继电保护算法分析

继电保护算法分析

1 引言

根据继电保护的原理可知，微机保护系统的核心内容即是如何采用适当而有效的保护算法提取出表征电气设备故障的信号特征分量。图1是目前在微机保护中通常采用的提取故障信号特征量的信号处理过程。

从图中可以看出，自故障信号输入至A/D 输出的诸环节由硬件实现，在此过程中故障信号经过了预处理（如由ALF 滤除信号中高于5次的谐波分量），然后通过保护算法从中提取出故障的特征分量（如基波分量）。很明显，只有准确且可靠地提取出故障的特征量，才能通过故障判据判断出是否发生了故障，是何种性质的故障，进而输出相应的保护动作。因此计算精度是正确作出保护反应的重要条件。就硬件部分而言，为了减少量化误差，通常采用12位甚至16位A/D 转换芯片；而就保护算法而言，提高精度除了与算法本身的性能有关，还与采样频率、数据窗长度和运算字长有关。目前针对故障特征的提取有许多不同类型的保护算法，本课题研究的是电动机和变压器的保护，根据相应的保护原理，主要涉及基于正弦量的算法和基于序分量过滤器的算法。本章将对其中几种较典型的算法作简要介绍和分析。 2 基于正弦量的特征提取算法分析 两点乘积算法

设被采样信号为纯正弦量，即假设信号中的直流分量和高次谐波分量均已被理想带通滤波器滤除。这时电流和电压可分别表示为：

)sin(20i t I i αω+=

故障

图1 故障信号特征的提取过程

和 )sin(20u t U u αω+= 表示成离散形式为：

)sin(2)(0i S S k T k I kT i i αω+== （1） )sin(2)(0u S S k T k U kT u u αω+== （2）

式中，ω为角频率，I 、U 为电流和电压的有效值，S T 为采样频率，0i α和0u α为电流和

电压的初相角。设1i 和2i 分别为两个相隔2

π

的采样点1n 和2n 处的采样值（图2）,即： 212π

ωω=-S S T n T n

由式（1）：

10111sin 2)sin(2)(i i S S I T n I T n i i ααω=+== （3） )sin(2)(0222i S S T n I T n i i αω+==

101cos 2)2

sin(2i i S I T n I ααπ

ω=++

= （4）

式中011i S i T n αωα+=为第n 1个采样时刻电流的相位角。

将式（3）和式（4）平方后相加可得：

2

22122i i I +=

由此可求得电流的有效值为：

2

2

2

21i i I +=

将式（3）和式（4）相除可求得S T n 1时刻的电流相位为：

kT S

图2 两点乘积算法的采样

2

11i i arctg

i =α 同理，由式（2）可得：

11sin 2u U u α= （5） 12cos 2u U u α= （6）

类似于电流的情况，由式（5）和式（6）可得：

2

2

1u u U +=

2

1

1u u arctg

u =α 式（3）～（6）表明，若输入量为纯正弦函数，只要得到任意两个相隔

2

π

的瞬时值，就可以计算出其有效值和相位。为了避免涉及三角函数，在计算测量阻抗时可采用复数法，即把电流和电压表示为：

1

1

1

1sin cos sin cos i i i i jU U U jI I I α

ααα+=+=

利用式（3）～（6）得：

1

21

2

ji i ju u I U Z ++== （7） 由式（7）可求得测量阻抗的电阻分量和电抗分量为：

2

2212

211i i u i u i R ++=

（8） 2

2

212

112i i u i u i X +-=

（9） 式（8）和式（9）中用到了两个采样点的乘积，故称为两点乘积算法。

该算法使用了两个相隔

2π

的采样值，即算法本身所需的数据窗长度为4

1周期，在工频场合该长度为5mS ，这即是算法的响应时间。文献表明，用正弦量任何两点相邻的采样值都可以计算出有效值和相位角，亦即理论上两点乘积算法本身所需的数据窗可以是

很短的一个采样间隔，但事实上由于此时的算法公式将比前者复杂得多，实际应用中由于实现算法所需的运算时间加长反而抵消了采样间隔的缩短。此外，由于算法所针对的是纯正弦量，实际的故障信号很难满足这一要求，可见算法的精度严重依赖于信号波形的正弦度。因此，尽管算法本身没有理论误差，但为了使信号尽可能接近于正弦，必须通过数字滤波的方法先滤除信号中的高频分量，这将额外地增加很大的运算工作量，使实际的算法响应时间大大超过理论值。 导数算法

设电流和电压分别为：

)

sin(2)sin(200u i t U u t I i αωαω+=+=

则1t 时刻的电流和电压分别为：

1011sin 2)sin(2i i I t I i ααω=+= （10） 1011sin 2)sin(2u u U t U u ααω=+= （11）

式中011i i t αωα+=，011u u t αωα+=。 而1t 时刻电流和电压的导数分别为：

11

cos 2i I i αω=' 或 11

cos 2i I i αω

=' （12） 11

cos 2u U u αω=' 或 11

cos 2u U u αω

=' （13）

由式（10）～（13）可得：

基波有效值 2

1

2121??

? ??'+=ωi i I （14） 2

1

2121??

? ??'+=ωu u U （15）

阻抗分量 2

12111

11?

?

?

??'+'?

'+

=

ωωωi i u i i u R （16）

2

1211

1

1

1

?

?

? ??'+'-'=

ωωω

i i u i i u X （17） 可见，只要获得了电流电压在某一时刻的采样值和在该时刻的导数，就可以计算出相应的电流电压基波有效值、相位和阻抗。在微机的离散系统中，无法通过采样直接得到该点的导数，为此，可取t 1为两个相邻采样时刻k 和k +1的中间时刻，用差分近似表示该时刻的导数（图3）。即：

)(1

11

+-='k k S

i i T i （18） )(1

11

+-='k k S

u u T u （19） 这实际上是用直线ab 的斜率近似表示直线mn 的斜率，当S T 足够小时，这种近似将会有足够的精度。

从图3可以看到，t 1并不在采样点上，为了使采样值与导数尽可能在同一点上，对相邻两点采样值求平均值：

)(21

11++=k k i i i （20）

)(2

1

11++=k k u u u （21）

显然，当S T 足够小时，t 1与导数点将足够接近。

虽然与两点乘积算法相似，导数算法也使用了两个相邻的采样值，但其采样间隔很

k

k +1

t 1 0

kT S

图3 差分近似求导原理

小，因此算法的响应速度很快。由于算法在求导数时是用差分近似微分，即算法的精度与采样频率有关，所以采样频率越高则精度越高。此外，由于算法中采用了差分方法，对信号中的直流分量具有一定的滤除能力，但对高次谐波则具有放大作用，因此类似于两点乘积算法，该算法也需要通过数字滤波器滤除高次谐波，因而算法的实际响应速度主要取决于算法本身和数字滤波器的运算时间。 半周绝对值积分算法

半周绝对值积分算法的原理是依据一个正弦量在任意半个周期内绝对值积分为一常数S ，且积分值S 与积分起始点的初相位无关，如图4中两个从不同起始点算起的

半周内的两部分面积是相等的。即：

t td I

dt t I S T t ωωω

αωα

πα

α

sin 2)sin(22

??+=

+=

ω

ωωω

π

I

t td I

22sin 20

=

=?

（22）

由式（22）可求得基波分量的有效值为：

S I 2

2ω

=

（23）

式（23）的离散形式可以用梯形法或矩形法推出。如采用梯形法，可以设若干个小梯形面积之和为S '（图5），则有：

S T i i i i i i S N

N ????

?

?

?++++++='-222

2

2

12

110 S k k

T i i i N

N ???

?

????+??? ??+=∑-=11

0222

1

（24） 式中：0i ，1i ，，2

N i 为半周内的采样值，N 为一周内的采样点数，S T 为采样间隔（周

期）。式（24）是式（22）的近似，其精度与采样频率有关。当采样频率足够高（S T 足够小）时，误差也可以足够小，即S '与S 足够接近。

i (t

)(t i

半周积分算法需要的数据窗长度为10mS ，较两点乘积算法和导数算法长。但由于这种算法只有加法运算，算法的工作量很小，可以用低端MCU 实现。此外，算法本身具有一定的滤除高频分量的能力，因为叠加在基波分量上的高频分量（通常幅度不大）在半周积分中其对称的正负半周互相抵消，剩余的未被抵消部分所占的比重减小，极端情况（正负半周刚好相等）时，可以完全抵消。但该算法不能滤除直流分量，因此对于一些要求不高的保护场合可以采用该算法，必要时可以在前级配以简单的差分滤波器来滤除直流分量。

付立叶算法（付氏算法） 付氏算法的基本原理

付氏算法的基本思想来自付立叶级数，它假定被采样信号是一个周期时间函数，除了基波分量，还含有不衰减直流分量和高次谐波分量，可以表示为：

∑∑∞

=∞

=++=++=1

01

0)cos sin ()sin()(k k k k k k t k b t k a X t X X t x ωωαω （25）

式中：0X 为直流分量，k X 为k 次谐波分量的幅值，k α为k 次谐波分量的初相位，ω为基波角频率，k k k X a αcos =为k 次谐波的正弦分量系数，k k k X b αsin =为k 次谐波的余

图4 半周积分算法原理

t

图5 梯形法面积计算原理

弦分量系数。由付氏级数原理可求得系数k a 和k b 分别为：

???

?

???==??dt t k t x T b tdt

k t x T a T

k T

k 0

0cos )(2sin )(2

ωω 式中T 为x (t )的周期。由此可计算出各次谐波分量的幅值和初相位。继电保护中通常对基波分量感兴趣，此时基波（k =1）的正弦和余弦分量系数为：

?=T

tdt t x T a 01sin )(2

ω （26）

?=T

tdt t x T b 0

1cos )(2

ω （27）

基波分量的幅值和初相位分别为：

21211b a X += 1

1

1a b arctg

=α 根据数据窗的长度，在微机上实现式（26）和式（27）时可分为全波付氏算法和半波付氏算法。 全波付氏算法

微机实现时需对式（26）和式（27）离散化，分为矩形法和梯形法。设每周期采样点数为N ，则矩形法：

[]S S S S T N N x T x T x T T

a ωωωsin )(2sin )2(sin )1(2

1+++?=

∑==N k N

k k x T 12sin )(2π （28） []S S S S T N N x T x T x T T

b ωωωcos )(2cos )2(cos )1(2

1+++?=

∑==N k N

k k x T 12cos )(2π （29） 式中S T 为采样周期。当采样频率为S f ，基频为f 时，f

f N S

=。 梯形法：

???++++?=

22sin )2(sin )1(2sin )1(0sin )0(21S S S S T x T x T x x T T a ωωω ??

?

+--+

2sin )()1sin()1(S S T N N x T N N x ωω ∑-==112sin )(2N k N k k x T π

（30） ???++++?=

22cos )2(cos )1(2cos )1(0cos )0(21S

S S S T x T x T x x T T b ωωω ??

?

+--+

2cos )()1cos()1(S S T N N x T N N x ωω ???

???++=∑-=11

2)(2cos )(2)0(2N k N x N k k x x T π （31） 式中x (0)和x (N )分别是k =0和k =N 时的采样值。观察式（28）～（31）可知它们是非递归离散系统的一般表达式。矩形法算式比梯形法算式更为简洁，便于编程实现，但在相同的采样频率时，精度不如梯形法。 半波付氏算法

全波付氏算法的数据窗为一个工频周期（20mS ），响应时间较长。为了缩短响应时间，可将数据窗缩短至半个周期，从而得到半波付氏算法。设每周期的采样点数仍为N ，则根据式（26）和式（27）可得半波付氏算法的计算公式为：

矩形法： ∑==2112sin )(4N

k N

k k x N a π

（32）

∑==2112cos )(4N

k N

k

k x N b π

（33） 梯形法： ∑

-==

12

1

12sin )(4

N k N

k

k x N

a π

（34） ???

?????+

+=

∑=2112)2(2cos )(42

)0(4N k N x N k k x T x N

b π （35） 从滤波效果来看，全波付氏算法不仅能完全滤除各次谐波分量和稳定的直流分量，

而且能较好地滤除线路分布电容引起的高频分量，因而可以对畸变波形中的基波分量平稳和精确地作出响应。从图6可以看出，半波付氏算法的滤波效果不如全波付氏算法，它不能滤除直流分量和偶次谐波分量，即它需要假设信号中的直流分量已由前置ALF 滤除。此外，两者都对按指数衰减的非周期分量呈现了很宽的连续频谱，因此付氏算法的精度受衰减的非周期分量的影响较大。

从精度来看，由于半波付氏算法的数据窗为半周，在故障发生半周后即可计算出结果，但精度不如全波付氏算法。全波付氏算法则需要在故障发生一个周期后才能计算出结果，响应速度较慢，但其计算精度较高。文献表明，全波付氏算法不仅对基波，而且对所有通过防混迭滤波器的谐波都具有最小的协方差估计，因此是目前微机继电保护中最普遍采用的算法。 最小二乘算法

最小二乘算法的原理是为被采样信号预设一个尽可能逼近的信号模型函数，并按最小二乘拟合原理对其进行拟合。设被采样信号为：

∑∑==++=++=L

k ck sk L

k k k t k X t k X X t k X X t x 1

01

0)cos sin ()sin()(ωωαω （36）

式中：k k sk X X αcos =，k k ck X X αsin =。

可以看出，式（36）是式（25）的前1+L 项有限和表达式。当采样间隔为S

S f T 1

=时，则将N 个采样值1y ，2y ，

，N y 代入式（36）可以得到N 个方程，表示为矩阵形式：

1

f f

A( f

1

2

3

4

5

6

1

f f

A( f

1

2

3

4

5

6

(a)全波付氏算

(b)全波付氏算

图6 付氏算法的频谱

Y AX = （37）

其中：X T cL sL c s c s X X X X X X X ),,,,,,,(22110 =

Y ),,,(21N y y y = A ?

????

??

??

???=S S

S

S

S S S

S

S S

S S T NL T NL T N T N T L T L T T

T L T L T T ωωωωωωωωωωωωcos sin cos sin 12cos 2sin 2cos 2sin 1cos sin cos sin 1

根据最小二乘拟合原理，当误差

2δ[]=-=∑=2

1

)(N

k S k kT x y )()(AX Y AX Y T --

最小时，称AX 为y k 的最佳拟合函数。令

)()(2AX Y AX Y J T --==δ

求J 关于X 的导数并令其等于零：

022=-=??Y A AX A X

J

T T 即： Y A AX A T T = 由于A T A 是非奇异方阵，故可得：

Y A A A X T T 1)(-= （38）

式（37）中的矩阵A 的各元素均不含未知量，当采样频率f S 和采样点数N 确定时，求解式（38）可以预先将(A T A )1A T 离线计算出来存于内存中。

最小二乘算法类似于全波付氏算法，可以从信号计算出所需的各次谐波分量，但它还具有以下特点：

1. 最小二乘算法是一种波形拟合方法，当预设的信号模型能充分描述被采样信号时，这种算法可以滤除信号中任意需要滤除的分量，因而具有很好的滤波性能和很高的运算精度。显然滤波性能和精度依赖于预设信号模型的复杂度，即模型对实际信号描述的充分性，这将导致出现高阶矩阵，使运算量明显增大，对运算（硬件）平台的要求较高。

2. 可以通过预设合适的模型，一次计算出信号中各种所需的分量。例如在变压器差动保护中，不仅需要计算出基波分量的大小，还需要计算出二次谐波分量（用于励磁涌流

制动）和三次谐波或五次谐波分量（用于过励磁制动）。

4 小结

通过保护算法提取故障信号中的特征分量是微机继电保护中最重要的环节，本文针对性地阐述了一些典型保护算法的原理，分析了它们各自的功能特点、性能和应用场合，表明：

1. 保护算法与滤波是密切相关的，保护系统中的模拟滤波器和数字滤波器的完善程度不同，所选用的保护算法也因之而异，通常有些算法本身就具有良好的滤波功能。

2. 就算法本身而言，其运算的精度和速度是一对矛盾，较高的精度必然伴随着较低的速度，精度和速度兼具的算法则表现为运算的复杂性，从而将速度问题转至硬件实现平台，归结为CPU的运行速度和处理能力。

3. 就系统硬件而言，A/D转换芯片的量化误差将直接影响到故障信号特征的提取精度，因而通常需要采用高精度的A/D（12位甚至16位）以减小量化误差。而这又会使运算字长变长，对速度和CPU处理能力产生影响。