江苏高考数学试卷及答案

2008年普通高校招生全国统一考试（江苏卷）

数学

1.()cos()6

f x wx π

=-

的最小正周期为

5π

，其中0w >，则w =▲。 【解读】本小题考查三角函数的周期公式。2105

T w w ππ

==?=。

答案10

2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为▲。

【解读】本小题考查古典概型。基本事件共66?个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612

P ==?。 答案

112 3.11i i

-+表示为a bi +(,)a b R ∈，则a b +=▲。 【解读】本小题考查复数的除法运算，1,0,11i

i a b i

-=∴==+，因此a b +=1。

答案1

4.{}

2(1)37,A x x x =-<-则A

Z 的元素个数为▲。

【解读】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由2

(1)37x x -<-得2580x x -+< 因为0?<，所以A φ=，因此A Z φ=，元素的个数为0。

答案0

5.,a b 的夹角为0120，1,3a b ==，则5a b -=▲。 【解读】本小题考查向量的线形运算。

因为13

13()22

a b ?=??-=-，所以

22225(5)2510a b a b a b a b -=-=+-?=49。 因此5a b -=7。

答案7

6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为▲。

【解读】本小题考查古典概型。如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），

区域E表示单位圆及其内部，因此

2

1

4416

P

ππ

?

==

?

。

答案

16

π

7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。

序号（i）

分组

（睡眠时间）

组中值

（

i

G）

频数

（人数）

频率

（

i

F）

1 [4,5) 4.5 6 0.12

2 [5,6) 5.5 10 0.20

3 [6,7) 6.5 20 0.40

4 [7,8) 7.

5 10 0.20

5 [8,9) 8.5 4 0.08

在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是▲。【解读】本小题考查统计与算法知识。

答案6.42

8.直线

1

2

y x b

=+是曲线ln(0)

y x x

=>的一条切线，则实数b=

▲。

【解读】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。

1

y

x

'=，令

11

2

x

=得2

x=，故切点为

(2,ln2)，代入直线方程，得

1

ln22

2

b

=?+，所以ln21

b=-。

答案ln21

b=-

9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)

A a

B b

C c，点(0,)

P p在线段OA上（异于端点），设,,,

a b c p均为非零实数，直线,

BP CP分别交,

AC AB

于点E，F，一同学已正确算出OE的方程：1111

x y

b c p a

??

??

-+-=

?

?

????

，请你求OF的方程：▲。

【解读】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想

1111

()()0

x y

c b p a

-+-=。

事实上，由截距式可得直线:

1x y

AB a b

+=，直线:1x y CD c p +=，两式相减得

1111

()()0x y c b p a

-+-=，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求的直线OF 的方程。 答案11

11

()(

)0x y c b p a

-+-=。 10.将全体正整数排成一个三角形数阵：

12345

6

7

8910

按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为▲。

【解读】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前1n -行共用了

123(1)

n +++-(1)2

n n

-个数，因此第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数是全体正整数中的第(1)32n n

-+个，即为

262n n -+。 答案26

2

n n -+

11.2

,,,230,y x y z R x y z xz

*

∈-+=的最小值为▲。

【解读】本小题考查二元基本不等式的运用。由230x y z -+=得32

x z

y +=，代入2y xz 得

229666344x z xz xz xz

xz xz

+++≥=，当且仅当3x z =时取“=”。

答案3。

12.在平面直角坐标系中，椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径

的圆，过点2

(,0)a

c 作圆的两切线互相垂直，则离心率e =▲。

【解读】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线,PA PB 互相垂

直，又OA PA ⊥，所以OAP ?是等腰直角三角形，故22a a c

=，解得22c e a ==。

答案

2

2

13.若2,2AB AC BC ==

，则ABC S ?的最大值▲。

【解读】本小题考查三角形面积公式及函数思想。

因为AB=2（定长），可以以AB 所在的直线为x 轴，其中垂线为y 轴建立直角坐标系，则

(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ，由2AC BC =可得2222(1)2(1)x y x y ++=-+，

化简得22

(3)8x y -+=，即C 在以（3，0）为圆心，22为半径的圆上运动。又

1

222

ABC c c S AB y y ?=??=≤。

答案22

14.3

()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =▲。

【解读】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。 要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立。

22()333(1)f x ax ax '=-=-

01当0a =时，()31f x x =-+，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去。 02当0a <时22()333(1)0f x ax ax '=-=-<，即()f x 单调递减，

min ()(1)202f x f a a ==-≥?≥，舍去。 03当0a >时1()0f x x a

'=?=±

① 若

111a a ≤?≥时()f x 在11,a ??--???

?和1,1a ??

????上单调递增，

在11,a a ??

-

? ???

上单调递减。 所以min

1()min (1),()f x f f a ???

?=-??????(1)40

0411

()12

0f a a f a a -=-+≥??≥??=?=-≥??

② 当

1

11a a

>?<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减， min ()(1)202f x f a a ==-≥?≥，不符合题意，舍去。综上可知a=4.

答案4。

15.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与

单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为225

,105

。 （1） 求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值。

【解读】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得225cos ,cos 105

αβ=

=，α为锐角， 故72

sin 0sin 10

αα>=

且。同理可得5sin 5β=，

因此1

tan 7,tan 2

αβ==

。 （1）1

7tan tan 2tan()1

1tan tan 172

αβαβαβ+

++==

--?=-3。 （2）132tan(2)tan[()]1

1(3)2

αβαββ-+

+=++=

--?

=-1， 0,0,22

ππαβ<<<<3022παβ∴<+<，从而324π

αβ+=。

16．在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD BD ⊥，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点， 求证（I ）直线EF D 面AC ；

（II ）EFC D ⊥面面BC 。

证明：（I ）E ，F 分别为AB ，BD 的中点EF AD ?

EF AD

AD ACD EF ACD EF ACD ?

?

???????

面面面。 （II ）EF AD EF BD

AD BD CD CB CF BD BD EFC F BD EF CF F

?

?

?⊥??⊥?

??=??

?⊥?⊥????

?=???

面为的中点又BD BCD ?面，

所以EFC D ⊥面面BC

17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B ，及CD 的中点P 处，已知20AB =km, 10CD km =,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界）

，且A ，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（I ）按下列要求写出函数关系式：

① 设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ② 设()OP x km =，将y 表示成x 的函数关系式。

（II ）请你选用（I ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

【解读】本小题考查函数最值的应用。

（I ）①由条件可知PQ 垂直平分AB ，()BAO rad θ∠=，则10

AQ OA COS BAO COS θ

==

∠ 故10

OB COS θ

=

，又1010tan OP θ=-，所以

10101010tan y OA OB OP COS COS θθθ=++=++-2010sin 10(0)cos 4

θπ

θθ-=+<<。

D

E

F

C

A

B

②()OP x km =，则10OQ x =-，所以222(10)1020200OA OB x x x ==-+=-+，

所以所求的函数关系式为2220200(010)y x x x x =+-+<<。 （I ）

选择函数模型①。

222

10cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)

cos cos y θθθθθθ

-----'==。 令0y '=得1sin 2θ=，又04πθ<<，所以6

πθ=。 当06

π

θ<<

时，0y '<，y 是θ的减函数；

6

4

π

π

θ<<

时，0y '>，y 是θ的增函数。

所以当6

π

θ=时min 10310y =+。当P 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 边

103

3

km 处。

18.设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2

()2()f x x x b x R =++∈的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C 。 （1） 求实数b 的取值范围； （2） 求圆C 的方程；

（3） 问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论。 【解读】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。 （1）0

10(0)0

b b f ?>??<≠?

≠?且

（2） 设所求圆的方程为2

2

0x y Dx Ey F ++++=。

令202,x Dx F D F b ++=?==0y =得2

02,x Dx F D F b ++=?== 又0x =时y b =，从而1E b =--。

所以圆的方程为2

2

2(1)0x y x b y b ++-++=。

（3）2

2

2(1)0x y x b y b ++-++=整理为22

2(1)0x y x y b y ++-+-=，过曲线

22:20C x y x y '++-=与:10l y -=的交点，即过定点(0,1)与(2,1)-。

19.（I ）设12,,

n a a a 是各项均不为零的等差数列(4)n ≥，且公差0d ≠，若将此数列

删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

① 当4n =时，求

1

a d

的数值；②求n 的所有可能值； （II ）求证：对于一个给定的正整数(4)n ≥，存在一个各项及公差都不为零的等差数列

12,n b b b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。

【解读】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。

（I ）①当4n =时，1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则0d =。

若删去2a ，则有2

314a a a =，即2111(2)(3)a d a a d +=+，化简得1

4a d

=-； 若删去3a ，则有2214a a a =，即2

111()(3)a d a a d +=+，化简得

1

1a d

=。 综上可知

1

41a d

=-或。 ② 当5n =时，12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去首项或末项。 若删去2a ，则有1534a a a a =，即1111(4)(2)(3)a a d a d a d +=++，化简得

1

6a d

=-； 若删去3a ，则有1524a a a a =，即1111(4)()(3)a a d a d a d +=++，化简得30d =，舍去； 若删去4a ，则有1523a a a a =，即1111(4)()(2)a a d a d a d +=++，化简得1

2a d

=。 当6n ≥时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列123

21,,,,n n n a a a a a a --中，由于不

能删去首项和末项，若删去2a ，则必有132n n a a a a -=，这与0d ≠矛盾；同样若删去1n a -，也有132n n a a a a -=，这与0d ≠矛盾；若删去32n a a -中的任意一个，则必有121n n a a a a -=，

这与0d ≠矛盾。综上可知{}4,5n ∈。 （3） 略 20.

若

1

2

1212

()3

,()3

,,,x p x p f x f x x R p p --==∈为常数，且

112212

(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤?=?>?

(I) 求1()()f x f x =对所有的实数x 成立的充要条件（用12,p p 表示）；

(II)

设,a b 为两实数，a b <且12,(,)p p a b ∈，若()()f a f b =，求证：()f x 在区间

[],a b 上的单调增区间的长度和为

2

b a

-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）。 【解读】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。 （I ）1()()f x f x =恒成立1

2

12()()3

23

x p x p f x f x --?≤?≤?

12

2

123

3

2log ()x p x p x p x p ---?≤?---≤*

若12p p =，则2

3()log 0*?≥，显然成立；若12p p ≠，记12()g x x p x p =---

当12p p >时，1221221211()()2()

()p p x p g x x p p p x p p p x p -

=-++≤≤??->?

，

所以min 12()g x p p =-，故只需2

123log p p -≤；

当12p p <时，1211212212()()2()

()p p x p g x x p p p x p p p x p -

=--≤≤??->?

，

所以min 21()g x p p =-，故只需2

213log p p -≤。

（II ）0

1如果2123log p p -≤，则1()()f x f x =的图象关于直线1x p =对称，

因为()()f a f b =，所以区间[],a b 关于直线1x p =对称。

因为减区间为[]1,a p ，增区间为[]1,p b ，所以单调增区间的长度和为

2

b a

-。 02如果2

123

log p p ->，结论的直观性很强。