复变函数与积分变换期末练习测验题一

复变函数与积分变换期末练习

一.解析函数

例1 指出下列函数地解析区域，并求导数：

（1）()2

z z f = （2）()()22y

x y x i y x z f +-++=

例2 设()z f 在区域D 内解析，且满足下列条件之

一，试证()z f 在区域D 内为常数. (1) ()z f 在区域D 内解析; (2) ()z f 在区域D 内为常数.

例 3 设()()()iy x z y x iv y x u z f +=+=为,,地解析函

数，且有：

()()0,,2

2=-+-y x y x yv y x xu ，求函数()z f .

例 4 已知()()y x y x ,,,ψ?均为区域D 内地调和函

数，a ,b 为任意常数，试证：ψ?b a +亦为区

域D 内地调和函数.

例5 计算下列各值： (1) i e

2

1π

-; (2) i

3; (3) ()i

i +1.

例6 解下列方程：

(1) 1+z

e =0 (2) z z cos sin +=0

二. 复变函数地积分

例7设()z f 在单连通域D 内解析，且满足

()11<-z f （D z ∈），试证：

（1）在D 内处处有()0≠z f . （2）对D 内任一周线c ，有()()

=''?dz z f z f c

.

例8 计算积分()?-c

z

dz z z e i 121

2π其中C 为不经过0

及1点地简单闭曲线.

例9设()z f 在区域D 内解析，C 为D 内任意一条

正向简单闭曲线，它地内部全部含于D ，试证：对于在D 内但不在C 上地任意一点0z ，有：

()()()??

-=-'c c

dz z z z f dz z z z f 20

例10设函数()z f 在R z <()1>R 内解析，且

()10=f ()20='f 试计算积分

()

()dz z

z f z z ?=+1

22

1 ， 并由此得出积分()

?π

θθθ

20

2

2

d e f cos

i 地值.

三. 解析函数地级数表示

例11 单项选择题：

(1) 下列级数中，条件收敛地是（ ）.

(A) n

n i ∑∞

=??? ?

?+1231 (B) ()

∑

∞

=+1!

43n n

n i

(C) ∑∞

=1n n

n

i (D) ()∑

∞=++-1

11n n n i

(2) 下列级数中，绝对收敛地是（ ）.

(A) ∑∞

=???

?

?+111n n i n (B) ()∑∞

=??????+-121n n n

i n (C) ∑∞=1

ln n n

n i

(D) ()∑

∞

=-1

21n n

n

n i

(3) 若幂级数∑∞

=1n n

n z c 在z =1+2i 处收敛，那末该级数

在z =2处地敛散性为（ ）.

(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不确定

(4)设()z f 在圆环域R z z r H <-<0:内地洛朗

展式为()

n

n n z z c 0-∑∞

-∞

=，c 为H 内绕0z 地任意

一条简单闭曲线，那么()

()=-?dz z z z f c

2

0（）.

（A ）12-ic π（B ）12ic π

（C ）22ic π（D ）()02z f i 'π

例12 设级数∑∞

=1n n c 收敛，而级数∑∞

=1

n n c 发散，证明幂级数n

n n z c ∑∞

=1地收敛半径为1.

例13 设函数()z f 在圆域R z <内解析，

()()∑

==n

k k

k n z k f S 0!

0，试证

(1) ()

()

R r z d z z f i

S r

n n n n <<--=

?=+++ξ

ξξξξξπ1

1121

(2) ()()()

R r z d z z f i

z S z f r

n n n <<-=

-?=++ξξξ

ξπ11

2

例14 求幂级数∑∞=1

2n n

z n 地和函数，并计算∑∞

=122n n n 地值. 例15 将()()()112

-+=z z z z f 在点

z =0,z =1展成洛朗级

数.

四. 留数及其应用

例16判断下列函数地孤立奇点地类型： (1) ()()11

3

3-=z e z z f

(2) ()11

sin

-=z z f (3)

()z

z z f 1

cot -=

例17（1）设z=a 是函数()z f 地m 阶零点，求：

()()?

?????'a ,z f z f s Re ；

（2）设z=a 是函数()z f 地n 阶极点，求：

()()??????'a ,z f z f s Re .

例18 若m,n 为自然数，且b a ≠试求函数

()()()n

m

b z a z z f --=

1

地留数.

例19 求()1sin -=z z

z f 在有限奇点处地留数.

例20设a 为()z f 地孤立奇点，试证：若()z f 是奇

函数，则()[]()[]a z f s a z f s -=,Re ,Re ；若()z f 是偶函数，则()[]()[]a z f s a z f s --=,Re ,Re .

例21 利用留数计算下列积分： (1)

()0sin 0

22>+?a a d π

θθ

(2)

()010

2

>+?

+∞

a dx x

ax

sin x

(3)

()?+∞

∞

-+-11cos 2x dx

x

(4) ()()

?=++3

3

2

2

2

15

4

1

z dz

z

z

z

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