2017-2018学年第一学期期末复习之解三角形
2017-2018学年第一学期期末复习之六
解三角形
一.知识梳理
1、正弦定理:在C ?AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,,则有
2sin sin sin a b c
R C
===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式:
①2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =;
②sin 2a R A =,sin 2b
R
B =,sin 2c
C R =;
③::sin :sin :sin a b c C =A B ; 3、三角形面积公式:111
sin sin sin 222
C S bc ab C ac ?AB =
A ==
B . 4、余弦定理:在
C ?AB 中,有2
2
2
2cos a b c bc =+-A ,推论:bc
a
c b A 2cos 2
2
2
-+=
B ac c a b cos 2222-+=,推论:
C ab b a c cos 22
2
2
-+=,推论:ab
c b a C 2cos 2
22-+=
二.方法归纳总结 1、三角形中的边角关系
(1)三角形内角和等于180°;
(2)三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边; (3)三角形中大边对大角,小边对小角;
(4)正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ,其中R 是△ABC 外接圆半径. (5)在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. (6)三角形的面积公式有:S =21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2
1
ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中,h 是BC 边上高,P 是半周长.
2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形
(1)已知两角及一边,求其它边角,常选用正弦定理.
(2)已知两边及其中一边的对角,求另一边的对角,常选用正弦定理. (3)已知三边,求三个角,常选用余弦定理.
(4)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角,常选用余弦定理.
(5)已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,常选用正弦定理.
3、利用正、余弦定理判断三角形的形状
常用方法是:①化边为角;②化角为边.
4、三角形中的三角变换
(1)角的变换
因为在△ABC 中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC ;cos(A+B)=-cosC ;tan(A+B)=-tanC 。
2
sin 2cos ,2cos 2sin C
B A
C B A =+=+; B
A b a
B A >?>?>sin sin
(2)判断ABC ?的形状:
222222222cos 090cos 090cos 090C C c a b C C c a b C C c a b >?<+?=?=?=+?>?>+? 锐角三角形
直角三角形钝角三角形
三、解三角形的应用
1.坡角和坡度:
坡面与水平面的锐二面角叫做坡角,坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度,用i 表示,根据定义可知:坡度是坡角的正切,即tan i α=.
2.俯角和仰角:
如图所示,在同一铅垂面内,在目标视线与水平线所成的夹角中,目标视线在水平视线的上方时叫做仰角,目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.
3. 方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为α.
注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的, 而方位角是相对于正北方向而言的。
4. 方向角:
相对于某一正方向的水平角.
5.视角:
由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做视角.
典例分析
考点一 正、余弦定理: 例1.在ABC ?中,====A B AC BC ,45,22,2o _____.
例2.在ABC ?中,====
a B
b
c ,30,1,3o ___
__
例3.在ABC ?中,若==-A C a A c b cos ,cos cos )3(_____.
ac
b c a B 2cos 2
22-+=
例4.在ABC ?中,,2,120a c C ==o
则b a , 大小关系是_____.
例5.在ABC ?中,C A B sin sin cos 2=,则ABC ?形状是_____. 例6.在ABC ?中,若1tan tan >B A ,则ABC ?是_____三角形.
例7.在ABC ?中,4,30==AB A o ,满足此条件的ABC ?有两解,则BC 边长的取值范围为_____. 例
8.已知ABC ?的面积4
2
22c b a S -+=,则C ∠的大小是_____.
例9.在ABC ?中,0sin 3cos =--+c b C a C a . (1)求A ;
(2)若3,2==?ABC S a ,求c b ,.
例10.在ABC ?中,若有三边边长分别为,6,5,3===c b a 则=++C ab B ca A bc cos cos cos _____. 例11. 在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为,,,a b c
且2sin a B =.
(1)求角A 的大小; (2) 若6,8,a b c =+=求△ABC 的面积.
考点二 三角形中的几何计算: 长度问题
例12.在梯形ABCD 中,已知o 30,9,5,//=∠==BCA AC AB BC AD ,o 45=∠ADB ,求DB 的长.
例13.如图,o o 75,30,32,=∠=∠=⊥BCD ACB CD BC AB ,o 45=∠BDC ,AC 与DB 相交于点E ,求AB 的长.
——最值(范围)问题——
例14.在锐角ABC ?中,2,1==c b ,则a 的取值范围_____.
例15.如图,已知在四边形ABCD 中,θ=∠==BAD AD AB ,1,而BCD ?是正三角形. (1)将四边形ABCD 的面积S 表示为θ的函数. (2)求S 的最大值以及此时θ的值.
综合问题 例
16.在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,,若22
()-1
a b c bc
-+=,且4-=?→--→--AB AC 则ABC ?的面积等于_____.
例17.在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,,若C a A cos 3sin =.
(1)求角A 的值;
(2)且72,12==?→
--→--a AC AB ,求)(,c b c b <
.
例18. 在锐角ABC ?中,a 、b 、c 分别为角A B C 、、
2sin a c A =.
(Ⅰ)确定角C 的大小;
(Ⅱ)若c
且ABC ?的面积为
, 求a b +的值.
A
D B
C
A
D
B C E
A
D
B
C
专题复习六
1.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边为a ,b ,c ,若cos (2)cos c a B a b A -=-,则ABC △是
A .等腰三角形
B .直角三角形
C .等腰直角三角形
D .等腰或直角三角形
2.在ABC △中,若∠A =60°,∠B =45°,BC
=AC =
A
.
B
.
C
.
D
.
2
3.在ABC △
中,6,60a b A === ,则sin B = A .
B
.3
C
D
4.在ABC △,60A =?,6b =,则角B = A .30?或150?
B .30?
C .150?
D .45?
4.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC △的形状为 A .锐角三角形 B .直角三角形 C
5.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则实数b 等于 A
B
C 6.在ABC △中,15,18,30a b A ===?,则此三角形解的个数为 A .0 B .1 C
.2
D .不能确定
7.在ABC △中,已知a =4,B =60°,C =75°,则b =___________. 8.在ABC △中,角A ,C 的对边分别为a ,c ,其中1=a ,3A π
=,则角=C ___________. 9.在ABC △中,角
A ,
B ,
C 的对边分别为a ,b ,c ,已知π
,23
A a b =
==,则B = A .π6
B .π4
C .π3
D
.π2
10
.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知π
3,
3
a b A ==
=
,则角B 等于 A .
π
4
B .
3π4
C .
π4或
3π
4
D .以上都不正确
11.在ABC △中,已知1,15b c B ==?,则边长a 等于
A 1或2
B 1
C .2
D .12.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos cos cos A B C
a b c
==,则ABC △是 A .有一内角是30°的三角形 B .等边三角形C .等腰直角三角形 D .有一内角是30°的等腰三角形
13.在ABC △中,已知AB =
,30B =?,则A =___________.
14.如图所示,在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD .为了测量该山坡相对于水平地面的坡角
θ,在山坡的A 处测得15DAC ∠=?,沿山坡前进50m 到达B 处,又测得45DBC ∠=?.根据以上数据计算可得cos θ=___________.
15.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC △为锐角三角形,且满足
sin (12cos )2sin cos
cos sin B C A C A C +=+,则下列等式成立的是
A .2a b =
B .2b a =
C .2A B =
D .2B A =
16.△A BC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=,a =2,c C =
A .
π
12 B .π6 C .π4 D .π3
17.ABC △的内角A ,B ,
C 的对边分别为a ,b ,c ,若2cos cos cos b B a C c A
=+,则B =___________.
18.△ABC 的内角
A ,
B ,
C 的对边分别为a ,b ,c .已知C =60°,b ,c =3,则A =___________
19.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知A =2π
3
,a b
=1,则c = A 1
B
C .2
D .1
20.在ABC △
中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,3cos cos()1,2,3A B C b
c -+===,则a = A
B .3
C
D 21.在ABC △中,π
,3
4
ABC AB BC ∠=
==,则=∠BAC sin A B
C D
22.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若120,C c =
?=,则 A .a b >
B .a b <
C .a b =
D .a 与b
的大小关系不能确定
23.已知ABC △
中,130AB BC A ==?,
,则=AC _____________.
24.在ABC △中,1a =,45B =?,c =ABC △的外接圆的直径为_____________. 25.在ABC △中,如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =,那么cos C 等于
A
B
C
D .23
-
26.ABC △的三个内角满足:sin sin sin sin B A c
B C a b
-=-+,则A =
A .
π
6
B .
π3
C .
2π3
D .
π3或
2π
3
27.如图所示,在ABC △中,,点D 在线段AC 上,且2AD DC =,cos ACB ∠=___________.
28.如图,在ABC △中,点D 在BC
边上,π7cos 42CAD AC ADB ∠==∠=,, (1)求sin C 的值;
(2)若5BD =,求AD 的长.
29.在ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且
(1)求角A 的大小; (2为AC 的中点,求BD 的长.
30.已知a , b , c 分别为ABC ?三个内角A , B ,
C 的对边,
(1)求角A ;
(2)若a =ABC ?的面积为求ABC ?的周长.
31.在锐角ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且
(Ⅰ) 求角A 的大小;
(Ⅱ) 若=3a ,求ABC ?面积的最大值.
32.在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知()cos 2cos 0c B b a C +-=.
(1)求角C 的大小;
(2)若2c =,求ABC ?周长的最大值.
33.在ABC ?中,角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,,且
(1,求a
;(2 ABC ?的面积为
,求b c +.
解三角形中的取值范围问题.docx
解三角形中的取值范围问题 1、已知a, b, c分别为ABC 的三个内角A, B,C 的对边,且2b cosC 2a c 。( 1)求角B的大小; ( 2)若ABC的面积为 3 ,求b的长度的取值范围。 解析:( 1)由正弦定理得2sin BcosC 2sin A sin C ,在ABC 中, sin A sin( B C )sin B cosC cos B sin C ,所以 sin C (2cos B1) 0 。 又因为 0 C, sin C0 1 ,而 0B,所以B ,所以 cos B 123 (2)因为 S ABC3, 所以ac4 ac sin B 2 由余弦定理得 b2a2c22acscos B a2c2 ac ac,即 b2 4 ,所以 b 2 2、在△ABC中 , 角A, B, C所对的边分别为a, b,c,已知cosC(cos A 3 sin A) cos B 0 . (1)求角 B的大小;(2)若 a+c=1,求 b 的取值范围 【答案】解:(1) 由已知得cos(A B)cos Acos B 3 sin A cos B0即有sin Asin B 3 sin Acos B 0因为 sin A0 ,所以 sin B 3 cosB0 ,又 cos B0 ,所以 tan B 3 ,又 0B, 所以B. 1113 (2) 由余弦定理 , 有b2a2c22ac cos B .因为 a c 1,cosB, 有b23(a)2. 1,于是有1 1 224 又 0 a b21,即有b1. 42 3、已知,满足. (I )将表示为的函数,并求的最小正周期; (II )已知分别为的三个内角对应的边长,若,且,求的取值范围. 4、已知向量ur x r x 2 x ur r ( 3 sin,,f (x)m n m,1)n(cos ,cos) 44g 4 (1)若 f ( x) 1 ,求 cos(x) 的值; 3 (2)在 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,且满足 a cosC 1 c b ,求函数 f ( B) 的取值范围. 2 【解析】 解:( 1) Q f x m n3sin x cos x cos2 x 3sin x 1cos x 1sin x 6 1, 4442222222