最新上海高考数学知识点重点详解

{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 高考前数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的元素一般属性，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？

2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；

3.已知集合A 、B ，当A B ?=?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；

4. 注意下列性质：（1） 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为n 2，n 21-， n 21-， n 2 2.-

（）若，；2A B A B A A B B ??== （3）：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。

5. 学会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

6.可以判断真假的语句叫做命题。

若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真

p q p q ∨

7. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 8.注意四种条件，判断清楚谁是条件，谁是结论； 9. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）

10. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 11. 如何求复合函数的定义域？ 12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，需注明函数的定义域。 13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x ，注意正负的取舍；②互换x 、y ；③反函数的定义域是原函数的值域） 14. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性； 15. 会用定义证明函数单调性.；用定义法求函数的单调区间。（设量、作差、因式分解，判正负） 16. 如何判断复合函数的单调性？（将增函数看成正号，减函数看成负号，利用乘法原理判断） 17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）

若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-?? 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=??

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0=

18. 你熟悉周期函数的定义吗？1

f (x)f (x a);f (x)T 2a f (x a)

=-+=±?=+

19.函数的对称性：

（1）如果函数()y f x =对于一切x R ∈，都有()()f a x f a x +=-，那么函数()y f x =的图象关于直线x a =

对称

()=+y f x a 是偶函数；

（2）若都有()()f a x f b x -=+，那么函数()y f x =的图象关于直线a b

x 2

+=对称； 函数()y f a x =-与函数()y f b x =+的图象关于直线a b

x 2

-=

对称；特例:函数()y f a x =+与函数()y f a x =-的图象关于直线0=x 对称.

（3） 如果函数()y f x =对一切x R ∈，有f a x f a x 2b ++-=（）

（），那么()y f x =关于点（a b ，）对称.

（4）奇函数对称区间单调性相同；偶函数对称区间单调性相反。 20.掌握常用的图象变换了吗？（理解八爪图） 21.熟练掌握初等函数的图象和性质

()

（）一次函数：10y kx b k =+≠

()()（）反比例函数：推广为是中心，200y k x k y b k x a k O a b =

≠=+-≠'()的双曲线。

()（）二次函数图象为抛物线

302442

2

2y ax bx c a a x b a ac b a =++≠=+?

? ???+-

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax bx c x x y ax bx c x 212200++=>=++，时，两根、为二次函数的图象与轴? 的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。ax bx c 200++><()

②求二次函数闭区间［m ，n ］上的最值和单调性。

③求二次函数区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

()（）指数函数：，401y a a a x =>≠()（）对数函数，501y x a a a =>≠log （注意底数的限定！）

（6）幂函数a

y x ,a Q =∈ 由第一象限图象画其他象限图象！（7）a

y x x

=+的图像和性质 22.基本运算上常出现错误

指数运算：，a a a

a

a p

p 0101

0=≠=≠-(())

a

a

a a a

a m n

m

n m n

m

n

=≥=

>-((01

0))

，

()

对数运算：·，log log log a a a M N M N M N =+>>00

log log log log log a

a a a n a M N M N M n M =-=，1

a log x 0a a x;log 10,a 1=== 23. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（分离常数法，二次函数法（配方法），函数有界性，换元法，基本不等式法，利用函数单调性法，数形结合法等。） 24. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？

（·，··）扇l l ==

=ααR S R R 121

22

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

25.迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象,并由图象能写出单调区间、最值，对称点、对称轴。

()()[]

26. y =Asin x +正弦型函数的图象和性质要熟记。或ω?ω?y A x =+cos

（）振幅，周期12||||A T =

π

ω 作图。

（）根据图象求解析式。（求、、值）

3A ω?()?正切型函数，y A x T =+=

tan ||ω?πω

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。 28. 用反三角函数表示角时要注意角的范围，单调性。

对数换底公式：log log log log log a c c a n a b b a b n

m

b m =

?=（）五点作图：令依次为，

，，，，求出与，依点20232

2ω?ππππx x y +

29.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两向量的夹角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？

①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是0,,[0,],[0,]22

ππ??π ???

；

②直线的倾斜角、1l 与2l 的夹角的取值范围依次是[0,),[0,]2

ππ；

③向量的夹角的取值范围是[0，π]

30.会求三角不等式，三角方程。

31. 熟练掌握同角三角比关系和诱导公式了吗？

32. 熟练掌握两角和、差、倍、降次公式及其逆向应用

（1）名的变换：化弦或化切（2）次数的变换：升、降幂公式（3）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 33. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？三角形的面积公式。 34. 不等式的性质有哪些？

（），

100a b c ac bc

c ac bc >>?>

d a c b d >>?+>+

（），300a b c d ac bd

>>>>?>（），4011011a b a b a b a b >>?

<<

（），50a b a b a b n n n n >>?>>()（），或60||||x a a a x a x a x a x a <>?-<<>?<->

35. 利用基本不等式：

ab b a 222≥+；+∈≥+R ab ab b a ,2（一正、二定、三相等）

36.熟练掌握一元一次和一元二次不等式的解的各种情况。

()370.()

()解分式不等式

的一般步骤是什么？f x g x a a >≠

（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，标根法解得结果。）

38. 用“标根法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分或讨论a a ><<101 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

41. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（转化为最值问题）

如：恒成立的最小值a f x a f x ?>()()恒成立的最大值；a>f （x ）有解?a>f(x)的最小值

42. 等差数列的定义与性质

() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111()等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2

()()前项和n S a a n na

n n d

n

n =+=+-11

2

12

{}性质：是等差数列a n

（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；

2212a a ka b n n n -+

（）若，是等差数列，为前项和，则

；421

21

a b S T n a b S T n n n n m m m m =--{}例如：数列中，，，求a a a a n n a n n n n

1131

==++S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+

0的函数）

（6）求

n S 的最值一般通过n a 的正负分界项来求出。

43. 等比数列的定义与性质

定义：

（为常数，），a a q q q a a q n n

n n +-=≠=1

110等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ?==±2()

前项和：（要注意）

n S na q a q q q n n ==--≠???

??

111111()()!

{}性质：是等比数列a n

（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+=（），，……仍为等比数列

2232S S S S S n n n n n -- （时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--12111

45. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）作差（商）法

{}如：满足……a a a a n n n n 12121

2

25

1122+++=+<>

（2）连乘法，

n 10n 1a f (n),a a ,f(n)a -==其中可求积 （3）连加法，n n 110n a a f (n),a a ,f(n)a --==其中可求和，求

{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--

（4）可转化为等比型递推公式

)0q ;1,0p ,(1≠≠+=-为常数，q p q pa a n n 两边同时加上q

p 1

-

（5）倒数法

例如：，，求a a a a a n n

n n

11122==

++

（6）数学归纳法，注意写出四项再猜，用第五项验证完 ，再证明。

求数列的通项公式已知,a a ,10a 2

n 1n 1==+

46. 你熟悉求数列前n 项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

44 . 由 求 时应注意什么？

S a n n {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn a b n n n ?=+

()()由

·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-?? ?

??≠

（2）错位相减法：适用于（等差?等比数列）

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++???

??--121121…………相加

()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-…………

（4）分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. （5）合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

47.注意数列是特殊的函数，可用数列的单调性来研究数列的最值。

48. 排列、组合问题的依据是：有序排列，无序组合。分类相加，分步相乘； 49. 解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；数量不大时可以逐一排出结果。

50、（1）知道m m n n C ,P 的意义和计算公式。其中m n m

n n

C C -=要特别注意 （2）知道二项式展开式通项及二项式系数和系数的差别，以及二项式系数之和和系数和的求法）

51、知道简单统计初步的公式：平均数，中位数，方差，标准差（总体和样本）以及抽样方法；

52、知道矩阵的基本运算（乘法）以及行列式中相关计算和概念（余子式和代数余子式和按某列展开等） 53. 你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。（）向量的模——有向线段的长度，2||a →

（）单位向量，3100||||a a a

a →

→

→

→

==

（）零向量，4000→→

=||方向是任意的。

（）相等的向量长度相等方向相同5????=→→

a b

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）共线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。

b a b b a →

→

→

→

→

→

≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ

（7）向量的加、减法如图：

OA OB OC →+→=→

OA OB BA →-→=→

（8）向量的坐标表示

i j x y →

→

，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得

()a x i y j x y a a x y →

→

→

→

→

=+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标

()