高中数学必修四教案课程

第一章 三角函数 1.1．1 任意角

教学目标

（一） 知识与技能目标

理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标

会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标

1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．

教学重点

任意角概念的理解；区间角的集合的书写．

教学难点

终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．

教学过程

一、引入：

1．回顾角的定义

①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课：

1．角的有关概念： ①角的定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：

③角的分类： ④注意：

⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：

①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？

例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．

⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；

答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面

终边相同的角的表示：

正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角

负角：按顺时针方向旋转形成的角 顶点

A

O

所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360

° ， k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z

⑵ α是任一角；

⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍；

⑷ 角α + k ·720

°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．

例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．

⑴－120°；⑵640

°；⑶－950°12＇．

答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z }．

例5．写出终边在x y =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：

③象限角；

④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：

①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，

2

α

各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限，

∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z )

因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z ) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k ∈Z )

故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角． 又k ·180°+90°＜

2

α

＜k ·180°+135°(k ∈Z ) ． 当k 为偶数时，令k =2n (n ∈Z )，则n ·360°+90°＜2

α

＜n ·360°+135°(n ∈Z ) ， 此时，

2

α

属于第二象限角 当k 为奇数时，令k =2n +1 (n ∈Z )，则n ·360°+270°＜2

α

＜n ·360°+315°(n ∈Z ) ， 此时，2

α

属于第四象限角 因此2

α

属于第二或第四象限角．

1.1.2弧度制

教学目标

正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角

负角：按顺时针方向旋转形成的角

（四） 知识与技能目标

理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数． （五） 过程与能力目标

能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 （六） 情感与态度目标

通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．

教学重点

弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．

教学难点

“角度制”与“弧度制”的区别与联系．

教学过程

一、复习角度制：

初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的

360

1

作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 二、新课： 1．引 入：

由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义

我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考：

（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？ （2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为

;ππ=r

r

②整圆所对的圆心角为

.22ππ=r

r

③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r

l 4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：

π2360=?； π=?180；rad 01745.0180

1≈=

?π

；rad n n 180

π

=

?． ②将弧度化为角度：

?=3602π；?=180π；815730.57)180

(1'?=?≈?=πrad ；?=) 180 (π

n n ． 5．常规写法：

① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．

αα?=?=r l r

l

弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把67°30＇化成弧度． 例2．把rad 5

3π化成度． 例3．计算：

4

sin

)1(π

；5.1tan )2(．

例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：

3

19)

1(π

；?-315)2(． 例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z ,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．

319)

1(π

；6

31)2(π-． 解: (1),6

72319π

ππ+=

而6

7π是第三象限的角,319π

∴是第三象限角.

(2) 6

31,656631π

πππ-

∴+-=- 是第二象限角. .,,2

1

6. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =

证法一:∵圆的面积为2

R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ

,又扇形弧长为l ,半径为R ,

∴扇形的圆心角大小为R

l

rad, ∴扇形面积lR R R l S 21212=?=．

证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π?=，又此时弧长180

R

n l π=，∴

R l R R n S ?=??=2118021π．

可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．

22

1

21:R lR S α==扇形面积公式

7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别．

8．课后作业：

①阅读教材P 6 –P 8；

②教材P 9练习第1、2、3、6题； ③教材P10面7、8题及B2、3题．

1.2.1任意角的三角函数（1）

教学目的：

知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；

3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

O R l

能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；

（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）

的一种联系方式；

（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），

以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表

示出来.

教学过程：

一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？

在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为

,,a b a

sinA cosA tanA c c b

=== ．

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课： 1．三角函数定义

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离

为(0)r r ==>，那么

（1）比值

y

r

叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；

（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x

r

α=；

（3）比值y

x

叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；

（4）比值x

y

叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=；

说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α

的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；

③当()2

k k Z π

απ=

+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，

所以tan y

x

α=

无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；

④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y

x

、x y 分别是一个确定的实数，

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

2．三角函数的定义域、值域

注意：

(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合 (2) α是任意角，射线OP 是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox 转了几圈，按什么方向旋转到OP 的位置无关.

(3)sin α是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:

锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.

(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆. 3．例题分析

例1．求下列各角的四个三角函数值： （通过本例总结特殊角的三角函数值） （1）0； （2）π； （3）

32

π． 解：（1）因为当0α=时，x r =，0y =，所以

sin00=， 01cos =， tan 00=， cot 0不存在。 （2）因为当απ=时，x r =-，0y =，所以

sin 0π=， cos 1π=-， tan 0π=， cot π不存在，

（3）因为当32

π

α=

时，0x =，y r =-，所以 3sin 12π=-， 3cos 02π=， 3tan 2π不存在， 3cot 02

π

=，

例2．已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的四个函数值。

解：因为2,3x y ==-，所以r =

=

sin

y r α=

==； cos x r α===

； 3

tan 2

y x α==-； 2cot 3x y α==- ．

例3．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。

解：因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以|r a =， ,2x a y a ==

当0sin

y a r α>=

===时，cos x r α===

；1tan 2;cot ;sec 5;csc 2αααα===；

当0sin

5y a r α<====-

时，；

cos

x r α=

==； 15

tan 2;cot ;sec 5;csc 22αααα===-=-． 4由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

①正弦值

y

r 对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ②余弦值x

r 对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；

③正切值y

x

对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

练习： 确定下列三角函数值的符号： （1）cos 250； （2）sin()4

π

-

； （3）tan(672)-； （4）11tan

3

π

． 例4．求证：若sin 0α<且tan 0α>，则角θ是第三象限角，反之也成立。 5．诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：

sin(2)sin k απα+=，

cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈． tan(2)tan k απα+=，

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 例5．求下列三角函数的值：（1）9cos 4π， （2）11tan()6

π

-， 例6．求函数x

x

x

x y tan tan cos cos +

=

的值域 解： 定义域：cosx ≠0 ∴x 的终边不在x 轴上 又∵tanx ≠0 ∴x 的终边不在y 轴上

∴当x 是第Ⅰ象限角时，0,0>>y x cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 …………Ⅱ…………,0,0>

…………ⅢⅣ………, 0

,00

,0<><

1．任意角的三角函数的定义；2．三角函数的定义域、值域；3．三角函数的符号及诱导公式。

五、巩固与练习

1、教材P15面练习；

2、作业P20面习题1．２A 组第1、2、3（1）（2）（3）题及P21面第9题的（1）、（3）题。

1.2.1任意角的三角函数（2）

教学目的：

知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；

3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理

解。

德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。 教学过程： 一、复习引入： 1. 三角函数的定义 2. 诱导公式

)

Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ 练习1. .____________tan600o

的值是 D

3.D 3.C 3

3

.B 33.A --

练习2. .

________,0cos sin 在则若θθθ>

B

第二、四象限

第一、四象限第一、三象限 第一、二象限.D .C .B .A

练习3.

____0sin20cos 的终边在则若 θθ<>θ，且C

第二象限 第四象限 第三象限 第一象限.D .C .B .A

二、讲解新课：

当角的终边上一点(,)P x y

1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示—

—三角函数线。 1．有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义：

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ， 过P 作x

长线交与点T

（Ⅳ）

由四个图看出：

当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有

sin 1y y y MP r α=

===， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA

α====

我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 说明：

（1）三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上；正切

线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂

足；正切线由切点指向与α的终边的交点。 （3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的 为负值。

（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 4．例题分析：

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 （1）3

π

； （2）56π； （3）23π-； （4）136π-．

解：图略。

例2. .1cos sin 2

0>+<<ααπ

α，证明若

π

πππππ5

4

tan 32tan )(354cos 32cos )(254sin 32sin )(1.3与与与比较大小：

例

)(2

1

sin ]20[.4的取值范围是的上满足，在例x x ≥π

??

?

??????

???????????????πππππππ，，，65.D 326.C 656.B 6,0.A 例5. 利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围．

;21sin )1(-

1

c o s )2(>x

答案：（1）

71122,66k x k k Z ππππ+<<+∈；（2）22,66

k x k k Z ππππ-+<<+∈； 三、巩固与练习：P17面练习

四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．三角函数线的定义；

2．会画任意角的三角函数线；

3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。 五、课后作业： 作业4

参考资料

例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1? 32s i n

π与54sin π 2? 32tan π与5

4tan π 解： 如图可知：

32sin

π>54sin π tan 32π< tan 5

4π

例2．利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角

1? sin α≥

2

1

2? tan α>33

解：

30?<α<90?或210?<α<270?

补充：1．利用余弦线比较cos 64,cos 285的大小；

2．若

4

2

π

π

θ<<

，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；

3．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：

（1）cos θ< ； （2）tan 1θ>- ； （3）sin θ>

1.2.2同角三角函数的基本关系

教学目的：

知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的

思维能力；

教学重点：同角三角函数的基本关系式

教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程： 一、复习引入：

1．任意角的三角函数定义：

设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的距离为

(0)r r ==>，那么：sin y r α=

，cos x r α=，tan y x

α=， 2．当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的？ 3．背景：如果5

3

sin =

A ，A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值； 4．问题：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？ 二、讲解新课：

（一）同角三角函数的基本关系式：

（板书课题：同角的三角函数的基本关系）

1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：

2. （1）商数关系：α

ααcon sin tan = （2）平方关系：1sin 2

2=+ααcon 说明：

①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如2

2

sin 4cos 41αα+=等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tan cot 1(,)2

k k Z π

ααα?=≠

∈； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

cos α= 22sin 1cos αα=-， sin cos tan α

αα

=

等。 2．例题分析： 一、求值问题 例1．（1）已知12

sin 13

α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα． （2）已知4

cos 5

α=-

，求sin ,tan αα． 解：（1）∵22sin cos 1αα+=， ∴2222125

cos 1sin 1()()1313

αα=-=-=

又∵α是第二象限角， ∴cos 0α<，即有5

cos 13

α=-，从而

sin 12tan cos 5ααα==-， 15

cot tan 12αα==-

（2）∵22sin cos 1αα+=， ∴22

2

2

4

3sin 1cos 1()()5

5

αα=-=--=，

又∵4

cos 05

α=-

<， ∴α在第二或三象限角。 当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5α=，sin 3

tan cos 4ααα==-；

当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3

tan cos 4

ααα=

=． 总结：

1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终

边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。

2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，

漏掉了负的平方根。

例2．已知tan α为非零实数，用tan α表示sin ,cos αα． 解：∵2

2sin

cos 1αα+=，sin tan cos α

αα

=

，

∴2222

(cos tan )cos cos (1tan )1ααααα?+=+=，即有2

21

cos 1tan αα

=

+，

又∵tan α为非零实数，∴α为象限角。

当α在第一、四象限时，即有cos 0α>

，从而cos α==，

sin tan cos ααα=?=

当α在第二、三象限时，即有cos 0α<

，从而2

cos 1tan αα

==+，

sin tan cos ααα=?=．

例3、已知α=αcos 2sin ，求ααα

αcos 2sin 5cos 4sin +-

解：2tan cos 2sin =α∴α

=α

6

1

1222tan 54tan cos 2sin 5cos 4sin -=-=+α-α=α+αα-α∴

强调（指出）技巧：1? 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式

注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以αcos ,将分子、分母转化为αtan 的代数式；

2? “化1法” 可利用平方关系1cos sin

22

=+αα，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为αtan 的

分式求值；

小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：

（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低； （2）尽量使分母不含三角函数式； （3）根式内的三角函数式尽量开出来；

（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，

二、化简

练习1

解：原式

2

1sin 80==-cos80==．

练习2．)2

3( cos 1cos 1cos 1cos 1

π

θπθθθθ<<-+++-化简

三、证明恒等式

例4．求证：

cos 1sin 1sin cos x x

x x

+=

-． 证法一：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠．

∴左边=2

cos (1sin )cos (1sin )(1sin )(1sin )cos x x x x x x x ++=-+1sin cos x

x

+==右边． ∴原式成立．

证法二：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠． 又∵2

2

(1sin )(1sin )1sin cos cos cos x x x x x x -+=-==?， ∴

cos 1sin 1sin cos x x

x x

+=

-． ．

αααα22cos cos sin 2sin 2-+⑵

证法三：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠．

cos 1sin 1sin cos x x x x

+-

-cos cos (1sin )(1sin )(1sin )cos x x x x x x ?-+-=-22cos 1sin 0(1sin )cos x x

x x -+==-， ∴cos 1sin 1sin cos x x x x

+=-． 总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；

（2）证明左右两边同等于同一个式子；

（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。

四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；

2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值； 五、课后作业：

参考资料

．

解：原式=

|cos40sin 40|cos40sin 40==-=-．

1．3诱导公式（二）

教学目标

（一）知识与技能目标

⑴理解正弦、余弦的诱导公式． ⑵培养学生化归、转化的能力． （二）过程与能力目标

（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．

（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． （三）情感与态度目标

通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质． 教学重点

掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式． 教学难点

运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． 教学过程

一、复习：

诱导公式（一）

tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(ααα

ααα=+?=+?=+?k k k

诱导公式（二）

tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+?-=+?-=+? 诱导公式（三）

tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=- 诱导公式（四）

tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-?-=-?=-? 对于五组诱导公式的理解 ： ①可以是任意角；公式中的α ②这四组诱导公式可以概括为： 符号。看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名

的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k

总结为一句话：函数名不变，符号看象限 练习1：P27面作业1、2、3、4。

2：P25面的例2：化简 二、新课讲授：

1、诱导公式（五） sin )2

cos( cos )2sin(ααπ

ααπ

=-=- 2、诱导公式（六） sin )2

cos( cos )2sin(

ααπ

ααπ-=+=+ 总结为一句话：函数正变余，符号看象限 例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：

).3

17sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan )1(πππ-?

练习3：求下列函数值：

).580tan )4( ,670sin )3( ),4

31sin()2( ,665cos )1(??-ππ

例2．证明：（1）ααπ

cos )23sin(-=-

（2）ααπ

sin )2

3cos(-=-

例3．化简：.)

2

9sin()sin()3sin()cos()

211cos()2cos()cos()2sin(απ

πααπαπαπ

απαπαπ+-----++-

的值。

求：已知例)

sin(2)4cos()3sin()2cos( ,

3)tan( .4απααπαπαπ-+-+--=+ 解：.3tan ,3)tan(=∴=+ααπ

.73

43

32tan 4tan 32sin 4cos 3sin 2cos =-?+-=-+-=-+-=αααααα原式

小结：

①三角函数的简化过程图：

②三角函数的简化过程口诀：

负化正，正化小，化到锐角就行了. 练习4：教材P28页7． 三．课堂小结

①熟记诱导公式五、六；

②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；

③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数． 四．课后作业： ①阅读教材；

1．3诱导公式（三）

教学目标

（一）知识与技能目标

⑴理解正弦、余弦的诱导公式． ⑵培养学生化归、转化的能力． （二）过程与能力目标

（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．

（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． （三）情感与态度目标

通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质． 教学重点

掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式． 教学难点

运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． 教学过程 一、复习：

诱导公式（一）

tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+?=+?=+?k k k

诱导公式（二）

tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+?-=+?-=+? 诱导公式（三）

tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=- 诱导公式（四）

sin(π－α)=sin α cos(π －α)=－cos α tan (π－α)=－tan α 诱导公式(五)

sin )2cos( cos )2sin(

ααπ

ααπ=-=- 诱导公式（六） sin )2cos( cos )2sin(

ααπ

ααπ-=+=+ 二、新课讲授：

练习1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：

).3

17sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan )1(πππ-?

练习2：求下列函数值：

).580tan )4( ,670sin )3( ),4

31sin()2( ,665cos )1(??-ππ

例1．证明：（1）ααπ

cos )23sin(-=-

（2）ααπ

sin )2

3cos(-=-

例2．化简：.)

2

9sin()sin()3sin()cos()

211cos()2cos()cos()2sin(απ

πααπαπαπ

απαπαπ+-----++-

的值。求：已知例)

sin(2)4cos()

3sin()2cos( ,3)tan( .3απααπαπαπ-+-+--=+

解：.3tan ,3)tan(=∴=+ααπ

.73

43

32tan 4tan 32sin 4cos 3sin 2cos =-?+-=-+-=-+-=αααααα原式

例4. .)

3cos(4)

3tan(3)sin(2,0cos sin ,54)sin(的值求

且已知πααππαααπα--+-<=+

小结：

①三角函数的简化过程图：

②三角函数的简化过程口诀：

负化正，正化小，化到锐角就行了. 练习3：教材P28页7． 化简:

);2cos()2sin(25sin 2cos )1(αππααππα-?-???

? ??+?

?? ??

- .)

sin()360tan()(cos )2(o 2

ααα-+--

例5. .2

73021cos ,sin 2παπαα<<=+

-的两根，且的方程是关于已知ax x x .)

900sin()180cos()

6cos()2sin()6tan(的值求

αααπαπαπ-??--+--

三．课堂小结

①熟记诱导公式五、六；

②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；

③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数． 四．课后作业：

①阅读教材的双基训练.

1.4.1正弦、余弦函数的图象

教学目的：

知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状； （2）根据关系)2

sin(cos π

+

=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象；

（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法； （2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；

德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神； 教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 教学难点：作余弦函数的图象。 教学过程： 一、复习引入：

1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2.正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）

P 与原点的距离r (0222

2>+=

+=y x y

x r )

则比值

r

y

叫做α的正弦 记作： r y =αsin

比值r x

叫做α的余弦 记作： r

x =αcos

3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则

有

MP r y ==

αsin ，OM r

x

==αcos 向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．

二、讲解新课：

1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．

（1）函数y=sinx 的图象

第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.

第二步：在单位圆中画出对应于角6

,

0π，

3π，2

π

,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.

第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.

把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.

（2）余弦函数y=cosx 的图象

探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？

根据诱导公式cos sin()2

x x π

=+

,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移

2

π

单位即得余弦函数y=cosx 的图象. （课件第三页“平移曲线” ）

正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？ 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2

3π

,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1) (

2π,0) (π,-1) (2

3π,0) (2π,1) 只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和

余弦函数的简图，要求熟练掌握．

优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以 3、讲解范例：

例1 作下列函数的简图

(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， （2）y=-COSx

●探究2． 如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 （1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象？

小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。 ● 探究３．

如何利用y=cos x ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝-cosx ， ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：这两个图像关于X 轴对称。 ●探究４． 如何利用y=cos x ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝2-cosx ，ｘ∈〔0，

２π〕的图象？

小结：先作 y=cos x 图象关于x 轴对称的图形，得到 y ＝-cosx 的图象，

再将y ＝-cosx 的图象向上平移2个单位，得到 y ＝2-cosx 的图象。

●探究５．

不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx 的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。

小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx 这两个函数相等，图象重合。

例2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x 的集合：

1(1)sin ;2x ≥ 15(2)cos ,(0).22

x x π

≤<<

三、巩固与练习

四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系 五、课后作业：八

1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)

教学目的：

知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；

能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数

图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

教学重点：正、余弦函数的周期性

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 教学过程： 一、复习引入： 1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……

（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？

2

正弦函数()sin f x x =性质如下：

（观察图象） 1? 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2? 规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3? 这个规律由诱导公式sin(2k π+x)=sinx 可以说明 结论：象这样一种函数叫做周期函数。

–

– π 2π 2π- 2π

5π

π- 2π- 5π- O x 1 1-