离散系统稳定性判据
§ 5、4 离散时间系统状态稳定性及判别法
1、 离散时间系统的平衡状态(点)
设
0(1)(),(0),0,1,2,,x k Ax k x x k +===L
(5、17)
称=e Ax 0的e x 为(5、17)的平衡状态(点)、
当A 奇异时, 有无数个平衡状态、
2、 平衡状态(点)的稳定性
(1)稳定:?>?>0,0εδ,使当- -<≥e x k x k (),0ε; (2)渐近稳定:?>0δ, 使当- →∞ -=e k x k x lim ()0; (3)全局渐近稳定:任意∈n x 0R , 都有→∞ -=e k x k x lim ()0; (4)不稳定:?>00ε, 无论δ 多小正数, 总有>k 10, 使 ->e x k x 10()ε 对定常系统, 渐近稳定 全局一致渐近稳定、 3、稳定性判别 对定常系统(1)()x k Ax k += 若0e x =稳定(渐近稳定),则其它e x 也稳定(渐近稳定); 若0e x =渐近稳定,则e x 必为一致全局渐近稳定; 简单介绍0e x =稳定性条件 设(5、17)的解 ==k x k A x k 0(),0,1,2,L 则渐近稳定 ?→∞→∞-==k k k x k A x 0lim ()0lim 0(≠x 00), ?→∞=k k A lim 0?-→∞=k k TJ T 1lim 0?→∞=k k J lim 0 ?A 的所有特征值的模全小于1 ?A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内、 实验名称：离散系统的稳定性分析 系专业班 姓名学号授课老师 预定时间2014-5-27 实验时 间 2014-5-27 实验台号 一、目的要求 1．掌握香农定理，了解信号的采样保持与采样周期的关系。 2．掌握采样周期对采样系统的稳定性影响。 二、原理简述 1．信号的采样保持： 电路图： 连续信号x(t) 经采样器采样后变为离散信号x*(t)，香农(Shannon) 采样定理指出，离散信号x*(t)可以完满地复原为连续信号条件为：ωs≥2ωmax 式中ωS 为采样角频率，且，(T 为采样周期)，ωmax为连续信号x (t) 的幅频谱| x (jω)| 的上限频率T s 若连续信号x (t) 是角频率为ωS = 2π ? 2.5 的正弦波，它经采样后变为x*(t)，则x*(t) 经保持器能复原为连续信号的条件是采样周期，[正弦波 ωmax=ωS＝5 π ]，所以 2、闭环采样控制系统 电路图： 闭环采样系统的开环脉冲传递函数为： 闭环脉冲传递函数为： 闭环采样系统的特征方程式为： 特征方程式的根与采样周期T 有关，若特征根的模均小于1，则系统稳定，若有一个特征根的模大于1，则系统不稳定，因此系统的稳定性与采样周期T 的大小有关。 三、仪器设备 PC机一台，TD-ACC+（或TD-ACS）教学实验系统一套。 四、内容步骤 1．准备：将信号源单元的“ST”的插针和“＋5V”插针用“短路块”短接。 2．信号的采样保持实验步骤 (1) 按图接线。检查无误后开启设备电源。 (2) 将正弦波单元的正弦信号(将频率调为2.5HZ) 接至LF398 的输入端“IN1”。 (3) 调节信号源单元的信号频率使“S”端的方波周期为20ms 即采样周期T = 20ms。 (4) 用示波器同时观测LF398 的OUT1 输出和IN1 输入，此时输出波形和输入波形一致。 (5) 改变采样周期，直到200ms，观测输出波形。此时输出波形仍为输入波形的采样波形，还未失真，但当T > 200ms 时，没有输出波形，即系统采样失真，从而验证了香农定理。 3．闭环采样控制系统实验步骤 (1) 按图接线。检查无误后开启设备电源。 (2) 取“S”端的方波信号周期T = 20ms。 (3) 阶跃信号的产生：产生1V 的阶跃信号。 (4) 加阶跃信号至r (t)，按动阶跃按钮，观察并记录系统的输出波形c (t)，测量超调量Mp。 (5) 调节信号源单元的“S”信号频率使周期为50ms 即采样周期T = 50ms。系统 实验一 离散系统稳定性分析 实验学时：2 实验类型：常规 实验要求：必作 一、实验目的： （1）掌握利用MATLAB 绘制系统零极点图的方法； （2）掌握离散时间系统的零极点分析方法； （3）掌握用MATALB 实现离散系统频率特性分析的方法； （4）掌握逆Z 变换概念及MATLAB 实现方法； （5）掌握用MATLAB 分析离散系统稳定性。 二、实验原理： 1、离散系统零极点图及零极点分析； 线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即 ()()N M i j i j a y n i b x n j ==-= -∑∑ （8-1） 其中()y k 为系统的输出序列，()x k 为输入序列。 将式（8-1）两边进行Z 变换的 00 ()()()() () M j j j N i i i b z Y z B z H z X z A z a z -=-== = = ∑∑ （8-2） 将式（8-2）因式分解后有： 11 () ()() M j j N i i z q H z C z p ==-=- ∏∏ （8-3） 其中C 为常数，(1,2,,)j q j M = 为()H z 的M 个零点，(1,2,,)i p i N = 为()H z 的N 个极点。 系统函数()H z 的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。 因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性： ● 系统单位样值响应()h n 的时域特性； ● 离散系统的稳定性； 离散系统的频率特性； 1.1、零极点图的绘制 设离散系统的系统函数为 ()()() B z H z A z = 则系统的零极点可用MA TLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为： p=roots(A) 其中A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p 则是包含多项式所有根的列向量。如多项式为231()4 8 B z z z =+ + ，则求该多项式根的MA TLAB 命令为为： A=[1 3/4 1/8]; P=roots(A) 运行结果为： P = -0.5000 -0.2500 需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z 的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按1z -的升幂次序排列。这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。 （1）()H z 按z 的降幂次序排列：系数向量一定要由多项式最高次幂开始，一直到常数项，缺项要用0补齐；如 3 4 3 2 2()3221 z z H z z z z z += ++++ 其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 0 2 0]、B=[1 3 2 2 1]。 （2）()H z 按1z -的升幂次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则0z =的零点或极点就可能被漏掉。如 1 1 2 12()11124 z H z z z ---+= + + 其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 2 0]、B=[1 1/2 1/4]。 用roots()求得()H z 的零极点后，就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。下面是求系统零极点，并绘制其零极点图的MA TLAB 实用函数ljdt()，同时还绘制出了单位圆。 function ljdt(A,B) % The function to draw the pole-zero diagram for discrete system p=roots(A); %求系统极点 q=roots(B); %求系统零点 p=p'; %将极点列向量转置为行向量 实用标准文案 § 5.4 离散时间系统状态稳定性及判别法 1. 离散时间系统的平衡状态(点) 设 0(1)(),(0),0,1,2,,x k Ax k x x k +===L (5.17) 称=e Ax 0的e x 为(5.17)的平衡状态(点). 当A 奇异时, 有无数个平衡状态. 2. 平衡状态(点)的稳定性 (1)稳定：?>?>0,0εδ,使当- 2 (2)渐近稳定：?>0δ, 使当- 实用标准文案 若0e x =渐近稳定，则e x 必为一致全局渐近稳定； 简单介绍0e x =稳定性条件 设(5.17)的解 ==k x k A x k 0(),0,1,2,L 则渐近稳定 ?→∞ →∞ -==k k k x k A x 0lim ()0lim 0(≠x 00), ?→∞ =k k A lim 0?-→∞ =k k TJ T 1 lim 0?→∞ =k k J lim 0 ?A 的所有特征值的模全小于1 ?A的所有特征值都位于复平面上的单位圆.其中J为A的若当形. 如 11 ...... k k k k r r J J J J J ???? ???? ==?? ?? ???? ???? 且再如 1122 11 1 10 0100 0000 k k k k k k k k k k k C C J C λλλ λ λλλ λλ -- - ???? ???? ==→ ???? ???? ???? ?? 4 摘要 现今数字信号处理理论与应用已成为一门很重要的高新科学技术学科，通过功能强大的MATLAB软件与数字信号处理理论知识相互融合在一起，既使我们对数字信号处理的理论知识能够有更加深厚的解也提高了动手能力，实践并初步掌握了MATLAB 的使用。 根据本次课题要求，通过使用MATLAB，方便了对系统函数的繁琐的计算，并且直观形象的用计算机进行模拟仿真，通过观察图，由图像的特征从而进一步的对系统进行形象的分析。 本课题中给出了系统函数，对其稳定性进行分析我们可以通过MATLAB画零极图观察极点的分布，另外还可以通过MATLAB分析系统的单位阶跃响应、单位脉冲响应、幅频相频特性的图形更加具体的对系统进行分析。 关键字：离散系统函数、MATLAB、零极点分布、系统稳定性。 一、设计原理 1.设计要求 （1）：根据系统函数求出系统的零极点分布图并且判断系统的稳定性。 （2）：求解系统的单位阶跃响应，并判断系统的稳定性。（3）：求系统的单位脉冲响应，并判断系统的稳定性 （4）：求出各系统频率响应，画出幅频特性和相频特性图（zp2tf,zplane，impz等） 2、系统稳定性、特性分析 进行系统分析时我主要利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图、单位脉冲响应图、单位阶跃响应图等。采用MATLAB 软件进行设计时我调用了软件本身的一些函数来对课题进行绘图和分析。诸如zplane、impz、stepz、freqz等。 对系统函数的零极图而言：极点在单位圆,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。当极点处于单位圆，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而收敛；当极点处于单位圆上，系统的冲激响应曲线为等幅振荡；当极点处于单位圆外，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。系统的单位阶跃响应若为有界的则系统为稳定系统。由以上的判据配合图形对系统的稳定性进行分析，达到我们的课程要求。 系统函数H（z）的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。 因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性： (1)系统单位样值响应h(n)的时域特性； (2)离散系统的稳定性； (3)离散系统的频率特性； 二、MATLAB绘图分析 MATLAB功能丰富，可扩展性强。MATLAB软件包括基本部分和专业扩展两大部分的功能。基本部分包括：矩阵的运算和各种变换；代数和超越方程的求解；数据处理和傅立叶变换；数值部分等等，可以充分满足大学理工科本科的计算需要。扩展部分称为工具箱。它实际上是用MATLAB的基本语句辩称的各种子程序 § 5.4 离散时间系统状态稳定性及判别法 1. 离散时间系统的平衡状态(点) 设 0(1)(),(0),0,1,2,,x k A x k x x k +=== (5.17) 称=e A x 0的e x 为(5.17)的平衡状态(点). 当A 奇异时, 有无数个平衡状态. 2. 平衡状态(点)的稳定性 (1)稳定：?>?>0,0εδ,使当- (2)渐近稳定：?>0δ, 使当- 若0e x =渐近稳定，则e x 必为一致全局渐近稳定； 简单介绍0e x =稳定性条件 设(5.17)的解 ==k x k A x k 0(),0,1,2, 则渐近稳定 ?→∞ →∞ -==k k k x k A x 0lim ()0lim 0(≠x 00), ?→∞ =k k A lim 0?-→∞ =k k TJ T 1 lim 0?→∞ =k k J lim 0 ?A 的所有特征值的模全小于1 ?A的所有特征值都位于复平面上的单位圆内. 其中J为A的若当形. 如 11 ...... k k k k r r J J J J J ???? ???? ==?? ?? ???? ???? 且再如 1122 11 1 10 0100 0000 k k k k k k k k k k k C C J C λλλ λ λλλ λλ -- - ???? ???? ==→ ???? ???? ???? ?? 实验二离散控制系统分析方法 一、实验目的 利用MATLAB对各种离散控制系统进行时域分析。 二、实验指导 1．控制系统的稳定性分析 由前面章节学习的容可知，对线性系统而言，如果一个连续系统的所有极点都位于s平面的左半平面，则该系统是一个稳定系统。对离散系统而言，如果一个系统的全部极点都位于z 平面的单位圆部，则该系统是一个稳定系统。一个连续的稳定系统，如果所有的零点都位于s平面的左半平面，即所有零点的实部小于零，则该系统是一个最小相位系统。一个离散的稳定系统，如果所有零点都位于z平面的单位圆，则称该系统是一个最小相位系统。由于Matlab提供了函数可以直接求出控制系统的零极点，所以使用Matlab判断一个系统是否为最小相位系统的工作就变得十分简单。 2．控制系统的时域分析 时域分析是直接在时间域对系统进行分析。它是在一定输入作用下，求得输出量的时域表达式，从而分析系统的稳定性、动态性能和稳态误差。这是一种既直观又准确的方法。 Matlab提供了大量对控制系统的时域特征进行分析的函数，适用于用传递函数表示的模型。其中常用的函数列入表1，供学生参考。 例1．z z z H 5.05 .1)(2+= 试绘出其单位阶跃响应及单位斜波输入响应。 解：为求其单位阶跃响应及单位斜波输入响应，编制程序如下： num=[1.5]; den=[1 0.5 0];sysd=tf(num,den,0.1) [y,t,x]=step(sysd); subplot(1,2,1) plot(t,y); xlabel('Time-Sec'); ylabel('y(t)'); gtext('单位阶跃响应') grid; u=0:0.1:1; subplot(1,2,2) [y1,x]=dlsim(num,den,u); plot(u,y1) xlabel('Time-Sec'); ylabel('y(t)'); gtext('单位速度响应') grid 二、 实验容 1、MATLAB 在离散系统的分析应用 对于下图所示的计算机控制系统结构图1，已知系统采样周期为T=0.1s ，被 实验四离散系统的稳定性分析 1.实验目的 1．掌握香农定理，了解信号的采样保持与采样周期的关系。 2．掌握采样周期对采样系统的稳定性影响。 2.实验设备 PC 机一台，TD-ACC+(或TD-ACS)教学实验系统一套。 3.1实验原理及内容 本实验采用“采样－保持器”LF398 芯片，它具有将连续信号离散后以零阶保持器输出信号的功能。其管脚连接图如 5.1-1 所示，采样周期 T 等于输入至 LF398 第 8 脚 (PU) 的脉冲信号周期，此脉冲由多谐振器 (由 MC1555 和阻容元件构成) 发生的方波经单稳电路 (由 MC14538 和阻容元件构成) 产生，改变多谐振荡器的周期，即改变采样周期。 图 5.1-2 是 LF398 采样－保持器功能的原理方块图。 1．信号的采样保持：电路如图 5.1-3 所示。 连续信号 x(t) 经采样器采样后变为离散信号 x*(t)，香农 (Shannon) 采样定理指出，离散信号 x*(t)可以完满地复原为连续信号条件为： 2．闭环采样控制系统 (1) 原理方块图 图 5.1-4 所示闭环采样系统的开环脉冲传递函数为： 从式(5.1-4) 知道，特征方程式的根与采样周期T有关，若特征根的模均小于1，则系统稳定，若有一个特征根的模大于1，则系统不稳定，因此系统的稳定性与采样周期T的大小有关。 3.2实验步骤 1．准备：将信号源单元的“ST”的插针和“＋5V”插针用“短路块”短接。2．信号的采样保持实验步骤 (1) 按图 5.1-3 接线。检查无误后开启设备电源。 (2) 将正弦波单元的正弦信号 (将频率调为 2.5HZ) 接至 LF398 的输入端 “IN1”。 (3) 调节信号源单元的信号频率使“S”端的方波周期为 20ms 即采样周期 T = 20ms。 (4) 用示波器同时观测 LF398 的 OUT1 输出和IN1 输入，此时输出波形和输入波形一致。 (5) 改变采样周期，直到 200ms，观测输出波形。此时输出波形仍为输入波形的采样波形，还未失真，但当 T > 200ms 时，没有输出波形，即系统采样失真，从而验证了香农定理。 3．闭环采样控制系统实验步骤 (1) 按图 5.1-5 接线。检查无误后开启设备电源。 (2) 取“S”端的方波信号周期 T = 20ms。 (3) 阶跃信号的产生：产生 1V 的阶跃信号。 (4) 加阶跃信号至 r (t)，按动阶跃按钮，观察并记录系统的输出波形 c (t)，测量超调量 Mp。 (5) 调节信号源单元的“S”信号频率使周期为 50ms 即采样周期 T = 50ms。系统加入阶跃信号，观察并记录系统输出波形，测量超调量 Mp。 (6) 调节采样周期使 T = 120ms，观察并记录系统输出波形。 极点对系统性能影响 一．控制系统与极点 自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。 系统的数学模型一般由系统传递函数表达。传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。记作Φ（s）=Xo（s）/Xi（s），其中Xo（s）、Xi（s）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。 使传递函数分母等于零即得到系统的特征方程， 特征方程的根称为极点。如试Φ﹙S﹚= C [∏（S-Pi）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 ……Qi ……即为系统的极点。 二．极点对系统的影响 极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。下面对连续系统与离散系统分别进行分析： ⑴连续系统 理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式 设系统函数为： 将H(S)进行部分分式展开： 系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。 稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi ）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为 …… 1212()n s t s t s t n y t C e C e C e =+++L 0()0 ()0()0()t s y t y t Ce y t y t t ααααα=<→?? ===??>→∞ ?→∞（1）只有一个实根：时，时，恒量时，()()121()0cos()00j t j t t s j y t C e C e C e t t αωαωααωαω?αα+-=±=+? →∞ （2）有一对复根：时，收敛时，等幅振荡 时，发散 系统的稳定性以及稳定性的几种定义 一、系统 研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。 二、系统的稳定性 一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励|f(·)|≤Mf ，其零状态响应|yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。 三、连续（时间）系统与离散(时间)系统 连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。系统的激励和响应均为连续信号。 离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。系统的激励和响应均为离散信号。 四、因果系统 因果系统 (causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。 判定方法 对于连续时间系统： t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。 特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(t)，在t≤t1的条件下，h(t)=0，则此系统为因果系统； 对于离散时间系统： n=n1的输出y(n1)只取决于n≤n1的输入x(n≤n1)时，则此系统为因果系统，特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(n)，在n≤n1的条件下，h(n)=0，则此系统为因果系统。 举例说明 函数：1.y(t)=x(sin(t)) 不是因果系统，因为y(-π)=x(0), 表明y(t)在一段时间内可能取决于未来的x(t)。 2.y（t）=x（t）cos（t+1)是因果系统，cos（t+1)是时变函数，相当于一个已知的函数波形，所以x（t）的当前值影响了y（t）的当前值。 五、连续系统稳定性与离散系统稳定性的充分必要条件（证明见教材） （1）连续系统稳定的充分必要条件 § 5.4 离散时间系统状态稳定性及判别法 1. 离散时间系统的平衡状态(点) 设 0(1)(),(0),0,1,2, ,x k Ax k x x k +===(5.17) 称=e Ax 0的e x 为(5.17)的平衡状态(点). 当A 奇异时, 有无数个平衡状态. 2. 平衡状态(点)的稳定性 (1)稳定：?>?>0,0εδ, 使当- (4)不稳定：?>00ε, 无论δ 多小正数, 总有>k 10, 使 ->e x k x 10()ε 对定常系统, 渐近稳定 全局一致渐近稳定. 3.稳定性判别 对定常系统(1)()x k Ax k += 若0e x =稳定(渐近稳定)，则其它e x 也稳定(渐近稳定)； 若0e x =渐近稳定，则e x 必为一致全局渐近稳定； 简单介绍0e x =稳定性条件 设(5.17)的解 ==k x k A x k 0(),0,1, 2, 则渐近稳定 ?→∞ →∞ -==k k k x k A x 0lim ()0lim 0(≠x 00), ?→∞ =k k A lim 0?-→∞ =k k TJ T 1 lim 0?→∞ =k k J lim 0 ?A的所有特征值的模全小于1 ?A的所有特征值都位于复平面上的单位圆内.其中J为A的若当形. 如 11 ...... k k k k r r J J J J J ???? ???? ==?? ?? ???? ???? 且再如离散系统的稳定性分析
离散系统稳定性分析
离散系统稳定性判据
判断系统稳定性
离散时间系统状态稳定性及判别法
离散控制系统分析方法
离散系统的稳定性分析
极点与系统稳定性
系统的稳定性以及稳定性的几种定义
离散系统稳定性判据