求多项式函数实数根的方法
●数学
求多项式函数实数根的方法黄 永, 康道坤(昭通师范高等专科学校数学系, 云南 昭通 657000)摘要:较程序化地给出了实系数多项式函数实数根的求法.
关键词:实系数; 多项式函数; 实数根
中图分类号:O151.1 文献标志码:A 文章编号:100829322(2007)0520008204
收稿日期:2006209210作者简介:黄永(1966—
),女,云南彝良人,讲师,学士,主要从事数学教育研究.关于实系数多项式函数
f (x )=a 0x n +a 1x n-1+?+a i x n-i +?+a n (a 0≠0)(1)
的实数根的求法,绝大多数高等代数和初等代数的有关书籍都作了讨论,但都比较零散,不够系统,且寻找根的方法缺乏程序化.笔者通过归纳探索,在此较程序化地给出了操作性较强的寻找实系数多项式函数实数根的方法.
1 有关定理和方法
为节省篇幅,在此仅给出涉及到的有关定理和方法,其证明可参阅相关文献.
定理1[1] n 次多项式f (x )至多有n 个不同的根.
定理2(笛卡尔符号律)[2] 多项式函数f (x )的正实根个数等于f (x )的非零系数的符号变化个数,或者等于比该变化个数小一个偶数的数;f (x )的负实根个数等于f (-x )的非零系数的符号变化个数,或者等于比该变化个数小一个偶数的数.
定理3[1] 数c 是f (x )的根的充分必要条件是f (x )能被x -c 整除.
定理4[1] 每个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积.定理5[1] 设(1)式中Πi =0,1,?,n ,a i ∈ ,即f (x )是整系数多项式,若a n ≠0,且有理数u/v 是f (x )的一个根,u ∈ ,v ∈ *,(u ,v )=1,那么:
(i ) v |a 0,u |a n ;
(ii ) f (x )/(x -u/v )是一个整系数多项式.
定理6(根的上下界定理)
[2] 设(1)式中a 0>0,1) 若存在正实数M ,当用x -M 去对f (x )作综合除法时第三行数字仅出现正数或0,那么M 就
是f (x )的根的一个上界;2)若存在不大于0的实数m ,当用x -m 去对f (x )作综合除法时第三行数字交替地出现正数(或0)和负数(或0)时,那么m 就是f (x )的根的一个下界.
定理7(判断根上下界的牛顿法)[3] 设有实数k ,使f (k ),f ′
(k ),?,f (m )(k ),?f (n )(k )均为非负数,或均为非正数,则方程f (x )=0的实根都小于k.这里f (m )
(x )表示f (x )的m 阶导数.定理8(判断根上下界的拉格朗日法)
[3] 设(1)式中a 0>0,且a k 为第一个负系数,即a k <0,且
第29卷 第5期
Vol.29No.5昭通师范高等专科学校学报Journal of Zhaotong Teacher πs College 2007年10月Oct.2007
Πi 定理9[1] 多项式f(x)无重根的充分且必要条件是f(x)与它的导数f′(x)互素. 定理10(St urm定理)[3] 设多项式f(x)无重根,b1 f0(b1),f1(b1),?,f s(b1),?,f m(b1) 与f0(b2),f1(b2),?,f s(b2),?,f m(b2) 的变号的个数,则p=U(b1)-U(b2). 定理11[3] 设f(x)为实系数多项式,D(f)为f(x)的根的判别式,则当D(f)=0时,方程f(x) =0有重根;当D(f)<0时,方程f(x)=0无重根,且有奇数对虚根;当D(f)>0时方程f(x)=0无重根,且有偶数对虚根. 对(1)式中的f(x),D(f)定义为: D(f)=(-1)n(n-1)/2a-10R(f,f′), 其中f′为f(x)的导函数,R(f,f′)称为f和f′的结式,是由f(x)的各项系数确定的一个2n-1阶方阵R的行列式.如果当k>n或k<0时记a k=0,则R的第i行第j列的元素为 r ij=a j-i, 当1≤i≤n-1; (i-j+1)a j+n-i-1, 当n≤i≤2n-1时. 方法:综合除法[1],带余除法[1],求实根近似值的线插法、牛顿法[3]. 2 寻找实根的方法步骤 由上面所列定理及方法,我们可得到寻找多项式函数实数根的方法步骤: 1、由定理1寻找出函数根的最大个数. 2、由定理2判断正实数根和负实数根的可能个数. 3、由定理11计算多项式的判别式,判断是否有重根;若无重根,则根据定理11,当判别式大于零时,方程的实根数与n相差4的倍数;反之,方程的实根数与n-2相差4的倍数. 4、若判别式等于零,用辗转相除法求出f(x)和f′(x)的最大公因式(f(x),f′(x)),该公因式的根即为f(x)的重根,用带余除法将多项式降次. 5、利用定理 6、定理7或定理8或者用改写方程的方法[2]找出函数的根的上下界. 6、若多项式函数的系数都是有理数,则先化为整系数多项式g(x),再利用定理5列出可能的有理根.根据根的上下界对可能的有理根作筛选.计算g(1)和g(-1),判断±1是不是g(x)的根;如果是,则用带余除法将多项式降次;如果不是,则根据定理5的(ii),令方程某个可能的有理根为α,计算g(1)/(1-α)和g(-1)/(1+α)是否都是整数,只要有一个不是整数,α就不是方程的根[4]. 7、利用定理3作综合除法找出函数的有理根. 8、利用带余除法将原多项式函数降次. 9、利用定理10,或者通过函数单调性的分析,或者用寻找根的上下界的方法,限定降次后多项式函数根的范围. 10、利用公式法、线插法、牛顿法或其他求近似根的方法寻找出f(x)的实根或近似实根. 这里所列的方法步骤是指思维过程,对于具体的多项式函数,应根据它的具体特点灵活处理,使过程简单化.也就是说,并非所有步骤都必须去做.计算判别式和(f(x),f′(x))都相当繁琐,这一步骤也可省略.实际计算中可以用文[5]的方法利用Excel作工具计算判别式,但当计算结果的绝对值远小于1时应考虑可能是等于0时的近似,即f(x)可能有重根,而通过计算(f(x),f′(x))来检验.(f(x), f′(x))的计算可以用文[6]的方法利用矩阵的初等变换作工具. 黄永,康道坤求多项式函数实数根的方法第5期 第29卷昭通师范高等专科学校学报2007年(总第114期) 3 实例 例1 求多项式函数f(x)=3x5-2x4-15x3+10x2+12x-8的实数根. 解:1、由定理1知f(x)至多有5个实根. 2、由定理2知f(x)有3个或1个正实根,有2个或0个负实根. 3、计算D(f),用Excel算出R(f,f′)≈4×108,从而知D(f)>0,方程有1个或5个实根. 4、寻找根的上下界.因为f(x)=x3(3x2-2x-15)+(10x2+12x-8),所以(1+46)/3是f(x)的一个上界.(本来也可由定理8得出其上界6,但我们希望上界越小越好.)又f(x)=3x(x4-5x2+ 4)-2(x4-5x2+4),所以-2是f(x)的一个下界. 在求f(x)下界的过程中,知道f(x)=(3x-2)(x4-5x2+4)=(3x-2)(x2-1)(x2-4),即得到f(x)的所有实根:2/3,±1,±2. 例2 求多项式函数f(x)=x5-5x4+14x3-34x2+48x-24的实数根. 解:1、由定理1知f(x)至多有5个实根. 2、由定理2知f(x)有5个、3个或1个正实根,无负实根. 3、计算D(f),用Excel算出R(f,f′)≈-4×10-8,因其绝对值远小于1,用矩阵的初等变换求出(f(x),f′(x))=x-2,知2为多项式的一个重根.用(x-2)2除原多项式,将多项式降次,得g(x)= f(x)/(x-2)2=x3-x+6x-6. 4、计算g(1)=0,知1为多项式的一个根,计算g(x)/(x-1)=x2+6.显然x2+6无实根,故原多项式的实根为1和二重根2. 例3 求多项式函数f(x)=x6-x5-9x4+2x3+22x2+3x-18的实数根. 解:1、由定理1知f(x)至多有6个实根. 2、由定理2知f(x)有3个或1个正实根,3个或1个负实根. 3、计算D(f),用Excel算出R(f,f′)≈5×109,从而知D(f)<0,多项式无重根,有4个或0个实根.再由第2步知有4个实根. 4、计算f(1)=0,知1为多项式的一个根,计算g(x)=f(x)/(x-1)=-x5-9x3-7x2+15x +18.再计算g(1)=18,g(-1)=4.g(x)可能的有理根为±2,±3,±6,±9,±18.因为4/(1+ 2),18/(1-(-3)),4/(1±6),4/(1±9),4/(1±18)均非整数,故g(x)只可能有有理根-2和3. 5、作综合除法知-2和3都是g(x)的根,且g(x)=(x+2)(x-3)(x3+x2-2x-3),由于已求出f(x)有根1,-2和3,故由第2步和第3步知h(x)=x3+x2-2x-3只有1个正实根.由拉格朗日法知该正根的一个上界为1+3.又由x3+x2-2x-3=(x-1)2+x3-4,知34也是一个上界.又由x3+x2-2x-3=x(x2+x-2)-3知1是该正根的一个下界.在区间(1,34)内利用线插法可求得h(x)的近似正根1.53,用牛顿法可求得h(x)的近似正根1.55.多次应用这些方法可求得更精确的近似根.自然本题也可直接用卡当(Cardan)公式求出h(x)的精确根,但对更一般的方程在实际应用中一般只需要求出也只能求出足够精确的近似根. 至于求方程近似根的其他方法,可参阅文献[7—9],本文不再详述. 参考文献: [1]张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M].第4版.北京:高等教育出版社,1999. 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Methods of Exploring the R eal Number Roots of a Polynomial Function HUAN G Y ong , KAN G Dao 2kun (Department of Maths ,Zhaotong Teacher πs College ,Zhaotong 657000,China ) Abstract :Methods of exploring the real number roots of a real coefficient polynomial f unction are procedurally given.K eyw ords :real coefficient ;polynomial f unction ;real number root 黄永,康道坤求多项式函数实数根的方法第5期 核函数理论 §1 多项式空间和多项式核函数 定义 1.1 (核或正定核) 设X 是n R 中的一个子集，称定义在X X ?上的函数),(z x K 是核函数，如果存在一个从X 到Hilbert 空间H 的映射Φ H x x ∈ΦΦ)(:α (1.1) 使得对任意的X z x ∈,， ))()((),(z x z x Φ?Φ=K (1.2) 都成立。其中)(?表示Hilbert 空间H 中的内积。 定义1.2 （d 阶多项式）设n T n R x x x x ∈=)][,,][,]([21Λ，则称乘积d j j j x x x ][][][21K 为x 的一个d 阶多项式，其中},,2,1{,,,21n j j j d K K ∈。 1. 有序齐次多项式空间 考虑2维空间中（n R x ∈）的模式T x x x )][,]([21=，其所有的2阶单项式为 21][x ，22][x ，21][][x x ，12][][x x (1.3) 注意，在表达式(1.3)中，我们把21][][x x 和12][][x x 看成两个不同的单项式，所以称式（1.3）中的单项式为有序单项式。这4个有序单项式张成的是一个4维特征空间，称为2阶有序齐次多项式空间，记为H 。相应地可建立从原空间2 R 到多项式空间H 的非线性映射 H x x x x x x x C x x x C T T ∈==)][][,][][,][,]([)()][,]([:122122212212α (1.4) 同理，从n R 到d 阶有序齐次多项式空间H 的映射可表示为 H n j j j x x x x C x x x x C T d j j j d T n d d ∈∈==}),,2,1{,,,|][][]([)()][,,][,]([:212121K K K αK (1.5) 这样的有序单项式d j j j x x x ][][][21K 的个数为d n ，即多项式空间H 的维数d H n n =。如果在H 中进行内积运算)()(z C x C d d ?，当n 和d 都不太小时，多项式空间H 的维数d H n n =会相当大。如当200=n ，5=d 时，维数可达到上亿维。显然，在多项式空间H 中直接进行内积运算将会引起“维数灾难”问题，那么，如何处理这个问题呢？ 我们先来考查2==d n 的情况，计算多项式空间H 中两个向量的内积 212122121222 2212122)(][][][][][][][][][][][][))()((z x z z x x z z x x z x z x z C x C ?=+++=? (1.6) 2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y = C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ， ， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，， D ．(10)(01)- ， ， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A ． B ． C ． D ． C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时 a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-， 孝感学院计算机科学系11级课程设计课程设计报告 题目：多项式求导 班级：1017142 学号：101714201 姓名： 指导教师：李志敏 2012年2月12日 目录 1需求分析 (3) 1.1功能需求分析 (3) 1.2设计平台 (3) 2概要设计 (3) 2.1涉及到的知识基础(概述) (5) 2.2定义的函数的部分功能 (7) 3详细设计和实现 (7) 3.1功能模块 (7) 3.2系统流程图 (8) 4调试与操作说明 (9) 5、总结 (10) 6. 参考文献 (10) 7、源程序 (11) 1需求分析 1.1功能需求分析 1.本演示程序中，多项式的系数为浮点型，指数为整型。输入多项式时，先输入多项式的项数系数和指数，该多项式若为0，则输入0。多项式的输出形式为类数学表达式且按指数降序排列，系数值为1的非零次项的输出形式中略去系数1。 2.演示程序以用户和计算机的对话方式执行，即在计算机终端上显示“提示信息”之后，由用户在键盘上输入演示程序中规定的运算命令；相应的输入数据和运算结果显示在其后。 3.程序执行的命令： 输入为一个一元多项式，按照降幂依次输入每个单项式的系数和指数，并以-1 -1作为结束。系数和指数均为整数，指数不小于0。 1.2设计平台 Visual C++ 6.0 , Windows XP平台， 2概要设计 为实现上述程序功能，用带表头结点的单链表存储多项式。为此，需要两个抽象数据类型：线性表和多项式。 1.有序表的抽象数据类型定义为： ADT List{ 数据对象：D={a i|ai∈Elemset,i=1,2,…，n,n≥0} 数据关系：R1={ clear all; clc; N=35; %样本个数 NN1=4; %预测样本数 %********************随机选择初始训练样本及确定预测样本******************************* x=[]; y=[]; index=randperm(N); %随机排序N个序列 index=sort(index); gama=23.411; %正则化参数 deita=0.0698; %核参数值 %thita=; %核参数值 %*********构造感知机核函数************************************* %for i=1:N % x1=x(:,index(i)); % for j=1:N % x2=x(:,index(j)); % K(i,j)=tanh(deita*(x1'*x2)+thita); % end %end %*********构造径向基核函数************************************** for i=1:N x1=x(:,index(i)); for j=1:N x2=x(:,index(j)); x12=x1-x2; K(i,j)=exp(-(x12'*x12)/2/(deita*deita)); End End %*********构造多项式核函数**************************************** %for i=1:N % x1=x(:,index(i)); % for j=1:N % x2=x(:,index(j)); % K(i,j)=(1+x1'*x2)^(deita); % end %end %*********构造核矩阵************************************ for i=1:N-NN1 for j=1:N-NN1 omeiga1(i,j)=K(i,j); end end 五年高考真题分类汇编：函数、导数及其应用 一.选择题 1.（2015高考福建，文12）“对任意(0, )2 x π ∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】当1k <时，sin cos sin 22k k x x x = ，构造函数()sin 22 k f x x x =-，则'()cos 210f x k x =-<．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增，故()()022 f x f ππ <=-<， 则sin cos k x x x <； 当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1 sin 22 x x <，构造函 数1()sin 22g x x x =-，则' ()cos 210g x x =-<，故()g x 在(0,)2x π∈递增，故 ()()022g x g ππ<=-<，则sin cos x x x <．综上所述， “对任意(0,)2x π ∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ． 【答案】B 2.（2015湖南高考，文8）设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是( ) A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【解析】函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，函数的定义域为（-1，1），函数 ()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-所以函数是奇函数．()2 111 '111f x x x x = +=+-- ，在（0,1）上()'0f x > ，所以()f x 在(0,1)上单调递增，故选A. 【答案】A 3.（2015北京高考，文8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） 附录一 Bernstein 多项式：连续函数的多项式逼近 连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理，直接的证明方法就是用函数的Bernstein 多项式去逼近函数。通常的教材中的证明比较难于理解，我们选择前苏联数学家Korovkin 在1953年给出证明方法，解决了教学中的这一难点。 Weierstrass 第一逼近定理 设是闭区间[a , b ]上的连续函数，则存在多项式序列{在[a , b ] 上一致收敛于。也就是对任意给定的)(x f })(x P n )(x f 0>ε，存在多项式，使得 )(x P εM ∈t M t f ≤)(； 根据Cantor 定理，f 在[0, 1]上一致连续，于是对任意给定的0>ε，存在0>δ， 函数导数 1（2017北京文）已知函数，则 （A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数 2（2017北京文）（本小题13分） 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 3（2017新课标Ⅱ理）（12分） 已知函数2 ()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥． （1）求a ； （2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --<<． 4（2017天津理）（本小题满分14分） 设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数4 3 2 ()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数. （Ⅰ）求()g x 的单调区间； （Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈ ，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且 00[1,)(,2],p x x q ∈ 满足041| |p x q Aq -≥. 1()3()3 x x f x =-()f x ()e cos x f x x x =-()y f x =(0,(0))f ()f x π[0,]2 5（2017新课标Ⅲ理数）（12分） 已知函数()f x =x ﹣1﹣a ln x ． （1）若()0f x ≥ ，求a 的值； （2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111 1++1+)222 n ()(1)(﹤m ，求m 的最小值． 6（2017山东理）（本小题满分13分） 已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e = 是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程； （Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 7（2017天津文）（本小题满分14分）设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数 32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线， （i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0； （ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围. 8（2017新课标Ⅰ理数）（12分） 已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 9（2017江苏）（本小题满分16分） 已知函数有极值，且导函数的极值点是的零 点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） 32 ()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R ()f x '()f x 多项式函数的导数 教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点：导数运算法则的应用 教学难点：多项式函数的求导 一、复习引入 1、已知函数2)(x x f =，由定义求)4()(/ /f x f ，并求 2、根据导数的定义求下列函数的导数： （1）常数函数C y = （2）函数)(*N n x y n ∈= 二、新课讲授 1、两个常用函数的导数： 2、导数的运算法则： 如果函数)()(x g x f 、有导数，那么 也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数. 例1：求下列函数的导数： （1）37x y = （2）43x y -= （3）3 534x x y += （4）)2)(1(2-+=x x y （5）b a b ax x f 、()()(2+=为常数 ) 例2：已知曲线331x y =上一点)3 82(，P ，求： （1）过点P 的切线的斜率； （2）过点P 的切线方程. 三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习：1、求下列函数的导数： （1）28x y = （2）12-=x y （3）x x y +=2 2 （4）x x y 433-= （5）)23)(12(+-=x x y （6）)4(32-=x x y 2、已知曲线24x x y -=上有两点A （4，0），B （2，4），求： （1）割线AB 的斜率AB k ；（2）过点A 处的切线的斜率AT k ；（3）点A 处的切线的方程. 3、求曲线2432+-=x x y 在点M （2，6）处的切线方程. 五、课堂作业 1、求下列函数的导数： （1）1452+-=x x y （2）7352++-=x x y （3）101372-+=x x y （4）333x x y -+= （5）453223-+-=x x x y （6）)3)(2()(x x x f -+= （7）1040233)(34-+-=x x x x f （8）x x x f +-=2)2()( （9）)3)(12()(23x x x x f +-= （10）x x y 4)12(32-+= 2、求曲线32x x y -=在1-=x 处的切线的斜率。 3、求抛物线241x y = 在2=x 处及2-=x 处的切线的方程。 4、求曲线1323+-=x x y 在点P （2，－3）处的切线的方程。 导数 1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-??? ， 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????， 则()()211e x f x x x -=--?，()()212e x f x x x -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-． 【考点】 函数的极值；函数的单调性 【名师点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。 (2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 2.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．12 D ．1 【答案】C 【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得： 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e ) 4442(e e )2(e e ) x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++ ∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=， 解得12 a =． 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的 2019年高考数学理科数学 导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1, ()ln , 1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式()0 f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[] 0,1 B ．[] 0,2 C ．[]0,e D ．[] 1,e 【答案】C 【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立； 当1x <时，2 2 ()22021 x f x x ax a a x =-+≥?≥-恒成立， 令2 ()1 x g x x =-， 则222(11)(1)2(1)1 ()111x x x x g x x x x -----+=-=-=- --- 11122(1)2011x x x x ???? =--+-≤--?= ? ? ?--???? ， 当1 11x x -= -，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >. 当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤恒成立， 令()ln x h x x = ，则2ln 1()(ln )x h x x -'=， 当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=， 综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C. 3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ， 2(1)y x a x =+-'， 当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意； 当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点. 根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点?函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图： 闭区间上连续函数的Weierstrass 三角多项式逼近与多项式逼近 一、按下面的步骤探索闭区间上连续函数的Weierstrass 三角多项式逼近 1、三角多项式函数 形如 ()01 ()cos sin 2n n k k k A T x A kx B kx ==++∑， 的函数称为以2π为周期的三角多项式函数； 形如 01()cos ()sin ()2n n k k k A k k T x a A x a B x a b a b a b a πππ=???? -=+-+- ? ?---???? ∑， 的函数称为以2()b a -为周期的三角多项式函数。 2、傅里叶级数的一致收敛性 设()f x 是以2π为周期的连续函数（或()f x 是[,]ππ-上的连续函数，且()()f f ππ-=），且在[,]ππ-上按段光滑，则()f x 的傅里叶级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑， 在(,)-∞+∞（或[,]ππ-）上一致收敛于()f x ，其中， 01 ()d a f x x π π π- = ?，1 ()cos d n a f x nx x π π π- = ?，1 ()sin d n b f x nx x π π π- = ?， （1,2,n =L ）。 提示：首先，导出()f x 与()f x '的傅里叶系数的如下关系：记0A ，n A ，n B （1,2,n =L ）为()f x '的傅里叶系数，则注意到()()f f ππ-=可得， []01 1 1 ()d () ()()0A f x x f x f f π ππ π πππ π π -- '== = --=?， ()1 1()cos d ()cos ()sin d n n A f x nx x f x nx n f x nx x nb π ππ ππ ππ π-- -??'== +=? ?????， ()1 1()sin d ()sin ()cos d n n B f x nx x f x nx n f x nx x na π ππππ ππ π-- -??'= =-=-? ?????。 其次，注意到， 2 2111()2n n n b A A n n = ≤+，22111()2n n n a B B n n =-≤+， 以及贝塞尔不等式 ()2222011()d 2n n n A A B f x x πππ ∞ -=??'++≤????∑?， 推出 ()1 n n n a b ∞ =+∑收敛。 最后，利用傅里叶级数的收敛定理和优级数判别法可得，()f x 的傅里叶级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑， 在(,)-∞+∞上一致收敛于()f x 。 3、以2π为周期的连续函数的三角多项式逼近 设()f x 是以2π为周期的连续函数，则对任意0ε>，存在以2π为周期的三角多项式函数 ()n T x ，使得，对任意(,)x ∈-∞+∞，有 ()()n f x T x ε-<。 提示：由周期函数的特点，只须在[,]ππ-探索上述结论； 首先，注意到()f x 在[,]ππ-上连续，可得()f x 在[,]ππ-上一致连续，且 ()()f f ππ-=， 从而导出：对任意0ε>，存在[,]ππ-上连续的折线函数L()x ，使得， 2018年全国高考试题分类汇编-导数部分（含解析） 1.(2018·全国卷I 高考理科·T5)同(2018·全国卷I 高考文科·T6)设函数f (x )=x3+(a -1)x2+ax.若f (x )为奇函数,则曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 2.(2018·全国卷II 高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 3.(2018·全国卷II 高考文科·T13)曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=(ax +1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=exlnx,f ′(x)为f(x)的导函数,则f ′(1)的值为 . 6.(2018·全国卷I 高考理科·T16)已知函数f (x )=2sinx+sin2x,则f (x )的最小值是 . 7.(2017·全国乙卷文科·T14)曲线y=x 2 + 1 x 在点(1,2)处的切线方程为 . 8.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f (x )=(2x +ax-1)1x e -的极值点,则f (x )的极小值为 ( ) A.-1 B.-23e - C.53e - D.1 9.(2017 10.(2017递增,则称f (x )A.f (x )=2-x 11.(2017数a 12.(2017则称f (x )具有M ①f (x )=2-x ;②f (x 13.(2017·全国乙卷理科·T16)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3 )的最大值为 . 14.(2017·天津高考文科·T10)已知a ∈R ,设函数f (x )=ax-lnx 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为 . 15.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3 sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -?? ?? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 16.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的 切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 17.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f (x )=x 3 -12x 的极小值点,则a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 18.(2016·四川高考文科·T10)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切线,l 1 与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 19.(2016·山东高考文科·T10)同(2016·山东高考理科·T10) 若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 ( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=e x D.y=x 3 20.(2016·全国卷Ⅱ理科·T16)若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= . 多项式函数的导数（5月6日） 教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点：导数运算法则的应用 教学难点：多项式函数的求导 一、复习引入 1、已知函数2)(x x f =，由定义求)4()(/ /f x f ，并求 2、根据导数的定义求下列函数的导数： （1）常数函数C y = （2）函数)(* N n x y n ∈= 二、新课讲授 1 2、导数的运算法则 ： 如果函数)()(x g x f 、有导数，那么 也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数. 例1：求下列函数的导数： （1）37x y = （2）43x y -= （3）3534x x y += （4）)2)(1(2-+=x x y （5）b a b ax x f 、()()(2+=为常数) 例2：已知曲线331x y =上一点)3 82(，P ，求： （1）过点P 的切线的斜率； （2）过点P 的切线方程. 三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习：1、求下列函数的导数： （1）28x y = （2）12-=x y （3）x x y +=2 2 （4）x x y 433-= （5）)23)(12(+-=x x y （6）)4(32-=x x y 2、已知曲线24x x y -=上有两点A （4，0），B （2，4），求： （1）割线AB 的斜率AB k ；（2）过点A 处的切线的斜率AT k ；（3）点A 处的切线的方程. 3、求曲线2432+-=x x y 在点M （2，6）处的切线方程. 五、课堂作业 1、求下列函数的导数： （1）1452+-=x x y （2）7352++-=x x y （3）101372-+=x x y （4）333x x y -+= （5）453223-+-=x x x y （6）)3)(2()(x x x f -+= （7）1040233)(34-+-=x x x x f （8）x x x f +-=2)2()( （9）)3)(12()(23x x x x f +-= （10）x x y 4)12(32-+= 2、求曲线32x x y -=在1-=x 处的切线的斜率。 3、求抛物线241x y = 在2=x 处及2-=x 处的切线的方程。 4、求曲线1323+-=x x y 在点P （2，－3）处的切线的方程。 龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/ed12647682.html, 核函数选择方法研究 作者：王振武何关瑶 来源：《湖南大学学报·自然科学版》2018年第10期 摘要：核函数的选择对支持向量机的分类结果有着重要的影响，为了提高核函数选择的客观性，提出了一种以错分实例到支持向量所在界面的距离来表示错分程度，并基于此进行秩和检验的核函数选择方法.通过与K折交叉验证、配对t测试等参数检验的统计方法进行对比 分析，对9种常用核函数的分类能力在15个数据集进行了定量研究.与参数检验方法不同，秩和检验并未假定数据的分布情况（很多情况下数据并不满足假定的分布），而且数据实验证明，秩和检验不但能够对核函数的分类能力进行客观评估，而且在某些数据集上还能产生更好的核函数选择效果. 关键词：核函数；支持向量机；秩和检验； K折交叉验证；配对t测试 中图分类号：TP301.6 文献标志码：A Abstract：The selection of kernel functions has an important influence on the classification results of support vector machines. This paper proposed a kernel functions selection method based on rank sum test in order to enhance the selection objectivity， where the error degree adopted in the rank sum test was represented by the distance between the error instance and the interface of support vectors. By comparing with other statistical methods， such as Kfolding cross validation and paired t test， the classification abilities of nine common kernel functions were quantitatively studied based on 15 datasets. Different from parameter test methods， the rank sum test does not assume the data distribution（in some cases data cannot satisfy the assumed distribution）， the experimental data proves that the rank sum test not only can objectively evaluate the classification abilities of kernel functions， but also can produce better selection results on some data sets. Key words：kernel function； support vector machines； rank sum test； K folding cross validation； paired t test 支持向量機（Support Vector Machine，SVM）[1]的使用与核函数的正确选择是密不可分的，核函数技术巧妙地解决了在高维特征空间中计算的“维数灾难”等问题，直接决定了SVM 的非线性处理能力[2].当前对核函数选择方法的研究主要集中在构造新的核函数[3-7]、核函数参数选择[8-13]以及核函数的评估[1，14-16]上.由于在使用SVM进行分类的过程中只定义了核函数（并不显式地定义映射函数），所以在同一分类问题上选择不同的核函数对分类效果影响较大，另外映射函数的类型是多变的，在没有先验知识的情况下人们更多地是凭借主观经验进行核函数的选择，具有较大的随意性. 第七章 函数逼近 用简单的函数p (x )近似地代替函数f (x )，是计算数学中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f (x )称为被逼近的函数，p (x )称为逼近函数，两者之差 )()()(x p x f x R -= 称为逼近的误差或余项 在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f (x )一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。 第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。不过，它要求函数p (x )与f (x )在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p (x ) 虽然有可能很好地逼f (x )，但也可能使逼近f (x ) 的误差很大，如果实际问题要求p (x )在区间[a , b ] 上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p (x ) 去逼近f (x )有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。 大家知道，用f (x )的泰勒(Taylor)展开式 )()()! 1()()(! )()(!2)() )(()()(010)1(00)(200000之间与在x x x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n n ξξ++-++-++-''+-'+=Λ 的部分和去逼近函数f (x )，也是常用的方法。这种方法的特点是：x 越接近于x 0，误差就越小，x 越偏离x 0，误差就越大。若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是： 对于函数类A 中给定的函数f (x )，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B (? A )中寻找一个函数p (x )，使p (x )与f (x )之差在某种度量意义下最小。 一般，最常见的函数A 是区间[a , b ]上的连续函数，记作C [a , b ]。 最常用的函数类B 有代数多项式、三角多项式以及有理分式函数等。 最常用的度量标准有两种：核函数理论
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