信号与系统总结汇总

第一章

? 1.2 信号的分类

重点周期信号和非周期信号，特别是周期序列；能量信号和功率信号的定义； 连续时间信号，离散时间信号，模拟信号，数字信号，抽样信号的区别

? 1.3 典型信号

抽样信号及其性质，单位冲激信号及其性质（特别是乘积性质和抽样特性），冲激偶函数

()()t t δδ=-

单位斜变信号-------------- 单位阶跃信号------------------单位冲激信号------------------冲激偶信号

? 1.4 信号的运算

主要掌握时移（用t-b 代替t ），反褶（用-t 代替t ），尺度变换（用at 代替t ），注意单位冲激信号的尺度变换性质

? 1.5信号的分解

交直流的分解，奇偶分解 脉冲分解 ?

∞

∞

--=

ττδτd )()()( t f t f

阶跃信号分解()()()()τττd t u f t f t f t

-'+

=?

+

00

? 1.7 系统的分类

线性系统的齐次性和叠加性，时不变系统，因果系统，稳定系统的定义

)

0()()(x dt t x t '-='?

∞

∞

-δ)

()()(00t x dt t x t t '-=-'?

∞∞

-δ0

)(='?

+∞

∞

-dt t δ)

()()()(000t t t x t t t x -=-δδ)()0()()(t x t t x δδ=)0()()(x dt t t x =?∞∞-δ)

()()(00t x dt t t t x =-?

∞

∞

-δ()t a

at δδ1

)(=

第二章

? 2.1 LTI 系统的数学模型和传输算子

传输算子的运算规则，用算子电路建立LTI 系统数学模型

? 2.2系统微分方程的经典解 齐次解和特解

? 2.3 系统零输入响应的求解

N 阶齐次微分方程的算子和初始状态的解

()()1110()()0

(0)(0)

n

n n zi i i zi

zi

p

a p a p a y t y y --++

++=+=-

单根形式：

1212()...n t t t zi n y t C e C e C e λλλ=+++

重根形式：

()11

2n p t pt

pt n zi n y t Ae A te A t e -=+++

求零状态响应时要注意，如果激励及其各阶导数为连续信号，()()

(0)(0)i i zs zs y y +=-，如果微分方程的右端有冲激信号，则()()

(0),(0)i i zs zs y y +-不一定相等，此时要用冲激函数匹配法求出

()(0)i zs y +，然后来求零状态响应的待定系数。

连续系统微分方程的S 域求解：

()1

1()00

0()()m

n i j

n p

p j i j i p n

n

i

n

i n i j b s

a s

y Y s X s a s a s ----=====????

=

+∑

∑∑∑

∑

()()()()(

)

()

112

000n n n n n n

d f t s F s s f s f f dt

---

---'?----()()()1

100n r n

n r r s F s s f ----==-∑

? 2.4 系统的冲激响应和阶跃响应

定义：冲激响应的定义为输入为单位冲激信号时系统的零状态响应 求解：部分分式展开

()()()()12121

1

n i n

n

p t

p t

p t

p t

i n i i i h t h t k e

k e

k e u t k e u t ==??==++

+=??

∑∑ h （t ）的形式与系统零输入响应的形式相同，不同在于系数求法不同，h(t)的系数由H(p)的

部分分式的系数确定，而零输入响应的系数由初始状态值确定

阶跃响应：为冲激响应的积分

? 2.5 系统零状态响应-----卷积积分 图解法，难度在于积分区间的确定 ? 2.6 卷积运算的性质 时移性 微积分特性 与

()t δ，()t ε的卷积性质

()()τ

ττd t h x t y -=?

∞

∞-)(()()()

()()()

t

f t f t y

j i j i -*=2

1()()()t f t t f =*δ()()()11t t f t t t f -=-*δ()()()

t x t t x '='*δ()()()()()

t x t t x k k =*δ()()()()()

00t t x t t t x k k -=-*δ()()()τ

τεd f t t f t

?∞

-=

*

第三章 连续时间信号的频谱----傅里叶变换

? 3.2周期信号的傅里叶级数

傅里叶级数的性质：对称性和奇偶性 三角级数形式：

()()000001

1

()cos sin cos n n n n n n x t a a n t b n t c c n t ωωωφ∞

∞

===++=++∑

∑

指数形式：

()()00

jn t

n x t X n e

ωω∞

=-∞

=

∑

物理含义：连续周期信号可以分解成直流、基波、谐波的和 ? 3.3 周期矩形脉冲信号的频谱分析

1、离散性，频率间隔为

2、直流、基波及各次谐波分量的大小正比脉冲幅度E 及脉冲宽度，反比周期T ，第一个零

点2π

ωτ

=

3、无穷多根谱线

总结：离散性、谐波性、收敛性 ?

3.4非周期信号的频谱------傅里叶变换（FT ）

()()()1()2j t j t

X j x t e dt x t X j e d ωωωωω

π

∞--∞

∞

-∞

==

??

连续频谱，傅里叶存在的充要条件函数绝对可积，即()x t dt ∞

-∞

<∞?

。

?

3.4.2 常用傅里叶变换对

()1t δ?，()2g t Sa τωττ????

???

，()1at

e t a j εω-?+，22

2a t a e a ω-?+ ? 3.5 傅里叶变换性质（P77）

时移性-------频谱幅频特性不变，相频特性为旋转型 频移性-------应用为调制解调技术，即频谱搬移

尺度变换----------时域扩展，频域压缩，时域压缩则频域扩展；有限时宽信号对应无限频宽频谱，无限时宽信号对应有限频宽频谱 ? 3.5.2 周期信号的傅里叶变换

T

πω20=

()()dt e t x T n X t jn T

t t 000

10ωω-+?

=

F ()T x t =????()12n n X n πδωω∞

=-∞

-∑

周期信号的FS 的系数n

X 等于单个周期信号的傅里叶变换0()

X ω在1

n ω频率点的值乘以

11T 。

第四章 连续时间系统的频域分析

（1）信号无失真时域传输条件：

（2）信号无失真频域传输条件： ● 幅频特性在全频域内为常数，系统具有无限宽的均匀宽带，所有频率分量的增益为常数

k

● 系统的相频特性是通过原点的直线，相移与频率成正比

理想低通滤波器的冲激响应为

t<0时有响应出现说明系统是非因果的，系统是物理不可实现的。并且该系统是失真系

统，因大部分高频分量被完全抑制了。

3dB 带宽含义

?

时域抽样定理

一个频谱受限信号

()

x t 的最高频率为

m

f ，则采样频率必须为2s m

f f ≥()ωπωωωωd e e t h t j t j C C

021--?

=()()()[]000121t t Sa e t t j C C C C t t j -=--=--ωπωωωπω()()0t t kx t y -=

第六章 离散时间信号与系统的时域分析

? 6.3典型序列及其特性 单位样值序列

性质：抽样性

线性性

单位阶跃序列

单位矩形序列

斜变序列，实指数序列，正弦序列，周期序列，虚指数序列和复指数序列

? 6.4离散时间系统的基本性质 线性、移不变性、因果性、稳定性 ? 6.5常系数线性差分方程的求解

1、递推法（适用于阶数较低的差分方程）

结论：常系数线性差分方程所描述的系统只有在系统的初始状态为零时，才是线性时不变因果的。因此，系统的性质不仅取决于描述系统的差分方程本身，还取决于给定系统的初始状态。一个常系数线性差分方程所表征的并不一定是一个线性时不变因果系统，方程和初始状态两者才能完整地描述一个物理系统。

2、经典法=齐次解+特解

当为单根时，齐次解为 当为k 重特征根时，齐次解为

特解形式见183页表6-2

3、全响应解=零输入响应+零状态响应 零输入响应

()???≠==0

01

n n n δ()

()(0)()

x n n x n δδ=(),()()0 , x n m n

x m n m m n δ=??-=?≠??()()()m x n x m n m δ∞=-∞

=-∑

()()()()() +-+-+=-=∑

∞

=210

n n n m n n m δδδδε()()()1--=n n n εεδ()()N n n n R N --=εε)(()m n N m -=

∑

-=δ1

01122()n n n

N N y n C C C λλλ

=+++…()()

112111211111

121211 =K

K k n K n K n n n

k K K k K K n K K y n C n C n C n C n C C n C n C n C λλλλλλλ----=---==++++++++∑

……()()()()()()()011,22,

,0

N

k k zi zi zi zi a y n k y y y y y N y N =-------?

=??

?===?

∑

零状态响应

解法：经典法（齐次解+特解），传输算子法（部分分式分解法） （4）z 域求解

()()()10

N

M

k

l r k r k l k r a z Y z y l z b z X z ----==-=??+=????∑

∑∑

()()

M

r r r zs N

k

k k b z X z Y z a z -=-==

∑

∑

()()10

0N

k l k k l k zi N

k

k k a z y l z Y z a z ---==--=??-????=

∑

∑∑

()

()100

()N

M

k l r

k r k l k r N

N

k

k

k k k k a z y l z b z X z Y z a z a z ----==-=--==??-??

??=

+

∑

∑∑

∑

∑

? 6.6离散系统的h(n)和s(n) 1、h(n)

方法：迭代法+经典法（零状态响应）+传输算子法（部分分式分解法） 传输算子法见191页表6-3 2、S(n)

因果系统为

? 6.7 离散系统的卷积和 6.7.2 性质：1、

(

)()()()

()()()()00

120,0

0,1,,1zs

zs zs N

k k M

zs r r zs zs zs y

y y N a y n k

b x n r n y y y N ==-=-=

=-=-?=-≥???

-?

∑

∑()

()n

k s n h k =-∞=∑()()

n

k s n h k ==∑()()()n x n x n =*δ()()()

m n x n x m n -=*-δ12

1212()*()(),,x n n n n x n n n n n δ--=--

2、

3、

6.7.3计算方法：定义法；图形法；序列阵列表法；对位相乘求和；算子法 对位相乘求和法

序列阵列表

算子法

? 6.8 用h(n)表征的线性移不变系统的特性

1、稳定性

2、因果性

()()()k x n x n n

k ∑

==*0

ε()()()()

1212n

k x n x k x n x n =-∞?*=*∑

{

}

(){

}()

2, 1, 3, 2, 4

0, 1, 4, 2 0 0 0 0 0 2 1 3 2 4

8 4 12 8 16+ h n x n =?={

}()

4 2 6 4 8 0, 2, 9, 11, 16, 18 20 8zs

y

n ↑

=()()()()()()()

()()()()()

121212 =x n x n x n X E n X E n X E X E n X E n δδδδ=*=*=()n h n ∞

=-∞<∞∑()0,0

h n n =<

3、记忆性

()0,0≠=n n h

4、可逆性

()()()())

(**n n h n h n h n h inv inv δ==

第七章 离散时间信号与系统的频域分析

? *7.2 周期序列的离散时间傅立叶级数 变换形式

离散傅里叶级数的系数()N X k 具有周期性，共轭对称性()()N N X k X k *

-=

? *7.3 非周期序列的离散时间傅立叶变换

与连续信号的FT 变换最大的区别为DTFT 具有周期性 DTFT 是连续的

?

*7.5 周期序列的离散时间傅立叶变换

周期信号的DFS 的系数()N X k 等于单个周期信号的傅里叶变换1()j X e Ω

在0k Ω频率点的值

乘以

1N

。 ()()0

11

j N k X k X e N ΩΩ=Ω=

?

7.6 离散时间傅立叶变换的基本性质

P249

? 7.7 离散傅立叶变换：有限长序列的傅立叶分析 定义

时域和频域都是有限长的

物理含义：有限长序列()x n 离散傅里叶变换()X k 是离散时间傅里叶变换()j X e Ω

在一个

周期[)0,2π内的N 点等间隔抽样，即有

()()()2,0,1,,1

k j k N

X k DFT x n X e k N π

Ω

Ω=Ω=

===-????

时域的非周期

频域的连续 频域的周期

频域的非周期 频域的离散 时域的离散

时域的连续 时域的周期

规律：

?7.8 离散傅立叶变换的性质

循环卷积的求法：1、图解法，2、同心圆法，3、矩阵法

1、图解法

计算单个圆周卷积序列值的图解法可以概括为4个步骤：

圆周反褶，圆周移位，对应相乘，相加求和。

2、同心圆法

●将x(n)按顺时针方向N等分的排列在内圆周上，h(n)以n=0对齐按逆时针方向排列在外

圆周上

●对应相乘再相加为y(0)的值

●固定内圆周，外圆周顺时针转动n位，内外圆周对应相乘相加得到y(n)

或者固定外圆周，内圆周逆时针方向转动n位，内外圆周对应相乘相加得到y(n)

3、矩阵法

(0)(0)(1)(2)(1)(0)

(1)(1)(0)(1)(2)(1)

(2)(2)(1)(0)(3)(2)

(2)(2)(3)(4)(1)(

(1)(1)(2)(3)(0)

c

c

c

c

c

c

y h h N h N h x

y h h h N h x

y h h h h x

y

y N h N h N h N h N x N

y N h N h N h N h

--

????

?

??-

?

??

?

??

== ?

??

?

??

?

??

------

?

?? ?

----

????

??

2)

(1)

x N

??

??

??

??

??

??

??

??

-

??

用循环卷积计算线性卷积的条件：

12

1

L N N

≥+-,L点DFT运算，N1，N2为参加线性卷积的序列的长度

?7.10 利用离散傅立叶变换近似分析连续非周期信号的频谱

过程：

产生的问题：1、混叠问题，2、频谱泄露问题，3、栅栏效应

1、混叠问题

抗混叠滤波器保留绝大部分能量，使无限频宽的信号限制在最大频率为

m

f的频率域中；满

足奈奎斯特抽样定理:2

s m

f f

≥

2、频谱泄露（吉布斯现象）

产生的原因：无限长的时域信号需要进行DFT分析，需进行信号的截断，会产生频谱泄露，产生频谱模糊。

吉布斯现象：频带边界形成过渡区，阻带和通带产生波动

解决办法：加大窗的长度和选择不同类型的窗 3、栅栏效应

DFT 变换是DTFT 的N 点等间隔取样，可能会漏掉重要的频率分量，产生栅栏效应 解决办法：增加DFT 的点数，增加记录时间长度 注意：高密度频谱和高分辨率频谱的区别

11

==NT s p f F T N

p T 为记录时间长度，s f 为抽样频率，N 为DFT 的点数或者说抽样的点数，T 为抽样间隔

第八章

? 8.3 z 变换的收敛域和几类序列的收敛域 右边序列——————圆外 左边序列——————圆内 双边序列——————圆环

? 8.4常用序列的z 变换

? 8.5 z 变换的性质（P365）

线性、序列位移、尺度、时域反转、微分、时域卷积、共轭性、z 域积分、时域累加、初值定理、终值定理

? 8.6 z 反变换 定义：()()()

1211,,2n x x C

x n X z z dz C R R j

π-=

∈?

求法：1、部分分式法，2、留数法，3、幂级数法（选讲） 1、 部分分式法 （1）单阶极点

()012

12P

p i

i p

p

K X z K K K K z z z p z p z p z p ==++++

=----∑

()

()

0,1,

,i i z p i

X z K z p i P z

==-=

()()()()01,a P

n

i i x i x n K n K p n z R δε==+>∑

()()()()011,b P

n

i i x i x n K n K p n z R δε==---<∑

()()()()()()01

1

1,a b M

P

n

n

i i i i x x i i M x n K n K p n K p n R z R δεε==+=---+

<<∑∑

（2）重极点

()n δ()n ε()n n ε()

1---n n ε()n a n ε()1---n a n ε()n

a n x =

()()()100111++q q m j r r

d j r j r r r

i K X z K K K K X z z z z p z z p z p ====+=+---∑∑∑ ()()()()()11!m j m j i

m j i

z p

X z d K z p m j z dz --=??????=-????-?????? ()()

()()()111112112,,1!a n n n m d i i m

i

x n n n m x n K p K np K p n z

R m ε--+?

?--+=++

+>??-?

?

2、留数法

若1

()n X z z -在围线C 以内, 所有的极点集合为{}k z ，

则根据留数定理

? 8.7 z 变换、拉氏变换、付氏变换

s 平面与z 平面的映射关系，

z 变换与拉氏变换表示式之间的关系（不讲，DSP 上会讲的）

? 8.8离散时间系统的z 域分析

8.8.1差分方程的求解：分为零状态响应和零输入响应分别求解，另外注意差分方程两边取单边z 变换

8.8.2 系统函数：即为零状态响应与激励信号的z 变换之比，即H(z) 8.8.3系统函数的零极点分布及系统特性

稳定性：收敛区必包含单位圆，或者说所有极点都在单位圆内

1()2x n j

π=

1()n c

X z z dz

-?

1Re [(),]

n k k

s X z z z -=∑如果 ①

为单阶极点， k z 11

Re [(),]()()k

n n k k z z s X z z z z z X z z --==-

则

②

为 N 阶极点， k z 11

1

1

1Re [(),][()()](1)!k

N n N n k k z z N d s X z z z z z X z z N dz

---=-=--

则 ③若1

()n X z z - 在z 平面上有N 个极点，其中收敛域内围线C 以内N1个，

用z 1k 表示，围线C 以外N2个, 用z 2k 表示，则

1

2

11

121

1

Re [(),]Re [(),]N N n n k k k k s X z z z s X z z z --===-∑∑