奥鹏东北大学《离散数学》题库

离散数学复习题

一. 有两个小题

1．分别说明联结词、∧、∨、→和的名称，再分别说明它们在自然语言中表示什么含义。

解：(1) 叫做否定。 (2) ∧叫做合取。(3) ∨叫做析取。

(4) 叫做蕴涵。 (5) 叫做等价。

“”表示“,不成立”，“不,”。

“∧”表示“并且”、“不但,而且...”、“既,又...”等。

“∨”表示“或者”，是可兼取的或。

“”表示如果, ，则,；只要, ，就,；只有, , 才,；仅当, 。“”表示“当且仅当”、“充分且必要”。

2．分别列出P、P Q、P Q、P Q、P Q的真值表(填下表)。

P Q P P Q P Q P Q P Q

解：

P Q P P Q P Q P Q P Q

F F T F F T T

F T T F T T F

T F F F T F F

T T F T T T T

二. 将下面命题写成符号表达式。(3,4题要使用句后给定的谓词。)

1.如果小张去，则小王与小李都不去，否则小王与小李不都去。

解：设P：小张去。Q：小王去。R：小李去。

此命题的表达式为：

(P→(Q∧R))∧(P→(Q∧R))

2.我们不能既划船又跑步。

解：令 P:我们划船。Q:我们跑步。

此命题的表达式为(P∧Q)

3.有些运动员是大学生。(L(x): x是运动员，S(x): x是大学生。)

解：x(L(x)∧S(x))

4.每个运动员都钦佩一些教练。

( L(x):x是运动员，A(x,y):x钦佩y，J(x):x是教练。)

解：x(L(x)→y(J(y)∧A(x,y)))

三. 有三个问题

1.先说明什么叫永真式(也叫重言式)。

解：A(P1,P2,,,Pn) 是含有命题变元P1,P2,,, Pn的命题公式，如不论对P1,P2,,, Pn作任何指派，都使得A(P1,P2,,,Pn) 为真，则称之为重言式，也称之为永真式。

2.指出下面的命题公式中哪些是永真式(只写题号即可)。

(1). (P∨Q)→P (2). P→(P∨Q)

(3). (P∧(P→Q))→Q (4). (P∧Q)→Q

解:(2),(3),(4)为永真式。

3.然后对上面的永真式任选其中一个给予证明(方法不限)。

证明 (4). (P∧Q)→Q

设前件(P∧Q)为真，则得Q为真。所以(P∧Q)→Q是永真式。

四. 写出命题公式 (Q→P)→Q 的主合取范式。（要求有解题过程）

解：

方法1：等价变换

(Q P)Q

(Q∨P)∨Q ( 去 )

(Q∧P)∨Q ( 摩根定律 )

Q ( 吸收律 )

(P∧P)∨Q （互补、同一律）

(P∨Q)∧(P∨Q)( 分配律 )

方法2：真值表法

先列(Q P)Q的真值表如下：

P Q P Q P (Q P)Q

F F T T F

F T T T T

T F F T F

T T F F T

从真值表看出，该命题公式的主合取范式含有大项M0和M2，即(P∨Q)和(P∨Q)。于是此命题公式的主合取范式为：

(Q P)Q (P∨Q)∧(P∨Q)

五. 用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。要求按照推理的格式书写

推理过程。

xP(x), x(Q(x)R(x)), x(P(x)R(x)) x Q(x)

解：⑴xP(x) P

⑵ P(a) ES ⑴

⑶x(P(x)R(x)) P

⑷P(a)R(a) US ⑶

⑸ R(a) T⑵⑷ I

⑹x(Q(x)R(x)) P

⑺Q(a)R(a) US ⑹

⑻Q(a) T ⑸⑺ I

⑼x Q((x) EG ⑻

六. 用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。要求按照推理的格式书写

推理过程。

xC(x), x(A(x)B(x)), x(B(x)C(x)) xA(x)

解：⑴x(A(x)B(x)) P

⑵ A(a)B(a) ES ⑴

⑶xC(x) P

⑷ C(a) US ⑶

⑸x(B(x)→C(x)) P

⑹ B(a)→C(a) US ⑸

⑺B(a) T ⑷⑹ I

⑻ A(a) T ⑵⑺ I

⑼xA(x)) EG ⑻

七. 令集合A={1,{1}},B={1}，P(A)表示A的幂集。

1.判断下面命题的真值。并说明原因，否则不给分。

(1) B∈A, (2) P(B)P(A)

(3) {Φ}P(A) (4) {{1}}∈P(B)

解：P(A)＝{Φ,{1},{{1}}, {1,{1}}

P(B)＝{Φ,{1}}

⑴：真值为T；因为A={1,{1}}, B={1}, B是A中一个元素，所以B∈A。

⑵：真值为T；因为P(B)＝{Φ,{1}}，P(B)中两个元素Φ和{1}都属于P(A),所以P(B)P(A)。

⑶：真值为T；因为集合{Φ}中只有一个元素Φ，而P(A)中也有元素Φ，所以{Φ}P(A)。

⑷：真值为F。因为{{1}}不是P(B)中元素，故真值为F。

2.分别计算: （注意：要求要有计算过程，不能直接写出计算结果！）

(1) A×P(B)

(2) A⊕B

(3) P(A)－P(B)

解： A={1,{1}}, B={1}，

⑴ A×P(B)＝{1,{1}}× {Φ,{1}}

＝{<1,Φ>,<1,{1}>,<{1},Φ>,<{1},{1}>}

⑵ A⊕B＝(A B)－(A B)

=({1,{1}}{1})－ ({1,{1}} {1})＝{1,{1}}－{1}＝{{1}}。⑶ P(A)－P(B)＝{Φ,{1},{{1}}, {1,{1}}－{Φ,{1}} ＝{{{1}}, {1,{1}}}

八. 令全集E={1,2},A={1}, P(A)表示集合A 的幂集。

（注意：要求要有计算过程，不能直接写出计算结果！） 1. 指出 P(E)和P(A)各有多少个元素。即求|P(E)|和|P(A)|. 解：因为P(E)＝{Φ,{1},{2}, {1,2}} 所以P(E)有4个元素。即|P(E)|＝4。

P(A)＝{Φ,{1}} 所以P(A)有2个元素。即|P(A)|＝2。 2. 计算～A E

解：因为～A ＝E －A={1,2}-{1}={2}

～A E ＝{2} {1,2}＝({2}{1,2})－({2}{1,2})＝{1,2}－{2}＝{1}

九. 令集合A={1},B ＝{1,2}, P(A)表示集合A 的幂集。

（注意：要求要有计算过程，不能直接写出计算结果！）

1．计算A 与B 的对称差A B 。解：A B ＝(A B)－(A B)

＝({1}{1,2})－({1}{1,2})＝{1,2}－{1}＝{2} 2．计算 P(B)－P(A)

解： P(B)－P(A)＝P({1,2})－P({1}) ＝{Φ,{1},{2},{1,2}}－{Φ,{1}}＝{{2},{1,2}} 十. 给定集合A={1,2,3},定义A 上的关系如下： R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>} S={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>} T={<1,2>,<2,3>,<3,1>} M=Ф(空关系)

N=A ×A(完全关系（全域关系）)

1.写出关系R 的矩阵；再画出上述各个关系的有向图。解：关系R 的矩阵如下：

下面是几个关系的有向图：

。。。

1

3

2

M

S

。。。1

3

2

。。。1

3

2

R

。

。

1

32N

。

。。。

1

3

2

T

001

010111M R

2.判断各个关系性质。用“√”表示“是”，用“×”表示“否”，填下表：

自反的反自反的对称的反对称的传递的R

S

T

M

N

解：

自反的反自反的对称的反对称的传递的R√××√√

S√×√×√

T×√×√×

M×√√√√

N√×√×√

3.上述五个关系中，哪些是等价关系？哪些是偏序关系？哪些是A上函数？

对等价关系，写出此等价关系的各个等价类。对函数，指出它的类型。

解：S和N是等价关系。 R是偏序关系。

A/S={{1,2},{3}} A/N={{1,2,3}}

T是函数。是双射的。

4.分别求复合关系 RoS 以及R的逆关系R c。

解：RoS＝{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,3>}

R c＝{<1,1>,<2,1>,<3,1>,<2,2>,<3,3>}

十一. R是实数集合，给出R上的运算：+、－、×、max、min、|x-y|,分别表示加法、减法、乘法、两个数中取最大的、两个数中取最小的、x-y的绝对值运算。

1. 判断各个运算性质。用“√”表示“是”，用“×”表示“否”，填下表：

+ －×max min |x-y| 有交换性

有结合性

有幂等性

有幺元

有零元

2.分别指出R对上面哪些运算是半群、独异点和群。

3.如果有群，请说明它为什么是群。

解:1.

+ －×max min |x-y| 有交换性√×√√√√

有结合性√×√√√×

有幂等性×××√√×

有幺元√×√×××有零元××√×××

2. 构成半群的有：， ， , .

构成独异点的有： ， 。

构成群的有： 。

3. 是群的理由：

(1) ＋在实数集合内满足封闭性。即

任何a,b∈R, 有ａ＋ｂ∈R

(2) ＋是可结合的。

(3) 0是＋运算的幺元。任何a∈R, 有0+a=a=a+0 .

(4) 任何实数a, 都有逆元－a∈R , 使得 (-a)+a=0=a+(-a) .

所以是群。

十二. 设I是整数集合，在I上定义二元运算*如下：

对于任何a,b∈I a*b=a+b＋4

求证是个交换群.

解：1.证明封闭性:

任取a,b I 因a＋b＋4 I , a*b I. 所以*满足封闭性。

2.证明交换性:

任取a,b I, 因为a*b=a＋b＋4=b＋a＋4=b*a.所以*满足交换性。

3.证明结合性,

任取a,b,c I,

(a*b)*c=(a＋b＋4)＋c＋4=a＋b＋4＋c＋4 =a＋(b＋c＋4)＋4=a*(b*c).

所以*满足结合性。

4.证明-4是幺元,

任取a I, 因为(-4)I, 使得 a* (-4)=a＋4＋(-4)=a

(-4) *a=(-4)+a+4=a，所以-4是幺元。

5.证明有逆元,

任取a I, 因为-8-a I ,使得

a* (-8-a)= a+(-8-a)+4=-4

(-8-a) *a=(-8-a)+a+4=-4 所以-8-a是a的逆元。

综上所述 是个交换群。

十三．有三个小题。

1.名词解释

无向图结点的度

有向图结点的出度，入度

平行边

简单图

无向完全图Kn

路，回路

迹，闭迹

通路，圈

无向连通图

欧拉图

汉密尔顿图

树

根树

m叉树

完全m叉树

解：

无向图结点v的度:G是个无向图, v∈V(G), 结点v所关联边数,称之为结点v 的度. 记作 deg(v).(或d(v)).

有向图结点的出度和入度: G=是有向图,v∈V

v的出度: 从结点v射出的边数.

v的入度: 射入结点v的边数.

平行边:在两个结点之间关联的多条边，这些边是平行边.

简单图:不含有环和平行边的图.

无向完全图Kn：G是个简单图, 如果每对不同结点之间都有边相连，则称G是个无向完全图。如果G有n个结点, 则记作Kn。

路: 给定图G=，设v0 ,v1,v2,,,,vn∈V, e1,e2,,,,en∈ E

其中ei是关联vi-1 ,vi的边, 则称结点和边的交叉序列v0 e1v1 e2v2,envn

是连接v0到vn的路.

回路:如果一条路的起点和终点是一个结点,则称此路是一个回路.

迹：如果一条路中,所有边都不同,则称此路为迹.

闭迹：如果一条回路中,所有边都不同,则称此回路为闭迹.

通路：如果一条路中,所有结点都不同,则称此路为通路.

圈：如果一条回路中,除起点和终点外,其余结点都不同,则称此回路为圈.

无向连通图: 如果一个无向图G只有一个连通分支(W(G)=1),则称G是连通图. 欧拉图：在无孤立结点的图G中,若存在一条回路,它经过图中每条边一次且仅一次,称此图为欧拉图。

汉密尔顿图：图中有通过每个结点恰好一次的回路。(具有汉密尔顿回路)的图.称之为汉密尔顿图。

树：一个连通无回路的无向图T，称之为树。

根树:如果一棵有向树,恰有一个结点的入度为0,其余所有结点的入度均为1,则称此树为根树.

m叉树:在根树中,如果每个结点的出度最大是m, 则称此树是m叉树.

完全m叉树:在根树中,如果每个结点的出度都是m或者等于0, 则称此树是完全m叉树.

2．给定图的集合G={A,B,C,D,E,F,H,K,M,N,R,S,T,V,W,X,Y},其中各个图如下所示，请指出这些图中哪些是彼此同构的。

2．解:同构的有:AR ；BD；CMSW ；EFTY；H ；KX ； VN。

3.请画出五个具有五个结点的无向图，使之分别满足：

(1) 此图既是欧拉图也是汉密尔顿图。

(2) 此图是欧拉图但不是汉密尔顿图。

(3) 此图是汉密尔顿图但不是欧拉图。

(4) 此图是完全图K5。

(5) 此图是棵树

解：

(1) (2) (3)

(4) (5)

十四. 有三个小题

1. 指出下面各个图中哪些是彼此同构的.

解： a 、h 、i 同构； b 、d 同构； c 、g 同构； e 、f 同构。2.完全二叉树中，设边数为e ，叶结点数为t ，求证 e=2(t-1)。解：由完全m 叉树公式 (m －1)i=t －1 这里m ＝2，得 (2－1)i=t －1, ∴ i=t －1,

∴T 中总的结点数v 为: v=i ＋t =(t －1)＋t=2t －1，于是T 的边数e ：

e=v －1= 2t －1－1= 2t －2=2(t －1) 3．根据给定一组权值:1,6,2,5,3,4,1,6,2 画出一棵最优完全二叉树。要求有画图的过程。

解权值排序并画图：

1,1,2,2,3,4,5,6,6

2,2,2,3,4,5,6,6 2,3,4,4,5,6,6 4,4,5,5,6,6 5, 5,6,6,86,6,8,108,10,112,1830 3 2 1

1 2

18

5

10 30

8 4

12 2

4 6

6

5

a b c d

f

g h

i

e