2020年中考数学专题：和图形有关的应用题

专题：与图形有关的应用题

1.如图①所示的是可调节高低的笔记本电脑桌，如图②，桌子腿AB＝AC＝26cm，∠ABC＝34°，则点A距地面的高度A H约为____________cm.(结果保留一位小数，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)

2.2019年10 月1 日，迎来了伟大祖国70周年的生日．某市为弘扬新一代爱国主义精神，建立如图①所示的一座纪念渡江战役胜利的历史博物馆．如图②是该博物馆的侧面示意图．某学校数学兴趣小组通过测量得知，纪念馆外轮廓斜坡AB的坡度i＝1∶3，底基BC ＝50m，∠ACB＝135°，则馆顶A离地面BC的距离约为________m．(结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)

3.为响应“节能减排，绿色出行”的口号，某市在部分城区实施公共自行车免费服务．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同

一条直线上，CD＝35 cm，DF＝24cm，AF＝30 cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，

且∠EAB＝75°.则E到AB的距离约为________cm.(结果保留整数，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)

4.如图①，是某班放报纸的支架，图②为其示意图，其侧面垂直于地面的支架(含轮子)为AB，弯折的两条支架分别为AD，DC，且CD垂直地面于点C，经测量，AD＝256cm，CD ＝44cm，∠ADC＝153°.求线段AB的长度约为________cm.(结果保留一位小数，参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96)

5.如图①，桔槔是一种旧式提水器具，它的工作原理是由于杠杆末端的重力作用，便能

轻易把水提拉至所需处，桔槔早在春秋时期就已相当普遍，而且延续了几千年．如图②，是

一个桔槔模型示意图，已知AB 的长为0.8m，AB与水平面的角度为32.5°，点B 距底座表面CF的距离为0.36m，底座的高度为6cm.则点A到地面的高度约为________m．(结果保留一

位小数，参考数据：sin32.5°≈0.54，cos32.5°≈0.84，tan32.5°≈0.64)

6.港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，位于中国广东省伶仃洋区域内，为珠江三角洲地区环线高速公路南环段，青州航道桥“中国结·三地同心”主题的斜拉索塔如图①所示．某数学兴趣小组根据材料编制了如下数学问题，请你解答．如图②，BC，DE为主塔AB(主塔AB与桥面AC垂直)上的两条钢索，桥面上C、D两点间的距离为16m，主塔上A、E两点的距离为18.4m，已知BC与桥面AC的夹角为30°，DE与桥面AC的夹角为38°，求主塔AB的高约为________m．(结果精确到1米，参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，3≈1.7)

7.如图，高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂直，展开小桌板后，桌面会保持水平，其中图①、图②分别是小桌板收起时和展开时的实物图，图③中的实线是

小桌板展开后的示意图，其中OB表示小桌板桌面的宽度，BC表示小桌板的支架，连接OA，此时OA＝75 cm，∠AOB＝∠ACB＝37°，且支架长BC与桌面宽OB的长度之和等于OA的

长度，则点 B 到AC的距离约为________cm.(结果保留一位小数，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)

8.图①是一台实物投影仪，图②是它的示意图，折线B－A－O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B 为旋转点，BC可转动，当BC绕点B 顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm.

如图②，当∠ABC＝70°，B C∥OE时，投影探头的端点D到桌面OE的高度约为

________cm.(结果精确到0.1，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)

9.改革开放以来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图②，点F 在线段HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为点E，AE的延长线交HG于点G，经测量，∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20 m，EG＝0.6 m.

(1)求线段AG的长度；

(2)连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．(结果精确到0.1m，参考

数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60)

10.在伟大祖国诞辰70 周岁之际，在太原市的大街小巷随处可见国旗装点，鲜艳的五星红旗不仅扮靓了城市的街道，更让市民感受到了浓厚的节日氛围．已知国旗(3号旗)的长DE 为192 cm，宽DC为129cm，旗杆DB的长度为200cm，DB与墙面AB的夹角∠DBG为35°，当国旗迎风展开后，点E到墙壁AB所在直线的距离约为________cm.(结果精确到0.1，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)

11.如图①，是一个由空心壳体和一个实心的半球体构成的不倒翁，图②是它的部分示意图，已知圆弧的圆心为点O，CD长为30 cm，OA，OB为圆弧的半径，长为10cm，∠AOC

︵

＝∠BOC，AB的长为4πcm，当CD向右摆动使点B落在地面上(即圆弧与直线相切于点B)时，则点D到直线l的距离约为________cm.(结果精确到1cm，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，3≈1.73)

12.如图①是一座可供行人和非机动车行走的过路天桥的实物图，该天桥的一端是由一个四边形和两个三角形组成，如图②所示．其中AC和BC是非机动车行走的缓坡道，AB是行人走的台阶式坡道，BD和CE是天桥的立柱，D为AE 的中点．经测量，天桥的高度(天桥最高点到地面的距离)为6米，非机动车坡道与水平面的夹角为11.5°，BC与AC的夹角为23°，求坡道AB的长度约为________米．(结果保留一位小数，参考数据：sin11.5°≈0.20，cos11.5°≈0.98，tan11.5°≈0.20，sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42，34≈5.83)

13.如图①是某种躺椅的实物图，图②是其简化的结构示意图，已知扶手AB与座板CD 都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE 与后支架OF垂直，且分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠ODC＝30°，ON＝40 cm，GE＝30 cm，MN＝60cm.则这种躺椅的高度约为________cm(即点M到地面的高度)．(结果取整数，参考数据：3≈1.73)

14.某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF 升起后的位置如图①所示(图②为其几何图形)．其中AB⊥BC，DC⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝150°，AB＝AE＝1.2m，BC＝2.4m，求图②中点E 到地面的高度(即EH的长)为________m．(结果精确到0.01m，参考数据：3≈1.732，栏杆宽度忽略不计)

15.如图①是一个创意半圆桌柜实物图，图②是其正面示意图，桌柜的上部是一个半圆，桌面AB是半圆的直径，隔层CD是半圆的弦，柜脚EG、FH所在的直线经过圆心，EG＝FH，且AB、CD均平行于水平地面，某同学测得GH＝100cm，∠EGH＝∠FHG＝60°，弧EF最底端与地面的距离为2 cm.则桌面AB的长度为________cm.

16.图①是一个仰卧起坐健身器，它主要是由支架、坐垫、靠背和档位调节器组成．将图

①仰卧起坐健身器的主体部分抽象成图②，靠背OD与支架OA所夹的角α可以用档位调节器绕点O调节，量得O A＝OD＝900mm，∠CAB＝20°，当靠背的角度α调到40°时，点D到地面的距离约为________mm.(结果精确到0.1mm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，

tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)

17.图①是某游乐场的摩天轮，图②是它的正面示意图，已知摩天轮的半径为40米，

每分钟绕圆心 O 匀速旋转 15°，其最低点 A 离地面的距离 AB 为 5 米，小明从点 A 处登上摩 天轮，5 分钟后旋转到点 C ，此时他离地面的高度 CD 约为________米．(结果精确到 0.1 米， 参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)

参考答案

1. 14.6 【解析】由题意得，在 △R t ABH 中，AH ＝AB ·sin34°≈26×0.56≈14.6 cm.

2. 68.3 【解析】如解图，过点 A 作 AD ⊥BC 交 BC 的延长线于点 D .∵∠ACB ＝135°， ∴∠ACD ＝45°，∴△ADC 为等腰直角三角形，设 AD ＝x ，则 CD ＝x ，BD ＝50＋x ，∵斜坡 AB 的坡度 i ＝1∶ 3，∴x ∶(50＋x )＝1∶ 3，整理得( 3－1)x ＝50，解得 x ＝25( 3＋1)≈68.

3.

3. 66 【解析】在 △R t ADF 中，AF ＝30，DF ＝24，由勾股定理得 AD ＝ AF 2－DF 2＝

302

－24

2＝18.如解图，过点 E 作 EH ⊥AB ，垂足为 H ，∵AE ＝AD ＋DC ＋CE ＝68，∴EH

＝AE ·sin75°＝68·sin75°≈68×0.97＝65.96≈66(cm)．∴点 E 到 AB 的距离约为 66 cm.

4. 271.8 【解析】如解图，过点 D 作 DE ⊥AB 于点 E ，∴∠B ＝∠C ＝∠DEB ＝90°.∴ 四边形 BCDE 是矩形．∴∠EDC ＝90°，BE ＝DC ＝44 cm.在 Rt △AED 中，∠ADE ＝153°－ 90°＝63°，∴AE ＝AD ·sin63°≈256×0.89＝227.84 cm.∴AB ＝AE ＋BE ＝227.84＋44≈271.8 cm.∴线段 AB 的长度约为 271.8 cm

5. 0.9 【解析】如解图，过点 B 作 BH ⊥FC ，BI ⊥AG ，垂足分别为点 H ，点 I ，延长

A G

交 FC

于 点 J. 在

△R tABI 中 ， ∵∠ABI ＝ 32.5°， ∠AIB ＝ 90°， ∴AI ＝

AB ·sin32.5°≈0.8×0.54≈0.43.又∵∠BIJ ＝∠IJH ＝∠JHB ＝90°，∴四边形 IJHB 为矩形．∴IJ ＝BH ＝0.36.∴点 A 到地面的高度为 AI ＋IJ ＋CD ＝AI ＋BH ＋CD ≈0.43＋0.36＋0.06＝ 0.85≈0.9m .

AE 18.4

6. 22 【解析】∵在 △R t DAE 中，AE ＝18.4，∠ADE ＝38°，∴AD ＝ ≈ ＝23.∴AC

＝AD ＋CD ≈23＋16＝39.在 △R t ABC 中，∵∠BCA ＝30°，∴AB ＝AC ·tan30°≈39×

3

3 ≈22

m ．∴主塔 AB 的高约为 22 m .

7. 22.5 【解析】如解图，延长 OB 交 AC 于点 D ，由题可知 BD ⊥CA ，设 BC ＝x ，则

BO ＝OA －BC ＝(75－x)，在 △R t CBD

中，∵BD ＝BC ·sin ∠ACB ＝x·sin37°≈0.6x ，∴DO ＝

OB ＋BD ≈75－x ＋0.6x ＝(75－0.4x)，在 △R t AOD 中，DO ＝AO ·cos ∠AOD ＝75·cos37°≈60， ∴75

－0.4x ＝60，解得 x ＝37.5，∴BD ≈0.6x ＝22.5 cm ，∴点 B 到 AC 的距离约为 22.5 cm.

tan38° 0.8

8. 27.0

【解析】 如解图①，延长

OA 交 BC 于点 F ，∵ A O ⊥OE ，∴∠A OE ＝

AF

90°.∵BC ∥OE ，∴∠BFO ＝∠AOE ＝90°.在 △R t ABF 中，AB ＝30 cm ，∵sin ∠B ＝ ，∴AF

AB

＝AB ·sin ∠B ＝30·sin70°≈30×0.94＝28.20 cm.∴AF －CD ＋AO ≈28.20－8＋6.8＝27.0 cm ， ∴端点 D 到桌面 OE 的高度约为 27.0 cm.

AE

9. 解：(1)在 △R t ABE 中，BE ＝ ，

tan ∠ABE

AE

在 △R t ACE 中，CE ＝ .

tan ∠ACE

x x

设 AE ＝x m ，则 ＋ ＝20，

tan11° tan31°

解得 x ≈2.89 m .

∴AG ＝AE ＋EG ≈2.89＋0.6≈3.5 m .

答：线段 AG 的长度约为 3.5 m ；(3 分) (2)如解图，当线段 AF ⊥AC 时，

∵AE ⊥BC ，

∴∠FAE ＋∠CAG ＝90°，∠CAG ＋∠ACE ＝90°. ∴∠FAE ＝∠ACE ＝31°.

FG

∴tan ∠FAG ＝tan31°＝ ，

AG

∴FG ＝AG ·tan31°≈3.5×0.6＝2.1 m .

答：点 F 与点 G 之间的距离约为 2.1 m ．(8 分)

10. 271.4 【解析】如解图，分别过点 D ，点 E 作 DM ⊥AB 的延长线于点 M ，EN ⊥AB

DM

的 延 长 线 于 点 N ， DH ⊥EN 于 点 H ， 在

△R t DBM 中 ， sin ∠DBM ＝ ， ∴DM ＝

DB

200·sin35°≈114.∵∠EDC ＝∠ C NB ＝ 90° ，∠ D CE ＝∠ N CB ，∴∠D EC ＝∠ C BN ＝ 35°. 在

△R t DEH 中， cos ∠DEH ＝

EH DE ，∴ E H ＝ 192·cos35°≈157.44 cm.∴EN ＝ E H ＋ H N ＝EH ＋

DM ≈157.44＋114≈271.4 cm.

︵ n π·10

11. 26 【解析】∵AB 的长为 4π，∴4π＝ ，∴n ＝72，∴∠AOB ＝72°，∵∠AOC

180 ＝∠BOC ，∴∠BOC ＝36°，由题意知 E F 为⊙O 的切线，∴OB ⊥EF ，∵DF ⊥EF ，∴∠EDF

OB 10 ＝∠BOC ＝36°，∴cos ∠EOB ＝ ，∴0.81≈ ，∴OE ≈12.3 cm ，∴DE ＝DC －OC ＋OE ≈30

OE OE

－10＋12.3＝32.3 cm ，∴DF ≈32.3·cos D ≈32.3×0.81≈26 cm.∴点 D 到直线 l 的距离约为 26

cm.

12. 11.7 【解析】如解图，过点 C 作 CH ⊥BD 于点 H ，易证四边形 DECH 为矩形，设 AC 与 BD 交于点 G .∵CH ⊥BD ，BD ⊥AE ，∴CH ∥AE ，∴∠HCG ＝∠GAD ＝11.5°，又∵BC 与 AC 的夹角为 23°，∴∠BCH ＝23°－11.5°＝11.5°，即∠BCH ＝∠GCH ＝∠GAD ，又∵D 为 AE 的中点，四边形 DECH 为矩形，∴AD ＝DE ＝CH ，可证△ADG ≌△CHG ≌△CHB ，

1

∴DG ＝HG ＝HB ，由题可得 BD ＝6，∴DG ＝HG ＝HB ＝ BD ＝2，在 △R t ADG 中，DG ＝2，

3

DG

∠GAD ＝11.5°，∴AD ＝ ≈10，在 △R t ABD 中，由勾股定理得 AB ＝ AD 2＋BD 2＝

tan11.5°

62

＋10

2＝2 34≈11.7 m ，即 AB 的长度约为 11.7 米．

13. 95

【解析】如解图，连接 EF ，延长 MN 交 EF 于点 H ，过 M 作 MP ⊥EF 于点 P .

由题意知 ON ∥GD ∥EF ，DN ∥OG ，∴∠NHP ＝∠E ，四边形 OGDN 和 OEHN 是平行四边

形．∴GD ＝ON ＝40 cm ，NH ＝OE .∵∠DOG ＝90°，∠ODG ＝30°，∴∠NHP ＝∠E ＝∠OGD

＝60°，OG＝GD·sin30°＝20.∴NH＝OE＝OG＋GE＝50.在△R t MHP中，MH＝MN＋NH＝110 cm，∴MP＝MH·sin60°＝553≈95cm.

14.2.24【解析】如解图，作AM⊥EH于点M，则四边形ABHM是矩形，∵∠EAB＝150°，∴∠EAM＝60°，又∵AB＝AE＝1.2m，∴EM＝AE·sin60°＝1.2×

3

2＝1.039≈1.04 m，∴EH＝EM＋MH＝1.04＋1.2＝2.24m.

15.1003－4【解析】如解图所示，过O作OP⊥GH于P，连接OE、OF.∵∠EGH

1

＝∠FHG＝60°，GH＝100，∴GP＝GH＝50，∴OP＝GP·tan60°＝50 3.∴AB＝2(OP－2)

2

＝(1003－4)cm.

16.612【解析】如解图，连接DA，过点O作OE∥AB，交AD于点E，过点O作OF⊥AB 交AB于点F，∵∠OAF＝20°，OE∥AB，∴∠AOE＝20°，∵∠DOA＝40°，∴∠DOE＝∠AOE ＝20°，又∵OA＝OD，∴OE⊥DA，∴AD⊥AB，点D到地面距离即为DA，在△R t OEA中，AE＝OA·sin20°≈900×0.34＝306，∴DA＝2AE≈612mm.

17.34.6【解析】∵15×5°＝75°，∴∠AOC＝75°，如解图，过点C作

CE⊥OB于点E，则四边形BDCE 是矩形，∴CD＝BE，∵∠AOC＝75°，

OC＝40，在△R t OEC中，cos∠COE＝

OE

OC，∴OE＝OC·cos∠COE＝

40·cos75°≈10.4，∵OB＝OA＋AB＝45，∴CD＝EB＝OB－OE＝45－10.4＝34.6(米)．∴此时他离地面的高度CD约为34.6米．