高中数学-变化率与导数练习
高中数学-变化率与导数练习
1．已知函数，当，时，的值是 A ． B ． C ．
D ．
2．若在处存在导数，则
A ．与都有关
B ．仅与有关，而与无关
C ．仅与有关，而与无关
D ．与都无关
3．设为可导函数，且，则曲线在点处
的切线的斜率是 A ． B ． C ．
D ．
4．一个物体做直线运动，位移 (单位:)与时间 (单位:)之间的函数关系为，则这一物体在时的瞬时速度为 A ． B ． C ．
D ．
5．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是
2()3y f x x ==+2x =0.1x ?=y ?0.400.410.430.44()f x 0x x =000
()()
lim
h f x h f x h
→+-0x h ,0x 0x 0x h ,()f x Δ0
(1)(1)
lim 12x f f x x
→--?=-?()y f x =(1,)(1)f 1-2-12
m 2()5s t t t =+2 s t =1m /s 5m /s 21m /s 10m /s ()f x ()f x '()f
x
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知点是抛物线上一点，且，则点的坐标为
A ．
B ．
C ．
D ． 7．函数在处的导数为________.
8．如果质点按规律运动，则在一小段时间内相应的平均速度为________.
9．设函数可导，则等于
A ．
B ．不存在
C ．
D ．以上都不对
10．已知点在函数的图象上,若函数从到的平均变
,则下面叙述正确的是 A ．曲线的割线的倾斜角为
B ．曲线的割线的倾斜角为
C ．曲线的割线的斜率为
D ．曲线的割线的斜率为
11．曲线在点处的切线方程为, 则
(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-
0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<00(,)P x y 2361y x x =++0()0f x '=P (1)10，
(1
2)--，(1
)2-，(1
0)1-，23y x =1x =M 23s t =+[2]2.1，
()f x 0
(1l )(1)
i 3m
x f x f x
?→+?-?(1)f '1
(1)3
f '1122(,),(,)A x y B x y ()y f x =()f x 1x 2x ()y f x =AB π
6
()y f x =AB π3
()y f x =AB ()y f x =AB 3
-
()y f x =00,()()x f x 210x y -+=
A ．
B ．
C ．
D ．不存在
12．某市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案,据预测,这四种方案均能在
规定时间内完成预期的运输任务,各种方案的运输总量与时间的函数关系如下图所示.在这四种方案中,运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是
13．对于函数,已知,则的值为 .
14．已知曲线在点处的切线与轴、直线围成的三角形的面积
为
，则 .
1．B 【解析】. 2．B 【解析】由导数的定义知,函数在点处的导数只与有关，故选B. 3．C 【解析】∵,∴
，即曲线在点处的切线的斜率是.
4．C 【解析】由题意得物体在时的瞬时速度为
0()0f x '>0()0f x '<0()0f x '=0()f x 'T 0Q Q ()f x (3)2,(3)2f f '==-323()
lim
3
x x f x x →--3()f x x =3()),0(a a a ≠x a =1
6
a =22()()(20.1)(2)(2.13)(23)0.41y f x x f x f f ?=+?-=+-=+-+=0x x =0x Δ0
0(1)(1Δ)1(1Δ)(1)1
lim
lim (1)12Δ2Δ2
x x f f x f x f f x x →?→----'===--(1)2f '=-()y f x =(1,)(1)f 2-2 s t =222Δ0Δ0Δ0Δ0(2Δ)(2)[5(2Δ)(2Δ)](52(522)5(Δ)21Δlim lim lim lim ΔΔΔ1Δ)t t t t s t s t t t t
t t t t
→→→→+-?+++-+==+?+=
,故选C.
5．B 【解析】从图象上可以看出在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数，所以有，此两点处割线的斜率
比在处的切线的斜率小，比在处的切线的斜率大，所以
，故选B.
6．B 【解析】∵
， ∴，∴.把代入
中，得.∴点的坐标为.故选B. 7．6 【解析】因为，所以
，故.
8． 【解析】由题意得，即所求的平均速度为.
9．C 【解析】，故选C.
10．B 【解析】由题意知从到的平均变化率就是割线的斜率,所以，
割线的倾斜角为
，故选B. 21(m/s)=()f x 2x =3x =0(3)(2)f f ''<<(3)(2)
32
f f --()
f x 2x =()f x 3x =0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<22
00000
00()()3()6()1361366f x x f x x x x x x x y x x x x x
+?-+?++?+---?===?+??+?000Δ00
Δ()lim
lim 366660Δ()x x y
f x x x x x →?→'=?=++=+=01x =-01x =-2361y x x =++2y =-P (12)--，
2(1)(1)63()y f x f x x ?=+?-=?+?Δ63Δy
x x
=+?Δ0Δlim
6Δx y
x →=4.122(3 2.1)(32)
4.12.12
s t ?+-+==?- 4.10
0(1)(1)1(1)(1)1
lim li (1333
m
)x x f x f f x f f x x →→??+?-+?-'==??()f x 1x 2x
AB AB k =AB π
3
11．A 【解析】因为函数在点处的导数就是曲线在点
处的切线的斜率,又切线
的斜率为2,所以
.
12．B 【解析】从函数图象上看,要求图象在上越来越陡峭,在各选项中,只有B 项中的
切线斜率在不断增大,也即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高，故选B.
13．8 【解析】
.
14． 【解析】因为，所以
曲线在点处的切线方程为.令，得切线与轴的交点坐标为
，由题设知所求三角形的面积为，解得.
()y f x =00,()()x f x ()y f x =00,()()
x f x 210
x y -+=0()=20
f x '>[0,]T 333323()2663()3(3)3()()(3)
lim
lim lim ]23lim 3333[2x x x x x f x x f x f f x f x f x x x x →→→→--+---==---+=--23(3)23(2)8f '=-=-?-=1±33222Δ0Δ0(Δ)()lim lim Δ[()3Δ3]3Δx x a x a f a x a x a a x
→→+-'==++=3(,)a a 3
y a -=2
3()a x a -0y =2()3,0a 31||||3221
6
a a a -=?1a =±
高中数学导数之变化率问题
冷世平之教案设计【高二下】 选修2-2第一章导数及其应用第1课时 1 课题：§1.1.1变化率及导数的概念 三维目标： 1、 知识与技能 ⑴理解平均变化率的概念； ⑵了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； ⑶理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ⑷会求函数在某点的导数或瞬时变化率； ⑸理解导数的几何意义。 2、过程与方法 ⑴通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数； ⑵通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； ⑶通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情态与价值观 ⑴通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想； ⑵通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念，从而激发学生学习数学的兴趣； ⑶通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。 教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。 教学过程： 一、引入课题： 为了描述现实世界中运动、过程等变化的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度。 二、讲解新课： 【探究1】气球膨胀率 同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是34 ()3 V r r π=，如果将半径r 表示为体积V 的函数, 那么()r V 。 【分析】⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了(1)(0)0.62()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62(/)10 r r dm L -≈-；⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了(2)(1)0.16()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(2)(1)0.16(/)21 r r dm L -≈-。可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了。 【思考】当空气容量从1V 增加到2V 时,气球的平均膨胀率是多少? 【答案】2121 ()()r V r V V V -- 【探究2】高台跳水
变化率和导数(三个课时教案)
第一章导数及其应用 第一课时：变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了 )(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了 )(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.01 2)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212) ()(V V V r V r --
高中数学-变化率与导数_提高
变化率与导数 【学习目标】 （1）理解平均变化率的概念； （2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； （3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； （4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率； 【要点梳理】 知识点一：平均变化率问题 1.变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率 一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121 ()() f x f x x x -- 要点诠释： ① 本质：如果函数的自变量的“增量”为x ?,且21x x x ?=-,相应的函数值的“增量”为 y ?,21()()y f x f x ?=-,则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为 2121 ()()f x f x y x x x -?=?- ② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 即递增或递减幅度的大小。 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。如位移运动中，位移S （m ）从t 1秒到t 2秒的平均变化率即为t 1秒到t 2秒这段时间的平均速度。 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。 3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出21()()y f x f x ?=-和21x x x ?=- ②作商：对所求得的差作商，即2121 ()()f x f x y x x x -?=?-。 要点诠释： 1. x ?是1x 的一个“增量”，可用1x x +?代替2x ，同样21()()y f x f x ?=-。 2. x V 是一个整体符号，而不是V 与x 相乘。 3. 求函数平均变化率时注意,x y V V ，两者都可正、可负，但x V 的值不能为零，y V 的值可以为零。若
高中数学-变化率与导数、导数的计算
高中数学-变化率与导数、导数的计算 一、选择题(每小题5分,共35分) 1.f′(x)是函数f(x)=x3+2x+1的导函数,则f′(-1)的值为( ) A.0 B.3 C.4 D.- 【解析】选B.因为f(x)=x3+2x+1, 所以f′(x)=x2+2. 所以f′(-1)=3. 2.已知函数f(x)=cos x,则f(π)+f′= ( ) A.- B.- C.- D.- 【解析】选C.因为f′(x)=-cos x+(-sin x), 所以f(π)+f′=-+·(-1)=-. 3.(·吉林模拟)已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率 为( ) A.e B.-e C. D.- 【解析】选C.y=ln x的定义域为(0,+∞),且y′=,设切点为(x0,ln x0),则y′=,切线方程为 y-ln x0=(x-x0),因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为. 【变式备选】曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A.1 B.2 C.e D. 【解析】选A.由题意知y′=e x,故所求切线斜率k=e x=e0=1. 4.(·沈阳模拟)若曲线y=x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x-y=0,则实数a= ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-1 【解析】选C.导数的几何意义即为切线的斜率,由y′=3x2+a得在x=0处的切线斜率为a,所以a=2. 【变式备选】直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值 为( ) A.2 B.ln 2+1 C.ln 2-1 D.ln 2 【解析】选C.y=ln x的导数为y′=,由=,解得x=2,所以切点为(2,ln 2).将其代入直线方程y=x+b,可得b=ln 2-1. 5.已知f(x)=2e x sin x,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( ) A.y=0 B.y=2x C.y=x D.y=-2x 【解析】选B.因为f(x)=2e x sin x,所以f(0)=0,f′(x)=2e x·(sin x+cos x),所以f′(0)=2,所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x. 6.设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等 于( ) A.-1 B. C.-2 D.2 【解析】选A.因为y′=,所以y′=-1, 由条件知=-1,所以a=-1. 7.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于 ( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 【解析】选C.依题意知,y′=3x2+a, 则由此解得 所以2a+b=1. 二、填空题(每小题5分,共15分) 8.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为________________.
变化率与导数导数的计算知识点与题型归纳
●高考明方向 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数 y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x 的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数. ★备考知考情 由近几年高考试题统计分析可知，单独考查导数运算的题目很少出现，主要是以导数运算为工具，考查导数的几何意义为主，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系，以平行或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如2014广东理科10、文科11. 2014广东理科10 曲线52-=+x y e 在点()0,3处的切线方程为 ； 2014广东文科11 曲线53=-+x y e 在点()0,2-处的切线方程为 ；
一、知识梳理《名师一号》P39 知识点一导数的概念 (1)函数y ＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化 率lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f x ＋Δx－f x0 Δx 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x . (2)称函数f′(x)＝lim Δx→0f x＋Δx－f x Δx 为f(x)的导 函数. 注意:《名师一号》P40 问题探究问题1 f′(x)与f′(x )有什么区别？ f′(x)是一个函数，f′(x )是常数， f′(x )是函数f′(x)在点x0处的函数值． 例.《名师一号》P39 对点自测1 1.判一判 (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( ) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( ) (3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．( ) 答案(1)×(2)×(3)√
高中数学 《变化率与导数》教案 新人教A版选修11
[教学目的] 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义； 2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法 3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 [教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点 [教学方法]讲授启发，自学演练。 [授课类型]：新授课 [课时安排]：1课时 [教 具]：多媒体、实物投影仪 [教学过程] 一、复习提问(导数定义的引入) 1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？ 在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42 ++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平 均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？ （2）新课 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ?时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉 表格1
表格2 0?t 时，在[]t ?+2,2这段时间内 ()()()1 .139.41.139.422222-?-=?-?+?= ?+-?+-=t t t t t t h h v ()()()1 .139.41.139.422222-?-=??-?-= -?+-?+=t t t t t h t h v 当-=?t 0.01时，-=v 13.051； 当=?t 0.01时，-=v 13.149； 当-=?t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=?t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=?t 0.000 1时，-=v 13.099 51； 当=?t 0.000 1时，-=v 13.100 49； 当-=?t 0.000 01时，-=v 13.099 951； 当=?t 0.000 01时，-=v 13.100 049； 当-=?t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1； 当=?t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9； 。。。。。。 。。。。。。 问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2） 关于这些数据，下面的判断对吗？ 2．当t ?趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /。 3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ?+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ?+2,2上的平均速度； 5． -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1s m /。 分析:2=t 秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1s m /。 这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1s m /，现在我们一起回忆一下是如何得到的： 首先，算出[]t ?+2,2上的平均速度 ()()t h t h ?-?+22=1.139.4-?-t ，接着观察当t ?趋近
高中数学-变化率与导数练习
高中数学-变化率与导数练习 1．已知函数，当，时，的值是 A ． B ． C ． D ． 2．若在处存在导数，则 A ．与都有关 B ．仅与有关，而与无关 C ．仅与有关，而与无关 D ．与都无关 3．设为可导函数，且，则曲线在点处 的切线的斜率是 A ． B ． C ． D ． 4．一个物体做直线运动，位移 (单位:)与时间 (单位:)之间的函数关系为，则这一物体在时的瞬时速度为 A ． B ． C ． D ． 5．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是 2()3y f x x ==+2x =0.1x ?=y ?0.400.410.430.44()f x 0x x =000 ()() lim h f x h f x h →+-0x h ,0x 0x 0x h ,()f x Δ0 (1)(1) lim 12x f f x x →--?=-?()y f x =(1,)(1)f 1-2-12 m 2()5s t t t =+2 s t =1m /s 5m /s 21m /s 10m /s ()f x ()f x '()f x
A ． B ． C ． D ． 6．已知点是抛物线上一点，且，则点的坐标为 A ． B ． C ． D ． 7．函数在处的导数为________. 8．如果质点按规律运动，则在一小段时间内相应的平均速度为________. 9．设函数可导，则等于 A ． B ．不存在 C ． D ．以上都不对 10．已知点在函数的图象上,若函数从到的平均变 ,则下面叙述正确的是 A ．曲线的割线的倾斜角为 B ．曲线的割线的倾斜角为 C ．曲线的割线的斜率为 D ．曲线的割线的斜率为 11．曲线在点处的切线方程为, 则 (2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<- 0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<00(,)P x y 2361y x x =++0()0f x '=P (1)10， (1 2)--，(1 )2-，(1 0)1-，23y x =1x =M 23s t =+[2]2.1， ()f x 0 (1l )(1) i 3m x f x f x ?→+?-?(1)f '1 (1)3 f '1122(,),(,)A x y B x y ()y f x =()f x 1x 2x ()y f x =AB π 6 ()y f x =AB π3 ()y f x =AB ()y f x =AB 3 - ()y f x =00,()()x f x 210x y -+=