2020年湖南省高中数学竞赛试题初中数学

2020年湖南省高中数学竞赛试题初中数学

一、选择题：(本大题共10个小题；每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中， 有且只有一项为哪一项符合题目要求的)

1.函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，假设

129)()(2

++=-x x x g x f ，那么=+)()(x g x f ( )

A ．1292

-+-x x

B ．1292

-+x x

C ．1292+--x x

D ． 1292

+-x x

2.有四个函数：① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=x x cos sin ? ④

x x

y cos sin =

其中在

)

2,0(π

上为单调增函数的是 ( ) A ．①

B ．②

C ．①和③

D ．②和④

3.方程

x x

x x x x ππ)1(121

22

-+=-+-的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x 为实数)，

那么A 中所有元素的平方和等于 ( ) A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

4.点P(x,y)满足

)(4)sin 4()cos 4(2

2R y x ∈=-+-θθθ，那么点P(x,y)所在区域的面积为 A ．36π B ．32π C ．20π D ．16π ( )

5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数许多于盒子的编号数，如此的装法种数为 ( ) A ．9 B ．12

C ．15

D ．18

6.数列{

n

a }为等差数列，且S 5=28，S 10=36，那么S 15等于 ( )

A ．80

B ．40

C ．24

D ．-48

7.曲线C ：

x x y 22

--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，那么m 的取值范畴是 ( ) A ．

)2,12(--

B ．

)12,2(--

C ．

)12,0[-

D ．

)12,0(-

8.过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ，S max 和S min 分不为S 的最大值和最小值，那么

min max

S S 的值为 ( )

A ．23

B ．26

C ．332

D ．362

9.设

7log ,1sin ,82.035

.0===z y x ，那么x 、y 、z 的大小关系为 ( ) A ．x

10.假如一元二次方程

09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分不是投掷骰子所得的数字，那么该二次方程有两个正根的概率P= ( )

A ．181

B ．91

C ．61

D ．1813

二、填空题〔本大题共4个小题，每题8分，共32分〕

11.设P 是椭圆19162

2=+y x 上异于长轴端点的任意一点，F 1、F 2分不是其左、右焦点，O 为中心，

那么

=+?2

21||||||OP PF PF ___________. 12.△ABC 中，b AC a AB ==,，试用a 、b 的向量运算式子表示△ABC 的面积，即S △ABC = ____________________.

13.从3名男生和n 名女生中，任选3人参加竞赛，3人中至少有1名女生的概率为3534

，那么

n=__________.

14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，竞赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，那么恰好胜了两场的人数为____________个.

三、解答题〔本大题共5个小题，15-17题每题12分，18题、19题每题16分，共68分〕

15.关于函数f(x),假设f(x)=x,那么称x 为f(x)的〝不动点〞，假设x x f f =))((，那么称x 为f(x)的〝稳固点〞，函数f(x)的〝不动点〞和〝稳固点〞的集合分不记为A 和B ，即

x x f x A ==)(|{} })]([|{x x f f x B ==.

(1). 求证：A ?B

(2).假设

),(1)(2

R x R a ax x f ∈∈-=，且φ≠=B A ，求实数a 的取值范畴. 16.某制衣车间有A 、B 、C 、D 共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，咨询在7天内，这4个组最多能生产多少套？

17.设数列

n 满足条件：2,121==a a ，且12++n n n )

求证：关于任何正整数n ，都有

n

n

n

n a a 1

11+

≥+

18.在周长为定值的△ABC 中，|AB|=6，且当顶点C 位于定点P 时，cosC 有最小值为257

.

(1).建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.

(2).过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点，求||||?的最小值的集合.

19.三棱锥O-ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，P 是底面△ABC 内的任一点，OP 与三侧面所成的角分不为α、β、γ.

求证：33arcsin

32

≤++<γβαπ