4.与函数有关的新定义问题(6道)
与函数有关的新定义问题
1．实数x 、y 若存在坐标(x ，y )同时满足一次函数y ＝px ＋q
和反比例函数y ＝k x ，则二次函数y ＝px 2＋qx －k 为一次函数和
反比例函数的“共享”函数.
(1)试判断(需要写出判断过程)：一次函数y ＝－x ＋4和反比例
函数y ＝3x 是否存在“共享”函数？若存在，写出它们的“共享”
函数和实数对坐标；
(2)已知整数m 、n 、t 满足条件：t ＋n )x ＋2m ＋2与反比例函数y ＝2018x 存在“共享”函数y ＝(m ＋ t )2＋(10m －t )x －2018，求整数m 的值； (3)若同时存在两组实数对坐标(x 1，y 1)和(x 2，y 2)使一次函数y ＝ax ＋2b 和反比例函数y ＝－c x 存在“共享”函数，其中实数 a > b > c ，a ＋b ＋c ＝0，令L ＝|1x 1－1x 2 |，求L 的取值范围． 解：(1)令－x ＋4＝3x ，解得x ＝1或x ＝3，y ＝－x ＋4和y ＝3x 是 “共享”函数，实数对坐，标为(1，3)和(3，1)； (2)y ＝(1＋n )x ＋2m ＋2与y ＝2018x 的“共享”函数是y ＝(1＋n )x 2 ＋(2m ＋2)x －2018， 由题意得，y ＝(1＋n )x ＋2m ＋2与y ＝2018x 的“共享”函数为y ＝(m ＋t )x 2＋(10m －t )x －2018， ∴?????1＋n ＝m ＋t 2m ＋2＝10m －t ，即? ????n ＝9m －3t ＝8m －2， 又∵t ∴ m ＝2； (3)y ＝ax ＋2b 和y ＝－c x 存在“共享”函数为y ＝ax 2＋2bx ＋c ，则 a 、 b 、 c 满足， ?????a ＋b ＋c ＝04b 2－4ac ≥0a >b >c ，即2()0a c ac a a c c ?+->?>-->?,∴－2 L 2＝(1x 1－1x 2)2＝（x 1＋x 2）－4x 1x 2（x 1x 2）2＝（2b a ）2－4c a （c a ）2＝4b 2－4ac c 2 ＝4（a ＋c ）2－ac c 2＝4(a 2c 2＋a c ＋1)＝4(12 a c )2＋3, ∵－2 2．对平面直角坐标系中的点P (x ，y )，定义d ＝|x |＋|y |，我们称d 为P (x ，y )的幸福指数．对于函数图象上任意一点P (x ，y )，若它的幸福指数d ≥1恒成立，则称此函数为幸福函数，如二次函数y ＝x 2＋1就是一个幸福函数，理由如下： 设P (x ，y )为y ＝x 2＋1上任意一点，d ＝|x |＋|y |＝|x |＋|x 2＋1|， ∵x ≥0，|x 2＋1|＝x 2＋1≥1, ∴d ≥1. ∴y ＝x 2＋1是一个幸福函数． (1)若点P 在反比例函数y ＝1x 的图象上，且它的幸福指数d ＝2， 请直接写出所有满足条件的P 点坐标； (2)一次函数y ＝－x ＋1是幸福函数吗？请判断并说明理由； (3)若二次函数y ＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m (m >0)是幸福函数，试 求出m的取值范围． 解：(1)设点P的坐标为(m，1 m)， ∴d＝|m|＋|1 m|＝2， 解得：m1＝－1，m2＝1， 经检验，m1＝－1,m2＝1是原分式方程的解， ∴满足条件的P点坐标为(－1，－1)或(1，1)； (2)一次函数y＝－x＋1是幸福函数，理由如下： 设P(x，y)为y＝－x＋1上的一点，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|－x＋1|；x<0时，d＝|x|＋|－x＋1|＝－x－x＋1＝1－2x>1； 当0≤x≤1时，d＝|x|＋|－x＋1|＝x－x＋1＝1； 当x>1时，d＝|x|＋|－x＋1|＝x＋x－1＝2x－1>1. ∴对于y＝－x＋1上任意一点P(x，y)，它的幸福指数d≥1恒成立， ∴一次函数y＝－x＋1是幸福函数； (3)设P(x，y)为y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m上的一点，d＝|x|＋ |y|＝|x|＋|x2－(2m＋1)x＋m2＋m|， ∵y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝(x－m)(x－m－1)，m＞0， ∴分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m＋1、x＞m＋1考虑． ①当x≤0时，d＝|x|＋|x2－(2m＋1)x＋m2＋m|＝－x＋x2－(2m ＋1)x＋m2＋m＝(x－m－1)2－m－1， 当x＝0时，d取最小值，最小值为m2＋m， ∴m2＋m≥1， 解得：m≥5－1 2； ②0＜x＜m时，d＝|x|＋|x2－(2m＋1)x＋m2＋m|＝x＋x2－(2m ＋1)x＋m2＋m＝(x－m)2＋m－1≥1， ∵(x－m)2≥0， ∴m－1≥1， 解得：m≥2； ③当m≤x≤m＋1时，d＝|x|＋|x2－(2m＋1)x＋m2＋m|＝x－x2＋(2m＋1)x－m2－m＝－(x－m－1)2＋m＋1， 当x＝m时，d取最小值，最小值为m， ∴m ≥1； ④当x ＞m ＋1时，d ＝|x |＋|x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m |＝x ＋x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝(x －m )2＋m －1＞m ≥1， ∴m ≥1. 解得：若二次函数y ＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m (m ＞0)是幸福函数，m 的取值范围为m ≥2. 3．在平面直角坐标系中，设直线l 的解析式为：y ＝kx ＋b (k ≠0)，当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l 与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”． (1)求直线l ：y ＝－x ＋2与双曲线y ＝1x 的切点坐标； (2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过两点(－1，0)和(3，0)，若直线l ：y ＝x ＋2与抛物线相切，试求实数a 的值； (3)已知直线l ：y 1＝kx ＋m 与抛物线y 2＝2x 2＋14相切于点(12，34)， 设二次函数M ：y 3＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为整数且a ≠0)，对于一切实数x 恒有y 1≤y 3≤y 2.求二次数M 的解析式． 解：(1)联立???y ＝－x ＋2 y ＝1x ，得 x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1，∴切点 坐标为(1，1) (2)由题可知，抛物线解析式可表示为：y ＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ， 联立? ????y ＝x ＋2y ＝ax 2－2ax －3a ，得：ax 2－(2a ＋1)x －3a －2＝0 由抛物线和直线相切易知：a ≠0且Δ＝0， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4a ×(－3a －2)＝16a 2＋12a ＋1＝0， 解得：a 1＝－3＋58，a 2＝－3－58 ， (3)由题可知：直线y 1＝kx ＋m 和抛物线M 都经过(12，34)， ∴34＝k 2＋m ，34＝a 4＋b 2＋c ①， ∴m ＝34－k 2， 联立?????y 1＝kx ＋34－k 2，y 2＝2x 2＋14 得2x 2－kx －12＋k 2＝0， ∴Δ＝k 2 －4×2×(12－k 2)＝0. 解得：k ＝2，∴m ＝－14, ∴直线l 1的解析式：y 1＝2x －14, ∵对于一切实数x 恒有y 1≤y 3≤y 2，对于一切实数x 恒有：2x －14≤ax 2＋bx ＋c ≤2x 2＋14. 当x ＝0时，有－14＜c <14，而c 为整数，∴c ＝0②. 联立???y 1＝2x －14y 3＝ax 2＋bx ＋c ，得ax 2＋(b －2)x ＋c ＋14＝0. ∴Δ＝(b －2)2－4a ×(c ＋14)＝0, ∴b 2－4b ＋4－4ac －a ＝0 ③, 联立①②③式得：a ＝b ＝1，c ＝0. 故二次函数M 的解析式为：y 3＝x 2＋x . 4．已知y 是关于x 的函数，若其图象经过点P (t ，t )，则称点P 为函数图象上的“bingo 点”，例如：y ＝2x －1上存在“bingo 点”P (1，1)． (1)直线________(填写直线解析式)上的每一个点都是“bingo 点”；双曲线y ＝1x 上的“bingo 点”是________； (2)若抛物线y ＝12x 2＋(13a ＋1)x －19a 2－a ＋2上有“bingo 点”，且 “bingo 点”A 、B (点A 和点B 可以重合)的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)，求x 21＋x 22的最小值； (3)若函数y ＝14x 2＋(n －k ＋1)x ＋m ＋k －1的图象上存在唯一 的一个“bingo 点”，且当－2≤n ≤1时，m 的最小值为k ，求k 的值． 解：(1)y =x ;（1,1）和（－1，－1）； (2)设二次函数y ＝12x 2＋(13a ＋1)x －19a 2－a ＋2的“bingo 点”为 (x ，x )， ∴x ＝12x 2＋(13a ＋1)x －19a 2－a ＋2， ∴12x 2＋13ax －19a 2－a ＋2＝0， ∴x 1＋x 2＝－23a ，x 1·x 2＝－29a 2－2a ＋4， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－23a )2－2× (－29a 2－2a ＋4)＝89(a ＋94)2－252， 又∵“bingo 点”A 、B (点A 和点B 可以重合)， ∴Δ≥0，即(13a )2－4·12· (－19a 2－a ＋2)≥0， ∴a ≤－3－21或a ≥－3＋21， 当a ＝－3＋21时，x 21＋x 22取最小值， ∴(x 21＋x 22)min ＝203－4321； (3)∵y ＝14x 2＋(n －k ＋1)x ＋m ＋k －1只有一个“bingo 点”，∴y ＝14x 2＋(n －k ＋1)x ＋m ＋k －1与y ＝x 只有一个交点， 则14x 2＋(n －k )x ＋m ＋k －1＝0有两个相同根， ∴Δ＝b 2－4ac ＝(n －k )2－(m ＋k －1)＝0， 可得m ＝(n －k )2－k ＋1， 当k ＜－2时，n ＝－2，m 取最小值，即(－2－k )2－k ＋1＝k ，则无解； 当－2≤k ＜1时，n ＝k ，m 取最小值，即－k ＋1＝k ，则k ＝12； 当k ≥1时，n ＝1，m 取最小值，即(1－k )2－k ＋1＝k ，则k 2－4k ＋2＝0； ∴k 1＝2－2(不合题意，舍去)，k 2＝2＋2， 综上所述，k 值为12或2＋ 2. 5．已知y 是关于x 的函数，若其图象经过点P (t ，2t )，则称点P 为函数图象上的“偏离点”．例如：直线y ＝x －3上存在“偏离点”P (－3，－6)． (1)在双曲线y ＝1x 上是否存在“偏离点”？若存在，请求出“偏离 点”的坐标；若不存在，请说明理由； (2)若抛物线y ＝－12x 2＋(23a ＋2)x －29a 2－a ＋1上有“偏离点”， 且“偏离点”为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，求w ＝x 21＋x 22－ka 3的最小 值(用含k 的式子表示)； (3)若函数y ＝14x 2＋(m －t ＋2)x ＋n ＋t －2的图象上存在唯一的 一个“偏离点”，且当－2≤m ≤3时，n 的最小值为t ，求t 的值． 解：(1)存在．假设存在“偏离点”，根据题意得2x ＝1x ，解得 x 1＝22，x 2＝－22， 当x ＝22时，y ＝2；当x ＝－22时，y ＝－2， ∴“偏离点”坐标为(22，2)或(－22，－2)； (2)设抛物线上的“偏离点”坐标为(x ，2x )，代入抛物线得－12x 2 ＋(23a ＋2)x －29a 2－a ＋1＝2x 得－12x 2＋23ax －29a 2－a ＋1＝0， ∵Δ＝4a 29＋2(－29a 2－a ＋1)≥0，∴a ≤1， 又∵x 1＋x 2＝43a ，x 1·x 2＝49a 2＋2a －2， ∴x 21＋x 22－ka 3＝(x 1＋x 2)2－2x 1· x 2－ka 3＝89a 2－(4＋k 3)a ＋4，又∵抛物线开口向上，且对称轴为a ＝36＋3k 16，∴若36＋3k ≥16， 即k ≥－203，则当a ＝1时，w ＝x 21＋x 22－ka 3最小值为89－k 3， 若36＋3k <16，即k <－203，则当a ＝36＋3k 16时，x 21＋x 22－ka 3最 小值为－k 2＋24k ＋1632 ， 综上所述，w 的最小值为??? 89－k 3 （k ≥－203） －k 2＋24k ＋1632 （k ＜－203）； (3)将“偏离点”(x ，2x )代入14x 2＋(m －t ＋2)x ＋n ＋t －2＝2x 得： 14x 2＋(m －t )x ＋n ＋t －2＝0， ∵该函数图象上存在唯一一个“偏离点”， ∴Δ＝(m －t )2 －4×14(n ＋t －2)＝0， 即n ＝m 2－2mt ＋t 2－t ＋2＝(m －t )2－t ＋2， 又∵对称轴为m ＝t ， ∴①若t ≤－2，取m ＝－2时，有n min ＝4＋4t ＋t 2－t ＋2＝t ，即t 2＋2t ＋6＝0，∵Δ＝4－4×1×6＜0， 方程无解；②若－2 ③若t ≥3，取m ＝3时，有n min ＝32－6t ＋t 2－t ＋2＝t ， 即：t 2－8t ＋11＝0，解得t 1＝4＋5，t 2＝4－5(舍)， 综上所述，t ＝4＋5或t ＝1. 6．若y 是关于x 的函数，H 是常数(H ＞0)，若对于此函数图象上的任意两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，都有|y 1－y 2|≤H ，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H 的最小值，称 第6题图 为该函数的界高．如图所表示的函数的界高为4. (1)若函数y ＝k x (k ＞0)(－2≤x ≤－1)的界高为6，则k ＝________； (2)若函数y ＝kx ＋1(－2≤x ≤1)的界高为4，求k 的值； (3)已知函数y ＝x 2－2ax ＋3a (－2≤x ≤1)的界高为254，求a 的值． 解：(1)12； 【解法提示】当－2≤x ≤－1时，函数y ＝k x (k ＞0)中y 随x 的增 大而减小，∴y 1＞y 2，将x 1＝－2代入得y 1＝k －2 ＝－k 2，将x 2＝－1代入得y 2＝k －1 ＝－k ，∵|y 1－y 2|＝6，∴－k 2－(－k )＝6，解得k ＝12； (2)将x 1＝－2代入得y 1＝－2k ＋1； 将x 2＝1代入得y 2＝k ＋1， ∵|y 1－y 2|＝4， ∴|－3k |＝4，解得k ＝±43； (3)①当a ≥1时，将x 1＝－2，x 2＝1代入函数解析式得， y 1＝4＋7a ，y 2＝1＋a ， ∵|y 1－y 2|＝254，函数对称轴为x ＝a ，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小， ∴3＋6a ＝254，解得a ＝1324， 又∵a ≥1，故此种情况不成立； ②当－12≤a ＜1时，将x 1＝－2，x 2＝a 代入函数解析式得， y 1＝4＋7a ，y 2＝3a －a 2， ∵|y 1－y 2|＝254， ∴a 2 ＋4a －94＝0， 解得a 1＝12，a 2＝－92(舍去)， ∴a ＝12； ③当－2≤a ＜－12时，同理有x 1＝1时y 值最大，x 2＝a 时y 值 最小，将x 1＝1，x 2＝a 代入函数解析式得， y 1＝1＋a ，y 2＝3a －a 2， ∵|y 1－y 2|＝254， ∴a 2 －2a －214＝0， 解得a 1＝－32，a 2＝72(舍去)， ∴a ＝－32； ④当a ＜－2时， 将x 1＝－2，x 2＝1代入函数解析式得， y 1＝4＋7a ，y 2＝1＋a ， ∵|y 1－y 2|＝254，在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大， ∴－(3＋6a )＝254， 解得a ＝－3724， 又∵a ≤－2，故此种情况不成立， 综上所述，a ＝12或a ＝－32. 新定义问题（一）（讲义） 知识点睛 新定义问题是在已学知识基础上，以未接触过的新定义为载体，现学现用，侧重考查理解、分析、应用等能力的问题。 此类问题的一般思路： ①结合图形，理解新定义关键词； ②借助题目正反举例，理解新定义实质，尝试“化生为熟”； ③结合背景信息，借助新定义求解． 精讲精练 1.如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以C为 顶点的抛物线经过点A，P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D，E的坐标分别为(0，6)，(-4，0)，连接PD，PE，DE． （1）请直接写出抛物线的解析式． （2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．（3）小明进一步探究得出结论：若将使△PDE的面积为整数的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标． 2.已知抛物线2y ax bx c =++，若a ，b ，c 满足b =a +c ，则称抛 物线2y ax bx c =++为“恒定”抛物线． （1）求证：“恒定”抛物线2y ax bx c =++必过x 轴上的一个定点A ； （2）已知“恒定”抛物线233y x =-的顶点为P ，与x 轴的另一个交点为B ，是否存在以Q 为顶点，与x 轴另一个交点为C 的“恒定”抛物线，使得以PA ，CQ 为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由． 函数中的新定义问题 一、填空题 1、定义区间[x1,x2](x1?x2)的长度为x2?x1,已知函数 f(x)?|log1x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差 2 为 . 2、（2015余杭区模拟）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称函数f（x）为F﹣函数．给出下列函数：①f（x）=x；②f（x）= x2；③f（x）=2；④f（x）=sin2x．其中是F﹣函数的序号为． 3、（2009厦门十中）定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个x1,x2?x1?x2?，均有f?x1??f?x2?kx1?x2成立，则称函数f?x?在定义域D上满足利普希茨条件。若函数f?x?? 4、（2012格致三模）已知全集为U，P??U，定义集合P的特征函数为x?x?1?满足利普希茨条件，则常数k的最小值为_____。 ??1,x?P,fP?x???，对于A??U， B??U，给出下列四个结论： 0,x?eP.?U? ①对任意x?U，有feUA?x??fA?x??1； ②对任意x?U，若A??B，则fA?x??fB?x?； ③对任意x?U，有fAIB?x??fA?x??fB?x?； ④对任意x?U，有fA?B?x??fA?x??fB?x?。 其中，正确结论的序号是__________。 5、定义运算：a*b=，对于函数f（x）和g（x），函数|f（x）﹣g（x）|在闭区间[a，b]上的最大值称为f（x）与g（x）在闭区间[a，b]上的“绝对差”，记为（f（x），g（x）），则（sinx*cosx，1）= ． Presented by Csuzzy，All Rights Reserved. 15新定义 §15-1 新定义计算对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点()1,a b ，()21,a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-． （1）写出函数21y x =-的限减系数； （2）0m >，已知()11,0y x m x x = -≤≤≠是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围； （3）已知函数2y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．1 Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为1y ，2y ，都有点()1,x y 和()2,x y 关于点(),x x 中心对称（包括三个点重合时），由于对称中心都在直线y x =上，所以称这两个函数为关于直线y x =的特别对称函数．例如：12y x =和32 y x =为关于直线y x =的特别对称函数．（1）若32y x =+和()0y kx t k =+≠为关于直线y x =的特别对称函数，点()1,M m 是32y x =+上一点． ①点()1,M m 关于点()1,1中心对称的点坐标为． ②求k ，t 的值． （2）若3y x n =+和它的特别对称函数的图象与y 轴围成的三角形面积为2，求n 的值． （3）若二次函数2y ax bx c =++和2y x d =+为关于直线y x =的特别对称函数． ①直接写出a ，b 的值． ②已知点()3,1P -，点()2,1Q ，连接PQ ，直接写出2y ax bx c =++和2y x d =+两条抛物线与线段PQ 恰好有两个交点时d 的取值范围． 与函数有关的新定义题型 1．(2016长沙25题10分)若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”． (1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值； (2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6 x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4， 求此“路线”L 的解析式； (3)当常数k 满足1 2≤k ≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴， y 轴所围成的三角形面积的取值范围． 2．(2015长沙25题10分)在直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点．．．．．．称之为“中国结”． (1)求函数y ＝3x ＋2的图象上所有“中国结”的坐标； (2)若函数y ＝k x (k ≠0，k 为常数)的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与 相应“中国结”的坐标； (3)若二次函数y ＝(k 2－3k ＋2)x 2＋(2k 2－4k ＋1)x ＋k 2－k (k 为常数)的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有多少个“中国结”？ 3．(2014长沙25题10分)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点(－1，－1)，(0，0)，(2，2)，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个． (1)若点P (2，m )是反比例函数y ＝n x (n 为常数，n ≠0)的图象上的“梦之点”，求这个反比 例函数的解析式； (2)函数y ＝3kx ＋s －1(k ，s 是常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 是常数，a >0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A (x 1，x 1)，B (x 2，x 2)，且满足－2 专题训练(四)与二次函数相关的新定义问题 ?类型之一应用型：阅读——理解——建模——应用 图4－ZT－1 1．2017·巴中如图4－ZT－1，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，且抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3，则半圆圆心M点的坐标为________. 2．一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP 的面积是________． 3．2017·余杭区一模如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图4－ZT－2所示，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”． (1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点． (2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________． (3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式． 图4－ZT－2 ?类型之二探究型：阅读——理解——尝试——探究 4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线． (1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的函数表达式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案； (2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式．请你解答． 5．2017·衢州定义：如图4－ZT－3①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B 两点，点P在该抛物线上(点P与A，B两点不重合)，若△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点． (1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标； (2)如图②，已知抛物线C：y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式； (3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q(异于点P)的坐标． 专题突破(十) 新定义问题 1． 在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙O 的反称点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点P ′，满足CP ＋CP ′＝2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图Z10－1为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图． (1)当⊙O 的半径为1时． ①分别判断点M (2，1)，N (3 2，0)，T (1，3)关于⊙O 的反称点是否存在，若存在，求其 坐标； ②点P 在直线y ＝－x ＋2上，若点P 关于⊙O 的反称点P ′存在，且点P ′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围． (2)当⊙C 的圆心在x 轴上，且半径为1，直线y ＝－ 3 3 x ＋2 3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B.若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围． 图Z10－1 2． 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M >0，对于任意的函数值y ，都满足－M ≤y ≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图Z10－2中的函数是有界函数，其边界值是1. (1)分别判断函数y ＝1 x (x >0)和y ＝x ＋1(－4 3 实数b的取值范围． 变式 如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]． (1)若一个函数的特征数为[-2，1]，求此函数图象的顶点坐标． (2)探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数． ②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？ 例3．如图1，抛物线y =ax 2 +bx +c （a ＞0）的顶点为M ，直线y =m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高． （1）抛物线2 12 y x = 对应的碟宽为 ；抛物线y =4x 2对应的碟宽为 ；抛物线y =ax 2（a ＞0）对应的碟宽为 ；抛物线y =a (x -2)2 +3（a ＞0）对应的碟宽为 ； （2）抛物线2 543 y ax ax =--（a ＞0）对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值； （3）将抛物线y =a n x 2+b n x +c n （a n ＞0）的对应准蝶形记为F n （n =1，2，3…），定义F 1， F 2，…，F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F n 与F n ﹣1的相似比为1 2 ，且F n 的碟顶 是F n ﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1． ①求抛物线y 2的表达式； ②若F 1的碟高为h 1，F 2的碟高为h 2，…F n 的碟高为h n ，则h n = ，F n 的碟宽有端点横坐标为2；若F 1，F 2，…，F n 的碟宽右端点在一条直线上，请直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由。 2016年中考数学二次函数综合题练习 【二次函数中新定义问题】 1、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义： 如果()() 0'0y x y y x ??=?-??≥＜，那么称点Q 为点P 的“关联点”． 例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（－5，6）的“关联点”为点（－5，－6）． （1）下面哪个点的“关联点”在函数3 y x = 的图象上？ （ ） A 、（0，0） B 、（3，－1） A 、（－1，3） D 、（－3，1） （2）如果一次函数y = x + 3图象上点M 的“关联点”是N （m ，2)，求点M 的坐标； （3）如果点P 在函数24y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“关联点”Q 的纵坐标 y ′的取值范围是－4＜y ′≤4，求实数a 的取值范围． x y O x y O O x y D 1D 2B 3 A 3D 3C A B A 2B 2 A 1 B C 2 C 1 2、在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义： 若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点 都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的外延矩形。 点A ，B ，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ， C 的最佳外延矩形．例如，图中的矩形1111D C B A ，2222D C B A ， 333CD B A 都是点A ，B ，C 的外延矩形，矩形333CD B A 是点A ，B ， C 的最佳外延矩形． （1）如图1，已知A （－2，0），B （4，3），C （0，t ）． ①若2=t ，则点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为 ； ②若点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为24，则t 的值为 ； （2）如图2，已知点M （6，0），N （0，8）．P （x ，y ）是抛物线542 ++-x x y ＝上一点， 求点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P 的横坐标x 的取值范围； （3）如图3，已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数)0(4 >= x x y 的图象上一点，矩形OFEG 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H 是矩形OFEG 的外接圆，请直接写出⊙H 的半径r 的取值范围． 新定义、新概念创新函数问题解析 信息迁移题是近几年高考中函数题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解时，要准确把握新定义、新信息，并把它纳入已有的知识体系之中，用原来的知识和方法来解决新情景下的问题。 1. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y=-x 2, 值域为{-1,-9}的“同族函数”共有( ) A.9个 B 。8个 C 。5个 D 。4个 解析:函数y=-x 2, 值域为{-1,-9}，可知自变量x 从1，-1，±1中任取一个，和从3，-3，±3中任取一个构成函数，故满足条件的“同族函数”有3×3=9个。 2. 若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件:①P 、Q 都在函数f(x)的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“友好点对”)。已知函数 f(x)=?????≥<++0,0,14222x x x x x e 则f(x)的“友好点对”有_______个。 解析:本题若直接求解显然不行，不妨作出函数f(x)=2x 2+4x+1,(x<0) 图象关于原点对称的函数记为g(x)=-f(-x)=-2x 2+4x-1=-2(x-1)2+1,g(1)=1, 而f(1)= e 2 <1， 作出g(x)与f(x)(x ≥0)的图象，数性结合可知，g(x) 与f(x)(x ≥0)有两个交点，故f(x)的“友好点对”有两个。 3，（2010湖南卷)用min{a,b}表示a,b 俩数中的最小值，若函数f(x)= min{|x|,|x+t|}的图象 关于直线x=-2 1 对 称,则t=_________________ 解析:在同一坐标系中，分别作出函数 x y =与t x y +=的图像，由图像知f(x)的图像为图中的实线部 分(A-B-C-O-E)。由于f(x) 的图象 关于直线x=-2 1对称，于是 1,2 12 0=∴-=+-t t 。 评注:本题主要考查绝对值函数的图像的做法以及函数图像的对称问题。求解本题应首先作出f(x)的图像(两函数图像中较低的部分)，再利用对称性，由中点坐标公式求出t 值。 4. 已知函数f(x)是[a,b]上的连续函数，定义:g 1(x)=min{f(t)|a ≤t ≤x}（x ∈[a,b]）,g 2(x)=max{f(t)|a a ≤t ≤x}( x ∈[a,b]).其中，min{f(x)|x ∈D}表示函数f(x)在D 上的最小值，man{f(x)|x ∈D}表示函数f(x)在D 上的最大值。若存在最小正整数k,使得g 2(x)—g 1(x) ≤k(x-a)对任意的x ∈[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k 阶回归函数”。 （Ⅰ）若f(x)=cosx, x ∈[0, π],试写出g 1(x)，g 2(x)的表达式； （Ⅱ）已知函数f(x)=x 2,,x ∈[-1,4],试判断f(x)是否为[-1,4]上的“k 阶回归函数”。如果是，求出对应的k; 如果不是，请说明理由； 解析: （Ⅰ）由题意可知 g 1(x)=cosx,[],,0π∈x g 2 (x)=1,[]π,0∈x . （Ⅱ）g 1(x)=[) [] ???∈-∈4,0,00,1,2x x x g 2 (x)=[][]???∈-∈4,1,1,1,1,2 x x x g 2 (x)—g 1(x)=[) [)[] ?? ???∈∈-∈-4,1,1,0,10,1,122x x x x x 当[)0,1-∈x 时，()112 +≤-x k x ，所 以2,1≥-≥k x k ；当[)1,0∈x 时，()11+≤x k ，所以1 1+≥ x k 所以1≥k ；当[] 4,1∈x 时， ()12+≤x k x 所以5 161 ,2≥∴≥ +k k x x 综上所述516≥k 历年高考新定义函数问题 一、 利用函数性质解决函数新定义问题 1．（2012年高考（福建理））设函数1,()0,D x ??=???x x 为有理数为无理数 ,则下列结论错误的是 （ ） A ．()D x 的值域为{}0,1 B ．()D x 是偶函数 C ．() D x 不是周期函数 D ．()D x 不是单调函数 1【答案】C 【解析】A,B.D 均正确,C 错误. 【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性,全面掌握很关键. 2．（2012年高考（福建理））对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:2 2,*,a ab a b b ab ?-?=??-?a b a b ≤>, 设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等 的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________. 2【解析】由定义运算“*”可知 22 2 2112()0(21)(21)(1),21148 ()=11(1)(21)(1),211()024 x x x x x x x f x x x x x x x x ?--≤??-----≤-??=??------???--+??，＞＞,画出该函数图象可知满 足条件的取值范围是 116 -（）. 二、 利用数形结合解决函数新定义问题 1.【2015高考天津，理8】已知函数()()2 2,2,2,2, x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取 值范围是( ) 26．有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小东对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完成： （1）函数的自变量x 的取值范围是全体实数； （2）下表是y 与x 的几组对应值． ①m = ； ②若M （7-，720-），N （，720）为该函数图象上的 两点，则 ； （3）在平面直角坐标系中， A （），B （） 为该函数图象上的两点，且A 为范围内的最低点， A 点的位置如图所示． ①标出点B 的位置； ②画出函数（）的图象． (1)(2)(3)y x x x =---(1)(2)(3)y x x x =---(1)(2)(3)y x x x =---n n =xOy ,A A x y ,B A x y -23x ≤≤(1)(2)(3)y x x x =---04x ≤≤ 26. 有这样一个问题：探究函数x x y 1 2-=的图象与性质. 小宏根据学习函数的经验，对函数x x y 1 2-=的图象与性质进行了探究. 下面是小宏的探究过程，请补充完整： （1）函数x x y 1 2-=的自变量x 的取值范围是___________； （2）下表是y 与x 的几组对应值. 求m ，n 的值； （3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点. 根据描出的点，画出该函数的图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）：________________. 26.有这样一个问题：探究函数 x y= x+1 的图象与性质． 小怀根据学习函数的经验，对函数 x y= x+1 的图象与性质进行了探究． 下面是小怀的探究过程，请补充完成： (1)函数 x y= x+1 的自变量x的取值范围是___________； (2)列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m=__________； (3)请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)结合函数的图象，写出函数的一条性质. 26．【探究函数 9 y x x =+的图像与性质】 x y= x+1 专题49、与函数有关的创新问题 过*()n n ∈N 个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数。给出下列函数：①()sin 2f x x =；② 3()g x x =；③1 ()()3 x h x =；④()ln x x ?=，其中是一阶整点函数的是( ) ，它的图象只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除 1,1),，所以它不是一阶整点函数，排除,,3),所以它不是一阶整点函数，排除C . 00000“优美点”。已知22,0 ()2,0x x x f x kx x ?+<=?+≥? ，若曲线()f x 存在“优美点”，则实数k 的取值范围为 ( ) .(,2A -∞- .[2B - .(,2C -∞+ .(0,2D + 函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”，若函数2()31x f x -=-与2()x g e x x a =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) 214., A e e ?? ??? 214.,B e e ?? ??? 242.,C e e ?????? 3242D.,e e ?????? 【答案】B 【解析】由2()310x f x -=-=，解得2x =，可知{}2{}0|()M f αα===，函数2()31x f x -=-与2()x g e x x a =-互为“1度零点函数”，∴存在β，使得()0g β=，且|21|β-<，可得 【例4】已知具有性质：1()f f x x ?? =- ???的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①1()f x x x =-；②1 ()f x x x =+；③,01()0,11 , 1x x f x x x x ? ?<?，其中满足“倒负”变换的函数是( ) 【例5】若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数2],1,2[y x x =∈与函数2[],2,1y x x =∈--即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是( ) [].A y x =([]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]0.10=) .B y x =+31 .log C y x x = - 1 .1 D y x x =+ + 【答案】AD 【解析】根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调。 与函数有关的新定义题型 １.(2016长沙25题1０分）若抛物线Ｌ：ｙ＝aｘ２＋bx＋c(ａ,b,c是常数,abc≠０）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Ｑ在直线l上,则称此直线l与该抛物线Ｌ具有“一带一路”关系．此时直线ｌ叫做抛物线Ｌ的“带线”,抛物线L叫做直线l的“路线”． （1)若直线ｙ=mｘ+1与抛物线ｙ＝x２－2x+n具有“一带一路”关系，求ｍ,n的值； (2)若某“路线＂L的顶点在反比例函数y＝错误!的图象上,它的“带线”ｌ的解析式为y=２x－４，求此“路线”L的解析式； (3）当常数ｋ满足1 ２ ≤k≤２时，求抛物线L：y=ax２+（3ｋ2-２k+1)x+k的“带线”ｌ与ｘ轴,y轴所围成的三角形面积的取值范围. 2．（２０15长沙２５题10分）在直角坐标系中,我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数．．．．的点．． 称之为“中国结". (1)求函数ｙ＝＼ｒ(３）x ＋2的图象上所有“中国结”的坐标； (2)若函数y ＝k x (k ≠0,k 为常数)的图象上有且只有两个“中国结",试求出常数k 的值与相应“中国结"的坐标; （3)若二次函数ｙ＝(k 2-3ｋ+２)x 2+(２k 2－4k +１)x +k 2-k (k 为常数）的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结"，试问该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结”？ 3.（2０14长沙25题10分)在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如点(－1,－１),(0，０），（错误!,错误!）,…都是“梦之点”,显然，这样的“梦之点”有无数个. (1)若点P(2,m)是反比例函数y=＼f(n，x)(n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”,求这个反比例函数的解析式； (2)函数y=3kx＋s-1（k，ｓ是常数)的图象上存在“梦之点”吗?若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若二次函数y＝ax２＋bｘ+１(ａ,b是常数,a>0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1，x１)，Ｂ(x２，ｘ2）,且满足－2 函数新定义习题 已知函数)(x f 的定义域为),0(+∞，若x x f y ) (=在),0(+∞上为增函数，则称)(x f 为“一阶比增函数”； 若2) (x x f y = 在),0(+∞上为增函数，则称)(x f 为“二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω。若函数hx hx x x f --=2 3 2)(，且1)(Ω∈x f ，2)(Ω?x f ，则实数h 的取值范围是（） A ．),0[+∞ B ．),0(+∞ C ．]0,(-∞ D ．)0,(-∞ （茂名2014年一模）8、定义域为],[b a 的函数)(x f y =的图象的两个端点为B A 、，点 ),(y x M 是)(x f 图象上任意 一点，其中)10()1(≤≤-+=λλλb a x )，向量 OB OA ON )1(λλ-+=（O 为坐标原点） ，若不等式k MN ≤恒成立，则称函数)(x f 在],[b a 上“k 阶线性近似”. 若函数]1 x x y -=在2,1[上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值 范围为( ) A ．),0[+∞ B ．),1[+∞ C ．),223 [+∞- D ．),22 3[+∞+ （2010福建卷理10）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k b ，为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有 0()()0()()f x h x m h x g x m <-的四组函数如下： ①2 ()f x x = ，()g x = ②()102x f x -=+，()g x = 23 x x -； ③()f x 21x x +，()g x =ln 1ln x x x +； ④22()1x f x x =+，()2(1)x g x x e -=--。 其中，曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是 A ．①④ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 【答案】C 【解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是∞→x 时，0)()(→-x g x f 。 二次函数压轴题之新定义问题（一）（讲义） 知识点睛 新定义问题是在已学知识基础上，以未接触过的新定义为载 体，现学现用，侧重考查理解、分析、应用等能力的问题。 此类问题的一般思路： ①结合图形，理解新定义关键词； ②借助题目正反举例，理解新定义实质，尝试“化生为熟”； ③结合背景信息，借助新定义求解． 精讲精练 1.如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以C为 顶点的抛物线经过点A，P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D，E的坐标分别为(0，6)，(-4，0)，连接PD，PE，DE． （1）请直接写出抛物线的解析式． （2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．（3）小明进一步探究得出结论：若将使△PDE的面积为整数的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标． 2.已知抛物线2y ax bx c =++，若a ，b ，c 满足b =a +c ，则称抛 物线2y ax bx c =++为“恒定”抛物线． （1）求证：“恒定”抛物线2y ax bx c =++必过x 轴上的一个定点A ； （2）已知“恒定”抛物线233y x =-的顶点为P ，与x 轴的另一个交点为B ，是否存在以Q 为顶点，与x 轴另一个交点为C 的“恒定”抛物线，使得以PA ，CQ 为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由． 函数创新试题之“新定义型”函数 近几年高考试题或模拟试题中出现了一种函数创新试题——“新定义型”函数。它是以“新定义型”函数的定义或性质为载体，考察学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力。本文在此介绍几种常见的“新定义型”函数，旨在探索题型规律，提高解题的方法。 一、密切函数 例1.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若对任意的x [a,b]，都有︱f（x）-g(x)︱≦1。则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“密切函数”，[a,b]称为“密切区间”，设f(x)=x2 -3x+4 与g(x)=2x-3在[a,b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（） A，[3，4] B，[2，4] C，[2，3] D，[1，4] 解析：由∣f(x)-g(x)∣=∣x2-5x+7∣=x2-5x+7≦1 得2≦x ≦3,故所求密切区间可以是[2，3] ，故应选C. 二，科比函数 例2，对于函数f(x),若在其定义域内存在两个实数a,b(a﹤,b),使当x [a,b]时，f(x)的值域也是[a,b],则称函数f(x)为“科比函数”。若函数f(x)=k+ 是科比函数，则实数k的取值范围是（） A.（，＋∞）B、 C. D. 解析：因为f(x)=k+ 是增函数，若f(x)=k+ 是“科比函数”，则存在实数a,b(-2≦a﹤b),使f(a)=a,f(b)=b,即a=k+ , b=k+ 所以a,b为方程x=k+ 的两个实数根，从而方程 k=x- 有两个不同实根，令=t 则k=t2-t-2 (t≧0) 当t=0时,k=-2;当t= 时,k= ,由图可知，当﹤k≦-2 时，直线y=k与曲线y=t2-t-2(t≧0)有两个不同交点，即方程k=t2-t-2有两个不等实根，故实数k的取值范围是故应选C. 三，保等比数列函数 例3，定义在上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列﹛a n﹜、﹛f(a n)﹜仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”。现有定义在上的函数如下：①f(x)= x2 ; ②f(x)=2x ; ③f(x)= ; ④f(x)=ln . 则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）。 A、①② B ③④ C ①③ D ②④ 解析：根据“保等比数列函数”的定义逐个判断，如﹛a n﹜是等比数列，则﹛a n2﹜、﹛﹜也是等比数列，、不一定是等比数列，故应选C。 四，延拓函数 例4，已知函数f（x）、g（x）的定义域分别为F、G，且F G，若对于任意的x F，都有g （x）=f（x)，则称g（x）为f（x）在G上的一个“延拓函数”。已知函数f（x）=2x，（x≤ 0), 若g（x）为f（x)在R上的一个“延拓函数”，且g（x）是偶函数，则函数g（x）的解析式是（）。 A、 B.log2︱x︱ C . D. 解析：由题意得，当x≤ 0时，g（x）=f（x）= 2x= 2-︱x︱又g（x）是偶函数，因此有g(-x)=g(x)恒成立，当x＞0 时，-x＜0, g(x)=g(-x)=2-x = 综上所述，g(x)= 故应选C。 五，符号函数 1 (x＞0) 新定义函数-中考新题型 函数图形变换 方法总结： 1．掌握函数平移的规律，包括一次函数、反比例函数和二次函数； 2．确定函数的特征点为基准移动函数，并确定移动后的解析式； 3．根据题目要求结合函数性质解决问题。 例1．我们规定：形如()ax k y a b k k ab x b +=≠+、、为常数，且的函数叫做“奇特函数”.当0a b ==时，“奇特函数”ax k y x b +=+就是反比例函数(0)k y k x =≠. （1） 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”； （2） 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D 是OA 的中点，连结OB ， CD 交于点E ，“奇特函数”6ax k y x +=-的图象经过B ，E 两点. ①求这个“奇特函数”的解析式； ②把反比例函数3y x =的图象向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P ，Q 两点，若以B 、 E、P、Q为顶点组成的四边形面积为1610 ，请直 3 接写出点P的坐标． 例2．定义{a，b，c}为函数y=ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y=x2-2x+3的“特征数”是{1，-2， 3}，函数y =2x +3的“特征数”是{0，2，3}，函数y =-x 的“特征数”是{0，-1，0} （1）将“特征数”是30,,13????? ??? ? ? 的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是313y x =-； （2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于A 、B 两点，与直线3x =分别交于D 、C 两点，判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长； （3）若（2）中的四边形与“特征数”是2 11,2b,b 2?? -+???? 的函数图象的有交点，求满足条件的实数b 的取值 范围． 函数中的定义型问题训练 一、选择题 1.定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新不动点”，如果函数g (x )＝ 12 x 2 (x ∈(0，＋∞))，h (x )＝sin x ＋2cos x ，x ∈(0，π)，φ(x )＝－x e －2x 的“新不动点”分别为α、β、γ，那么α、β、γ的大小关系是( ) A ．α<β<γB ．α<γ<βC ．γ<α<βD ．β<α<γ 2.对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( ) A ．f (x ) ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan x D ．f (x )＝cos(x ＋1) 3.定义两个实数间的一种新运算“*”：x *y ＝lg(10x ＋10y )，x ，y ∈R.对于任意实数a ，b ，c ，给出如下结论： ①(a *b )*c ＝a *(b *c )；②a *b ＝b *a ；③(a *b )＋c ＝(a ＋c )*(b ＋c )． 其中正确结论的个数是( ) A ． 0 B ． 1C ． 2 D ． 3 4.设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数： ()()()()()() k f x f x k f x k f x k ?≤?=? >??，取函数()2x f x x e -=--，若对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有 ()()k f x f x =，则( ) A ．k 的最大值为2 B ．k 的最小值为2 C ．k 的最大值为1 D ．k 的最小值为1 5.对于区间[a ，b ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对于区间[a ，b ]中的任意实数x 均有|f (x )－g (x )|≤1，那么称函数f (x )与g (x )在区间[a ，b ]上是密切函数，[a ，b ]称为密切区间．若m (x )＝x 2－3x ＋4与n (x )＝2x －3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是( ) A ． [3,4] B ． [2,4] C ． [2,3] D ． [1,4] 二、填空题 6.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： (1)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切； (2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l ：y ＝0在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3； ②直线l ：x ＝－1在点P (－1,0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)3； ③直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ； ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1,0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x . 湖南省长沙市中考数学实现试题研究与函数有关的新定义问题 题库 1．实数x 、y 若存在坐标(x ，y )同时满足一次函数y ＝px ＋q 和反比例函数y ＝k x ，则二次函数y ＝px 2 ＋qx －k 为一次函数和反比例函数的“共享”函数. (1)试判断(需要写出判断过程)：一次函数y ＝－x ＋4和反比例函数y ＝3 x 是否存在“共享” 函数？若存在，写出它们的“共享”函数和实数对坐标； (2)已知整数m 、n 、t 满足条件：t 二次函数新定义问题(一)(讲义及答案)
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