的图象关于直线x=-对称,f′(1)=0.下列命题正确的有______(将所有正确命题的序号都填上).

①a=3,b=12;

②函数的单调增区间是(-∞,-2),(1,+∞),单调减区间是(-2,1);

③函数的极大值是f(-2)=21,极小值是f(1)=-6;

④函数的零点有3个.

【解析】由已知,f′(x)=6x2+2ax+b,即f′(x)=6+b-,

所以-=-,即a=3.

又f′(1)=0,即6+2a+b=0得b=-12,①不正确.

由上可知,f(x)=2x3+3x2-12x+1,

f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2),

令f′(x)=0即6(x-1)(x+2)=0解得x=-2或x=1,

由f′(x)>0得函数的单调增区间是(-∞,-2),(1,+∞);

由f′(x)<0,知单调减区间是(-2,1),②正确;

进一步可知,函数的极大值f(-2)=21,极小值是f(1)=-6,③正确;

通过画函数图象的草图,可知④正确.

答案:②③④

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知函数f(x)=log2(a为常数)是奇函数.

(1)求a的值与函数f(x)的定义域.

(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,求实数m的取值范围.

【解析】(1)因为函数f(x)=log2是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即

log2=-log2,即

log2=log2,解上式得:a=1.

令>0,解得x<-1或x>1.

所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}

(2)f(x)+log2(x-1)=log2(1+x),

当x>1时,x+1>2,

所以log2(1+x)>log22=1,因为x∈(1,+∞),f(x)+log2(x-1)>m恒成立,

所以m≤1,

所以m的取值范围是(-∞,1].

18.(12分)设函数f(x)=ax2+ln x.

(1)若函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率是-1,求a.

(2)已知a<0,若f(x)≤-恒成立,求a的取值范围.

【解析】(1)由f(x)=ax2+lnx,

可得f′(x)=2ax+,所以f′(1)=-1,解得a=-1.

(2)f′(x)==(x>0,a<0).

令f′(x)=0,则x=.

当x∈时,f′(x)>0;

当x∈时,f′(x)<0.

故x=为函数f(x)的唯一极大值点,

所以f(x)的最大值为f=-+ln.

由题意有-+ln≤-,

解得a≤-.

所以a的取值范围为.

19.(12分)(1)若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点, 求实数a的值.

(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.

【解析】(1)若a=0,则f(x)=-x-1,

令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意;

若a≠0,则f(x)=ax2-x-1是二次函数,

故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0,解得a=-,

综上所述a=0或a=-.

(2)若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,

即|4x-x2|+a=0有四个根,即|4x-x2|=-a有四个根.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a. 作出g(x)的图象,由图象可知如果要使|4x-x2|=-a有四个根,

那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点.

故需满足0<-a<4,即-4

所以a的取值范围是(-4,0).

20.(12分)(2018·重庆模拟)已知函数f(x)=x2-(a+1)x+aln x+1.

(1)若x=2是f(x)的极值点,求f(x)的极大值.

(2)求实数a的范围,使得f(x)≥1恒成立.

【解析】(1)f′(x)=x-(a+1)+,

因为x=2是f(x)的极值点,

所以f′(2)=2-(a+1)+=0解得a=2,

当a=2时,f′(x)=x-3+==

当x变化时,