二 绝对值不等式(1)——绝对值三角不等式

絕對值三角不等式

目的要求： 理解絕對值的幾何意義，並能利用絕對值不等式的幾何意義證明不等式

重點難點： 絕對值三角不等式。

教學設計：

一、 引入：

實數a 的絕對值|a|的幾何意義是表示數軸上座標為a 的點A 到原點的距離：

任意兩個實數a,b 在數軸上的對應點分別為A 、B ，那麼|a-b|的幾何意義是A 、B 兩點間的距離。

二、 給出定理

1.綜上所述可得定理：

定理1 如果a, b 是實數，則|a+b|≤|a|+|b|，當且僅當ab ≥0時，等號成立。（這個不等式稱為絕對值三角不等式。）

2.探究 如果把定理1中的實數a, b 分別換成向量a, b, 能得出什麼結果？你能解釋它的幾何意義嗎？

3.探究 當向量a, b 共線時，有怎樣的結論？

O b b

a b a ab +=+>有当,0)

1(x

O b a+b 时当0)2(

a b a b a i +<+<>有时当,0,0)

(

.,,之间的关系下面研究b a b a +a

b

b a +x

y O .||||||,,,,,,,,,,b a b a b a b a b a b a b a +<++不等式因此我们有向量形式的构成三角形向量三角形法则

的法加量由向么那时不共线

当向量分别替换用向量在上面的不等式中.

边形的两边之和大于第三它的几何意义就是三角

4.

.,1度给出它的证明我们再从代数推理的角为了更好地理解定理：

5.5.

等之间的关系

与与与例如吗系关间的其他之等探究一下的研究思路根据定理能你探究|||||||,||||||,||||:|?||,||,||,||,1b a b a b a b a b a b a b a b a b a ---++--+ 我们有

例如题实数的绝对值不等式问我们可以讨论涉及多个方法根据这样的思想最基本、最重要的是这个实数的绝对值不等式以上我们讨论了关于两,.,.,

?2的几何解释吗你能给定理探究

三、 教學實例：

關於絕對值三角不等式的簡單應用，只要對不等式稍加變形即可.

我们有一般地,.

||||||b a b a +≤+|,|,0ab ab ab =≥时当证明()2||b a b a +=+2

2||||2||b ab a ++=()2

||||b a +=

||b a +=|,|,0ab ab ab -=<时当()2||b a b a +=+2

2||||2||b ab a +-=22||2b ab a ++<22|

|||2||b ab a ++=()2||||b a +=

|

|b a +=.||||||b a b a +≤+所以.

,0等号成立时当且仅当≥ab ???x a b c C B A 52.1-图???x

a b c C B

A 6

2.1-图.

2.,,62.1的几何解释情形时定理请同学们自己给出其他

之间时的一种情形不在给出了当点如图C A B -.||||||||||,,.,b a b a b a b a +≤-≤-那么是实数例如果的结论我们可以得出许多正确事实上()().

,0,

||||||,,,2等号成立时当且仅当那么是实数如果定理≥---+-≤-c b b a c b b a c a c b a .

||||||,,,,,,,,,52.1c b b a c a C A B C B A c b a -+-=--之间时在当点所对应的点分别为在数轴上如图.5|3232|,||,||,01εεεε<--+<-<->b a y x b y a x 求证已知例?

,.,.2010,2生活区应建在何处小每天往返的路程之和最要使两个施工队

一次区和施工地点之间往返每个施工队每日在生活活区施工队的共同临时生现要在公路沿线建两个处和第于公路碑的第这两个地点分别位施工在公路沿线的两个地点两个施工队分别被安排例km km

有關絕對值三角不等式的實際應用題，首先把實際問題轉化為數學問題，在求解。

四、小結

絕對值三角不等式的幾種形式，以及取等號的條件.