(完整版)绝对值三角不等式
1.4 绝对值三角不等式 教案1 （新人教选修4-5）
教学目标：
1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简 单的应用。
2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数
学
思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。
教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。 教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 教学过程： 一、复习引入：
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。
1．请同学们回忆一下绝对值的意义。
??
?
??<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。
几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立，.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。
（2）2
a a =， （3）
b a b a ?=?， （4）
)0(≠=
b b
a
b
a 那么?
b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课：
结论：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）
已知,a b 是实数，试证明：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） 方法一：证明:10 .当ab ≥0时, 20. 当ab <0时,
探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系?
b a -
a
r a b
+r r
综合10, 20知定理成立.
方法二：分析法，两边平方（略）
定理1 如果,a b 是实数，则a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） b a ,换为向量b a ρ
ρ,情形又怎样呢？
（1）若把
根据定理1，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。 所以，b a b a -≥+。
定理（绝对值三角形不等式）
如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤ 注：当b a ,为复数或向量时结论也成立.
推论1：1212n n a a a a a a ++++++L L ≤
推论2：如果a b c 、、是实数,那么a c a b b c --+-≤,当且仅当()()0a b b c --≥时,等号成立.
思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？
（设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c ＝0（即C 为原点），就得到例2的后半部分。） 三、典型例题：
例1、已知 2
,2c
b y
c a x <-<
-，求证 .)()(c b a y x <+-+
||,||||||
=+=====+ab ab a b a
b ||,||||||
=-+===<==+ab ab a b a b a b +r r
a r
b r
证明 )()()()(b y a x b a y x -+-=+-+ b y a x -+-≤ （1）
2
,2c b y c a x <-<
-Θ， ∴c c
c b y a x =+<-+-2
2 （2）
由（1），（2）得：c b a y x <+-+)()(
例2、已知.6,4a
y a x <<
求证：a y x <-32。 证明 6,4a y a x <<Θ，∴2
3,22a
y a x <<，
由例1及上式，a a
a y x y x =+<+≤-2
23232。
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用
于不等号方向相同的不等式。
例 3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km 处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
四、课堂练习：
1.(课本20P 习题1.2第1题)求证:
⑴2a b a b a ++-≥;⑵2a b a b b +--≤ 2. (课本P 19习题1.2第3题)求证:
⑴x a x b a b -+--≥;⑵x a x b a b ----≤ 3．（1）、已知.2,2c
b B
c a A <-<
-求证：c b a B A <---)()(。 （2）、已知.6
,4c
b y
c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。
五、课堂小结：
·10
x
··20
1．实数a 的绝对值的意义:
⑴(0)0(0)(0)a a a a a a >??
==??-
;（定义）
⑵a 的几何意义:
2．定理（绝对值三角形不等式）
如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤注意取等的条件。
(完整版)绝对值三角不等式
1.4 绝对值三角不等式 教案1 （新人教选修4-5） 教学目标： 1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简 单的应用。 2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数 学 思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。 教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。 教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 教学过程： 一、复习引入： 关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。 1．请同学们回忆一下绝对值的意义。 ?? ? ??<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。 几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。 2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： （1）a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立，.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。 （2）2 a a =， （3） b a b a ?=?， （4） )0(≠= b b a b a 那么? b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课： 结论：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） 已知,a b 是实数，试证明：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） 方法一：证明:10 .当ab ≥0时, 20. 当ab <0时, 探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系? b a -
绝对值指数对数三角不等式的解法
不等式的解法 绝对值不等式 例1 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜． ｛x ｜x>1｝． 例2 对任意实数x ，若不等式｜x+1｜-｜x-2｜>k 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k<3 B ．k<-3 C ．k≤3 D ．k≤-3 选B ． 例3 解不等式｜3x-1｜>x+3． ｛x ｜ x<- ，或x>2｝． 例4 解不等式 ｜x-5｜-｜2x+3｜<1 ｛x ｜x<-7或 x> ｝ ｜x+3｜+｜x-3｜>8． 例5 解不等式1≤｜2x-1｜<5． ｛x ｜-2
指数不等式 例1、解不等式 （1）12>x （2） ) 1(332)21(22---
绝对值不等式的常见形式及解法
绝对值不等式的常见形式及解法 绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：（1）绝对值定义法；（2）平方法；（3）零点区域法。常见的形式有以下几种。 1. 形如不等式： 利用绝对值的定义得不等式的解集为： 。在数轴上的表示如图1。 2. 形如不等式： 它的解集为：。在数轴上的表示如图2。 3. 形如不等式 它的解法是：先化为不等式组：，再利用不等式的性质来得解集。 4. 形如 它的解法是：先化为不等式组：，再利用不等式的性质求出原不等式的解集。 例如：解不等式： （1） （2） （3） 解：（1）由绝对值的定义得： 或 解得
（2）两边同时平方得： （3）令 得。 所以和3把实数分为三个区间，即：；。 在这三个区间内来讨论原不等式的解集。初等幂函数图像
极坐标转直角坐标的办法 两边都乘以r，比如说r=2sinX 两边同时乘以r 成为r^2=2rsinX x^2+y^2=2y 如2cos@，同乘r，即r^2=2rcos@,又因为r^2等于x^2+y^2，所以x^2+y^2=2y 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同三角函数的值相等： sin（2kπ+α）=sinα k∈z cos（2kπ+α）=cosα k∈z tan（2kπ+α）=tanα k∈z cot（2kπ+α）=cotα k∈z 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π+α）=—sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα 公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα cot（－α）=－cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）=sinα cos（π－α）=－cosα tan（π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotα
绝对值三角不等式
太原北辰双语学校高二年级第二学期数学学科作业题 课题：绝对值三角不等式 班级： 姓名： 命题日期： 3 月 13日 1．绝对值的意义． 在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值． 即|x |＝???? ?x ，x ＞0，0，x ＝0，－x ，x ＜0. 2．绝对值三角不等式 定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．关于定理1的几点说明： (1)定理1的证明：|a ＋b |≤|a |＋|b |?(a ＋b )2≤(|a |＋|b |)2?a 2 ＋b 2＋2ab ≤a 2＋b 2＋2|a ||b |?ab ≤|a ||b |?ab ≤|ab |，由已知知识可知 ab ≤|ab |一定成立，因而不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |成立．又由于上面每 一步都是恒等变形及ab ＝|ab |?ab ≥0可知，当且仅当ab ≥0时，等号成立． (2)对定理的几何说明，实际上是利用了绝对值的几何意义，证明 了不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |. (3)定理1还可以变形为|a －b |≤|a |＋|b |，等号成立的充要条件是ab ≤0. (4)由定理1还可以得出许多正确的结论，例如：如果a ，b 是实数，那么|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |；|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |. 思考2 说出下列不等式等号成立的条件： (1)|a |＋|b |≥|a ＋b |； (2)|a |－|b |≤|a ＋b |； (3)|a －c |≤|a －b |＋|b －c |. 3．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a |≥a ，|a |≥－a 及绝对值的和的性质． 思考3 当|a |>a 时，a ∈________；当|a |>－a 时，a ∈(0，＋∞)． 一层练习 1．若|x －a | 课题：绝对值三角不等式 红岭中学 隗双和 教学目标： 知识与技能：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会 进行简单的应用。 过程与方法：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合 的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。 情感、态度与价值观：体验不等式的美感，提高推理能力，增强学习兴趣。能运用所学的知 识，正确地解决的实际问题. 教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。 教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体辅助。 教学过程： 一、复习引入： 关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。 1．请同学们回忆一下绝对值的意义。 ?? ? ??<-= >=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。 几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即 2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： （1）a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立，.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。 （2）2 a a =， （3） b a b a ?=?， （4） )0(≠= b b a b a 那么? b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课： 结论：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） 已知,a b 是实数，试证明：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） 探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系? b a - 1.4绝对值三角不等式 ☆教学目标： 1. 理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程； 2. 掌握定理1的两种证明思路及其几何意义； 3. 4. ☆教学重点： ☆教学难点： ☆教学过程： 一、引入： 理解绝对值三角不等式打 会用绝对值不等式解决一些简单冋题。 定理1的证明及几 何意义。 换兀思想的渗透。 证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之 外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： （1） a+b 纠 a+b （ 2） a_b 兰 a + b （3）|a b =a b （4）罰書甘0） 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道 理？ 实际上，性质a ?b = ab 和鸟= ￡（b ^0）可以从正负数和零的乘法、除法 |b| b 法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证 明a + b 3|a +b 对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证 明。 现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大? 显然a -a ，当且仅当a — 0时等号成立（即在a — 0时，等号成立。在 a ：：： 0 时，等号不成立）。同样，a 】：：-a.当且仅当a_0时，等号成立。 含有绝对值的不等式的证明中，常常利用 a 一 ￡、a 一 -a 及绝对值的和的 性质。 二、典型例题： 例 1、证明（1）a +|b K a +b ， 证明(1)如果 a + b K0,那么 a + b = a + b.所以 a +|b ^a + b= |a + b. 女口 果 a + bc0, 那 么 a + b = —(a + b). 所 以 a 十 b 启一a + (—b) = -(a + b) = a 十 b 《绝对值三角不等式》教案 教学目标 1.了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简 单的应用. 2.充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学 思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明. 教学重、难点 重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用. 难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件. 教学过程 一、复习引入： 关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式.本节课探讨不等式证明这类问题. 1．请同学们回忆一下绝对值的意义. ?? ???<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果. 几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值. 2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： (1)a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立，.a a -≥当且仅当 时等号成立. (2)2a a =， (3)b a b a ?=?， (4))0(≠=b b a b a 那么?b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课： 探究：,,,a b a b a b +-之间有什么关系？ 结论：a b a b ++≤(当且仅当ab ≥0时，等号成立.) 定理1 a ，b 如果 是实数，则a b a b ++≤(当且仅当ab ≥0时，等号成立.) 探究1：若把a ，b 换为向量b a ,情形又怎样呢？ 得到向量形式的不等式 a b a b +<+ 它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边. 由于定理1与三角形之间的这种联系，我们称其中的不等式为绝对值三角形不等式 探究2：当向量a ，b 共线时，有怎样的结论？ 一般地，我们有 a b a b ++≤ 为了更好地理解定理1，我们再从代数推理的角度给出它的证明. 证明:(1)当ab ≥0时， ||, ||||||ab ab a b a b =+=====+ (2)当ab <0时， ||, ||||||ab ab a b a b =-+===<==+ a a b + 1.4绝对值三角不等式 教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程； 2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义； 3.理解绝对值三角不等式； 4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。 教学重点：定理1的证明及几何意义。 教学难点：换元思想的渗透。 教学过程： 一、引入： 证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： （1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤- （3）b a b a ?=? （4）)0(≠=b b a b a 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质b a b a ?=?和)0(≠=b b a b a 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大？ 显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。在0 绝对值三角不等式讲与练 一、引入： 证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： （1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤- （3）b a b a ?=? （4） ) 0(≠=b b a b a 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质b a b a ?=?和 ) 0(≠= b b a b a 可以从正负数和零的乘法、除法 法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明 b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证 明。 现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大？ 显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。在0 绝对值型不等式和三角不等式 定理1 如果a, b 是实数，则 |a+b|≤|a|+|b|（当且仅当ab ≥0时，等号成立）。 绝对值三角不等式.a b a b a b a b -≤-≤±≤+(a,b 为实数) 定理2 如果a, b, c 是实数，那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。 证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。 绝对值三角不等式能应用定理解决一些证明和求最值问题。 题型一 解绝对值不等式 【例1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式f (x )＞3； (2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞). (2)因为f (x )＝?? ? ??-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1. 因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1). 【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域； (2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围. 【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞). (2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－ a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a ≤3，即a ≥－3. 题型二 绝对值三角不等式的应用 [例2] (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值． (2)设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值． [思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解． [解] (1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4. 法二：把函数看作分段函数． y ＝|x －3|－|x ＋1|＝??? 4，x <－1， 2－2x ，－1≤x ≤3， －4，x >3. ∴－4≤y ≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4. (2)|x |≤1，|a |≤1， ∴|f (x )|＝|a (x 2 －1)＋x |≤|a (x 2 －1)|＋|x | ＝|a ||x 2 －1|＋|x |≤|x 2 －1|＋|x | ＝1－|x 2 |＋|x |＝－|x |2 ＋|x |＋1 ＝－(|x |－12)2＋54≤54. ∴|x |＝12时，|f (x )|取得最大值5 4 . 1.4绝对值三角不等式 ☆教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程； 2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义； 3.理解绝对值三角不等式； 4. ☆教学重点：定理1的证明及几何意义。 ☆教学难点：换元思想的渗透。 ☆教学过程： 一、引入： 证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： （1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤- （3）b a b a ?=? （4） )0(≠= b b a b a 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质b a b a ?=?和 )0(≠= b b a b a 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明 b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大？ 显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。在0 性质。 二、典型例题： 例1、证明 （1）b a b a +≥+， （2）b a b a -≥+。 证明（1）如果,0≥+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+≥+ 如 果 , 0<+b a 那么).(b a b a +-=+所以 b a b a b a b a +=+-=-+-≥+)()( （2）根据（1）的结果，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。 所以，b a b a -≥+。 例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。 例3、证明 c b c a b a -+-≤-。 思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？ （设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c ＝0（即C 为原点），就得到例2的后半部分。） 探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式b a b a +≥+的几何解释？ 定理1 如果,a b R ∈, 那么b a b a +≥+. 在上面不等式中,用向量,a b 分别替换实数,a b , 则当,a b 不共线时, 由向量加法三角形法则: 向量,a b ,a b +构成三角形, 因此有｜a+b ｜<｜a ｜+｜b ｜ 其几何意义是什么？ 含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。 澜沧拉祜族自治县第一中学教案 【绝对值三角不等式】 学科：数学 年级：高三 班级：202、203 主备教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣、刘世杰 审定教师：刘德清 一、教材分析：本节课是人教A 版选修4-5《不等式选讲》中的第一讲“不等式和绝对值不等式”中第二节第一课时的内容，属于定理课．绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值的不等式具有重要的意义.绝对值三角不等式既是一个基本的结论，又是知识承上启下的一个生长点.承上：学生在初中里就已经接触和学习了绝对值的定义与几何意义，这里继续沿用；启下：绝对值三角不等式是证明有关绝对值不等式的基础和基本方法. 二、教学目标： 1、知识与技能： (1)理解绝对值的定义； (2)掌握定理1的两种证明思路及其几何意义； (3)理解绝对值三角不等式； (4)会用绝对值不等式解决一些简单的问题。 2、过程与方法：利用绝对值的定义，充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。 3、情感、态度与价值观：让学生在绝对值三角不等式的推理和证明过程中，体会转化和数形结合的数学思想，培养学生的分析问题、解决问题的能力。 三、教学重点：定理1的证明及几何意义。 四、教学难点：换元思想的渗透。 五、教学准备 1、课时安排： 1课时 2、学情分析：因为是选修4系列内容，面对的是高三学生，学生虽然在初中接触过绝对值的定义和几何意义，但对于绝对值不等式没有深入学习过，所以本节课的知识对学生来说比较新鲜.同时，利用几何意义探究绝对值不等式相关问题的方法对学生来说比较困难.有利要素是学生已经具备一定的分类讨论思想以及不等式证明的方法. 3、教具选择：多媒体 六、教学方法：启发引导、合作探究 七、教学过程 1、自主导学： Ⅰ、创设情境： 1、在数轴上，你能指出实数a 的绝对值a 的几何意义吗？ 2、绝对值的性质：)0(,≠=?=?b b a b a b a b a ， 1.4绝对值三角不等式 ☆教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程； 2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义； 3.理解绝对值三角不等式； 4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。 ☆教学重点：定理1的证明及几何意义。 ☆教学难点：换元思想的渗透。 ☆教学过程： 一、引入： 证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： （1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤- （3）b a b a ?=? （4）)0(≠=b b a b a 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质b a b a ?=?和)0(≠=b b a b a 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大？ 显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。在0 性质。 二、典型例题： 例1、证明 （1）b a b a +≥+， （2）b a b a -≥+。 证明（1）如果,0≥+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+≥+ 如果,0<+b a 那么).(b a b a +-=+所以 b a b a b a b a +=+-=-+-≥+)()( （2）根据（1）的结果，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。 所以，b a b a -≥+。 例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。 例3、证明 c b c a b a -+-≤-。 思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？ （设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c ＝0（即C 为原点），就得到例2的后半部分。） 探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式b a b a +≥+的几何解释？ 定理1 如果,a b R ∈, 那么b a b a +≥+. 在上面不等式中,用向量,a b 分别替换实数,a b , 则当,a b 不共线时, 由向量加法三角形法则: 向量,a b ,a b +构成三角形, 因此有｜a+b ｜<｜a ｜+｜b ｜ 其几何意义是什么？ 含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。 絕對值三角不等式 目的要求： 理解絕對值的幾何意義，並能利用絕對值不等式的幾何意義證明不等式 重點難點： 絕對值三角不等式。 教學設計： 一、 引入： 實數a 的絕對值|a|的幾何意義是表示數軸上座標為a 的點A 到原點的距離： 任意兩個實數a,b 在數軸上的對應點分別為A 、B ，那麼|a-b|的幾何意義是A 、B 兩點間的距離。 二、 給出定理 1.綜上所述可得定理： 定理1 如果a, b 是實數，則|a+b|≤|a|+|b|，當且僅當ab ≥0時，等號成立。（這個不等式稱為絕對值三角不等式。） 2.探究 如果把定理1中的實數a, b 分別換成向量a, b, 能得出什麼結果？你能解釋它的幾何意義嗎？ 3.探究 當向量a, b 共線時，有怎樣的結論？ O b b a b a ab +=+>有当,0) 1(x O b a+b 时当0)2( 4. .,1度给出它的证明我们再从代数推理的角为了更好地理解定理： 5.5. 等之间的关系 与与与例如吗系关间的其他之等探究一下的研究思路根据定理能你探究|||||||,||||||,||||:|?||,||,||,||,1b a b a b a b a b a b a b a b a b a ---++--+ 我们有 例如题实数的绝对值不等式问我们可以讨论涉及多个方法根据这样的思想最基本、最重要的是这个实数的绝对值不等式以上我们讨论了关于两,.,., ?2的几何解释吗你能给定理探究 三、 教學實例： 關於絕對值三角不等式的簡單應用，只要對不等式稍加變形即可. 我们有一般地,. ||||||b a b a +≤+|,|,0ab ab ab =≥时当证明()2||b a b a +=+2 2||||2||b ab a ++=()2 ||||b a += ||b a +=|,|,0ab ab ab -=<时当()2||b a b a +=+2 2||||2||b ab a +-=22||2b ab a ++<22| |||2||b ab a ++=()2||||b a += | |b a +=.||||||b a b a +≤+所以. ,0等号成立时当且仅当≥ab ???x a b c C B A 52.1-图???x a b c C B A 6 2.1-图. 2.,,62.1的几何解释情形时定理请同学们自己给出其他 之间时的一种情形不在给出了当点如图C A B -.||||||||||,,.,b a b a b a b a +≤-≤-那么是实数例如果的结论我们可以得出许多正确事实上()(). ,0, ||||||,,,2等号成立时当且仅当那么是实数如果定理≥---+-≤-c b b a c b b a c a c b a . ||||||,,,,,,,,,52.1c b b a c a C A B C B A c b a -+-=--之间时在当点所对应的点分别为在数轴上如图.5|3232|,||,||,01εεεε<--+<-<->b a y x b y a x 求证已知例? ,.,.2010,2生活区应建在何处小每天往返的路程之和最要使两个施工队 一次区和施工地点之间往返每个施工队每日在生活活区施工队的共同临时生现要在公路沿线建两个处和第于公路碑的第这两个地点分别位施工在公路沿线的两个地点两个施工队分别被安排例km km课题绝对值三角不等式
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