2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版(IV)

【教学目标】

1. 了解直线和平面的位置关系(直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行).

2. 掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能灵活运用它们解题. 【知识梳理】

一、直线与平面的位置关系

二、直线和平面平行的判定方法：

①a ∩α=ф?a ∥α(定义法)； ②判定定理； ③b ⊥a, b ⊥α, a ?a ∥α； ④∥,a ? ?a ∥ ⑤空间向量怎么证线面平行？ 【点击双基】

1.设有平面α、β和直线m 、n ，则m ∥α的一个充分条件是

A.α⊥β且m ⊥β

B.α∩β=n 且m ∥n

C.m ∥n 且n ∥α

D.α∥β且m β 答案：D

2.（xx 年北京，3）设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是

①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

解析：①②显然正确.③中m 与n 可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交. 答案：A

3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是

βP l

m A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定

解析：设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β， 过直线a 作与α、β都相交的平面γ， 记α∩γ=b ，β∩γ=c ， 则a ∥b 且a ∥c ， ∴b ∥c .

又b α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l .

答案：C

4.（文）设平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS =8，BS =9，CD =34，①当S 在α、β之间时，SC =_____________，②当S 不在α、β之间时，SC =_____________.

解析：∵AC ∥BD ，∴△SAC ∽△SBD ，①SC =16，②SC =272. 答案：①16 ②272

（理）设D 是线段BC 上的点，BC ∥平面α，从平面α外一定点A （A 与BC 分居平面两侧）作AB 、AD 、AC 分别交平面α于E 、F 、G 三点，BC =a ，AD =b ，DF =c ，则EG =_____________.

解析：解法类同于上题. 答案：

5.在四面体ABCD 中，

M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.

B

D

解析：连结AM 并延长，交CD 于E 于F ，由重心性质可知，E 、F 重

合为一点，且该点为CD 的中点E ，由==得MN ∥AB ，

因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC 、平面ABD 【典例剖析】

例1. 如果平面α和这个平面外的一条直线l 同时垂直于直线m ，求证：l //α.

证法一：设m α=A , 过A 和直线l 作平面β， 设β α=a ,∵m ⊥α, ∴m ⊥a ．

l 和a 的位置关系有相交和平行两种情况， 若l 和a 相交，∵m ⊥a ，m ⊥l ，则m ⊥β．

又m ⊥α, 且α和β同过点A ，

∴α和β重合．∵l ?β，∴l ?α，与已知l ?α矛盾．

∴l //a ，又l ?α，a ?α，∴l //α．

注：由m ⊥a ，m ⊥l ，不能直接推出l //a ，∵尽管l 和a 同在平面β内，但m 不一定在β内．“两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”，此结论只有当这三条直线都在同一平面内时才成立．

证法二：在直线l 上任取一点P ，过P 作直线n //m ．

a A

α l β

m

∵m ⊥α, m ⊥l , ∴n ⊥α, ∴n ⊥l ． 过l 和n 作平面β，设β α=a ， ∵n ⊥α,∴n ⊥a ,又n ⊥l ,且l 、a 、n 都在平面β内． ∴l //a , 又l ?α, a ?α, ∴l //α．

注：此证法中，先将直线m 平移到与直线l 相交，然后再过两条相交直线作平面β，这样所得交线a 、直线l 以及直线n 都在同一平面β内，且l 和a 都与直线n 垂直，便可得l //a ．将两条异面直线中的一条平移，得到两条相交直线，是对异面直线的常见处理方式，请同学们结合此例仔细体会证法二的妙处．

证法三：设a ，b 是平面内的一组基底，l 、m 分别是l 、m 上的一个非零向量， ∵m ⊥α，∴m a =m b =0，又m ⊥l ，∴m ?l =0．

以a 、b 、m 为空间基底，则存在实数x ，y ，z ，使得l =x a +y b +z m ． ∴m ?l =m (x a +y b +z m )=x m a +y m b +z m 2=0+0+z m 2=0．

∵m 2

≠0，∴z =0，则l =x a +y b ，∴l 与a 、b 共面． 又已知直线l 不在平面内，∴l //α．

变式一：若a ∥,b ⊥,则b ⊥a 。

变式二：a ∥b , a ∥, b ?b

∥ 例2：如图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在的平面交于

AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM=FN ，求证：MN ∥平面BCE 。 证法一：过M 作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足，如图，连结PQ ，∵MP ∥AB ，NQ ∥AB ，∴MP ∥NQ ，又NQ=BN=CM=MP ，∴MPQN 是平行四边形。∴MN ∥PQ ，又PQ ?平面BCE ，而MN 平面BCE ，∴MN ∥平面BCE 。

证法二：过M 作MG ∥BC ，交AB 于G （如图），连结NG ，∵MG ∥BC ，BC ?平面BCE ，MG ?平面BCE ，∴MG ∥平面BCE ，又，∴GN ∥AF ∥BE ，同样可证明GN ∥平面BCE ，而MG ∩NG=G ，∴平面MNG ∥平面BCE ，MN ?平面MNG ，∴MN ∥平面BCE 。 证法三：

证法四： 例3：如图，设a,b 是异面直线,AB 是a,b 的公垂线,过AB 的中点O 作平面α与a,b 分别平行,M,N

A

D C

B F E M

P Q

N

分别是a,b 上的任意两点,MN 与α交于点P,求证P 是MN 的中点.

证明:连接AN,交平面α与点Q,连PQ,∵b ∥α,b 平面ABN,平面ABN ∩α=OQ,∴b ∥OQ ，又

O 为AB 的中点，∴Q 为AN 的中点。∵a ∥α，a 平面AMN 且平面AMN ∩α=PQ ，∴a ∥PQ 。∴P 为MN 的中点。

思维点拨：直线与平面的性质定理是解决本题的关键。

例4：直角三角形ABC 的一条直角边AB ＝A ，另一条直角边BC 不在平面内，若ABC 在上的射影仍是直角，求证：

BC

证明：如图，过B 、C 分别作α的垂线，垂足分别为B ′、C ′，则∠AB ′C ′是∠ABC 在α上的射影.

∴∠AB ′C ′＝90°

又∵BB ′⊥α，AB ′α，B ′C ′α， ∴AB ′⊥BB ′，C ′B ′⊥BB ′. ∵B ′A ∩BB ′＝B ′， ∴C ′B ′⊥平面AB ′B. ∵B ′C ′∩B ′B ＝B ′， ∴AB ′⊥平面BB ′C ′C. ∵BC 面BB ′C ′C ， ∴BC ⊥AB ′.

∵∠ABC ＝90°，AB ∩AB ′＝Ａ， ∴BC ⊥平面ABB ′. ∴BC ∥B ′C ′. ∴BC ∥α.

例5：如图，四面体A —BCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个

矩形。

(1)求证：CD ∥平面EFGH 。(2)求异面直线AB ，CD 所成的角。(3)若AB ＝a ，CD=b ，求截面EFGH 面积的最大值。 （1）证明：∵截面EFGH 是一个矩形，∴EF ∥GH ， 又

GH

平面BCD 。∴EF ∥面BCD ，而EF 面ACD ，面ACD ∩面BCD=CD 。∴

EF ∥CD ，∴EF ∥平面EFGH 。

（2）解：由（1）知CD ∥EF ，同理AB ∥FG ，由异面直线所成角的定义知∠EFG 即为所求的角。易得∠EFG=90。

（3）答案：ab/4

说明：欲证线面平行，先证线线平行，欲证线线平行，可先证线面平行，反复用直线与平面的判定、性质，在同一题中也经常用到。 【知识方法总结】

1. 直线与平面的位置关系有三种:线在面内, 线面平行, 线面相交. 后两种又可统称为“直线在平面外”；

2. 在判定和证明直线与平面的位置关系时, 除熟练运用判定定理和性质定理外, 切不可丢弃定义, 因为定义既可作判定定理使用, 亦可作性质定理使用；

3. 线面关系的判定和

C

D

证明, 要注意线线关系, 面面关系与它之间的相互转化. 【作业】

2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版

【教学目标】

正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它解决有关垂直问题。 【知识梳理】

1．斜线长定理

从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，

①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短． 2．重要公式

如图，已知OB ⊥平面α于B ，OA 是平面α的斜线，A 为斜足，

直线AC ?平面α，设∠OAB =θ1，又∠CAB =θ2，∠OAC =θ．那么

cos θ=cos θ1cos θ2． 3．直线和平面所成的角

①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．

②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0的角．

三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”． 【点击双基】

1．下列命题中，正确的是 ( ) (A )垂直于同一条直线的两条直线平行 (B )平行于同一平面的两条直线平行

(C )平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线

(D )a 、b 在平面外，若a 、b 在平面内的射影是两条相交直线，则a 、b 也是相交直线 2．直线a 、b 在平面α内的射影分别为直线a 1、b 1，下列命题正确的是 ( ) (A )若a 1⊥b 1，则a ⊥b (B )若a ⊥b ，则a 1⊥b 1

C α

D A B O

C A P

B

D M N Q l (C )若a 1//b 1，则a 与b 不垂直 (D )若a //b ，则a 1与b 1不垂直 3．直线a 、b 在平面外，若a 、b 在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线，则a 与b 是 ( )

(A )异面直线 (B )相交直线

(C )异面直线或相交直线 (D )异面直线或平行直线

4．P 是△ABC 所在平面外一点，若P 点到△ABC 各顶点的距离都相等，则P 点在平面ABC 内的射影是△ABC 的 ( )

(A )外心 (B )内心 (C )重心 (D )垂心

5．P 是△ABC 所在平面外一点，若P 点到△ABC 各边的距离都相等，且P 点在平面ABC 内的射影在△ABC 的内部，则射影是△ABC 的 ( )

(A )外心 (B )内心 (C )重心 (D )垂心 6．P 是△ABC 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC ，若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则P 点在平面ABC 内的射影是△ABC 的 ( )

(A )外心 (B )内心 (C )重心 (D )垂心

7．从平面外一点向这个平面引两条斜线段，它们所成的角为θ．这两条斜线段在平面内的射影成的角为α(90?≤α<180?)，那么θ与α的关系是 ( )

(A )θ<α (B )θ>α (C )θ≥α (D )θ≤α

8．已知直线l 1与平面成30角，直线l 2与l 1成60角，则l 2与平面所成角的取值范围是 ( )

(A )[0,60] (B )[60,90] (C )[30,90] (D )[0,90] 【典例剖析】

例1．如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对棱也互相垂直．

已知：四面体ABCD 中，AB ⊥CD ，AD ⊥BC ；

求证：AC ⊥BD ；

证法一：作AO ⊥平面BCD 于O ， 连OB 、OC 、OD ，∵AB ⊥CD ，∴OB ⊥CD ，同理，由AD ⊥BC 得OD ⊥BC ，

∴O 是△BCD 的垂心，∴OC ⊥BD ，从而AC ⊥BD ．

证法二：设=a ，=b ，=c ，则=b a ，=c a ，=c b ， ∵AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，∴a (c b )=0，c (b a )=0，则a c =a

b ，a

c =c b ． ∴a b =c b ，即a b c b =0，从而有b (c a )=0，故⊥．

例2．如图，在三棱锥P ABC 中，ACB =90，ABC =60，PC 平面ABC ，AB =8，PC =6，M 、N 分别是PA 、PB 的中点，设△MNC 所在平面与△ABC 所在平面交于直线l ．

(1)判断l 与MN 的位置关系，并进行证明；

(2)求点M 到直线l 的距离． 解：(1)l //MN ，证明如下： ∵M 、N 分别是PA 、PB 的中点， ∴MN AB ，MN 平面ABC ，AB 平面ABC ，

∴MN 平面ABC ．又∵MN 平面MNC ，

平面MNC 平面ABC =l ，∴MN l ．

(2)取AC 的中点Q ，连MQ ，则MQ PC ， 而PC 平面ABC ，∴MQ 平面ABC ．

作QD 直线l 于D ，连MD ，则MD 直线l ． 线段MD 的长即为M 到直线l 的距离． 在Rt △ABC 中，可求得AC =4，∴QC =2． 又MQ =PC =3，∠QCD =30?，∴QD =QC =． 于是 MD ==2．

N M P C B A 例3.如图，P 是ΔABC 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABC 。若O 和Q 分别是ΔABC 和 ΔPBC 的垂心，试证：OQ ⊥平面PBC 。

证明： ∵O 是ΔABC 的垂心，∴BC ⊥AE 。 ∵PA ⊥平面ABC ， 根据三垂线定理得BC ⊥PE 。∴BC ⊥平面PAE 。∵Q 是ΔPBC 的垂心，故Q 在PE 上，则OQ 平面PAE ，∴OQ ⊥BC 。 ∵PA ⊥平面ABC ，BF 平面ABC ，∴BF ⊥PA ，又∵O 是ΔABC 的垂心，∴BF ⊥AC ，故BF ⊥平面PAC 。因而FM 是BM 在平

面PAC 内的射影。因为BM ⊥PC ，据三垂线定理的逆定理，

FM ⊥PC ，从而PC ⊥平面BFM 。又OQ 平面BFM ，所以OQ ⊥PC 。 综上知 OQ ⊥BC ，OQ ⊥PC ，所以OQ ⊥平面PBC 。

说明：此题涉及直线与平面垂直，需用三垂线定理及逆定理。

例4.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面ΔABC 是直角三角形，∠ABC=，2AB=BC=BB 1=a ，且

A 1C ∩AC 1=D ，BC 1∩

B 1C=E ，截面AB

C 1与截面A 1B 1C 交于DE 。

（1）A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ；（2）求证：A 1C ⊥BC 1；（3）求证：DE ⊥平面BB 1C 1C 。

证明：（1）∵三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱，

∴侧面与底面垂直，即平面A 1B 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，又∵AB ⊥BC ，∴A 1B 1⊥B 1C 1 从而A 1B 1⊥平面BB 1C 1C 。

（2）由题设可知四边形BB 1C 1C 为正方形，∴BC 1⊥B 1C ，而A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ， ∴ A 1C 在平面BB 1C 1C 上的射影是B 1C ，由三垂线定理得A 1C ⊥BC 1

（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D 、E 分别为所在侧面对角线的交点，∴D 为A 1C 的中点，E 为B 1C 的中点，∴DE ∥A 1B 1，而由（1）知A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，∴DE ⊥平面BB 1C 1C 。

例5．如图P 是ABC 所在平面外一点，PA ＝PB ，CB 平面PAB ，M 是PC 的中点， N 是AB 上的点，AN ＝3NB （1）求证：MN AB ；（2）当APB ＝90，AB ＝2BC ＝4时，求MN 的长。

（1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，

∴，∵ 平面 ，∴ 平面

∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结

，∵∴，又，∴

∴，∴，由三垂线定理得 （2）∵，∴，∴，∵平面 ∴，且，∴

【知识方法总结】

运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”，如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影。

【作业】

1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E在上底面A1B1C1D1内，A1B1E=60，A1B1=2B1E，求证：AE B1E

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为是底面AC的中心，P为棱A1B1上任意的一点，则直线OP与AM所在的角等于。

A 90度

B 60度

C 45 度

D 30度

3. 如图：在平面β内有△ABC，在平面β外有点S，斜线SA

⊥AC，SB⊥BC，且斜线SA、SB分别与平面β所成的角相等，

(1) 求证：AC＝BC；(2) 又设点S与平面β的距离是4cm，AC

⊥BC，且AB=6cm，求点S与直线AB的距离。

4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，沿对角线BD 将

BCD折起，使点C在平面ABD上的射影O恰在AB上。（1）求证：BC平面ACD；（2）求点A 到平面BCD的距离；（3）求直线AB与平面BCD所成的角的大小。

A

5.直线a 平行于平面，l 为平面的斜线，a直线l 在内的射影，求证：l a。

6.G 为ABC的垂心，GP平面ABC，且AP BP，求证：AP CP