全国卷高考全真模拟试题含答案

全国卷高考全真模拟试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，考试时间120分钟，满分150分．

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |lg(x －1)>0}，则A ∩(?U B )＝( ) A ．{x |1

答案 C

解析 B ＝{x |x >2}，∴?U B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩(?U B )＝{x |x <2}，故选C.

2．定义运算??

????

a b c

d ＝ad －bc ，则符合条件????

??

z 1＋i －i 2i ＝0的复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

答案 B

解析 由题意得，2z i －[－i(1＋i)]＝0，则z ＝－i

1＋i 2i ＝－12－i 2，∴z ＝－12＋i

2

，

其在复平面内对应的点在第二象限，故选B.

3．下列说法中，不正确的是( )

A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题：“若am 2

，则a

0－x 0>0”的否定是：“?x ∈R ，x 2

－x ≤0” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题 D ．“x >3”是“x >2”的充分不必要条件 答案 C

解析 本题考查命题真假的判断．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 中至少有一个为真命题，C 错误，故选C.

4．函数y ＝(x 3

－x )2|x |

的图象大致是( )

答案 B

解析 易判断函数为奇函数，由y ＝0得x ＝±1或x ＝0.且当01时，

y >0，故选B.

5．sin2α＝2425，0<α<π2，则2cos ? ????π4－α的值为( )

A ．－1

5

B.1

5 C ．－75

D.75

答案 D 解析

2cos ?

????π4－α＝2? ??

??2

2cos α＋22sin α＝sin α＋cos α，又∵(sin α＋

cos α)2

＝1＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝4925，0<α<π2，∴sin α＋cos α＝75

，故选D.

6. 执行如图所示的程序框图，若输入t 的值为5，则输出的s 的值为( )

A.9

16 B.54 C.2116

D.118

答案 D

解析 依题意，当输入t 的值是5时，执行题中的程序框图，s ＝1，k ＝2<5，s ＝1＋1

2

，

k ＝3<5，s ＝1＋12－1

22，k ＝4<5，s ＝1＋12－122＋12

3，k ＝5≥5，此时结束循环，输出的s ＝1＋

12－122＋123＝11

8

，选D. 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A ．2π－2

3

B ．2π－4

3

C.5π3

D ．2π－2

答案 A

解析 本题考查几何体的三视图和体积．由三视图得该几何体为底面半径为1，高为2的圆柱体挖去一个底面边长为2的正方形，高为1的正四棱锥后剩余的部分，则其体积为2×π×12－13×(2)2

×1＝2π－23

，故选A.

8．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)?

????|φ|<π2的图象向右平移π12个单位后的图象关于y 轴对

称，则函数f (x )在?

?????0，π2上的最小值为( )

A ．0

B ．－1

C ．－1

2

D ．－

3

2

答案 D

解析 f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π12个单位后得到g (x )＝sin ??????2? ????x －π12＋φ＝sin ? ??

??2x －π6＋φ的图象，又g (x )的图象关于y 轴对称，

∴g (0)＝sin ? ??

??－π6＋φ＝±1， ∴－π6＋φ＝π

2

＋k π(k ∈Z )，

∴φ＝2π3＋k π(k ∈Z )，又|φ|<π2

，

∴φ＝－π

3，∴f (x )＝sin ? ????2x －π3，又x ∈??????0，π2，

∴2x －

π3∈??????－π3，2π3，∴f (x )min ＝－3

2

.

9．设不等式组???

x ＋y ≤2，

x －y ≥－2

y ≥0

，所表示的区域为M ，函数y ＝1－x 2

的图象与x 轴

所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为( )

A.2π

B.π4

C.π8

D.π16

答案 B

解析 本题考查不等式组表示的平面区域、几何概型．在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(2，0)，(－2，0)，(0，2)为顶点的三角形区域，函数y ＝1－x 2

的图象与x 轴围成的区域如图中的阴影部分所示，则所求概率为12

π×1212×22×2＝π4，

故选B.

10．如图，在正六边形ABCDEF 中，点P 是△CDE 内(包括边界)的一个动点，设AP →＝λAF →

＋μAB →

(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )

A.????

??32，4 B ．[3,4]

C.????

??32，52

D.????

??34，2 答案 B

解析 本题考查平面向量的运算、线性规划的应用．以A 为原点，分别以AB ，AE 所在的直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，设正六边形的边长为1，则A (0,0)，B (1,0)，C ? ??

??3

2，32，

D (1，3)，

E (0，3)，

F ? ????－12，

32，设点P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AF →＝? ??

??－1

2，32，AB →＝(1,0)，则由AP →＝λAF →＋μAB →得???

??

x ＝－1

2

λ＋μ，y ＝32λ

解得???

??

λ＝233y ，μ＝x ＋3

3

y ，则λ＋

μ＝x ＋3y ，又因为点P 在△CDE 内，所以当点P 与点D 重合时，λ＋μ取得最大值1＋3

×3＝4，当点P 在线段CE 上时，λ＋μ取得最小值3，所以λ＋μ的取值范围为[3,4]，故选B.

11．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a >b >0)的下顶点，M ，N 在椭

圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，α∈? ??

??π6，π4，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )

A.? ??

??0，63 B.?

?

?

??0，32 C.??

????6

3，32 D.??

????

63

，223

答案 A

解析 因为OP 在y 轴上，在平行四边形OPMN 中，MN ∥OP ，因此M ，N 的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M ，N 关于x 轴对称，|MN |＝|OP |＝a ，可设M (x ，－y 0)，N (x ，y 0)．由

k ON ＝k PM 得y 0＝a 2

.把点N 的坐标代入椭圆方程得|x |＝32

b ，点N ? ??

??

32b ，a 2.因为α是直线ON

的倾斜角，因此tan α＝a 2÷32b ＝a 3b .又α∈? ????π6，π4，因此33

≤1，33≤b a <1，13≤b

2

a

2<1，e ＝1－? ????b a 2∈? ?

?

??

0，

63，选A. 12．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的实数x ，都有2f (x )＋

xf ′(x )<2恒成立，则使x 2f (x )－f (1)

A ．{x |x ≠±1}

B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C ．(－1,1)

D ．(－1,0)∪(0,1)

答案 B

解析 令g (x )＝x 2

f (x )－x 2

，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2

f ′(x )－2x ＝x [2f (x )＋xf ′(x )－

2]，当x>0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．又f(x)是偶函数，则g(－x)＝x2f(－x)－x2＝x2f(x)－x2＝g(x)，即g(x)是偶函数．不等式x2f(x)－f(1)1，解得x<－1或x>1，选项B正确．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)

13．某单位有员工90人，其中女员工有36人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是________．

答案 9

解析 男员工应抽取的人数为90－36

90

×15＝9.

14．已知三棱锥P －ABC 的顶点P 、A 、B 、C 在球O 的球面上，△ABC 是边长为3的等边三角形，如果球O 的表面积为36π，那么P 到平面ABC 距离的最大值为________．

答案 3＋22

解析 依题意，边长是3的等边△ABC 的外接圆半径r ＝12·3

sin60°＝1，∵球O 的表面

积为36π＝4πR 2

，∴球O 的半径R ＝3，∴球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2

－r 2

＝22，∴球面上的点P 到平面ABC 距离的最大值为R ＋d ＝3＋2 2.

15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋c

sin A ＋sin B ＋sin C

＝________.

答案

5654

解析 △ABC 中，∵tan B ＝－43，∴sin B ＝45，cos B ＝－35，又S △ABC ＝1

2

ac sin B ＝2c ＝8，∴

c ＝4，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝65，∴

a ＋

b ＋

c sin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝565

4

.

16．过直线l ：x ＋y ＝2上任意一点P 向圆C ：x 2

＋y 2

＝1作两条切线，切点分别为A ，B ，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为________．

答案 ??

??

??

22，2 解析 依题意，设点P (x 0,2－x 0)，则直线AB 的方程为x 0x ＋(2－x 0)y ＝1(注：由圆x 2

＋

y 2＝r 2外一点E (x 0，y 0)向该圆引两条切线，切点分别为F ，G ，则直线FG 的方程是x 0x ＋y 0y

＝r 2

)，直线OP 的方程是(2－x 0)x －x 0y ＝0，其中点Q 是直线AB 与OP 的交点，因此点Q (x ，

y )的坐标是方程组?

??

??

x 0x ＋2－x 0y ＝1，

2－x 0x －x 0y ＝0的解．

由?

??

??

x 0x ＋2－x 0y ＝1，

2－x 0x －x 0y ＝0得?????

x ＝

x 0

2－x 02＋x 20

，

y ＝

2－x 0

2－x 02＋x 20

，

即点Q ?

? x 02－x 02＋x 20

，

?

??2－x 02－x 02＋x 20，点Q 到直线l 的距离d ＝??????22－x 02＋x 20－22＝????

??1x 20－2x 0＋2－22

.

注意到0<

1

x 2

0－2x 0＋2

＝1x 0－1

2＋1≤1，－2<1x 2

0－2x 0＋2－2≤－1,1≤????

??1x 20－2x 0＋2－2<2，所以

22≤

????

??

1x 20－2x 0＋2－22

<2，即点Q 到直线l 的距离的取值范围是??

??

??

22，2. 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 3＝39，且2a 2是3a 1与

a 3的等差中项．

(1)求数列{a n }的通项a n ；

(2)若数列{a n }为递增数列，b n ＝1

log 3a n ·log 3a n ＋2

，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，问是否存在正整

数n 使得T n >1

2

成立？若存在，求出n 的最小值；若不存在，请说明理由．

解 (1)设数列{a n }的公比为q . 由S 3＝39得a 1(1＋q ＋q 2

)＝39. ①

因为2a 2是3a 1与a 3的等差中项，则3a 1＋a 3＝4a 2. 即q 2

－4q ＋3＝0，解得q ＝1或q ＝3.

代入①式得：当q ＝1时，a 1＝13，{a n }的通项公式为a n ＝13； 当q ＝3时，a 1＝3，{a n }的通项公式为a n ＝3×3

n －1

＝3n

.

(2)因为数列{a n }为递增数列，所以a n ＝3n ，b n ＝

1

log 33n

·log 33n ＋2＝

1

n

n ＋2

＝

12

? ??

??1n －1n ＋2. T n ＝12???

?

????1－13＋? ????12－14＋? ??

??

13－15

＋…

?

?

?＋?

????1n －1－1n ＋1＋? ????1n －1n ＋2

＝12? ??

??1＋1

2－1n ＋1－1n ＋2.

由T n >12得n 2

－n －4>0，即n >1＋172

.

又n ∈N *

，所以存在最小正整数n ＝3，使得T n >12

成立．

18．(本小题满分12分)2016年1月19日，习近平主席开启对沙特、埃及、伊朗为期5天的国事访问．某校高二文科一班主任为了解同学们对此事的关注情况，在该班进行了一次调查，发现在全班50名同学中，对此事关注的同学有30名．该班在本学期期末考试中政治

成绩(满分100分)的茎叶图如下：

(1)求“对此事不关注者”的政治期末考试成绩的中位数与平均数；

(2)若成绩不低于60分记为“及格”，从“对此事不关注者”中随机抽取1人，该同学及格的概率为P 1，从“对此事关注者”中随机抽取1人，该同学及格的概率为P 2，求P 2－P 1的值；

(3)若成绩不低于80分记为“优秀”，请以是否优秀为分类变量． ①补充下面的2×2列联表；

政治成 绩优秀 政治成 绩不优秀

合计 对此事关注 者(单位：人) 对此事不关注 者(单位：人)

合计

参考数据：

P (K 2≥k )

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

参考公式：K 2

＝

2a ＋b

c ＋

d a ＋c

b ＋d

，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .

解 (1)“对此事不关注者”的20名同学，成绩从低到高依次为： 42,46,50,52,53,56,61,61,63,64,66,66,72,72,76,82,82,86,90,94， 中位数为64＋66

2＝65，

平均数为

42＋46＋50＋52＋53＋56＋61＋61＋63＋64＋66＋66＋72＋72＋76＋82＋82＋86＋90＋94

20＝66.7.

(2)由条件可得P 1＝20－620＝710，P 2＝30－530＝5

6

，

所以P 2－P 1＝56－710＝2

15.

(3)①补充的2×2列联表如下：

政治成 绩优秀 政治成 绩不优秀 合计 对此事关注 者(单位：人) 12 18 30 对此事不关注 者(单位：人)

5 15 20 合计

17

33

50

②由2×2列联表可得 K 2

＝

5012×15－18×52

30×20×17×33

＝

225

187

≈1.203<2.706， 所以，没有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系． 19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点．

(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ；

(2)若∠A 1AB ＝∠ACB ＝60°，AB ＝BB 1，AC ＝2，BC ＝1，求三棱锥A 1－ABD 的体积． 解 解法一：(1)证明：连接AB 1交A 1B 于点O ，则O 为AB 1的中点， ∵D 是AC 的中点， ∴DO 为△ACB 1的中位线， ∴OD ∥B 1C .

又OD ?平面A 1BD ，B 1C ?平面A 1BD ， ∴B 1C ∥平面A 1BD .

(2)∵AC ＝2，BC ＝1，∠ACB ＝60°， ∴AB 2

＝AC 2

＋BC 2

－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝3， ∴AB ＝3，且△ABC 为直角三角形．

取AB 的中点M ，连接A 1M ， ∵AB ＝BB 1＝AA 1，∠A 1AB ＝60°， ∴△ABA 1为等边三角形， ∴A 1M ⊥AB ，且A 1M ＝3

2

.

又∵平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，平面AA 1B 1B ∩平面ABC ＝AB ，

A 1M ?平面AA 1

B 1B ，

∴A 1M ⊥平面ABC . ∵S △ABD ＝12S △ABC ＝3

4

，

∴V 三棱锥A 1－ABD ＝13S △ABD ·A 1M ＝3

8

.

解法二：(1)证明：取A 1C 1的中点D 1，连接B 1D 1，CD 1，DD 1， ∵A 1D 1＝1

2

A 1C 1，

CD ＝12

AC ，A 1C 1綊AC ，

∴A 1D 1綊CD ，

∴四边形A 1DCD 1为平行四边形， ∴CD 1∥A 1D .

又A 1D ?平面A 1BD ，CD 1?平面A 1BD ， ∴CD 1∥平面A 1BD .

∵BB 1綊AA 1綊DD 1，

∴四边形D 1DBB 1为平行四边形， ∴B 1D 1∥BD .

又BD ?平面A 1BD ，B 1D 1?平面A 1BD ， ∴B 1D 1∥平面A 1BD . 又CD 1∩B 1D 1＝D 1， ∴平面B 1CD 1∥平面A 1BD .

又B 1C ?平面B 1CD 1，∴B 1C ∥平面A 1BD . (2)∵AC ＝2，BC ＝1，∠ACB ＝60°， ∴AB 2

＝AC 2

＋BC 2

－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝3， ∴AB ＝ 3.

∴AC 2

＝AB 2

＋BC 2

，∴BC ⊥AB .

又∵平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，平面AA 1B 1B ∩平面ABC ＝AB ， ∴BC ⊥平面AA 1B 1B .

∵∠A 1AB ＝60°，AB ＝BB 1＝AA 1， ∴AA 1＝3，

∴S △A 1AB ＝12AB ·AA 1·sin∠A 1AB ＝33

4.

∵D 是AC 的中点，

∴V 三棱锥A 1－ABD ＝V 三棱锥D －A 1AB ＝1

2V 三棱锥C －A 1AB

＝12×13S △A 1AB ·BC ＝38

. 20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2

2

，过点M (1,0)的直

线l 交椭圆C 于A ，B 两点，|MA |＝λ|MB |，且当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝ 2.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)若λ∈????

??12，2，求弦长|AB |的取值范围．

解 (1)由已知e ＝

22，得c a ＝22

， 又当直线垂直于x 轴时，|AB |＝2，所以椭圆过点? ??

??1，22， 代入椭圆方程得1a 2＋1

2b

2＝1，

∵a 2

＝b 2

＋c 2

，联立方程可得a 2

＝2，b 2

＝1， ∴椭圆C 的方程为x 2

2

＋y 2

＝1.

(2)当过点M 的直线斜率为0时，点A ，B 分别为椭圆长轴的端点，

λ＝

|MA ||MB |＝2＋12－1＝3＋22>2或λ＝|MA ||MB |＝2－12＋1

＝3－22<1

2，不符合题意． ∴直线的斜率不能为0.

设直线方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

将直线方程代入椭圆方程得：

(m 2

＋2)y 2

＋2my －1＝0，由根与系数的关系可得，

?????

y 1＋y 2＝－2m

m 2＋2

， ①

y 1y 2

＝－1m 2

＋2

， ②

将①式平方除以②式可得：

y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－4m 2

m 2＋2

， 由已知|MA |＝λ|MB |可知，y 1

y 2

＝－λ， ∴－λ－1

λ＋2＝－4m

2

m 2＋2

，

又知λ∈??????12，2，∴－λ－1λ＋2∈????

??－12，0，

∴－12≤－4m 2

m 2＋2≤0，解得m 2

∈????

??0，27.

|AB |2

＝(1＋m 2

)|y 1－y 2|2

＝(1＋m 2

)[(y 1＋y 2)2

－4y 1y 2]＝8? ????m 2

＋1m 2＋22＝8? ??

??1－1m 2＋22，

∵m 2

∈??????0，27，∴1m 2＋2∈??????716，12，

∴|AB |∈???

?

??

2，

928. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a x

－1，a ∈R . (1)若函数f (x )的最小值为0，求a 的值； (2)证明：e x

＋(ln x －1)sin x >0.

解 (1)f (x )＝ln x ＋a x

－1的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a

x

2.

若a ≤0，则f ′(x )>0，于是f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 故f (x )无最小值，不符合题意．

若a >0，则当0a 时，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． 于是当x ＝a 时，f (x )取得最小值ln a . 由已知得ln a ＝0，解得a ＝1. 综上，a ＝1.

(2)证明：①下面先证当x ∈(0，π)时，e x

＋(ln x －1)sin x >0. 因为x ∈(0，π)，所以只要证e

x

sin x

>1－ln x .

由(1)可知1

x

≥1－ln x ，

于是只要证e x

sin x >1x ，即只要证x e x

－sin x >0.

令h (x )＝x e x －sin x ，则h ′(x )＝(x ＋1)e x

－cos x . 当0

－cos x >1·e 0

－1＝0， 所以h (x )在(0，π)上单调递增．

所以当0h (0)＝0，即x e x

－sin x >0. 故当x ∈(0，π)时，不等式e x

＋(ln x －1)sin x >0成立． ②当x ∈[π，＋∞)时，由(1)知1

x

≥1－ln x ，

于是有x ≥1－ln 1

x

，即x ≥1＋ln x .

所以e x ≥e

1＋ln x

，即e x

≥e x ，

又因为e x ≥e(1＋ln x )，所以e x

≥e(1＋ln x )， 所以e x

＋(ln x －1)sin x ≥e(ln x ＋1)＋(ln x －1)sin x ＝(e ＋sin x )ln x ＋(e －sin x )>0.

综上，不等式e x

＋(ln x －1)sin x >0成立．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为???

??

x ＝3－2

2

t ，y ＝5＋2

2

t (t 为参数)．在以

原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.

(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；

(2)若点P 坐标为(3，5)，圆C 与直线l 交于A 、B 两点，求|PA |＋|PB |的值． 解 (1)由???

??

x ＝3－2

2

t ，y ＝5＋2

2

t 得直线l 的普通方程为x ＋y －3－5＝0.

又由ρ＝25sin θ得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2

－25y ＝0， 即x 2

＋(y －5)2

＝5.

(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 ?

????3－22t 2＋? ????22t 2＝5，即t 2

－32t ＋4＝0.

由于Δ＝(32)2

－4×4＝2>0，故可设t 1、t 2是上述方程的两实数根， 所以t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.

又直线l 过点P (3, 5)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |(a ∈R )． (1)当a ＝4时，求不等式f (x )≥5的解集．

(2)若f (x )≥4对a ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝4时，|x －1|＋|x －a |≥5等价于

?

??

??

x <1，－2x ＋5≥5或?

??

??

1≤x ≤4，

3≥5或?

??

??

x >4，

2x －5≥5，

解得x ≤0或x ≥5.

所以不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤0或x ≥5}．

(2)因为f (x )＝|x －1|＋|x －a |≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|，所以f (x )min ＝|a －1|. 要使f (x )≥4对a ∈R 恒成立，则|a －1|≥4即可， 所以a ≤－3或a ≥5，

即实数a 的取值范围是{a |a ≤－3或a ≥5}．