(完整版)概率论与数理统计试题及答案.doc

2008－ 2009 学年第1学期

概率论与数理统计(46 学时 ) A

一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。

1、 A、 B 为两个随机事件，若P( AB)0 ，则

（ A） A、 B 一定是互不相容的；（B）AB一定是不可能事件；

（C） AB 不一定是不可能事件；（D）P( A)0或 P(B)0 .

Y 0 1 2

2、二维离散型随机变量( X ,Y)的分布律为X

1 1/6 1/3 0

2 1/4 1/6 1/12

F ( x, y) 为 ( X ,Y) 的联合分布函数，则F (1.5,1.5)等于

（A）1/6 ；（B）1/2 ；

（C）1/3 ；（ D）1/4.

3、 X、 Y 是两个随机变量，下列结果正确的是

（A）若E( XY)EXEY ,则X、Y独立；

（B）若 X、Y 不独立 , 则 X、Y 一定相关；

（C）若 X、Y 相关, 则 X、Y 一定不独立；

（D）若D(X Y) DX DY ,则X、Y独立.

4、总体 X ~ N ( , 2 ), , 2均未知， X 1, X 2 ,L , X n 为来自 X 的一个简单样本，

X 为样本 均值， S 2 为样本方差。若 的置信度为 0.98的置信区间为 (X c S n , X c S n ) ，

则常数 c 为

（ A ）

t 0.01 (n 1) ；

（ ） 0.01 (n) ；

B t

（ C ）

t

0.02

(n 1) ；

（ ）

(n) .

D t 0.02

5、随机变量 X 1, X 2 ,L , X n 独立且都服从 N (2,4)

__

1 n

分布，则 X

X i 服从

n i

1

（A ） N (0,1) ；

（B ） N (2,4 n) ；

（C ） N (2 n, 4n) ；

（D ） N(2, 4

) .

n

二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。

6、已知 A 、 B 为两个随机事件 ，若 P( A) 0.6, P( AB) 0.1,则 P( A | AB) =1.

7、已知随机变量 X 服从区间 (0, 2) 上的均匀分布，则 E(2X) =（ ）.

8、已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f (x)

2 x,0 x 1

，则概率 P(| X | 1 2) =

0,其它

（ ） .

9、随机变量 X : b(3, 1 ), Y : b(3, 2 ) ,且 X ,Y 独立，则 D(X Y) =（

） .

3

3

10 、 已 知 随 机 变 量 X i , i 1,2,3 相互独立，且都服从 N(0,9)分布，若随机变量

Y a( X 12

X 22 X 32) :

2

(3) ，则常数 a =（ ）.

三、解答题（本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）。

11、已知一批产品中有 95% 是合格品，检验产品质量时，一个合格品被判为次品的概率

为 0.04 ，一个次品被判为合格品的概率为 0.02 ， 从这批产品中任取一个产品，求其被判为合格品的概率。

12、已知离散型随机变量 X 的分布律为

X

-1

1

1

1 P 2a 4 a

4

（1）求常数 a ；

（2）求 X 的分布函数 F ( x) .

13、设连续型随机变量 X 的分布函数为：

F ( x)

1 e x ， x 0

2 Ae x , x

B 0

（1） 求常数 A, B ；（2）求 X 的概率密度函数 f ( x) .

14、二维连续型随机变量(X , Y)的概率密度函数为 f ( x, y) a, 0 x 1,| y | x ，

0, 其它（ 1）求常数a；（ 2）求概率P( X2 Y) .

15、某种清漆的干燥时间（单位：小时）X : N (8, 2 ) ,0 ，且由以往观测的

数据可知，此种清漆的干燥时间在8 至 10 小时之间的概率为0.2881 ，已知

(0.8) 0.7881 ，

（1）求的值；

（2）求此种清漆的干燥时间不超过 6 小时的概率。

x

x2 16、总体 X 的概率密度函数为 f (x) e 2 , x 0 ，其中

0 是未知参数，

0,其它

X1 , X 2 ,L , X n是来自 X 的一个简单样本，求的最大似然估计量 .

四、解答题（本大题共 1 个小题， 5 分）。

17、已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 e x , x

f ( x)

，若随机变量

0,其它

1, X 1

Y0, 1 X

2 ,求 EY. 1, X

2

五、证明题（本大题共 1 个小题， 5 分）。

18、随机变量 X , Y 都服从 (0-1) 0 1 分布，即 X 的分布律为

, Y 的分布律为

1 p 1

p 1

0 1 p 1, p 2 1 . 证明： X 、Y 不相关是 X 、 Y 独立的充要条件。

1 p 2

,其中0

p 2

2009－ 2010 学年 第 1 学期

概率论与数理统计

A 卷

一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。 1、抛两颗均匀骰子，若已知两骰子出现的点数和为 5，则其中有一颗骰子出现的点数

是 3 的概率为 （A ）1/9 ； （B ）1/2 ； （C ）1/18 ； （D ）1/4.

2、事件 A 、B 独立，且 P(B)

0 ，则下列命题不正确的是

__

（ B ） __ __ 独立； （C ） __ __ __

（A ） 、 独立；

、 P( A| B) P( A)

； （ ）

A B

A B D P(A| B) P(B) .

3、设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) ，则 P( X a) 等于

（A ） F (a) ；

（ B ）

_

；

（ ） ；

（ ） _

F (a )

C 0

D F (a) F ( a ) .

4、随机变量 X 、Y 相互独立，且 X : N (1,1)， Y : N (3,2) ，则 D(3 X

Y 2) 等于

（A ）3；

（B ）7； （C ）11； （D ）14.

5、设总体 X : N (0,1) ，

， ， ， a( X 1 X 2 )

，

X 1 X 2 X 3 X 4是来自 X

的一个简单样本，若

X 32 :

t(2)

X 42

则常数 a 是

（A ）1；

（B ） 2 ； （C ）1/2 ； （D ）1 2 .

二、填空题（本大题共

5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。

X 1 0 1 2

2 X

1) =

6、已知离散型随机变量 X 的分布律为

0.2 0.3 0.1

，则概率 P(

P

0.4

（

）

7、若二维随机变量 ( X ,Y) 服从区域 {( x, y) : 0 x 1,0 y

2} 上的均匀分布，则 ( X ,Y) 的

联合密度函数 f ( x, y) =（

）

8、 X 、 Y 为两个随机变量，且 3X Y 1，则

XY

（ ）

9、一系统由 100 个独立工作的部件构成，各个部件损坏的概率都为 0.1，已知必须有

87 个以上的部件完好，才能使整个系统正常工作。由中心极限定理，整个系统不能

正常工作的概率近似为（） .（已知(1) 0.8413）.

10、已知某木材横纹抗压力X : N ( , 2 ) （单位：公斤/平方厘米），现随机抽取X的

_

一个容量为 9 的样本，测得样本均值 x 457.5 ，样本标准差 s 30.3 ，则的置信度为0.95 的置信区间为（）（已知 t0.025(8) 2.31 ， t 0.025 (9) 2.26 ，t 0.05 (8) 1.86 ）.

三、解答题（本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）。

11、某工厂有三种机床：钻床、磨床和刨床，它们的台数之比为5：3：2，它们在一定的期

限内需要修理的概率分别为0.1 ，0.2 ，0.3. 期限到后，随机抽检一台机床，发现其需要修理，求这台机床为钻床的概率。

ax2 , 0 x 1

12、已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f (x) 2 x, 1 x 2 ，

0, 其它

（ 1）求常数a；（ 2）求概率P(1 2 X 3 2) .

0, x 0

13、已知连续型随机变量X 的分布函数为

F ( x)

，

0 x 1/ 9 ，

A x

B, x 1/ 9

（1）求常数A, B；（2）求概率P(0 X 1 16) ；（3）求X的概率密度函数 f ( x) .

14、已知二维连续型随机变量( X ,Y) 的联合概率密度函数为

6xy , 0 y 1, y 2 x 1

，

f ( x, y)

0, 其它

（1）求概率P( X Y) ；

（2）求出边缘密度函数 f X ( x), f Y ( y) ，并判断 X ,Y 是否相互独立。

15、已知二维离散型随机变量(X , Y) 的联合分布律为

Y

-1 0 1 2

X

-1 0.1 0.05 0.05 0.1

0 0.1 0.15 0 0.05

1 0.05 0.05 0.15 0.15

（1）分别求出( X ,Y)关于 X 、Y 的边缘分布律；（ 2）求Cov( X ,Y) .

16、已知总体 X 的概率密度函数 f ( x) e ( x 5) , x 5，其中

0 是未知参数，

0 , x 5

X1 , X 2 ,L , X n是来自总体 X 的一个简单样本,求的最大似然估计量 .

n

对数似然函数ln[ L( )] n ln ( x i 5)...................................... (5')

i 1

令 d ln[ L( )] n n

0 (x i 5) 0.................................................. (8')

d i 1

的最大似然估计量^ n ................................................... (10') n

( X i 5)

i 1

四、解答题（本大题共1个小题， 5分）.

17、过点(0, b)随机作一条直线， Y 表示坐标原点到所作直线的距离，求EY .

五、证明题（本大题共 1 个小题， 5 分）。

18、 X 为连续型随机变量，随机变量Y e X,0 , 若 EY 存在，证明：对任何实数 a ，都有 P( X a) e a E(e X).

2011－ 2012 学年第1学期

概率论与数理统计 A 卷

一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） .

1. 设 A, B 为两个随机事件，其中 0 P( B) 1，若 P(A| B)=P(A | B) ,则必有

（A）事件A B ；（B）事件A, B互不相容；

（C）事件B A ；（D）事件A, B相互独立 .

0, x 0

2. 设随机变量 X 的分布函数为F ( x)

1 2, 0 x 1

1) 等于

2 3, 1 x

，则 P(X

3

1, x 3

（A）2/3 ；（B）1/2 ；（C）1/6 ；（D）0.

3. 设 X 服从区间(0,5)上的均匀分布，则关于 t 的一元二次方程4t2 4 Xt X20有

实根的概率为

（A）0.6 ；（B）0.4 ；（C）0；（D）1.

4. 随机变量 X 和 Y 独立同分布，方差存在且不为0.记U X Y , V X Y , 则

(A) U 和V一定不独立；(B) U 和V一定独立；

(C) U 和V一定不相关；(D) 以上选项都不对 .

5.总体 X 的分布为N (0,1)，X1,L , X5为取自 X 的简单样本，则下列选项不正确的是

(A) 2 X1 ~ t(4) ；(B) 2 X12 X 22 X 32 ~ F (2,3) ；

X 22 L X52 3 X42 X 52

(C) X1 L

X

5 ~ N (0,1) ；(D) X

1

2 ( X 2 X3)2 ~ 2(2) .

5 2

二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）.

6．设A, B为随机事件，P( A) 0.5, P( A B) 0.2 ，则 P( AB) =（）.

0, x 1

7. 设连续型随机变量 X 的分布函数为F ( x) k(arcsin x 2), 1 x 1，则常数k =

1, x 1 （）.

8．已知X , Y相互独立 , DX 4,DY 1,则 D(2X Y) =（） .

9．随机从一批香烟中抽取16 包测其尼古丁含量的毫克数，从抽取的样本算得样本均

值 x 25.5 ，样本标准差s 2.4 .设香烟中尼古丁含量的分布是正态的，则总体均值

的置信度为 95%的置信区间为（）．

（已知 t 0.025 (16) 2.1199 ， t 0.025 (15) 2.1315 ， t0.05 (15) 1.7531 ）

10．某保险公司接受了某辖区内600 辆电动自行车的保险，每辆每年的保费为50 元．若车丢失，则得赔偿车主 1000 元．假设车的丢失率为1 25 . 由中心极限定理，保险公司这

年亏损的概率为（）．（已知 (1.25) 0.8944, (2.5) 0.9938 ）

三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分） .

11．某商店购进甲厂生产的产品20 箱,乙厂生产的同种产品15 箱, 有一等品 74 个，二等品 6 个；乙厂每箱装有一等品95 个，二等品其中甲厂每箱装

5个.从这35箱中任取一箱 , 从中任取一个， (1) 求取到二等品的概率； (2) 若取到二等品，问这个二等品

来自甲厂的概率．

12．设随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) ax b , 0 x 1 ,且P(X 1 2) 1 8，求：（1）

0, 其它

常数 a, b; （2）设 Y e2 X，求Y的概率密度函数f Y ( y) .

13. 二维随机变量( X ,Y)的联合密度函数为：

4x2 , 0 x 1,0 y x f (x, y) ,

0, 其它

2

求：（1）P(Y X ) ；（2） ( X ,Y) 关于X的边缘密度函数 f X ( x) ；

14. 设随机变量 Y 在区间 (0,3) 上服从均匀分布，随机变量

X k

0, Y k

1, Y ,k 1,2 .

k

求：（1） ( X 1, X 2 ) 的联合分布律；（2） ( X 1, X 2) 的相关系数 X 1X 2 .

15. 据以往经验，某种能力测试的得分服从正态分布 N (62, 25) ，随机抽取 9 个学生参

与这一测试，他们的得分记为

1

9

62 | 2) ；（2）

X 1,L , X 9 ，设 X

X i . （1）求 P(| X

9 i

1

若得分超过 70 分就能得奖，求至少一个人得奖的概率 .( 结果用标准正态分布的分布函

数 ()表示)

16．设总体 X 的概率密度函数为

x

f ( x) =

1

e , x 0

，

,

其它

其中 (

0) 是未知参数 . 设

X 1,L , X n 为该总体的一个容量为

n

的简单样本 （ ）求

. 1

的最大似然估计量 $ ；（2）判断 $

是否为 的无偏估计量 .

四、解答题（本大题共 1个小题， 5分）.

17．设随机变量 X 在区间 [ - , ] 上服从均匀分布，求 E[min(| X |,1)] .

五、应用题（本大题共 1个小题， 5分）.

18. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作 . 若一周 5 个工作日里无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获利润 5 万元；发生二 次故障所获利润 0 万元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元 . 求这部机器在一

周内产生的期望利润（结果保留到小数点后面两位） .

2008－ 2009 学年 第 1 学期

概率论与数理统计

(46 学时 ) A 卷评分标准

一、单项选择题

1（ C ） 2（B ）3（C ）4（A

）5（ D ）

二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。 6、1. 7 、2.

8、1 4.

9、 4

. 10、1 9 .

3

三、解答题（本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）。

11、解： A 1 : 取到合格品； A 2 : 取到次品； B : 被判为合格品 。

P(B) P( B | A 1)P(A 1) P(B | A 2 ) P( A 2 ).................................... (5') (1 0.04) 95% 0.02

5%........................................................

(9')

0.913...........................................

...............................................

(10')

12、解 : （ 1）由分布律的性质可得 2a 1 (a 1) 1............................................

(4')

4

4

a

1

......................................................................................

(5')

6

（2）由（ 1）知 X 的分布律为

X -1 0 1

1

1 5 P

3

4

12

......................................................................

(6')

由分布函数的定义可得

0, x 1

1 , 1 x

F ( x)

P( X x)

3

(10')

7

(x)

1

, 0

12

1,

x 1

13、解：（ 1）由分布函数性质：

F (0 ) F(0 ) B A 1 2 ...............................................................(2')

F (

) 1 B

1................................................................................

(4')

因此可得 A 1/ 2,B 1.........................................................................

(5')

（2）代入 A, B 的值，可得

1

e x ，x 0 F (x)

2 ................................................................(6')

1 1

e x , x

2

故

dF ( x) f (x)

dx

1

e x ，x 0 2

.........................................................(10') 1 e x

, x 0 2

14、解：（1）由题意

f ( x, y)dxdy

1

1 x

..........................................

(3')

adx dy 1

R R

x

1

1 a 1........................................................

(5')

可以得到 a 2xdx

（2）把 a 1 代入密度函数

P(X 2

Y )

f ( x, y)dxdy................................................. (7')

x

2

y

1 x

1 x

2 )dx....................................................

(9')

dx x 2 dy

( x

1

................................................

(10')

6 ........................................

15、解：（1）由题意

P(8 X 10) 0.2881

P

8

8X8108 0.2881.............. (2')

即

2

0.2881

2

..................................

(4') (0) 0.7881

2.5...................................................................................... (5')

（2）所求概率

P( X 6) X

8

6

8

2

.........................................

(8') P

1

2

0.2119........................................................................

(10')

n

x

2

16、解： 似然函数为 L( )

x e 2 ...........................................................

(2')

i 1

n

1 n

对数似然函数 ln[ L( )]

ln x i n ln

x i 2 ............................. (4')

i 1

2

i 1

令 d ln[ L( )]

n

1 n

x i 2

0....................................................

(8')

d

2 2 i 1

n

2

^

x

i

的最大似然估计量

i 1

................................................................

(10')

2n

四、解答题（本大题共 1 个小题， 5 分）。

17、解： 由数学期望的定义

EY1 P(X 1) 0 P(1 X

2) 1 P(X

2)

P( X

1) P( X

2)..................................................................

(3') 1 x dx

e x dx

e 2

e 1 1............................................... (5')

e 0

2

五、证明题（本大题共 1 个小题， 5 分）。

18、证明：必要性：若 X 、Y 独立，显然 X 、Y 不相关； ...........................

(1')

充分性：若 X 、Y 不相关，则有 E( XY ) EXEX ,

又 E(XY )

P( XY 1) P( X 1,Y 1) ，

EXEY

P( X 1)P(Y 1)

从而 P(X

1,Y 1) P(X

1)P(Y 1)

p 1 p 2 ...................................... (3')

由此可得 ( X ,Y) 的联合分布律为

Y

1

X

(1 p 1 )(1 p 2 )

(1 p 1 ) p 2

1

p1 p2

(1 p2 ) p1

................................................ (4') 因此，由离散型随机变量独立的定义可得X、Y 独立。.............(5')

2009－ 2010 学年第1学期

概率论与数理统计 A 卷评分标准一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。

1（B ） 2（D）3（D ）4（C ）5（A ）

二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。

6、0.5.

1/2, 0 x 1,0 y 2

8、-1. 9、0.1587. 7、

0, 其它

.

10、(434.169,480.831)

三、解答题（本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）。

11、解：设 B : 此机床需要修理；A1:取到钻床；A2 : 取到磨床； A3 : 取到刨床,所求概率

P( A1 | B)

P( A1B)P(B | A1)P(A1)

.......................................... (6') P(B) 3

P(B | A i ) P( A i )

i 1

0.1 5

10 ............................................................ (9')

5 3 2

0.1 0.2 0.3

10 10 10

5 17...............................................................................................

(10')

12、解：（ 1）由密度函数的性质

f (x)dx 1............................................................................. (2')

1 2

x) dx 1 a 1 1...................................... (4') 即ax2 dx (2

0 1 3 2

故 a

3 2..................................................................................... (5')

（2）由题意

3

P(1 2 X

3 2)

1

2

f (x)dx.................................................... (7')

2

1 3

3

2 dx

2

(2 x)dx...........................................................

(9')

1x

2

2

1

13 16...............................

..................................................... (10')

13、.解：（ 1）由分布函数的性质

F(19 ) F(19 ) A 3 B.......................................................... (1')

F ( )

1 B

1..........................................................................

(2')

因此可得

A 3,

B 1.....................................................................

(3')

（2）由分布函数的性质

P(0 X

1 16) F (1 16)

F (0) 3 4.............................................. (6')

（3）由密度函数的定义

dF ( x)

3

1 2

，

1

f (x)

x

x

.............................................

(10')

2

9

dx

0,

其它

14、解：（ 1）由题意

P( X

Y)

f ( x, y)dxdy......................................................... (2')

{ x y}

1

y

1 3(y 3 y 5 )dy................................................

dy y 2

6xydx

(4') 1

..............................................................

(5') 4 ...............................

（2）由题意

x

0 x

1

3x 2 , 0 x 1

f X ( x)

6 xydy , 0

0, 其它

..................(7 ')

0,

其它

1

6xydx , 0 y

1

3 y(1 y

4 ), 0

y 1

f Y ( y)

2

y

...........(9')

0,

其它

0,

其它

因 f ( x, y )

f X ( x) f Y ( y) ，故 X ,Y 不独立 .................................(10')

15、解：（ 1）由题意

X 1 0 1 .......................

(2') ( X ,Y) 关于X的边缘密度函数为

0.3 0.3 0.4

P

( X ,Y) 关于Y的边缘密度函数为

Y 1 0 1 2

P 0.25 0.25 0.2 ............(5')

0.3

（2）由（ 1）可得EX 0.1,EY

0.55.................................................... (7')

2 1 0 1 2

，故 E( XY ) 0.25 (9')

又 XY 的分布律为

0.1 0.4 0.25

0.1 0.15

因此 Cov ( X ,Y) E( XY ) EXEY 0.195

............................................... (10')

16、解：似然函数为

n

( x i

5) .........................................................

L( ) e (3')

i 1

n

对数似然函数ln[ L( )] n ln ( x i 5)...................................... (5')

i 1

令 d ln[ L( )] 0 n n (x i 5) 0..................................................

(8')

d i 1

的最大似然估计量^ n ...................................................

(10') n

( X i 5)

i 1

四、解答题（本大题共1个小题， 5分）.

17、解：设随机直线和 X 轴正向的夹角为，则 : U (0, ).......................... (2')

坐标原点到直线的距离 Y | bcos | ..................................................... (3')

故 EY E(| b cos |) |b | | cos |d 2 | b |

....................................... (5')

五、证明题（本大题共 1 个小题， 5 分）。

18、证明：设 X 的概率密度函数为 f ( x)，则

P(X a) f (x)dx.................................................................. (1')

{ x a}

e x

f (x)dx e a e x f (x) dx.............................................. (4')

{ x a} e a

e a E( e X ) ............

......................................................................... (5')

2010－ 2011 学年第2学期

概率论与数理统计A 卷评分标准

一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。

1（C）2（A）3（D）4（B）5（C）

二、填空题（本大题共5小题，每小题 3分，共 15分）。

6、0.58.

7、1/9.

8、20.

9、-1.

10、（ 1.57711 ，2.83289 ）.

三、计算题（本大题共 6 小题，每小题10 分，共 60 分）。类人，则所求概

11、解：设 B : 某保险人在一年中没出事故；i

, i 1,2,3

A :保险人为第i

率为

P(A1 B) P(B | A1)P(A1) ...........................................

(6') P(A1 |B)

P(B) 3

P(B | A i ) P( A i )

i 1

0.95 20% ................................................. (9')

0.95 20% 0.85 50% 0.7 30%

38 165.............................................................................................. (10') 12、解：（1）由密度函数的性质

P(1 X 2) 2 2 e1 x dx...................................

(4')

1 f (x)dx

1

1 e 1 ................................................................................ (5') （ 2）由数学期望的定义

E(e 2 X ) e 2 x e1 x dx 1 e 2 ............................................ (10')

1 3

13、解：（ 1）由分布函数的性质

F(0+) F (0 ) 1 A 0 A

1.............................................................. (3') （ 2）由分布函数的性质

P(1 X 3) F (3) F (1) 2e 1 4e 3 ......................................................... (6')

dF (x) xe

x

, x 0

..............................................

(10')

（ 3）由密度函数的定义 f ( x)

dx 0 ,其它14、解：（ 1）由题意