指数函数要点及常见题型

指数函数要点及常见题型

1．指数函数的定义：

函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R

探究1：为什么要规定a>0,且a ≠1呢？

①若a=0，则当x>0时，x a =0；当x ≤0时，x a 无意义.

②若a<0，则对于x 的某些数值，可使x a 无意义. 如x )2(-，这时对于x=

41，x=21，…等等，在实数范围内函数值不存在.

③若a=1，则对于任何x ∈R ，x a =1，是一个常量，没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a ≠1在规定以后，对于任何x ∈R ，x a 都有意义，且x a >0. 因此指数函数的定义域是R ，值域是(0,+∞).

探究2：函数x y 32?=是指数函数吗？

指数函数的解析式y=x a 中，x

a 的系数是1.

有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=x a +k (a>0且a ≠1，k ∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=x a - (a>0,且a ≠1)，因为它可以化为y=x

a ??

? ??1，其中a 1>0，且a 1≠1 2.指数函数的图象和性质： )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质

三、讲解范例：

例1：比较下列各题中两个值的大小：

①5.27.1，37.1； ②1.08.0-，2.08.0-； ③3.07.1，1.39.0

四、练习： ⑴比较大小：32)5.2(- ,54

)5.2(-

⑵已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：

n m )32

()32

(>?m n ；

n m 1.11.1

⑶比较下列各数的大小：,10 ,4.05.2- 2.02- ，

6.15.2

例2求下列函数的定义域、值域： ⑴11

4.0-=x y ⑵153-=x y ⑶2+=x y

例3求函数x

x y 2221-???

??=的单调区间，并证明

例4设a 是实数，)(1

22)(R x a x f x ∈+-=试证明对于任意a,)(x f 为增函数；

练习

求下列函数的定义域和值域： ⑴x a y -=1 ⑵31

)21(+=x y

六，指数函数图像的变换

基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所

例5探讨函数x a y =和x a y -= )10(≠>a a 且的图象的关系，并证明关于y 轴对称

例6 已知函数 2

22x

x y -+= 求函数的定义域、值域

【随堂练习】

1：比较大小：

（1） 2.5 3.21.5,1.5；（2） 1.2 1.50.5,0.5--；（3）0.3 1.21.5,0.8．

2：（1）已知0.533x ≥，求实数x 的取值范围；（2）已知0.225x <，求实数x 的取值范围.

3：设a 是实数，2()()21

x f x a x R =-∈+， （1）求a 的值，使函数()f x 为奇函数

（2）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；

加强训练一

1.若函数(1)x y a =-在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）

（A ）(1,)+∞ （B ）(0,1) （C ）(,1)-∞ （D ）(1,1)-

2.已知函数x y a =(0,1)a a >≠在区间[1,1]-上的最大值与最小值的差是1，求实数a 的值；

3. 解不等式：(1)293x x -> (2)34260x x ?-?>

【知识延伸】

一、与指数函数有关的复合函数

例4: 求函数2617

1()2x x y -+=的定义域、值域、单调区间．

加强训练二

1．求下列函数的定义域、值域：

(1)1

218x y -= (2)

y =