二次函数的定义

二次函数的定义

一、复习旧知

1.什么是函数？

设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量。

2.以前学过哪些函数

正比例函数：()0≠=k kx y 一次函数：()0≠+=k b kx y 反比例函数：()0≠=

k x k y 二、探索新知

1.请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系：

（1）正方体表面积y (2cm )与棱长 x ( cm )

（2）多边形的对角线y 与边数x

（3）某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 随计划所定的x 的值而确定。 问题：1.尝试写出y 与x 之间的关系式

(1) 26x y = (2)x x x x y 3221)3(212-=-=

(3)()20402012022++=+=x x x y

2.上述三个函数解析式有什么共同的特点？

让学生充分发表意见，提出各自看法。

上述三个函数解析式经化简后都具c bx ax y ++=2（c b a ,,都是常数，0≠a ）的形式，都

是用自变量的二次式表示的。

下面我们给出二次函数的定义：一般的，我们把形如c bx ax y ++=2

（c b a ,,都是常数，0≠a ）的函数，叫做二次函数。你其中x 是自变量，c b a ,,分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

思考：1.上述概念中的a 为什么不能为零？

2.对于二次函数c bx ax y ++=2

中的c b ,可否为零？若c b ,各自为零或均为零，上述函数的式子可改写成怎么样？它们还是不是二次函数？

3.这个式子与一元二次方程的区别在哪？有什么联系？

注意：（1）任何一个二次函数的解析式都可以通过适当的变换转换为c

bx ax y ++=2（c b a ,,都是常数，0≠a ）的形式，因此我们把c bx ax y ++=2（c b a ,,都是常数，0≠a ）叫做二次函数的一般式。

（2）自变量的最高次数必须是2 ，也就是说c bx ax y ++=2中，0≠a ，而 c b ,可以为0.

（3）含自变量的代数式是整式，而不是分式或根式。

（4）二次函数c bx ax y ++=2（c b a ,,都是常数，0≠a ）一般情况下x 取值范围是全体实数。

（5）二次函数c bx ax y ++=2（c b a ,,都是常数，0≠a ）的结构特征是：等号左边是函数y ，等号右边是关于x 的二次多项式。

三、例题讲解

利用二次函数的定义判断解析式是否是二次函数

例1 下列各式：①2+=x y ；②22x y =；③x y 2=

；④)2)(1(+-=x x y ；⑤21x y =；⑥22)2)(12(x x x y --+=；⑦c bx ax y ++=2 其中y 是x 的二次函数的

有 。再分别说出二次函数的二次项系数、一次项系数、和常数项系数。 利用二次函数的概念求待定字母的值

例2 若关于x 二次函数3)1()1(22+-+-=x k k y 不含一次项，求k 得值。 二次函数中的分类问题

例3 关于x 的二次函数，14)1(12+++=+x x m y m

（1）当m 为何值时是二次函数。

（2）当m 为何值时是一次函数。