甘肃省天水市第一中学2021-2022高二数学下学期第一次段考试题 文(含解析)

甘肃省天水市第一中学2021-2022高二下学期

第一次段数学（文）试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.复数z=在复平面内对应的点位于（）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标后即可得到答案．

【详解】由题意得，

所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．

故选D．

【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，属于基础题．

2.已知集合，则为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据对数求得集合N，再由集合交集定义可得。

【详解】因为

所以

所以

所以选C

【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题。

3.已知向量，若间的夹角为，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由，然后展开利用数量积公式求解．

【详解】解：，，，的夹角为，

．

故选：A．

【点睛】本题考查平面向量的模长，数量积运算，是基础题．

4.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=3S2，a7=15，则{a n}的公差为（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，设等差数列的公差为，由条件得，由此可得的值，即可得答案．

【详解】根据题意，设等差数列的公差为，

由题意得，即，解得．

故选B．

【点睛】本题考查等差数列的前项和，关键是掌握等差数列的前项和公式的形式特点，属于基础题．

5.已知等比数列{a n}的首项为1，且a6+a4=2（a3+a1），则a1a2a3…a7=（）

A. 16

B. 64

C. 128

D. 256 【答案】C

【解析】

【分析】

利用等比数列的通项公式可得，再利用通项公式及其等差数列的求和公式即可得出答案．【详解】设等比数列的公比为，

∵，

∴，解得．

∴．

故选C．

【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查推理能力与计算能力，解题时注意整体思想的运用，属于中档题．

6.若，满足，则的最小值为( )

A. -1

B. -2

C. 2

D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】

画出满足约束条件的平面区域，结合平面区域，通过平移直线，即可求解.

【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

又由目标函数，可化为，

结合图形，可得直线经过点A时，在轴上的截距最大，

此时目标函数取得最小值，

又由，所以目标函数的最小值为，故选B.

【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．

7.已知，则 ( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由，利用两角和的正切公式求得，再根据同角三角函数的关系求解即可.

【详解】因为，

所以，

所以，且

解得，故选A.

【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数

值，再求角的范围，确定角．

8.已知，，且，则的最小值为（）

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10 【答案】C

【解析】

【分析】

用乘以题目所求的表达式，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.

【详解】依题意，故选C. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查的代换的方法，属于基础题.

9.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点

A. 向右平移个单位长度

B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度

D. 向左平移个单位长度

【答案】C

【解析】

【分析】

由，可求得其周期T，继而可求得，再利用函数的图象变换及可求得答案．

【详解】解：由图知，，

，

；

又，

，又，

，，

，

为了得到的图象，则只要将的图象向左平移个单位长度．故选：C．

【点睛】本题考查函数的图象变换，求得是关键，考查识图与运算能力，属于中档题．

10.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，且，则

A. B. 2 C. D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】

运用余弦定理：，解关于b的方程，结合，即可得到．【详解】，，且，

由余弦定理可得，

，

即有，

解得或4，

由，可得．

故选：B．

【点睛】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．

11.已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（）

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】 【分析】

据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y ，根据双曲线的对称性可知△FAB 为等腰直角三角形，进而可求得A 或B 的纵坐标为2，进而求得a ，利用a ，b 和c 的关系求得c

，则双曲线的离心率可得． 【详解】抛物线的准线方程为，联立双曲线

，解得

，由题

意得

，所以

，所以

，故选:D

【点睛】本题考查双曲线的

简单性质．解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB 为等腰直角三角形．

12.已知函数f （x ）=ax 3+6x 2-3x +1在区间（1，2）上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 【分析】 对函数

求导，将问题转化成

在恒成立，从而求出的取值范围．

【详解】∵， ∴．

∵在区间

上是减函数，

∴

在

上恒成立，

即在上恒成立．

∵，

∵，

∴．

∴实数的取值范围为．

故选A．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及一元二次不等式的解法，是高考中的热点问题，解题的关键是将函数在给定区间上是减函数转化为导函数小于等于零恒成立，属于基础题．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.设函数f（x）=2x3+ax2+bx+1的导函数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象的顶点横坐标为-，且f′（1）=0．则a+b的值为______．

【答案】-9

【解析】

【分析】

求出原函数的导函数，导函数为二次函数，根据其对称轴为直线得到的值，再由求出的值．

【详解】由，得，

∴函数图象的对称轴方程为，

由题意得，解得．

∴，

又由可得，解得．

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查导数的运算法则和二次函数的性质，考查了数学转化思想，属于中档题．

14.不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，则摸到同色球的概率为________．

【答案】

【解析】

【分析】

基本事件总数n10，摸到同色球包含的基本事件个数m4，由此能求出摸到同色球的概率．

【详解】不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，基本事件总数n10，摸到同色球包含的基本事件个数m4，

∴摸到同色球的概率p．

故答案为：．

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15.已知等差数列{a n}的前n和为S n，若a3+a4=7，S5=15，数列{}的前n和为T n，则T10的值为______

【答案】

【解析】

【分析】

设等差数列的公差为，由通项公式及求和公式，解方程组即可得到首项和公差，进而得到通项公式，由，运用裂项相消法即可得到所求．

【详解】等差数列公差设为，

由题意得，解得，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查化简整理和运算能力，属于中档题．

16.将函数的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则的最小值是__________.

【答案】

【解析】

【分析】

先求得向左平移个单位后的解析式，根据所得解析式为偶函数以及诱导公式，列方程，解方程求得的值，并求得的最小正值.

【详解】因为为偶函数，所以

，所以.的最小值是.

【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的奇偶性以及诱导公式，属于中档题.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a2=b3=4，a6=b5=16．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：

（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n-1．

【答案】（Ⅰ）a n=3n-2（Ⅱ）．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据题意求出等差数列{a n}的首项和公差，然后可得通项公式．（Ⅱ）根据题意求出等比数列{b n}的首项和公比，然后可求得前个奇数项的和．

【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，

由题意得，解得，

∴等差数列的通项公式．

（Ⅱ）设等比数列的公比设为，

由题意得，解得，

∴，

∴．

【点睛】本题考查等差数列和等比数列的基本运算，考查计算能力，属于基础题．

18.已知函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）中，角的对边为，若，求边的长.

【答案】（1），；（2）7.

【解析】

【分析】

（1）利用二倍角和辅助角公式化简，直接由三角函数的性质求f（x）的单调递增区间．（2）由已知可求，得到A的值，由条件解得sin B，结合两角和的正弦公式可求sin C的值，再根据正弦定理求a即可．

【详解】（1）

令，则，

故单增区间为，

（2）由（1）知，，

∴，，

故

又，

∴，

∴，

在中，由正弦定理，得

，

∴

.

【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用及三角函数的单调性问题，考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题．

19.已知椭圆：的中心是坐标原点，左右焦点分别为，，设是

椭圆上一点，满足

轴，

，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆左焦点且倾斜角为的

直线与椭圆相交于，两点，求

的面积.

【答案】(1) (2)

【解析】 【分析】

(1)先根据通径公式和离心率求得

，

，即可求出椭圆的标准方程；

(2)先求出直线的方程，然后联立方程转化，求得面积公式即可. 【详解】（1）由题意知，，

，

，

，

所以

.

（2）由条件可知：，联立直线和椭圆，

有

，有

，设

，

，

有，

所以

.

【点睛】本题主要考查了椭圆的综合知识，熟悉性质和直线与椭圆相交的问题是解题的关键，属于较难题目.

直线与圆锥曲线解题步骤：

(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；

（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；

（3）转化，由题已知转化为数学公式；

（4）计算，细心计算.

20.大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：

喜欢盲拧不喜欢盲拧总计

男23 30

女11

总计50

表（1）

并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表（2）所示.

成功完成时间（分

钟）

人数10 4 4 2

表（2）

（Ⅰ）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？

（Ⅱ）现从表（2）中成功完成时间在和这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率.

附参考公式及参考数据：，其中.

0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

2706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

【答案】（Ⅰ）能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）完善表格，利用公式求出，对比参考数据即可判断。

（Ⅱ）对2人成功完成时间恰好在同一组内分类，分别计算出基本事件个数为6,1，再计算出6名男生中任意抽取2人共15种结果，问题得解。

【详解】（Ⅰ）

喜欢盲拧不喜欢盲拧总计

男23 7 30

女9 11 20

总计32 18 50

由表中数据可得，故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关.

（Ⅱ）6名男生中任意抽取2人共：15种结果.

2人成功完成时间恰好在同一组内分为两种情形：完成时间都在或都在

完成时间都在共有6种结果，完成时间都在有1种结果，

2人成功完成时间恰好在同一组内的概率为：.

【点睛】本题主要考查了独立性检验及古典概型概率计算，还考查了分类思想，属于基础题。

21.已知函数在点处的切线方程是．

（1）求实数的值；

（2）求函数在上的最大值和最小值（其中是自然对数的底数）.

【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为.

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，通过切线方程列出方程即可求实数a，b的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x）在上的最大值和最小值．【详解】（1）因为，，

则，，

函数在点处的切线方程为：，

由题意得，即，.

（2）由（1）得，函数的定义域为，

∵，∴，，

∴在上单调递减，在上单调递增．

故上单调递减，在上单调递增，

∴在上的最小值为．

又，，且．

∴在上的最大值为.

综上，在上的最大值为，最小值为

【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力,准确计算是关键，是中档题.

22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ．

（Ⅰ）写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）过点M（-1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求|AB|．

【答案】（Ⅰ）x-y-6=0．x2+y2-6x=0（Ⅱ）2

【解析】

【分析】

（Ⅰ）消去参数方程中的参数可得直线的普通方程，将曲线的极坐标方程变形后结合转化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）由直线l1与直线l平行可得直线l1的参数方程，代入曲线C的方程后根据参数的几何意义可求得弦长．

【详解】（Ⅰ）由消去参数t，得直线l的普通方程为．

又由得，

将代入上式得曲线C的直角坐标方程为．

（Ⅱ）由题意得过点且与直线l平行的直线l1的参数方程为，

将其代入整理得，

设点对应的参数分别为，

则，

所以．

【点睛】直线的参数方程中，只有当参数的系数的平方和为1时，才有几何意义，其几何意义为：是直线上任一点到的距离，即，利用此几何意义可解决弦长问题．

23.设函数f（x）=|2x+a|-|x-2|（x∈R，a∈R）．

（Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）＞0的解集；

（Ⅱ）若f（x）≥-1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）时，不等式化为，两边平方,利用一元二次不等式的解法即可得出不等式的解集； (2) 在上恒成立，等价于,讨论

，和时，分别求出的最小值 ,列出不等式求出的取值范围. 【详解】（1）时，可得，即，

化简得：，所以不等式的解集为.

（2）①当时，，由函数单调性可得

，解得；

② 当时，，，所以符合题意；

③当时，，由函数单调性可得，

，解得；

综上，实数的取值范围为.

【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题以及分类讨论思想的应用，属于中档题. 不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立.