2018年高考数学数列压轴专项练习集(一)

2018年高考数学数列压轴专项练习集（一）

1.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，其中{}n a 的公差不为0．设n S 是数列{}n a 的前n 项和．若521,,a a a 是数列{}n b 的前3项，且4S =16． （1）求数列{}n a 和{}n

b 的通项公式；

（2）若数列??????+-t a S n n 14为等差数列，求实数t ； （3）构造数列,...,,...,,,,...,,,,,,,,,21321321211k

k b b b a b b b a b b a b a 若该数列前n 项和

1821=n T ，求n 的值．

2.已知数列{}n a 满足1,121=-=a a ，且)(2)1(2*2

N n a a n n n ∈-+=+． （1）求6

5a a +的值；

（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，求n

S ；

（3）设n n n a a b 212+=-，是否存正整数i ，j ，k （i ＜j ＜k ），使得b i ，b j ，b k 成等差数列？

若存在，求出所有满足条件的i ，j ，k ；若不存在，请说明理由．

3.(本题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知121a a ==,(2)n n n b nS n a =++,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,*n N ∈.

(1) 求d 的值;

(2) 求数列{}n a 的通项公式;

(3) 求证:21

12122()()(1)(2)

n n n a a a S S S n n +???????<++. 4.设数列{}n a 的首项1()a a a =∈R ，且13,34,3n n n n n a a a a a +->?=?-+?≤时，1m =，2，3，．

(1)若01a <<，求2a ，3a ，4a ，5a ．

(2)若04n a <<，证明：104n a +<<．

(3)若02a <≤，求所有的正整数k ，使得对于任意*n ∈N ，均有n k n a a +=成立．

5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=0，a 1+a 2+a 3+…+a n +n=a n+1，n ∈N *． （Ⅰ）求证：数列{a n +1}是等比数列；

（Ⅱ）设数列{b n }的前n 项和为T n ，b 1=1，点（T n+1，T n ）在直线上，若不等式n

n n a m a b a b a b 2291112211+-≥++???++++对于n ∈N *恒成立，求实数m 的最大值．

6.设不等式组??

???∈≤≥≤)(04*N x nx y y x 所表示的平面区域为D n ，记D n 内整点的个数为a n （横纵坐标均为整数的点称为整点）．

（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D 2，再求a 2的值； （2）求数列{a n }的通项公式；

（3）记数列{a n }的前n 项的和为S n ，试证明：对任意n ∈N *恒有++…+＜成立．

7.在数列{}n a 中，123a =-，()*121,n n n S a n n N S +=->∈． （Ⅰ）求123,,S S S 的值；

（Ⅱ）猜想n S 的表达式，并证明你的猜想．

8.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；

（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++

13246n n +=?--，且集合*|,n n b M n n N a λ??=≥∈????

中有且仅有3个元素，试

求λ的取值范围.

9.已知f （n ）=1++++…+，g （n ）=﹣，n ∈N *． （1）当n=1，2，3时，试比较f （n ）与g （n ）的大小关系； （2）猜想f （n ）与g （n ）的大小关系，并给出证明．

10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若

（n ∈N *），则称{a n }是“紧密数列”； （1）若a 1=1，，a 3=x ，a 4=4，求x 的取值范围；

（2）若{a n }为等差数列，首项a 1，公差d ，且0＜d≤a 1，判断{a n }是否为“紧密数列”； （3）设数列{a n }是公比为q 的等比数列，若数列{a n }与{S n }都是“紧密数列”，求q 的取值范围．