向量的概念及其线性运算

平面向量的概念及其线性运算

数学：安送杰

一、教学目标：

1、知识与技能：掌握平面向量的相关概念，线性运算的规律与几何意义，理解并熟练运用共线向量进行解题，体会数形结合的数学思想方法；

2、过程与方法：在复习回忆之前学习的知识点的同时，通过习题巩固知识，加强理解，掌握运用知识的技巧与方法；

3、情感、态度与价值观：通过对一些实际问题的解答，体会知识与生活的紧密联系，学习与生活是密不可分的。

二、重点与难点：

三、教学设计：

1、知识点回顾：

（1）、向量的概念及表示；

（2）、和向量相关的一些概念： ①、向量的模； ②、零向量； ③、单位向量；

④、平行向量（共线向量）； ⑤、相等向量和相反向量； ⑥、一个规定； （3）、向量的线性运算： ①、向量的加法运算； ②、向量的减法运算； ③、向量的数乘运算； 2、复习知识，练习巩固： （1）、向量的概念及表示：

①、定义：既有大小，又有方向的量叫向量。

◎与数量相比，数量只有大小，可比大小；向量既有大小又有方向，无法比较大小。 ②、向量的表示方法：

A 、几何表示法：用有向线段表示向量，三个要素：起点、方向和长度；

B 、字母表示法：手写使用→AB 或 →

→→c b a ,,，印刷使用黑体小写字母。 （2）、和向量相关的一些概念：

①、向量的模：向量→AB 的模（或长度），就是向量→AB 的大小，记作：→

AB ，向量的模可以比较大小；

②、零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作：→

0，其方向是任意的；

③、单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量；

④、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也称为共线向量；

⑤、相等向量和相反向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量，长度相同方向相反的向量叫做相反向量；

⑥、一个规定：零向量与任一向量平行；

习题一：

1、给出下列六个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若两向量|a|＝|b|，则a＝b；

③若向量AB=DC,则A、B、C、D构成平行四边形；

④在平行四边形ABCD中，一定有向量AB=DC；

⑤若向量m=n，n=p，则m=p；

⑥若向量a//b，b//c，则a//c；

其中错误的命题为：（①②③⑥）

解析：对①而言，起点相同，终点相同的两个向量肯定相等，但反之不一定；

对②而言，向量是有方向的，模相等，方向不一定一样；

对③而言，向量相等可能会共线，共线则不能构成平行；

对⑥而言，若向量b为零向量，则不成立；

2、设a为单位向量，判断下列命题为假命题的个数（3）

①若b为平面内的某个向量，则b＝|b|·a；

②若b与a平行，则b＝|b|·a；

③若b与a平行且|b|＝1，则b＝a。

注意：向量的方向，两向量平行可同向也可异向。

（3）、向量的线性运算：

1、向量的加法：

①、定义：求两个向量的和的运算叫做向量的加法；

②、运算法则：三角形法则与平行四边形法则；

③、运算律：交换律与结合律

(1)、a+b=b+a;

(2)、a+b+c=a+(b+c)

2、向量的减法：

①、相反向量：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做向量a的相

反向量，记作-a。即有:

a=-(-a),a+(-a)=(-a)+a=0

②、向量的减法：我们定义a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相

反向量。

则a-b可以表示为从向量b的终点指

向向量a的终点的向量。

3、向量的数乘运算：

①、定义：我们规定实数λ与向量a的积仍是向量，这种运算称为向量的数乘运算，

记作λa,它的长度与方向规定为：

长度：|λa|＝|λ||a|；

方向：当λ>0时，向量λa的方向与的方向相同；当λ<0时，向量λa的方向与向

量a的方向相反；当λ=0时，λa=0。

②、向量数乘的运算律：结合律与分配律；

(1)λ(μ a)＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μ a (3)λ(a ＋b)＝λa ＋λb

③、向量共线：向量a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa 。 ④向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 习题二：

1、在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设向量AB=a ，向量AC=b ，试使用a 、b 表示向量AG 。

解法一：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝?

????1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝

(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2

b .

又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)

＝(1－m)AC →＋m 2AB →＝m 2

a ＋(1－m)

b ， ∴ ?

????1－λ＝m

2，

1－m ＝λ

2

，

解得λ＝m ＝2

3，

∴ AG →＝13a ＋13

b .

解法二：点G 为重心，所以AG=1

3

（AB+AC ）;

2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________．(用向量a 和b 表示)

答案：23a ＋13

b

解析：因为AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →＝a ＋12b ，

又AB →＝2DC →，所以AO →＝23AC →＝23? ????a ＋12b ＝23a ＋13

b . 3、已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，则△PAB 与△PBC 的面积的比值为__________．

答案：4

5

解析：由2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，得2PA →＋4PC →＝3AB →＋3BP →，∴ 2PA →＋4PC →＝3AP →，即4PC

→＝5AP →. ∴ |AP →||PC →|＝45，S △

PAB S △PBC

＝|AP →||PC →|＝45

.

4. 已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA →＋GB →＋GO →；

(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝nb ，求证：1m ＋1n ＝

3.

(1) 解：因为GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，所以GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2) 证明：解法一：

因为OM →＝12(a ＋b )，且G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.又PG →＝OG →－OP →＝13

(a

＋b )－m a ＝? ????13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋? ????n －13b ，所以? ????13－m a

＋1

3b ＝λ??????－13

a ＋? ????n －13

b .

又a 、b 不共线，所以?????13－m ＝－13

λ，1

3＝λ? ????n －13，

消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1

n ＝3.

解法二：因为P 、G 、Q 三点共线，所以OG=tOP+(1-t)OQ ，再与G 为重心结合即可得到方程组，求解化简即可。