等腰三角形综合测试题
等腰三角形综合测试题
等腰三角形综合测试题
（满分120分）
一、选择题（每题2分，共20分）
1、下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A有两个内角相等的三角形B有一个内角是45°直
角三角形
C. 有一个内角是30°的直角三角形
D. 有两个
角分别是30°和120°的三角形
2、下列图形中，轴对称图形有（）个
A.1
B.2
C. 3
D.4
3、等腰三角形周长是29，其中一边是7，则等腰三角
形的底边长是（）
A 15 B15或7 C 7
D 11
4、在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC
＝75°，则∠A的度数为（）
A、30°
B、40°
C、45 °
D、60°
5、下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A 角
B 等边三角形
C 线段 D不等边三角形
6、正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠
BIC为（）
A．60 B．90 C．120 D．150°
7、下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等
于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三
角形；
? ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）
A①②③B①②④C①③D①②③④
8、如图1，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，
且AD=BE=CF，则△DEF?的形状是（）
D A
B
F
2
1
E
D
C
A B
B
A
A ．等边三角形
B ．腰和底边不相等的等腰三角形
C ．直角三角形
D ．不等边三角形
9、Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°， AD=2cm ，则AB 的长度是（ ）
A ．2cm
B ．4cm
C ．8cm
D ．16
10.如图2，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1∠2，
BE=CD ，则对△ADE 的形状判断准确的是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．不等边三角形 D ．不能确定形状
二、填空题（每题2分，共20分）
11、△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=_______． 12、已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______．
13、△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，?则CD?的长度是_______． 14、如图（3），在ΔABC 中AB=AC ，∠A=36°，BD
平分∠ABC ，则∠1=________, 图中有_______个等腰三角形。 15、如图（4），ΔABC 中AB=AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D 。
(1).若∠A=38°，则∠DBC=______________。
(2).若AC+BC=10cm ，则ΔDBC 的周长为_________。
16、△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且BD=CD ，若AB=3，则AC=___ __.
图（3） 图（4） 17、等腰三角形的一个角为100°，则它的两底角为
_ ____.
图1
图2
18、已知等腰三角形的一边等于4cm ，一边等于9cm ，那么它的周长等于 cm
19、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的________ 20、在△ABC 中，如AB=AC ，________，（只添加一个条件），则△为等边三角形．
三、简答题（共60分）
21．如图，△ABC 中AB=AC ，点F 是CA 延长线上一点，DF ⊥BC 于E 交AB 于D ，?
求证：△AFD 是等腰三角形．(10分)
22、已知：如图△ABC 中，AB=AC ，∠C=30°，AB ⊥AD ，AD=4cm ．求BC 的长．（10分）
23、如图，点E ，F 在BC 上，BE=CF ，∠A=∠D ，∠B=∠C ，AF 与DE 交于点O ．试判断△OEF 的形状，并说明理由．（10分）
A F
B
C
D E
24、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC?于点D，
?求证：?BC=3AD.（10分）
25、上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向下北航行，11时到达海岛B处，
从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°，求从海岛B到灯塔C的距离。（10分）
12．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC 和△CDE?都是等边三角形．BE交AC于F，
AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：
等腰三角形经典练习题(有难度)
等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 A B C D F E F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x A x
设∠A 为x ∠A= 7 180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=2 1,DE+BC=1, A B C D E x x 180°－2x 30° x －15° x －15° A
求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题： 8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于 点D 、E 求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEA C B A D E P A B C D E
(北师大版)初中数学《等腰三角形》综合测试2
1.1 等腰三角形 一．填空题（每小题3分，共18分）： 1．在△ABC 中，∠A －∠C ＝ 25°，∠B －∠A ＝ 10°，则∠B ＝ ； 2．如果三角形有两边的长分别为5a ，3a ，则第三边x 必须满足的条件是 ； 3．等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是 ； 4．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ， 则∠BAC ＝ ，∠DAC ＝ ，BD ＝ cm ； 5．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝3，AC ＝4，则AD ＝ ； 6．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝5cm ，作AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D ，连结BD ，如果△BCD 的周长是17cm ，则△ABC 的腰长为 ； 二．判断题（每小题3分，共18分）： 7．已知线段a ，b ，c ，且a ＋b ＞c ，则以a 、b 、c 三边可以组成三角形 （ ） 8．面积相等的两个三角形一定全等 （ ） 9．有两边对应相等的两个直角三角形全等 （ ） 10．有两边和其中一边上的高对应相等的两上三角形全等 （ ） 11．当等腰三角形的一个底角等于60°时，这个等腰三角形是等边三角形（ ） 12．一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等 （ ） 三 选择题（每小题4分，共16分）： 13．已知△ABC 中，∠A ＝n°，角平分线BE 、CF 相交于O ，则∠BOC 的度数应为（ ） （A ）90°－n 21° （B ）90°＋ n 21° （C ）180°－n° （B ）180°－n 21° 14．下列两个三角形中，一定全等的是（ ） （A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形 （B ）两个等边三角形 （C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形 （D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形 15．一个等腰三角形底边的长为5cm ，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3 cm ，则腰长为（ ）
等腰三角形计算和证明题集锦(全)
一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ， 若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点， 作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=1/2，DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 7. 如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 二、证明题 8、如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ， 过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 9、如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系。 10、如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC A B C D F E
11、11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD 12、12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 13、13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB 边上的中线 求证：CD=1/2 CE 14、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15、如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G 求证：EG=FG 16、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD 求证：AF=FC 17、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高， 交于点H，且AE=BE 求证：AH=2BD 18、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°求证：AD=DC 19、如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E， 延长BC至点D，使AE=BD 求证：EC=ED 20、如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，∠E、∠F的平分线交于点H 求证：EH⊥FH
《等腰三角形判定的综合应用》教学案例
《等腰三角形判定的综合应用》教学案例 教学过程 复习提问： 师：等腰三角形的判定定理有哪些？ ①有两边相等的三角形叫做等腰三角形。（其定义是重要的判定） ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。 ③一边上的中线、这边上的高线与这边所对的角的角平分线中任意两条线互相重合的三角形是等腰三角形。（三线合一的逆定理，当中包含三个定理） ④三个角相等的三角形是等边三角形。 新课过程 引例1
已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC。 求证：AB＝AD 分析：请大家思考。 绝绝大部分学生能做出来。 （等绝绝大部分学生能思考出来时，抽成绩差学生的说出解题过程，面向全体学生的体现 之一） 师：要证明AB＝AD，转化先证明∠ABD＝∠ADB即可。我们要证明的两条线段若在两个三角形中，则思考的一个方向是去证明三角形全等。若这两条线段是在同一个三角形中，则一 个思考方向是证明它是等腰三角形。 生：证明：∵BD平分∠ABC ∴∠ABD＝∠DBC 又∵AD∥BC ∴∠ADB＝∠DBC ∴∠ABD＝∠ADB ∴AB＝AD（等角对等边） 引例2 已知：如图，∠CAE是ΔABC的外角，∠EAD＝∠DAC，AD∥BC。求证：AB＝AC。
（留时间给学生观察思考） （班上绝绝大部分学生能做出来，处理如上题） 生：∵AD平分∠EAC ∴∠EAD＝∠DAC 又∵AD∥BC ∴∠EAD＝∠B ∠DAC＝∠C ∴∠B＝∠C（等角对等边） 分析：问：这两个题有什么共同之处？ 生1：都出现了平行线，都出现了角平分线。 生2：都得到了一个等腰三角形。 生3：都利用了“等边对等角”。 生4：其证明的方法一样。 …… 师：刚才大家七嘴八舌说了很多，说得很好。 （至此课堂很活跃） 刚才我听到有的同学说很简单，我也这样认为这两个引例并不难，但难题来至于简单的组合，奥秘隐藏于简单之中，还要仔细分析，这两题能够给我们带来怎样的收获。 ①小题：出现： ②小题：出现： 问：这两个题有什么不同之处？
与等腰三角形有关的证明题
与等腰三角形有关的证明题 例1.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD ＝CE，DE交BC于F。 求证：DF＝EF 分析：要证DF＝EF，只需设法证明DF与EF所在的三角形全等， 但由于DF所在的△DFB比EF所在的△EFC显然大，故应考虑添加辅 助线。 作DG∥AC，交BC于G，则∠DGB＝∠ACB 从而∠DGF＝∠ECF（等角的补角相等）由AB＝AC，得∠B＝∠ACB 从而∠DGB＝∠B，DG＝BD＝CE 在△DFG与△EFC中，∠DGF＝∠ECF，∠DFG＝∠EFC（对顶角相等） 故∠GDF＝∠FEC 又DG＝CE，所以△DFG≌△EFC 所以DF＝EF 例2.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上任一点，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F。 求证：为定值。 分析：所谓定值是指不论点D在底边BC的何处，DE＋DF的大小总是等 于已知的或隐含的某条线段的长，也就是说定值是一个常量。那么本题的定 值究竟是多少呢我们可以考虑点D所在的特殊位置，当点D与点B重合时， DE的长度为0，DF等于AC边上的高，可见，（DE＋DF）的定值是腰上的高，因此，作△ABC的高BG，然后只需证明DE＋DF＝BG即可。 要证，可在BG上截取GH＝DF，然后只需证BH＝DE。连接DH，则只需证明△BDE≌△DBH。易知四边形DFGH是矩形，从而DH∥AC，∠BDH＝∠C，∠BHD＝∠DHG＝90°＝∠BED。又AB＝AC，∠EBD＝∠ABC＝∠C，所以∠BDH＝∠EBD。所以∠EDB ＝∠DBH。又BD为公共边，所以△BDE≌△DBH。 如果注意到高，联想到三角形面积，则 可采用如下简单的证法： 连接AD 则由，得： 又AB＝AC 边上的高＝定值
等腰三角形综合练习题
等腰三角形综合练习卷 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是 ( ) A．线段 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．圆 2．若等腰三角形的两边长分别为4和9，则周长为( ) A．17 B．22 C．13 D．17或22 3．如果三角形一边上的高平分这条边所对的角，那么此三角形一定是 ( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角板拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BD⊥AC，DE⊥BC，D，E为垂足，下列结论正确的是( ) A．AC=2AB B．AC=8EC C．CE= 1BD D．BC=2BD 2
6．有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角之和；(2)三个内角之比为3：4：5；(3)三边之比为5：12：13； (4)三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D为AB的中点，有以下判断：①DE=AC；②DE⊥AC；③∠CAB=30°；④∠EAF=∠ADE．其中正确结论的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，以点A和点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出 ( ) A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 9．如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D， M为AD上任一点，则MC2=MB2等于 ( ) A．9 B．35 C．45 D．无法计算 10．若△ABC是直角三角形，两条直角边分别为5和12，在三角形内有一 点D，D到△ABC各边的距离都相等，则这个距离等于 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题(每小题4分，共24分) 11．已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是________． 12．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=2cm，那么腰AC的长
等腰三角形中的分类讨论问题归类
初中数学等腰三角形的分类讨论 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。 一、遇角需讨论 例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ） A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75° 简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当75°是底角时，则顶角的度数为 180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D 。 说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。 二、遇边需讨论 例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。 简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。故这个等腰三角形的周长等于16或17。 说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。 三、遇中线需讨论 例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。 若设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得???????=+=+,1221,921y x x x 或???????=+=+.92 1,1221y x x x 解得???==,9, 6y x 或???==.5, 8y x 即当腰长是6cm 时，底边长是9cm ；当腰长是8cm 时，底边长是5cm 。 说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。
初中数学三角形综合应用综合测评题(含答案)
初中数学三角形综合应用综合测评题 一、单选题(共10道，每道10分) 1.在三角形的三个内角中至少有( ) A.一个锐角 B.一个直角 C.一个钝角 D.两个锐角 答案：D 试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理 2.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为( ) A.720° B.540° C.360° D.180° 答案：D 试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理 3.如图,在△ABC中,若∠C=90°,∠CAB与∠CBA的角平分线相交于点O,则∠AOB等于( ) A.105° B.120° C.135° D.150° 答案：C 试题难度：三颗星知识点：三角形的角平分线 4.如图,∠BAD的角平分线AE与∠BCD的角平分线CE交于点E,∠ADC=40°,∠AEC=35°,则∠ABC 的度数为( )
A.30° B.35° C.37.5° D.40° 答案：A 试题难度：三颗星知识点：三角形的角平分线 5.如图,AD是△ABC的一条角平分线,点O在AD上,且OE⊥BC于点E,∠BAC=60°,∠C=80°,则∠EOD的度数为( ) A.30° B.20° C.15° D.10° 答案：B 试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理 6.已知等腰三角形的周长为17cm,其中一边长为5cm,则该等腰三角形的底边长为( ) A.6cm或5cm B.7cm或5cm C.5cm D.7cm 答案：B 试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的三边关系 7.等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线将周长分为3:2两部分,则此三角形的底边长为( ) A.5cm B. C.5cm或 D.5cm或10cm 答案：C
培优专题讲解_等腰三角形(含解答)-
等腰三角形专题练习题 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 例1如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数． 练习1 1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）．A．7．5° B．10° C．12.5° D．18° 1-2 2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？ 1-3
3．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，?连结CD，则∠BDC=________． 1-4 例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD?的垂直平分线HE?交AC 延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由． 练习2 1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED?的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？ 1-6 1-7 1-8 2．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（） A．BD>BA B．BD 等腰三角形典型例题练习 等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且 在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N． 给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点， DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之 比等于_________ ． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上 的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC， 分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC． 6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上， 二次函数背景下的等腰三角形 二次函数是历年中考的重难点，出题比较灵活多变，主要是二次函数和一些图形题结合的考查，此类问题多基于图形的运动上进行考察，所以对于学生的想象力以及分析和运算能力有着一定的要求，所以平时应该多进行训练。 第一问一般情况下是以求二次函数的解析式和顶点坐标居多。此类题比较简单，第一种情况题目直接给出二次函数所过点的坐标，带入解析式直接求出参数a 、b 、c 的值即可，第二种情况题目中会给一些几何条件，间接求出二次函数所过点的坐标即可。 第二问出题较灵活，反观近几年中考，主要会出以下几类:求锐角三角比、面积表示、用字母表示某线段的长。 第三问主要考察动点居多，主要是二次函数和相似三角形、等腰三角形、直角三角形、特殊四边形、圆的结合。 其实二次函数综合题型在平面直角坐标系的考察，实则就是点坐标的求解。也就是函数解析式和坐标轴、对称轴，以及函数解析式交点的求解。这块知识解法比较多变，主要分为代数分析法和几何分析法。主要应用了一个比较重要的数学思想即数形结合思想。接下来主要分析下二次函数和等腰三角形这块知识的求解。 等腰三角形与二次函数综合求解方法 第一、由于等腰三角形的特殊性，是每年中考必考的考点，做题时需要考虑等腰三角形的性质：腰相等，底角相等，三线合一等这些，然后分类讨论，一般地一个三角形为等腰三角形可以分为三种情况，可以以不同的顶点为分类依据。 第二、以腰相等列方程，利用二次函数可得的数据求出所设字母的值。这类题型主要设动点坐标，一般动点坐标在已知直线上或二次函数图像上，根据函数解析式设动点坐标，最好纵横坐标只设一个字母，这样学生解题思路更加清晰，再根据两点之间的距离或利用锐角的三角比列出方程，求出字母的值进而可以求出动点的坐标，并需要强调的是求出来的点的坐标的取舍。 例1：在直角坐标系中，把点(1,)A a -（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点C 的纵坐标为2。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 的坐标为)1m ，（，且3 专题讲义 等腰三角形的性质运用 夯实基础 1．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( ) A ．40° B ．100° C ．40°或70° D ．40°或100° 2. 一个等腰三角形两边长分别为20和10，则周长为（ ） A ．40 B ．50 C ．40或50 D ．不能确定 3．如图，在△ABC 中，BC ＝8，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，则△ADE 的周长等于（ ） A ．8 B ．4 C ．12 D ．16 4.如图，折叠长方形纸片ABCD ，沿对角线BD 折叠，使DC 落在DC′处，交AB 于G ， （1）求证：DG=GB （2）图中全等的三角形共有______ 对。 例题剖析 遇直角△可构“一线三垂直”模型，证全等 【例1】在平面直角坐标系中，点A (4，0)、B (0，8)，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，则点C 坐标为__________ 【例2】如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，射线BC 上有一动点G ，GE ⊥AC 于E ， GF ⊥AB 于F ，AB 上的高为CD 。 （1）当G 在BC 间运动时，求证：GE+GF=CD 。 （2）当G 运动到BC 外时，试判断出GE 、GF 、CD 间关系，并加以证明。 G F E D C B A C ' G D C B A 【例3】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，且BD ＝CE ，连结DE 交BC 于G ， 试判断线段DG 与EG 的长度有怎样的关系，证明你的结论。 【例4】如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，点D 在AB 上，AD=AC ，BE ⊥直线CD 于E （1）求∠BCD 的度数； （2）求证：CD=2BE ； （3）若点O 是AB 的中点，请直接写出三条线段CB 、BD 、CO 之间的数量关系． 【例5】已知如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∠AMB=75°，∠DMC=45°，AM=MD ，求证：AB=BC 。 【例6】如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 为两动点，两动点分别从C 点和A 点出发，沿CB 和AC 方向以相同的速度运动，AD 与BE 交于F 点，试判断∠AFE 的度数是否变化，若不变，求出其值，若变化，求出其范围。 【例7】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF 。 G E D C B A M C B D A F B E D A F E D C B A 第四章三角形 第二节特殊三角形---等腰三角形 万全区第一初级中学郭秀 【教学目标】 知识与能力 1、使学生掌握等腰三角形的判定和性质,掌握在线合一 2、使学生掌握等边三角形的判定和性质 过程与方法 以题揭示知识点，使学生学会总结与归纳 情感态度价值观观：培养学生的独立审题和解题能力 【教学重难点】 重点: 1.等腰三角形的判定及性质. 2.三线合一 3.等边三角形性质和判定. 难点: 方法的提练；结论的总结过程与灵活运用过程 【教学过程】 展示问题: 一、等腰三角形 例1:在△ABC中∠A=400,∠B=600，你能剪一刀，把△ABC分成两个等腰三角形吗？ C D B A 设计意图:考查等腰三角形的判定 等腰三角形的判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形； ②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 问题：在上图中，已知BC=4,AB=8，求△BCD的周长。 =BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=4+8=12 提示:C △BCD 拓展1:(2016年浙江省衢州市)10．如图，在△ABC中，AC=BC=25，AB=30，D是AB上的一点（不与A、B重合），DE⊥BC，垂足是点E，设BD=x，四边形ACED的周长为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（） A ． B ． C ． D ． 提示: ①因为0 第一章三角形的证明检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列命题： ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的最短边是底边； ④等边三角形的高、中线、角平分线都相等； ⑤等腰三角形都是锐角三角形. 其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于点D，则BD的长为（） A.15 7 B. 12 5 C. 20 7 D. 21 5 3. 如图，在△ABC 中，，点D在AC 边上，且，则∠A的度数为（） A. 30° B. 36° C. 45° D. 70° 4.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（） A.8或10 B.8 C.10 D.6或12 5.如图，已知，，，下列结论： ①；②；③；④△≌△． 其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边cm，则最长边AB的长是（） A.5 cm B.6 cm C.5cm D.8 cm 7.如图，已知，，下列条件能使△≌△的是（） A. B. C. D.三个答案都是8.（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.已知一个直角三角形的周长是26，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（） A.5 B.2 C. 4 5 D.1 10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E ，如果cm ，那么△的周长是（） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 . 12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是___ ___三角形. 13.（2015?四川乐山中考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°. 14.如图，在△ABC 中，，AM 平分∠，cm，则点M到AB的距离是_________. 15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则 _________，_________. 16.(2015?江苏连云港中考)在△ABC中，AB＝4,AC＝3，AD是△ABC的角平分线， 则△ABD与△ACD的面积之比是. 17. 如图，已知 的垂直平分线交 于点 ，则 . 18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜 边AB上,BC与DE交于点M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度. A F E C B A D C E 等腰三角形的综合应用 1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F 。 证明：1 2 ABC AEPF S S ?=四边形 3、如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC=A=90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 且BC=10，求△DCE 的面积。 4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠ACB =90°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转?角 A E A 1 C B B 1 F D A E D P Q A B F E C C E (00090EF 。 D A E C F A E C B D F 8、已知△ABC 中，∠A =90°，AB=AC ，D 是BC 的中点。 (1)如图①，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE=AF ，试判断△DEF 的形状，并说明理由。 (2)如图②，若E 、F 分别为AB 、CA 的延长线上的点，仍有BE=AF ，请判断△DEF 是否仍具有(1)中的形状，并说明理由。 图① 图② 9、已知：等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ．“若点P 在一边BC 上(如图一)，此时h 3=0，可得结论：h 1＋h 2＋h 3=h ” ． 特殊三角形的定义、性质及判定 等腰三角形 1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3. 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 等边三角形 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质： ①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°； ②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.（3）等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）两个重要结论 ①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半. ②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°. 两个重要结论的数学解释：Array已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则： ①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°； ②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC. 直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。 3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。 5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。难点： 1在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜 边上的中线。 等腰三角形计算和证明题集锦 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ， 若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点， 作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=1/2，DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 7. 如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 二、证明题 8、如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ， 过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 9、如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系。 10、如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC A B C D F E 等腰三角形计算和证明题集锦11、11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD 12、12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点， 且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 13、13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB 边上的中线 求证：CD=1/2 CE 14、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15、如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G 求证：EG=FG 16、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上 的高，B到点E，使BE=BD 求证：AF=FC 17、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高， 交于点H，且AE=BE 求证：AH=2BD 18、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD=AB， ∠ABD=30°求证：AD=DC 19、如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E， 延长BC至点D，使AE=BD 求证：EC=ED 20、如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180° AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点 E，∠E、∠F的平分线交于点H 求证：EH⊥FH 二次函数的综合应用㈠ 一、典例精析 考点一：二次函数与方程 1.（2011广东）已知抛物线2 12 y x x c = ++与x 轴有交点． (1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx +l 经过的象限，并说明理由． 解：（1）∵抛物线与x 轴没有交点 ∴⊿＜0，即1－2c ＜0 解得c ＞ 1 2 (2)∵c ＞ 12 ∴直线y=1 2x ＋1随x 的增大而增大，∵b=1 ∴直线y=1 2 x ＋1经过第一、二、三象限 2.(2011南京)已知函数y=mx 2 －6x ＋1（m 是常数）． ⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 解：⑴当x=0时，1y =． 所以不论m 为何值，函数2 61y mx x =-+的图象经过y 轴上的一个定点（0，1）． ⑵①当0m =时，函数61y x =-+的图象与x 轴只有一个交点； ②当0m ≠时，若函数2 61y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则方程2610mx x -+=有两个相等的实数根，所以2 (6)40m --=，9m =． 综上，若函数2 61y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9． 考点二：二次函数与最大问题 3、如图，二次函数c bx x y ++- =2 4 1的图像经过点()()4,4,0,4--B A ，且与y 轴交于点C . （1）试求此二次函数的解析式； （2）试证明：CAO BAO ∠=∠（其中O 是原点）； （3）若P 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过P 作y 轴的平行线，分别交此二次函数图像及x 轴于Q 、H 两点，试问：是否存在这样的点P ，使QH PH 2=？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（1）∵点()0,4A 与()4,4--B 在二次函数图像上， ∴???+--=-++-=c b c b 444440，解得?????==2 21c b ， ∴二次函数解析式为22 1 412++- =x x y . （2）过B 作x BD ⊥轴于点D ，由（1）得()2,0C ， 则在AOC Rt ?中，2 1 42tan === ∠AO CO CAO ， 等腰三角形综合运用 单元检测 一、单选题 1.如图，坐标平面内一点A （2，﹣1），O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果 以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为 （ A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( ) A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形 3.如图，△ABC 的面积等于6，边AC=3.现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的C ’处。点P 在直线AD 上，则线段BP 的长不可能是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 4.7． 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ︰S △BCO ︰S △CAO 等于（ A ．1︰1︰1 B ．1︰2︰3 C ．2︰3︰4 D ．3︰4︰5 C 5.若实数m 、n 满足等式|2|0－ m ，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边 的边长，则△ABC 的周长是( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 6.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ， 且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ） A. 4㎝ B. 6㎝ C. 10㎝ D. 不能确定 7.如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线 分别交AB ，BC 于点D ，E ．将△BDE 沿直线DE 折叠，得到B DE 'V ，若B D '，B E '分别交AC 于点F ，G ，连接OF ，OG ，则下列判断错误的是( ) A ．△ADF ≌△CGE B ．△B’FG 的周长是一个定值 C ．四边形FOEC 的面积是一个定值 D ．四边形OGB'F 的面积是一个定值 8.如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E 。若BF=6，AB=5，则AE 的长为（ ） A.4 B.6 C.8 D.40 E F G A B C D等腰三角形单元测试题(含答案)
二次函数与等腰三角形的综合考察
八年级专题培优讲义： 等腰三角形的性质的综合运用
数学人教版八年级上册特殊三角形---等腰三角形
八年级下册第一章等腰三角形的证明测试题
等腰三角形的综合应用
特殊三角形基本知识点整理
等腰三角形计算和证明题集锦全.docx
二次函数与等腰三角形、直角三角形的综合
2020年中考数学一轮专题复习 等腰三角形综合运用 单元检测(含答案)