高二数学归纳法证明不等式
第四讲：数学归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。
本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。
在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：
（1）在从n=k 到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也
就是要认清不等式的结构特征；
（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析； （3）活用起点的位置；
（4）有的试题需要先作等价变换。
例题精讲
例1、用数学归纳法证明
n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+-
分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤 证明：
1?当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21
，所以等式成立。
2?假设当n=k 时，等式成立，
即
k k k k k 212111211214131211+++++=--++-+-
。
那么，当n=k+1时，
221121211214131211+-++--++-+-
k k k k 221121212111+-+++++++=k k k k k )2
2111(1212131214131211+-+++++++++=++-+-k k k k k k )1(21
121213121+++++++++=
k k k k k
这就是说，当n=k+1时等式也成立。 综上所述，等式对任何自然数n 都成立。 点评：
数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P （n ）．（1）证明当n 取第一个值n 0时，结论正确，即验证P （n 0）正确；（2）假设n=k （k ∈N 且k≥n 0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P （k ）正确推出P （k+1）正确，根据（1），
（2），就可以判定命题P （n ）对于从n 0开始的所有自然数n 都正确．
要证明的等式左边共2n 项，而右边共n 项。f(k)与f(k+1)相比较，左边增加两项，右边增加
一项，并且二者右边的首项也不一样，因此在证明中采取了将11+k 与221
+k 合并的变形方
式，这是在分析了f(k)与f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。 练习：
1.用数学归纳法证明3k ≥n 3(n≥3,n ∈N)第一步应验证( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.答案：C
2.用数学归纳法证明4
12+n
+3n+2能被13整除，其中n ∈N
证明：
(1)当n=1时，42×
1+1+31+2=91能被13整除
(2)假设当n=k 时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时， 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2 )
∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴当n=k+1时也成立.
由①②知，当n ∈N *时，42n+1+3n+2能被13整除.
例2、求证：*1115,(2,)
1236n n N n n n +++>≥∈++ ．
分析：该命题意图：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤。
用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k 到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．
证明：
（1）当n=2时，右边=1111534566+++>
，不等式成立．
（2）假设当
*
(2,)n k k k N =≥∈时命题成立，即 11151236k k k +++>++ ．
则当1n k =+时，
111111
(1)1(1)2331323(1)
1111111()123313233151111()6313233151111()633333315115(3).63316k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++
+++++++=++++++-++++++>+++-++++>+++-++++=+?-=++
所以则当1n k =+时，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式对一切*
2,n n N ≥∈均成立．
点评：本题在由n k =到1n k =+时的推证过程中，
（1）一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由n k =到1n k =+时不等式左端项数的增减情况；
（2）应用了放缩技巧：
11111111
3.313233333333331k k k k k k k k ++>++=?=++++++++
例3、已知，
*111
1,23n S n N n =+
+++∈ ，
用数学归纳法证明：*21(2,)
2n n
S n n N >+≥∈．
证明：
（1）当n=2时，
22111132111234122S =+
++=+>+，∴命题成立．
（2）假设当
*
(2,)n k k k N =≥∈时命题成立，即 2111112322k k k S =+
+++>+ ．
则当1n k =+时，
1
1
2111111123221222
k k k k k S ++=++++++++++
111111111111122122222221111211.
22222k k k k k k k k k k k k k +++++>+
++++>++++++++=++?=++=+ 所以则当1n k =+时，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式对一切*
2,n n N ≥∈均成立．
点评：本题在由n k =到1n k =+时的推证过程中，
（1）不等式左端增加了2k
项，而不是只增加了“11
2k +”这一项，否则证题思路必然
受阻；
（2）应用了放缩技巧：
11111
111111112.2122222222k
k k k k k k k ++++++++>+++=?=++
练习：
1、证明不等式：
分析
1、数学归纳法的基本步骤：
设P(n)是关于自然数n 的命题，若 1°P(n 0)成立(奠基) 2°假设P(k)成立(k≥n 0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n 0的自然数n 都成立.
2、用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标． 证明：（1）当n=1时，不等式成立． （2）假设n=k 时，不等式成立，即
那么，
这就是说，n=k+1时，不等式也成立． 根据（1）（2）可知不等式对n ∈N +都成立．
2.求证：用数学归纳法证明
2*22()n n n N +>∈． 证明：
（1） 当n=1时， 1
2
221+>，不等式成立； 当n=2时， 2
2222+>，不等式成立；
当n=3时， 32
223+>，不等式成立．
（2）假设当*(3,)n k k k N =≥∈时不等式成立，即 222k k +>．
则当1n k =+时，
1222222(22)222(1)23k k k k k k ++=+->-=++--，
∵3k ≥，∴223(3)(1)0k k k k --=-+≥，（*）
从而1
2222
2(1)23(1)k k k k k ++>++--≥+，
∴12
22(1)k k ++>+．
即当1n k =+时，不等式也成立．
由（1），（2）可知，2
22n
n +>对一切*
n N ∈都成立．
点评： 因为在（*）处，当3k ≥时才成立，故起点只证n=1还不够，因此我们需注意命题的递推关系式中起点位置的推移．
3．求证：23m
e
m >，其中1m >，且m N *∈．
分析：此题是2004年广东高考数学试卷第21题的适当变形，有两种证法 证法一：用数学归纳法证明．
（1）当m=2时，
44232e >>?，不等式成立． （2）假设
*
(2,)m k k k N =≥∈时，有23k e k >，
则 2(1)
22236k k e
e e k e k +=?>?>，
∵2k ≥，∴63(1)330k k k -+=->，即63(1)k k >+．
从而
2(1)63(1)k e k k +>>+， 即1m k =+时，亦有23m
e m >．
由（1）和（2）知，对1,m m N *
>∈都成立．
证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明．
22012
2223(11)332(21)
123(1211)
2
1230
m m m m m e m m
C C C m
m m m m m m m m m ->+->++--=++->?->>++->
∴当1m >，且m N *∈时，23m
e m >．
例4、（2005年江西省高考理科数学第21题第（1）小题，本小题满分12分）
已知数列{}n a ,:
的各项都是正数且满足.),4(,21
,110N n a a a a n n n ∈-=
=+
证明
;,21N n a a n n ∈<<+
求数列
}{n a 的通项公式a n
.
分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。对数列进行了考查，
和数学归纳法一起，成为压轴题。 解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
,23
)4(21,10010=-=
=a a a a ∴210< 2°假设n=k 时有 .21<<-k k a a 则 11111 1,(4)(4)22k k k k k k n k a a a a a a +--=+-= ---时 1111111 2()()()()(4). 22k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a -----=---+=--- 而 1110,40,0. k k k k k k a a a a a a ----<-->∴-< 又 2111 (4)[4(2)] 2.22k k k k a a a a += -=--< ∴1+=k n 时命题正确. 由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明： 1°当n=1时， ,23 )4(21,10010=-= =a a a a ∴2010<< 2°假设n=k 时有 21<<-k k a a 成立， 令)4(21 )(x x x f -= ，)(x f 在[0，2]上单调递增， 所以由假设有： ),2()()(1f a f a f k k <<- 即), 24(221 )4(21)4(2111-??<-<---k k k k a a a a 也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立， 所以对一切 2,1<<∈+k k a a N n 有． （2）下面来求数列的通项： ],4)2([21 )4(2121+--=-= +n n n n a a a a 所以 2 1)2()2(2--=-+n n a a 2,n n b a =-令 则 21222221222121 111111()()()222222n n n n n n n b b b b b -+++---=-=--=-?==- 又b n =－1，所以211(), 2n n b -=- 21 122()2n n n a b -=+=-即． 点评： 本题问给出的两种方法均是用数学归纳法证明，所不同的是：方法一采用了作差比较法；方法二利用了函数的单调性． 本题也可先求出第（2）问，即数列}{n a 的通项公式21 12()2n n a -=-，然后利用函数 21 1()2() 2x f x -=-的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式．但若这样做，则无形 当中加大了第（1）问的难度，显然不如用数学归纳法证明来得简捷． 练习： 1.试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有：a n +c n ＞2b n . 分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，考查的知识包括等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c)＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k+1+c k+1＞a k ·c+c k ·a. 证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a=q b ,c=bq(q ＞0且q≠1) ∴a n +c n =n n q b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b=a+c 猜想2n n c a +＞(2c a +)n (n≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明： ①当n=2时，由2(a 2+c 2)＞(a+c)2，∴222) 2(2c a c a +>+ ②设n=k 时成立，即,)2(2k k k c a c a +>+ 则当n=k+1时， 41 211=+++k k c a (a k+1+c k+1+a k+1+c k+1) ＞41(a k+1+c k+1+a k ·c+c k ·a)=41 (a k +c k )(a+c) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k+1 根据①、②可知不等式对n ＞1,n ∈N *都成立． 二.基础训练 1.已知f(n)=(2n+7)·3n +9,存在自然数m,使得对任意n ∈N,都能使m 整除f(n)，则最大的m 的值为( ) A.30 B.26 C.36 D.6 解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除. 证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k ≥2)时， f(k)=(2k+7)·3k +9能被36整除，则n=k+1时， f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1 －(2k+7)·3k =(6k+27)·3k －(2k+7)·3k =(4k+20)·3k =36(k+5)·3k － 2 (k ≥2) ?f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36. 答案：C 二、填空题 2.观察下列式子： 474 131211,3531211,2321122222<+++<++<+ …则可归纳出_________. 解析： 111 12)11(11232112 2++?< ++<+ 即 12122)12(1)11(11,35312112 222++?< ++++<++ 即 112)1(1312112 22++< +++++ n n n 归纳为(n ∈N *) 11 2)1(131211:2 22++< +++++ n n n 答案(n ∈N*) 3.已知a 1=21 ,a n+1=3 3+n n a a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________. 121234521 33332:,13725 32 33333333,,,383594510555 n a a a a a a a a a n ? == ==+++======== +++++3.解析同理猜想 73:答案、83、93、103 5 3 =n 4.若n 为大于1的自然数，求证： 2413212111>+++++n n n . 证明：(1)当n =2时， 24 13 127221121> =+++ (2)假设当n =k 时成立，即24 13 212111> +++++k k k 24 13)1)(12(21241322112124131122112124131 1 11221121213121,1>+++=+-++=+-++++>+- ++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k n 时则当 所以：对于n ∈N *，且n>1时，有 2413212111> +++++n n n 5.已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. (1)求数列{b n }的通项公式b n ; (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+ n b 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较 S n 与31 log a b n+1的大小，并证明你的结论. (1)解：设数列{b n }的公差为d ,由题意得???==???? ??=-+=311452) 110(10101 111d b d b b ,∴b n =3n －2 (2)证明：由b n =3n －2知 S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231 -n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231 -n )］ 而31log a b n +1=log a 3 13+n ,于是，比较S n 与31log a b n +1 的大小?比较(1+1)(1+41 )…(1+231 -n )与3 13+n 的大小. 取n =1，有(1+1)=3 3311348+?=> 取n =2，有(1+1)(1+333 1 2378)41+?=>> 推测：(1+1)(1+41)…(1+231 -n )＞313+n (* ) ①当n =1时，已验证(* )式成立. ②假设n =k (k ≥1)时(* )式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231 -k )＞313+k 则当n =k +1时，) 131 1(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k 3 1 31323+++= k k k 333 2 2233 333 1)1(343)23(131 30) 13(49)13()13)(43()23()43()131 323( ++=+>+++∴ >++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k 31)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时，(* )式成立 由①②知，(* )式对任意正整数n 都成立. 于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1 ,当 0＜a ＜1时，S n ＜31 log a b n +1 6.设实数q 满足|q|＜1,数列{a n }满足：a 1=2,a 2≠0,a n ·a n+1=－q n ,求a n 表达式，又如果lim ∞→n S 2n ＜3,求q 的取值范围. 解：∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0, ∴q ≠0,a 2=－29 , ∵a n ·a n +1=－q n ,a n +1·a n +2=－q n +1 两式相除，得 q a a n n 1 2=+,即a n +2=q ·a n 于是，a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n …猜想：a 2n +1=－21 q n (n =1,2,3,…) 综合①②，猜想通项公式为a n =??? ??∈=-∈-=?-) (2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时时 下证：(1)当n =1,2时猜想成立 (2)设n =2k －1时，a 2k －1=2·q k －1 则n =2k +1时，由于a 2k +1=q ·a 2k －1 ∴a 2k +1=2·q k 即n =2k －1成立. 可推知n =2k +1也成立. 设n =2k 时，a 2k =－21q k ,则n =2k +2时，由于a 2k +2=q ·a 2k , 所以a 2k +2=－21q k +1,这说明n =2k 成立，可推知n =2k +2也成立. 综上所述，对一切自然数n ,猜想都成立. 这样所求通项公式为a n =??? ??∈=-∈-=?-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时当时当 S 2n =(a 1+a 3…+a 2n －1)+(a 2+a 4+…+a 2n ) =2(1+q +q 2+…+q n -1 )－21 (q +q 2+…+q n ) ) 24)(11()1()1(211)1(2q q q q q q q q n n n ---=--?---= 由于|q |＜1,∴n n n n S q 2lim ,0lim ∞→∞→=故=) 24)(11(q q q n --- 依题意知)1(24q q --＜3,并注意1－q ＞0,|q |＜1解得－1＜q ＜0或0＜q ＜52 三.巩固练习 1. （06 年湖南卷. 理 .19本小题满分14分） 已知函数()sin f x x x =-,数列{n a }满足: 1101,(),1,2,3,.n n a a f a n +<<== 证明:(ⅰ)101n n a a +<<<;(ⅱ)3 11 6n n a a +<. 证明: （I ）．先用数学归纳法证明 01n a <<，ｎ＝1,2,3,… (i).当n=1时,由已知显然结论成立. (ii).假设当n=k 时结论成立,即 01k a <<.因为0 '()1cos 0f x x =->,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[0,1]上连续, 从而 1(0)()(1),01sin11k k f f a f a +<<<<-<即.故n=k+1时,结论成立. 由(i)、(ii)可知， 01n a <<对一切正整数都成立. 又因为01n a <<时，1sin sin 0n n n n n n a a a a a a +-=--=-<， 所以1n n a a +<，综上所述101n n a a +<<<． （II ）．设函数 3 1 ()sin 6g x x x x =-+，01x <<．由（I ）知，当01x <<时，sin x x <， 从而222' 22()cos 12sin 2()0.22222x x x x x g x x =-+=-+>-+= 所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0, 所以当01x <<时，g (x)>0成立.于是31 ()0,sin 0 6n n n n g a a a a >-+>即． 故3 11 6n n a a +<． 点评：不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用不 等式知识解决 问题的能力，在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点. 需要灵活运用各分支的数学知识. 2. （ 05 年辽宁卷.19本小题满分12分） 已知函数 ). 1(13 )(-≠++= x x x x f 设数列n a {}满足)(,111 n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-= （Ⅰ）用数学归纳法证明 12)13(--≤ n n n b ； （Ⅱ）证明 .33 2< n S 分析：本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力 （Ⅰ）证明：当.112 1)(,0≥++ =≥x x f x 时 因为a 1=1， 所以 *).(1N n a n ∈≥ 下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1 --≤n n n b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立， （2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1 --≤k k k b 那么 k k k k a a a b +--= -=+-1| 3|)13(|3|11 .2)13(2131k k k b +-≤-≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立。 根据（1）和（2），可知不等式对任意n ∈N*都成立。 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， .2)13(1 --≤n n n b 所以 12212)13(2)13()13(--+ +-+-≤+++=n n n n b b b S 2131) 213(1)13(----?-=n . 33221311)13(=-- ?-< 故对任意 .332 ,< ∈*n S N n ） 3.（05 年湖北卷.理22.本小题满分14分） 已知不等式 n n n 其中],[log 2 1 131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足 ,4,3,2,),0(1 1 1=+≤ >=--n a n na a b b a n n n （Ⅰ）证明 ,5,4,3,] [log 222=+< n n b b a n （Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； 分析：本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当 , 1 11,0,211111n a na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤ <≥-----时 即,1 111n a a n n ≥-- 于是有 .111,,3111,211112312 n a a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得 .13121111n a a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 21 1121n a a n >- ∵ . ][log 22.2][log 2][log 21 11,2221n b b a b n b n b a b a n n +< +=+>∴ = 证法2：设 n n f 13121)(+++= ，首先利用数学归纳法证不等式 . ,5,4,3,)(1 =+≤ n b n f b a n （i ）当n=3时， 由 .)3(112233133331 1 2223b f b a a a a a a +=++?≤+=+≤ 知不等式成立. （ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即 , )(1b k f b a k +≤ 则 1)(1)1(1 1) 1(1)1()1(1++?++≤ +++=+++≤ +b b k f k k a k k a k a k a k k k k , )1(1)1 1)((1)()1()1()1(b k f b b k k f b b b k f k k b k ++= ++ += +++++= 即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知， . ,5,4,3,)(1 =+≤ n b n f b a n 又由已知不等式得 . ,5,4,3,] [log 22][log 2 1 122 =+= +< n n b b b n b a n （Ⅱ）有极限，且. 0lim =∞ →n n a （Ⅲ）∵ , 51 ][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令 则有 ,10242,10][log log 10 22=>?>≥n n n 故取N=1024，可使当n>N 时，都有 . 51 第四讲：数学归纳法证明不等式 数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。 本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比及猜想、抽象及概括、从特殊到一般等数学思想方法。 在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点： （1）在从n=k 到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是 左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征； （2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析； （3）活用起点的位置； （4）有的试题需要先作等价变换。 例题精讲 例1、用数学归纳法证明 n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+- 分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤 证明： 1 当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21 ，所以等式成立。 2假设当n=k 时，等式成立， 即 k k k k k 212111211214131211+++++=--++-+- 。 那么，当n=k+1时， 221121211214131211+-++--++-+- k k k k 221121212111+-+++++++=k k k k k )2 2111(1212131214131211+-+++++++++=++-+-k k k k k k )1(21 121213121+++++++++= k k k k k 这就是说，当n=k+1时等式也成立。 综上所述，等式对任何自然数n 都成立。 点评： 数学归纳法是用于证明某些及自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P （n ）．（1）证明当n 取第一个值n 0时，结论正确，即验证P （n 0）正确；（2）假设n=k （k ∈N 且k≥n 0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P （k ）正确推出P （k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P （n ）对于从n 0开始的所有自然数n 都正确． 要证明的等式左边共2n 项，而右边共n 项。f(k)及f(k+1)相比较，左边增加两项，右边增加一项，并且二者右边的首项也不一样，因此 在证明中采取了将11+k 及221 +k 合并的变形方式，这是在分析了f(k) 及f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。 练习： 1.用数学归纳法证明3k ≥n 3(n≥3,n∈N)第一步应验证( ) 专题04 不等式的证明 知识通关 1．基本不等式 （1）定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． （2）定理2（基本不等式）：如果a ，b>0，那么 2 a b ab +≥，当且仅当a=b 时，等号成立. 用语言可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. （3）定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么 3 3 a b c abc ++≥a ＝b ＝c 时，等号成立． 用语言可以表述为：三个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. （4）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，···，a n ，它们的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数，即 12123n n n a a a a a a a n ++ +≥??，当且仅当 a 1=a 2=···=a n 时，等号成立. 2．柯西不等式 （1）二维形式的柯西不等式：若a ，b ，c ，d 都是实数，则2 2 2 2 2 ()(+)()a b c d ac bd +≥+，当且仅当 ad=bc 时，等号成立. （2）柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则||||||?≥?αβαβ，当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k 使α=k β时，等号成立. （3）二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，22 221212x x y y ++≥211222()()x y x y -+- （4）一般形式的柯西不等式：设1212,, ,,,, ,n n a a a b b b 是实数,则 (22212n a a a ++ +)(222 12n b b b + ++) ≥()2 1122n n a b a b a b +++，当且仅当a i =0或b i =0(i=1,2,···,n )或存在一个数k 使得 a i =k b i (i=1,2,···,n )时，等号成立. 3．不等式证明的方法 （1）比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种. 高二数学基本不等式训练题 数学基本不等式训练题1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是() A.有最大值-2 B.有最小值2 C.无最大值和最小值 D.无法确定 答案：B 2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A.400 B.100 C.40 D.20 答案：A 3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____. 答案：2 4 4.已知f(x)=12x+4x. (1)当x0时，求f(x)的最小值; (2)当x0 时，求f(x)的最大值. 解：(1)∵x0，12x，4x0. 12x+4x212x4x=83. 当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83， 当x0时，f(x)的最小值为83. (2)∵x0，-x0. 则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83， 当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号. 当x0时，f(x)的最大值为-83. 一、选择题 1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是() A.x+12x B.x2-1+1x2-1 C.2x+2-x D.x(1-x) 答案：C 2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是() A.32-3 B.-3 C.62 D.62-3 解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3. 3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是() A.200 B.100 C.50 D.20 解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立. 4.给出下面四个推导过程： ①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba ②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx ③∵aR，a0，4a+a 24a ④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2. 其中正确的推导过程为() A.①② B.②③ 不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =-- 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 用数学归纳法证明不等式 在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用．例1已知x＞－1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：(1＋x)n＞1＋nx． 证：(1)当n=2时，左边=(1＋x)2=1＋2x＋x2，右边=1＋2x，因x2＞0，则原不等式成立．(在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫) (2)假设n=k时(k≥2)，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx． 师：现在要证的目标是(1＋x)k+1＞1＋(k＋1)x，请同学考虑． 师：现将命题转化成如何证明不等式 (1＋kx)(1＋x)≥1＋(k＋1)x．显然，上式中“=”不成立．故只需证：(1＋kx)(1＋x)＞1＋(k＋1)x． 提问：证明不等式的基本方法有哪些？ (学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结) 师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．当n=k＋1时，因为x＞－1，所以1＋x＞0，于是左边=(1＋x)k+1=(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)=1＋(k＋1)x＋kx2；右边=1＋(k＋1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x．这就是说，原不等式当n=k ＋1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立． (通过例1的讲解，明确在第二步证明过程中，虽然可以采取证明不等式的有关方法，但为了书写更流畅，逻辑更严谨，通常经归纳假设后，要进行合理放缩，以达到转化的目的)例2证明：2n＋2＞n2，n∈N＋． 证：(1)当n=1时，左边=21＋2=4；右边=1，左边＞右边．所以原不等式成立． (2)假设n=k时(k≥1且k∈N)时，不等式成立，即2k＋2＞k2． 现在，请同学们考虑n=k＋1时，如何论证2k+1＋2＞(k＋1)2成立． 师：将不等式2k2－2＞(k＋1)2，右边展开后得：k2＋2k＋1，由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k2＋2k＋1方向进行转化，即：2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3．由此不难看出，只需证明k2－2k－3≥0，不等式2k2－2＞k2＋2k＋1即成立． 师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立，那么，n=3时是否也需要论证？ 师：(补充板书)当n=2时，左=22＋2=6，右=22=4，所以左＞右；当n=3时，左=23＋2=10，右=32=9，所以左＞右．因此当n=1，2，3时，不等式成立．(以下请学生板书) (2)假设当n=k(k≥3且k∈N)时，不等式成立．即2k＋2＞k2．因为2k+1＋2=2·2k＋2=2(2k ＋2)－2＞2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3=(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，k＋1＞0) ≥k2+2k＋1=(k＋1)2．所以2k+1＋2＞(k＋1)2．故当n=k＋1时，原不等式也成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N都成立． 师：通过例2可知，在证明n=k＋1时命题成立过程中，针对目标k2＋2k＋1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤(把验证 高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明 【高频考点解读】 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法． 2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式． 3.能利用均值不等式求一些特定函数的极值. 【重点知识梳理】 一、比较法证明不等式 (1)求差比较法： 知道a>b ?a －b>0，ab 只要证明a －b>0即可，这种方法称为求差比较法． (2)求商比较法： 由a>b>0?a b >1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b ，只要证明a b >1即可，这种方法称为求商比较法． 二、综合法与分析法 1．综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． 2．分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法． 3．平均值不等式 定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3 abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 我们称 a ＋ b ＋ c 3 为正数a ，b ，c 的算术平均值，3 abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式． 4．一般形式的算术—几何平均值不等式 如果a1，a2，…，an 为n 个正数，则a1＋a2＋…＋an n ≥n a1a2…an ，当且仅当a1＝a2＝…＝an 时，等号成立． 【高考考纲突破】 高中数学常见的 10类基本不等式问题汇总 一、基本不等式的基础形式1．2 2 2a b ab ，其中,a b R ，当且仅当a b 时等号成立。 2．2a b ab ，其中,0,a b ，当且仅当a b 时等号成立。 3．常考不等式： 2 2 2 2112 2a b a b ab a b ，其中,0, a b ，当且仅当a b 时等号成 立。 二、常见问题及其处理办法问题1：基本不等式与最值解题思路： （1）积定和最小：若 ab 是定值，那么当且仅当a b 时，min 2a b ab 。其中,0, a b （2）和定积最大：若 a b 是定值，那么当且仅当a b 时，2 max 2 a b ab ，其中,a b R 。 例题1：若实数,a b 满足2 21a b ，则a b 的最大值是 ． 解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得： 2 2 2 22 22 122 2 4 a b a b a b a b ， 当且仅当1a b 时取等号。 变式：函数1 (0,1)x y a a a 的图象恒过定点A ， 若点在直线1mx ny 上，则mn 的最大值为______。 解析：由题意可得函数图像恒过定点 1,1A ，将点1,1A 代入直线方程1mx ny 中可得1m n ，明 显，和为定，根据和定积最大法则可得： 2 124 m n mn ，当且仅当 1 2 m n 时取等号。例题2：已知函数2 12 2 x x f x ，则 f x 取最小值时对应的 x 的值为 __________． 解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得： 2 2 112 22 12 2 x x x x ，当且仅当 2 12 12 x x x 时取等号。 变式：已知2x ，则12 x x 的最小值为。 归纳法证明不等式 数学归纳法证明不等式的本质 数学归纳法证明不等式的典型类型是与数列或数列求和有关的问题，凡是与数列或数列求和有关的问题都可统一表述成f(n)?g(n)(n?n?)的形式或近似于上述形式。 这种形式的关键步骤是由n?k时，命题成立推导n?k?1时，命题也成立。为了表示的方便，我们记?左n?f(k?1)?f(k)，?右n?g(k?1)?g(k)分别叫做左增量，右增量。那么，上述证明的步骤可表述为 f(k?1)?f(k)??左k?g(k)??左k?g(k)??右k?g(k?1) 例1．已知an?2n?1，求证： 本题要证后半节的关键是证 an1a1a2n????n?(n?n?) 23a2a3an?12 2k?1?11?中k??右k即证k?2? 2?12 而此式显然成立，所以可以用数学归纳法证明。 而要证前半节的关键是证 12k?1?1?左k??中k即证?k?2 22?1 而此式显然不成立，所以不能用数学归纳法证明。如果不进行判断就用数学归纳法证前半节，忙乎半天，只会徒劳。 有时，f(n)?g(n)(n?n?)中f(n),g(n)是以乘积形式出现，且f(n)?0,g(n)?0是显然成立的。此时，可记 ?左k?f(k?1)g(k?1)，?右k? f(k)g(k) 分别叫做左增倍，右增倍。那么，用数学归结法证明由n?k时，成立推导 n?k?1成立，可表述为 f(k?1)?f(k)??左k?g(k)??左k?g(k)??右k?g(k?1) 和前面所讲相似，上述四步中，两个“=”和“<”都显然成立，而“≤”是否成立，就需要判断和证明了，既“?左k??右k”若成立，既可用数学归纳法证明；若不成立，则不能用数学归纳法证明。因此，可以这样说，此时，数学归纳法证明不等式的本质是证“左增倍≤右增倍”，而判断能否用数学归纳法证明不等式的标准就是看“左增倍≤右增倍”是否成立。 第二篇：归纳法证明不等式 2019-2020年高二数学第六章不等式： 6.1不等式的性质(一) 优秀教案 教学目的： 1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 教学重点：比较两实数大小． 教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、引入： 复习初中学过的不等式的性质 ①正数的相反数是负数 ②任意实数的平方不小于0。 ③不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式， 不等号的方向不变。 ④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的 方向不变。 ⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的 方向改变。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可怎么证呢?引人课题 二、讲解新课： 1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是： 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了． 三、讲解范例： 例1比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数 §数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力． 5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n 选修4-5学案 §4.1.1数学归纳法证明不等式 姓名 ☆学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤; 2. 会运用数学归纳法证明不等式 重点：应用数学归纳法证明不等式. ?知识情景： 关于正整数n 的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性： 10. 验证n 取 时命题 ( 即n ＝n 时命题成立) (归纳奠基） ； 20. 假设当 时命题成立，证明当n=k ＋1时命题 (归纳递推）. 30. 由10、20知，对于一切n ≥n 的自然数n 命题 ！(结论） 要诀: 递推基础 , 归纳假设 , 结论写明 . ☆ 数学归纳法的应用： 例1. 用数学归纳法证明不等式sin sin n n θθ≤. 例2已知x > -1，且x ≠0，n ∈N*，n ≥2．求证：(1+x )n >1+nx . 例3 证明: 如果(n n 为正整数)个正数12,,,n a a a 的乘积121n a a a = , 那么它们的和12n a a a n +++ ≥. 例4 证明:2 2 2 111112(,2).2 3 ≥n N n n n + + +?+ <- ∈ 例5.当2n ≥时,求证:1 + +++ > 选修4-5练习 §4.1.1数学归纳法证明不等式（1） 姓名 1、已知f(n)=(2n+7)·3n +9,存在自然数m,使得对任意n ∈N,都能使m 整除f(n)，则最大的m 的 值为( ) A.30 B.26 C.36 D.6 2、.观察下列式子：2 2 2 2 2 1311511171, 1, 1222 3 32 3 4 4 + < + +< + ++< 2.2.1不等式的基本性质 【学习目标】： 1.复习归纳不等式的基本性质； 2.学会证明这些性质； 3.并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题。 【学习重点】：不等式性质的证明 【课前自主学习】： 1、数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数，可知： ? a- > b b a a- = b ? a b ? < a- a b b 结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质： （1）对称性：b a>?； （2）传递性：? b a,； b > >c （3）同加性：? a； >b 推论：同加性：? > a,； b c >d （4）同乘性：? b ,c a， >0 > ,c a； b ? < >0 推论1：同乘性：? ,0d c b a； >0 > > > 推论2：乘方性：? n N a,0； b ∈ > >+ 推论3：开方性：? b n a,0； > ∈ >+ N 【问题发现】： 【问题导学，练习跟踪】： 例1. 用符号“>”或“<”填空，并说出应用了不等式的哪条性质． （1） 设a b >，3a - 3b -； （2） 设a b >，6a 6b ； （3） 设a b <，4a - 4b -； （4） 设a b <，52a - 52b -． 变式练习（1）设36x >，则 x > ； （2）设151x -<-，则 x > ． 例2. 已知0a b >>，0c d >>，求证ac bd >． 变式练习:已知a b >，c d >，求证a c b d +>+． 当堂检测： 1.如果b a >，则下列不等式成立的是（ ） A.b a 55-<- B.b a > C.bc ac > D.22bc ac > 2.如果0< B.b a > C.b b a 1 1 >- D.22b a > 3.已知b a ,为任意实数，那么（ ） A.b a >是的22b a >必要条件 B.b a >是b a -<-11的充要条件 C.b a >是b a >的充分条件 D.b a >是22b a >的必要条件 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 第48课时：第六章 不等式——不等式的证明(二) 课题：不等式的证明（二） 一．复习目标： 1．了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式． 二．知识要点： 1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）； 2．换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性； 3．放缩法：要注意放缩的适度，常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）． 三．课前预习： 1．设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是 （ ） () A 1,)+∞ () B (1]-∞ () C 1,)+∞ () D (1]-∞ 2 ．1A n =+++与)n N *∈的大小关系是 ． 四．例题分析： 例1．已知332x y +=，求证：2x y +≤． 例2．设正有理数1a 是3的一个近似值，令21 211a a =+ +， （1介于1a 与2a 之间； （2）证明：2a 比1a 更接近于3； （3的有理近似值的方法． 例3．在数列{}n a 中，23sin sin 2sin 3sin 2222n n n a αααα=++++，对正整数,m n 且m n >，求证：12m n n a a -< ． 例4．设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：103c -<<． 五．课后作业： 1．下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中 （ ） ()A 至少有一式小于1- ()B 都小于1- ()C 都大于等于1- ()D 至少有一式大于等于1- 2设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++，则,A B 的大小关系是 ． 4.2 用数学归纳法证明不等式举例 学习目标 1.理解数学归纳法证明不等式的基本思路． 2．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x )n >1＋nx (x >－1，x ≠0，n 为大于1的自然数)． 3．了解n 为实数时贝努利不等式也成立. 一、自学释疑 根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。 二、合作探究 思考探究 在应用贝努利不等式时应注意什么？ 名师点拨： 1.对贝努利(Bernoulli)不等式的理解 当指数n 推广到任意实数α时，x >－1时， ①若0<α<1，则(1＋x )α ≤1＋αx . ②若α<0或α>1，则(1＋x )α ≥1＋αx . 当且仅当x ＝0时等号成立． 2．贝努利不等式的应用 贝努利不等式：如果x 是实数，且x >－1，x ≠0，n 为大于1的自然数，那么有(1＋x )n >1＋nx . 推论：当x 是实数，且x >－1，x ≠0，n 为不小于2的正整数时，有? ? ???1－x 1＋x n >1－nx 1＋x . 3．数学归纳法与其他方法的联系 数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与正整数有关的不等式，其他证明不等式的方法运用比较广泛，但在具体应用时，各自又有具体的要求，如反证法，必须有严格的格式(以否定结论入手，推出矛盾)，分析法也有独特的表达格式，而数学归纳法必须分两步且在第二步中，要从假设出发推证n ＝k ＋1命题正确时，也经常用到综合法、分析法、比较法、放缩法等． 4．用数学归纳法证明不等式时常用技巧 用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，要注意初始值n 0的定位，要弄清楚n ＝k 和 n ＝k ＋1时的结论是什么，要有目标意识，紧盯n ＝k ＋1时的目标，对n ＝k ＋1时的结论进行 一系列的变化，变化的目标就是n ＝k ＋1时的结论形式，这种变化就是“凑假设，奔结论”．常用放缩法做辅助手段． 【例1】 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n >56 (n ≥2，n ∈N )． 【变式训练1】 用数学归纳法证明： 1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1 n (n ≥2，n ∈N )． 【例2】 求证：当n ≥1(n ∈N )时，(1＋2＋…＋n )? ????1＋12＋1 3＋…＋1n ≥n 2. 【变式训练2】 求证：1＋12＋13＋…＋1n ≥2n n ＋1(n ∈N ＋) 高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤ a ＋ b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4) a 2＋ b 22 ≥? ?? ??a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋ b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为 两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2 4.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是 2 2 ?? ??a ＋b 22 (a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1) a 2＋ b 22 ≥? ?? ??a ＋b 22 ≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋ b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数2y = 的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231 ,(0)x x y x x ++= > （2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 高中数学 典型例题一 例1 若10< 说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快． 典型例题二 例2 设0>>b a ，求证：.a b b a b a b a > 分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式． 证明：b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ，∴ .0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a ， ∴.a b b a b a b a >. 说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符 号、作商、变形、判断与1的大小. 典型例题三 例3 对于任意实数a 、b ，求证 444 ()22 a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4 ( )2 a b +，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：2 2 2a b ab +≥出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明：∵ 222a b ab +≥（当且仅当22 a b =时取等号） 两边同加4 4 4 4 2 22 ():2()()a b a b a b ++≥+， 即： 44222 ()22 a b a b ++≥ （1） 又：∵ 2 2 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号） 一．选择题 1．（2016?济南模拟）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A． B．2C．4 D．4 2．（2016?乌鲁木齐模拟）已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2016?合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2016?宜宾模拟）下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 5．（2016?金山区一模）若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．（2015?福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于 （） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2015?红河州一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2015?江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线 mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（） A．B．8 C．9 D．12 9．（2015?南市区校级模拟）若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2015?湖南模拟）已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A．B．4 C．D．6 11．（2015?衡阳县校级模拟）若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．（2015春?哈尔滨校级期中）已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值 为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．（2016?吉林三模）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．（2016?抚顺一模）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．（2016?丰台区一模）已知x＞1，则函数的最小值为．4．（2016春?临沂校级月考）设2＜x＜5，则函数的最大值 是． 5．（2015?陕西校级二模）函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 整合提升 知识网络 典例精讲 数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法.它可用来证明与自然数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题.在高考中，用数学归纳法证明与数列、函数有关的不等式是热点问题，特别是数列中的归纳—猜想—证明是对观察、分析、归纳、论证能力有一定要求的，这也是它成为高考热点的主要原因. 【例1】设n ∈N *且n≥2，求证:1+ n n >+++13121 恒成立. 证明: ①n=2时，左边=1+22 2>=右边，原不等式成立； ②设n=k(k≥2)时原不等式成立， 即1+k k >+ ++131 21 . 当n=k+1时，有1+=++>++++1111131 21 k k k k 即n=k+1时原不等式成立. 由①②，可知对于任何n ∈N *（n≥2）原不等式成立. 【例2】设a 1,a 2,a 3,…,a n ∈R 且0a 1+a 2+…+a n +1-n(n≥2,n ∈N *). 证明:①n=2时，∵（1-a 1）(1-a 2)>0, ∴a 1a 2>a 1+a 2+1-(1+1)成立. ②设n =k(n≥2)时原不等式成立， 即a 1a 2…a k >a 1+a 2+…+a k+1-k 成立， 则a 1a 2…a k +a k+1-1>a 1+a 2+…+a k +a k+1+1-(k+1)成立. ∴要证明n=k+1时原不等式成立， 即a 1a 2…a k a k+1>a 1+a 2+…+a k+1+1-(k+1)成立, 只需证明不等式 a 1a 2…a k a k+1>a 1a 2…a k +a k+1-1(*)成立. 要证明不等式（*）成立，只需证明 (a 1a 2…a k -1)(a k+1-1)>0. 又∵00成立. ∴不等式(*)也成立，即n=k+1时原不等式成立. 由①②可知对于任何n ∈N *（n≥2）原不等式成立. 温馨提示 当“假设不等式”直接向“目标不等式”过渡有困难时，可以先找一个介于“假设不等式”和“目标不等式”之间的“中途不等式”.通过对“中途不等式”的证明，实现由“假设不等式”到“目标不等式”的平稳过渡.而这个“中途不等式”仅起到桥梁作用.本例关键是尽快由“假设不等式”得高二数学归纳法证明不等式
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