信号与系统答案西北工业大学段哲民信号与系统1_3章答案
第一章 习 题
1-1 画出下列各信号的波形:(1) f 1(t)=(2-e -t )U(t); (2) f 2(t)=e -t cos10πt×[U(t -1)-U(t-2)]。 答案
(1))(1t f 的波形如图1.1(a )所示.
(2) 因t π10cos 的周期
s T 2.0102==
ππ
,故)(2t f 的波形如图题1.1(b)所示.
1-2 已知各信号的波形如图题1-2所示,试写出它们各自的函数式。
答案
)1()]1()([)(1-+--=t u t u t u t t f
)]1()()[1()(2----=t u t u t t f
)]3()2()[2()(3----=t u t u t t f
1-3 写出图题1-3所示各信号的函数表达式。
答案
2
002121
)2(21121)2(21
)(1≤≤≤≤-?????+-=+-+=+=t t t t t t t f
)2()1()()(2--+=t u t u t u t f
)]
2()2([2sin )(3--+-=t u t u t t f π
)3(2)2(4)1(3)1(2)2()(4-+---++-+=t u t u t u t u t u t f
1-4 画出下列各信号的波形:(1) f 1(t)=U(t 2-1); (2) f 2(t)=(t-1)U(t 2-1);
(3) f 3(t)=U(t 2-5t+6); (4)f 4(t)=U(sinπt)。 答案
(1) )1()1()(1--+-=t u t u t f ,其波形如图题1.4(a)所示.
(2))1()1()1()1()]1()1()[1()(2---+--=--+--=t u t t u t t u t u t t f 其波形如图题1.4(b)所示.
(3)
)
3()2()(3-++-=t u t u t f ,其波形如图1.4(c)所示.
(4) )(sin )(4t u t f π=的波形如图题1.4(d)所示.
1-5 判断下列各信号是否为周期信号,若是周期信号,求其周期T 。
)42cos(2)()
1(1π
-=t t f ;
2
2)]6[sin()()
1(π
-=t t f ; (3)
)
(2cos 3)(3t tU t f π=。
答案
周期信号必须满足两个条件:定义域R t ∈,有周期性,两个条件缺少任何一个,则就不是周期信号了.
(1) 是,
s T 32π=
.
(2)
)]32cos(1[213)(π--?=t t f ,故为周期信号,周期s
T ππ
==22.
(3) 因0?t 时有,0)(=t f 故为非周期信号
1-6 化简下列各式:
(1)1)12(?∞--t
d ττδ; (2) ()???
???+)()4cos(t t dt d δπ; (3)?∞∞-tdt t t dt d sin )]([cos δ。
答案
(1) 原式 =
)21(21)21(21)](2[21-=-=-?
?∞-∞
-t u d d t
t
ττδττδ
(2) 原式 =)
(22
)](4[cos t t dt d δδπ'=? (3) 原式 =1
cos )](n si [sin )(00-=-='-='==∞
∞-?t t t tdt t δ
1-7 求下列积分:(1)dt
t t ?∞
--0
)]2()3(cos[δω; (2)dt
t e jwt )3(0
+?
∞
δ;
(3)?∞
--?0
02)(dt
t t e t δ。
答案
(1) 原式 = ωωωcos )cos()]32(cos[
=-=- (2) 原式 =0
0)3(033=?=+?∞
--ωωδj j e dt t e
(3) 原式 =0
220
021)(t
t t
e e dt t t e
--∞
-=?=-?
δ
1-8 试求图题1-8中各信号一阶导数的波形,并写出其函数表达式,其中
)]
5()([2cos )(3--=t U t U t t f π
。
答案
(a ) )2()(3)1(2)(1-+-+='t u t u t u t f ,)(t f '的波形如图题1。8(d )所示。
(b ) )3()2(3)1(2)1()(2---+--+='t u t u t u t u t f ,)(2t f '的波形如图题1。8(e )所示。
(c ) )
()]5()([2
sin
)(3t t u t u t t f δπ
+---=',)(3t f '的波形如图题1.8(f )
所示.
1-9 已知信号)
21(f 的波形如图题1-9所示,试画出y(t)=f(t+1)U(-t)的波
形。
答案
)
(
)1
(
)
(t
u
t
f
t
y-
+
=的波形如图题1.9(b)所示。
1-10 已知信号f(t)的波形如图题1-10所示,试画出信号?∞--
t
d
fτ
τ)
2(
与信
号
)]
2
6
(
[t
f
dt
d
-
的波形。
答案
(1) )2(t f -的波形与?∞--t
d f τ
τ)2(的波形分别如图题1.10(b),(c)所示。
(2) )26(t f -的波形与)]
26([t f dt d
-的波形分别如图题1.10(d),(e)所示。且 )3(2)5.2()2()]26([---+-=-t t t t f dt d
δδδ
1-11 已知f(t)是已录制的声音磁带,则下列叙述中错误的是(__)。
A.f(-t)是表示将磁带倒转播放产生的信号
B.f(2t)表示磁带以二倍的速度加快播放
C.f(2t)表示磁带放音速度降低一半播放
D.2f(t)表示将磁带音量放大一倍播放 答案
C
1-12 求解并画出图题1-12所示信号f 1(t), f 2(t)的偶分量f e (t)与奇分量f o (t)。
答案
因)]()([2
1
)]()([21)()()(0t f t f t f t f t f t f t f e --+-+=+=式中
)]()([2
1
)()],()([21)(0t f t f t f t f t f t f e --=-+=。故可画出各待求偶分量
与奇分量的波形,相应如图题1.12中所示。
1-13 已知信号f(t)的偶分量f e (t)的波形如图题1-13(a)所示,信号f(t+1)×U(-t-1)的波形如图题1-13(b)所示。求f(t)的奇
分量f o (t),并画出f o (t)的波形。
答案
因 )()()(0t f t f t f e +=
故有 )()()()()()(0t u t f t u t f t u t f e -+-=-
将信号)()(),()()11()11()1()1(1t u t f t u t f t u t f t u t f --=+--+-??→?--+右移
的波形如图题1。13(c)所示。又有
)()()()()()(0t u t f t u t f t u t f e ---=-
)()(0t u t f -的波形如图题1.13(d)所示。
因为)(0t f 是奇函数,关于坐标原点对称,故)()(0t u t f 的波形如图题1.13(e)所示。最后得
)1()1()()()()()(000----=+-=t u t u t u t f t u t f t f
)(0t f 的波形如图题1.13(f)所示。
1-14 设连续信号f(t)无间断点。试证明:若f(t)为偶函数,则其一阶导数f′(t)为奇函数;若f(t)为奇函数,则其一阶导数
f′(t)为偶函数。 答案
(1)若)(t f 为偶函数,则有)()(t f t f =-.故)()(t f t f '-=-'.故)(t f '为奇函数。
(2)若)(t f 为奇函数,则有)()(t f t f -=-.故)()(t f t f '-=-',即)()]([)]([)(t f t f t f t f '='--=-'-=' .故)(t f '为偶函数。
1-15 试判断下列各方程所描述的系统是否为线性的、时不变的、因果的系统。式中f(t)为激励,y(t)为响应。 (1)
)()(t f dt d
t y =
(2) y(t)=f(t)U(t)
(3) y(t)=sin[f(t)]U(t) (4) y(t)=f(1-t)
(5) y(t)=f(2t) (6) y(t)=[f(t)]2 (7) ?∞
-=t
d f t y τ
τ)()(
(8)
?∞
-=t
d f t y 5)()(τ
τ
答案
(1) 线性,时不变,因果系统
(2) 线性,时变,因果系统。因为当激励为)(t f 时,其响应)(t y ;当激励为)(0t t f -时,其响应为)
()()(01t u t t f t y -=,但是
)
()(10t y t t y ≠-,所以系统为时变系统。
(3) 非线性,时变,因果系统。
(4) 线性,时变,非因果系统。因为当0=t 时有)1()0(f y =,即系统当前时
刻的响应决定于未来时刻的激励,故为非因果系
统。
(5) 线性 ,时变,非因果系统。
(6) 非线性,时不变,因果系统。因为当激励为)(t f 时,响应为)(t y ;当激
励为)(t kf 时,响应为2
1)]([)(t kf t y =, 但
)()(1t ky t y ≠,故该系统为非线性系统。 (7)线性,时不变,因果系统。
(8) 线性,时变,非因果系统。
1-16 已知系统的激励f(t)与响应y(t)的关系为τ
ττd e f e
t y t
t
?
∞
--=)()(,则该
系统为(__)。
A 线性时不变系统
B 线性时变系统
C 非线性时不变系统
D 非线性时变系统
答案
A
1-17 图题1-17(a)所示系统为线性时不变系统,已知当激励f 1(t)=U(t)时,其响应为y 1(t)=U(t)-2U(t-1)+U(t-2)。
若激励为f2(t)=U(t)-U(t-2),求图题117(b)所示系统的响应y 2(t)。
答案
+-+-----+--=)]3()2(2)1([2)2()1(2)()(2t u t u t u t u t u t u t y
=
-+-----+---)6()5(2)4([)]5()4(2)3([2t u t u t u t u t u t u )6()5(4)4(5)2(5)1(4)(---+---+--t u t u t u t u t u t u
)(2t y 的波形如图题1.17(c)所示.
1-18 图题1-18(a)所示为线性时不变系统,已知h 1(t)=δ(t)-δ(t -1), h 2(t)=δ(t -2)-δ(t -3)。(1)求响应h(t);
(2) 求当f(t)=U(t)时的响应y(t)(见图题1-18(b))。
答案
(1) )3()2()1()()()()(21-+----=-=t t t t t h t h t h δδδδ
(2) 因?∞-==t
d t u t f ττδ)()()(,故根据现行系统的积分性有
)3()2()1()(])3()2()1()([(()(-+----=-+----==??∞
-∞
-t u t u t u t u d d h t y t t
ττδτδτδτδττ
1-19 已知系统激励f(t)的波形如图题1-19(a)所示,所产生的响应y(t)的波形如图题1-19(b)所示。试求激励f 1(t)
(波形如图题1-19(c)所示)所产生的响应y 1(t)的波形。
答案
用)(t f 表示)(1t f 即
)1()1()(1--+=t f t f t f
故)(1t f 在同一系统中所产生的响应为
)1()1()(1--+=t y t y t y
故)(),1(),1(t y t y t y -+ 的波形分别如图题1.19(d),(e),(f)所示。
1-20 已知线性时不变系统在信号δ(t)激励下的零状态响应为h(t)=U(t)-U(t-2)。试求在信号U (t-1)激励下的零状态
响应y(t),并画出y(t)的波形。 答案
因有?∞-=t
d t u ττδ)()(,故激励)(t u 产生的响应为
??∞-∞-=--==t t
d u u d h t y τττττ)]1()([)()(1
?
?∞
-∞
-=--t
t
d u d u ττττ)1()(
??
?
??≥?≤-?=---3
2311
10)1()1()(t t t t t u t t tu 故激励)1(-t u 产生的响应为
)2()2()1()1()1()(1-----=-=t u t t u t t y t y
)(t y 的波形如图题1。20所示。
1-21 线性非时变系统具有非零的初始状态,已知激励为f(t)时的全响应为y 1(t)=2e -t U(t);在相同的初始状态下,当激励为
2f(t)时的全响应为y 2(t)=(e -t +cosπt)U(t)。求在相同的初始状态下,当激励为4f(t)时的全响应y 3(t)。
答案
设系统的零输入响应为)(t y x ,激励为)(t f 时的零状态响应为)(t y f , 故有
)(2)()()(1t u e t y t y t y t f x -=+=
)()cos ()(2)()(2t u t e t y t y t y t f x π+=+=-
故联解得
)()cos 3()(t u t e t y t x π-=-
)()cos ()(T u t e t y t f π--=-
故得
第二章 习题
2-1. 图题2-1所示电路,求响应u 2(t)对激励f(t)的转移算子H(p)及微分方程。
答案
解 其对应的算子电路模型如图题2.1(b )所示,故对节点①,②可列出算子形式的KCL 方程为
??????
?=???? ??+++-=-???? ??+0)(111)(1)()(1)(13121
21t u p p t u p t f t u p t u p
即
()
?????=+++-=-???
??+0
)(1)()
()()(13
1221
21t u p p t u t pf t u t u p
联解得
)()()(443
)(2
2t f p H t f p p t u =++=
故得转移算子为
443
)()()2
2++==
p p t f t u p H (
u 2(t)对f(t)的微分方程为
()
)()(t f t u p p
34422
=++
即
)(t f t u t u dt d t u dt d 3)(4)(4)(22222=++
2-2图题2-2所示电路,求响应i(t)对激励f(t)的转移算子H(p)及微分方程。
答案
解 其对应的算子电路模型如图2.2(b )所示。故得
)()(t f p p p p p
p t f t i 301110
1022221.01)(2+++=+?+
+=
故得转移算子为
301110
10)()()(2
+++==
p p p t f t i p H
i(t)对f(t)的微分方程为
)()1010()()3011(2t f p t i p p +=++
即
)(10)(10)(30)(11)(22t f t f dt d t i t i dt d t i dt d +=++
2-3 图题2-3所示电路,已知u C (0-)=1 V, i(0-)=2 A 。求t>0时的零输入响应i(t)和u C (t)。
答案
解 其对应的算子电路模型如图题2.3(b )所示。故对节点N 可列写出算子形式的KCL 方程为
0)(2312=???? ??++t u p p C
又有uc(t)=pi(t),代入上式化简,即得电路的微分方程为
?????=====++-+-
+1
)0()0(2)0()0(0)()23(2c c
u u i i t i p p
电路的特征方程为
0232=++p p
故得特征根(即电路的自然频率)为p 1=-1,p 2=-2。故得零输入响应的通解式为
t
t t p t p e A e A e A e A t i 2212121)(--+=+=
又 t
t e A e A t i 2212)(----='
故
有
2)0(21=+=+A A i (1)
212)0(A A i --='+
又因有
)
()(t i L t u c '=
故 )
0()0(++'=i L u c
西北工业大学 《信号与系统》实验报告 西北工业大学
a. 上图分别是0 b. 以上是代码,下图是运行结果 由上图可看出,图上一共有3个唯一的信号。当k=1和k=6的时候的图像是一样的。因为档k= 1时,wk=(2*PI)/5,k=6时,wk=2PI+(2*PI)/5,即w6 = 2PI+w1,因为sin函数的周期是2PI,所以他俩的图像是一样的 c.代码如下: 图像如下: 可得出结论:如果2*pi/w0不是有理数,则该信号不是周期的 1.3离散时间信号时间变量的变换 a. nx=[zeros(1,3) 2 0 1 -1 3 zeros(1,3)];图像如下: b. 代码如下: x=zeros(1,11); x(4)=2; x(6)=1; x(7)=-1; x(8)=3; n=-3:7; n1=n-2; n2=n+1; n3=-n; n4=-n+1; y1=x; y2=x; y3=x; y4=x; c: 代码和结果如下结果 下图是结果图 1-1 (2)∞<<-∞=-t e t f t ,)( (3))()sin()(t t t f επ= (4))(sin )(t t f ε= (5))(sin )(t r t f = (7))(2)(k t f k ε= (10))(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-3 1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是,确定其周期。 (2))6 3cos()443cos()(2π πππ+++=k k k f (5))sin(2cos 3)(5t t t f π+= : 1-9 已知信号的波形如图1-11所示,分别画出 )(t f和 dt t df)( 的波形。 解:由图1-11知,) 3(t f-的波形如图1-12(a)所示() 3(t f-波形是由对) 2 3(t f- 的波形展宽为原来的两倍而得)。将) 3(t f-的波形反转而得到)3 (+ t f的波形,如图1-12(b)所示。再将)3 (+ t f的波形右移3个单位,就得到了)(t f,如图1-12(c)所示。dt t df)(的波形如图1-12(d)所示。 1-23 设系统的初始状态为)0(x,激励为)(? f,各系统的全响应)(? y与激励和初始状态的关系如下,试分析各系统是否是线性的。 (1)?+ =-t t dx x xf x e t y ) ( sin )0( )((2)?+ =t dx x f x t f t y ) ( )0( )( )( (3)?+ =t dx x f t x t y ) ( ])0( sin[ )((4))2 ( ) ( )0( )5.0( ) (- + =k f k f x k y k (5)∑=+ = k j j f kx k y ) ( )0( ) ( 信号与系统课后习题答 案 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT- 1-1 试分别指出以下波形是属于哪种信号 题图1-1 1-2 试写出题1-1图中信号的函数表达式。 1-3 已知信号)(1t x 与)(2t x 波形如题图1-3中所示,试作出下列各信号的波形 图,并加以标注。 题图1-3 ⑴ )2(1-t x ⑵ )1(1t x - ⑶ )22(1+t x ⑷ )3(2+t x ⑸ )22 (2-t x ⑹ )21(2t x - ⑺ )(1t x )(2t x - ⑻ )1(1t x -)1(2-t x ⑼ )2 2(1t x -)4(2+t x 1-4 已知信号)(1n x 与)(2n x 波形如题图1-4中所示,试作出下列各信号的波形 图,并加以标注。 题图1-4 ⑴ )12(1+n x ⑵ )4(1n x - ⑶ )2 (1n x ⑷ )2(2n x - ⑸ )2(2+n x ⑹ )1()2(22--++n x n x ⑺)2(1+n x )21(2n x - ⑻ )1(1n x -)4(2+n x ⑼ )1(1-n x )3(2-n x 1-5 已知信号)25(t x -的波形如题图1-5所示,试作出信号)(t x 的波形图,并加以标注。 题图1-5 1-6 试画出下列信号的波形图: ⑴ )8sin()sin()(t t t x ΩΩ= ⑵ )8sin()]sin(21 1[)(t t t x ΩΩ+= ⑶ )8sin()]sin(1[)(t t t x ΩΩ+= ⑷ )2sin(1 )(t t t x = 1-7 试画出下列信号的波形图: ⑴ )(1)(t u e t x t -+= ⑵ )]2()1([10cos )(---=-t u t u t e t x t π ⑶ )()2()(t u e t x t --= ⑷ )()()1(t u e t x t --= ⑸ )9()(2-=t u t x ⑹ )4()(2-=t t x δ 1-8试求出以下复变函数的模与幅角,并画出模与幅角的波形图。 ⑴ )1(1)(2Ω-Ω= Ωj e j X ⑵ )(1 )(Ω-Ω-Ω =Ωj j e e j X ⑶ Ω -Ω---=Ωj j e e j X 11)(4 ⑷ 21 )(+Ω=Ωj j X 1-9 已知信号)]()([sin )(π--=t u t u t t x ,求出下列信号,并画出它们的波形图。 ⑴ )() ()(2 21t x dt t x d t x += ⑵ ττd x t x t ?∞-=)()(2 1-10 试作出下列波形的奇分量、偶分量和非零区间上的平均分量与交流分量。 题图1-10 1-11 试求下列积分: ⑴ ?∞ ∞--dt t t t x )()(0δ ⑵ ?∞ ∞ ---dt t t u t t )2()(00δ ⑶ ?∞ ∞---dt t t t e t j )]()([0δδω ⑷ ?∞ ∞--dt t t )2 (sin π δ 第一章 习 题 1-1 画出下列各信号的波形:(1) f 1(t)=(2-e -t )U(t); (2) f 2(t)=e -t cos10πt×[U(t -1)-U(t-2)]。 答案 (1))(1t f 的波形如图1.1(a )所示. (2) 因t π10cos 的周期 s T 2.0102== ππ ,故)(2t f 的波形如图题1.1(b)所示. 1-2 已知各信号的波形如图题1-2所示,试写出它们各自的函数式。 答案 )1()]1()([)(1-+--=t u t u t u t t f )]1()()[1()(2----=t u t u t t f )]3()2()[2()(3----=t u t u t t f 1-3 写出图题1-3所示各信号的函数表达式。 答案 2 002121 )2(21121)2(21 )(1≤≤≤≤-?????+-=+-+=+=t t t t t t t f )2()1()()(2--+=t u t u t u t f )] 2()2([2sin )(3--+-=t u t u t t f π )3(2)2(4)1(3)1(2)2()(4-+---++-+=t u t u t u t u t u t f 1-4 画出下列各信号的波形:(1) f 1(t)=U(t 2-1); (2) f 2(t)=(t-1)U(t 2-1); (3) f 3(t)=U(t 2-5t+6); (4)f 4(t)=U(sinπt)。 答案 (1) )1()1()(1--+-=t u t u t f ,其波形如图题1.4(a)所示. 题号:827《信号与系统》 考试大纲 一、考试内容: 根据我校教学及该试题涵盖专业多的特点,对考试范围作以下要求: 1、信号与系统的基本概念:信号的变换与运算;线性时不变系统基本性质。 2、连续系统时域分析:系统模型和自然频率;系统零输入响应、冲激响应、阶跃响应求解;系统零状态响应的卷积积分求解;全响应的求解。 3、连续信号频域分析:付立叶变换及其性质与应用;常用信号付立叶变换;周期信号、抽样信号付立叶变换;抽样定理及其应用。 4、连续系统频域分析:频域系统函数H(jω)及其求法;系统频率特性;系统零状态响应的频域求解;理想低通滤波器及其特性;信号不失真传输条件。 5、连续系统复频域分析:拉氏变换及其基本性质;拉氏反变换求解;s域的电路模型和电路定理;线性时不变系统的复频域分析。 6、复频域系统函数H(s):H(s)定义、分类、求法和零、极点图;系统模拟框图与信号流图;系统频率特性、正弦稳态响应求解以及系统稳定性判定;梅森公式及其应用。 7、离散信号与系统时域分析:离散信号时域变换、运算以及卷积求和;离散系统数学模型;线性时不变离散系统的性质、零输入响应、单位序列响应、阶跃响应、零状态响应的求解。 8、离散系统Z域分析:Z变换及其基本性质;Z反变换;系统Z域分析;系统函数H(z)及求法;H(z)零、极点图;离散系统模拟框图与信号流图;离散系统频率特性、正弦稳态响应求解以及稳定性判定;梅森公式及其应用。 9、系统状态变量分析:连续、离散系统状态方程与输出方程列写与求解;系统函数矩阵与单位冲激响应的求解;根据状态方程判断系统的稳定性;状态方程与输出方程的模拟与信号流图。 二、参考书目: [1] 段哲民等编,《信号与系统》,西北工业出版社,1997年 [2] 吴大正主编,《信号与线性系统分析》(第3版),高等教育出版社,1998.10 [3] 范世贵等编《信号与系统常见题型解析及模拟题》(第2版),西北工业出版社,2001.5 注:以上[1]、[2]和[3]各任选之一即可。 第6讲 第三章 连续信号频域分析-傅立叶变换(二) 3-3 非周期信号的频谱 一、频谱密度函数 二. 典型非周期信号频谱密度函数(要求记忆) 1.单位冲激函数 ()()f t t δ= ()()j t F j t e dt ωωδ∞ --∞=?1= 2.单边指数信号 ()()0 t f t Ee U t αα-=> ()()j t F j f t e dt ωω∞ --∞=?0t j t Ee e dt αω∞--=?E j αω =+ 3、偶双边指数信号 4、直流信号 5、奇双边指数信号 6、符号函数信号 7、单位阶跃信号 8、矩形脉冲信号 3-5 傅立叶变换的基本性质(重点之重点) 一、线性性质 11()()f t F j ω? 22()()f t F j ω? 1212()()()()af t bf t aF j bF j ωω+?+ 二、折叠性 ()()f t F j ω?若,()()f t F j ω-?-则有 三、对称性 ()()f t F j ω?若,()2()F jt f πω?-则有 ()()f t f t =-若,()2()F jt f πω?则有 四、尺度变换性(a ≠0,实常数) ()()f t F j ω?若, 1()()a f at F j a ω? 则: 五、时移性 ()()f t F j ω?若,则有00()()j t f t t F j e ωω±±? f(t)沿时间轴移动,幅度频谱不变,而相位谱有附加变化(±ωt 0)。 频谱搬移的原理: {}0001f (t)cos t F[j()]F[j()]2 ωωωωω? ++- {}000j f (t)sin t F[j()]F[j()]2ωωωωω?+-- 例1 4()()()(32)().j t f t F j y t f t e Y j ωω?=-,求的频谱 例2 ()(),()f t F j Y j ωω?图示系统,已知求。 七、时域微分性 ()()f t F j ω?若,f(t)在(-∞,∞)上连续或只有有限个可去间断点,则有 ()()df t j F j dt ωω? 八、时域积分性 ()()f t F j ω?若,t lim f (t)0→-∞ =且: 则有:()()(0)()t F j f x dx F j ωπδωω -∞?+ ? 特别,若: f (t)dt 0∞-∞=? 有:F(0)=0()()t F j f x dx j ωω -∞∴??