对号函数的图像与性质

对号函数)0()(≠+=x x a x x f 的图像与性质

【学习目标】

1． 理解并掌握对勾函数)0()(≠+

=x x a x x f 的图像与性质； 2． 通过对勾函数)0()(≠+

=x x a x x f 的图像与性质的研究，体会与感悟函数的研究方法． 【课前导学】 【问题情境】已知函数x

x x f 1)(+=（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）证明函数在]1,0(上是减函数，在),1[+∞上是增函数．

【课堂活动】

一．建构数学：

问题（1）你能用我们学过的函数知识证明该函数x

x x f 1)(+=在),0(+∞的最小值为)1(f 吗？ 答略．

问题（2）你能画出该函数在定义域上的大致图象吗，怎样画？

提示：描点作图：先画出在),0(+∞上的图象，再由奇偶性画出在)0,(-∞上的图象

问题（3）你能知道该函数在)0,(-∞上的最值情况吗？能说明理由吗？

答略．

问题（4）你能知道该函数在)0,(-∞上的单调性吗？能说明理由吗？

说明：设计这个问题串目的是为了全面复习函数的主干知识，全面检测学生对函数的基础知识和基本方法的掌握情况．

二．应用数学：

1．教师引导，学生合作探求 我们已经知道x

x x f 1)(+

=的图象和在定义域上的奇偶性、单调性及其最值情况，那么你能解决下列问题吗？ （1）求函数x

x x f 4)(+

=的单调区间． （2）求函数x

x x f 9)(+=的单调区间． （3）求函数)0()(>+=a x a x x f 的单调区间？并给出证明． （1）和（2）可以让学生分组讨论．探求，交流发言，形成共识后解决（3）．

设计这个问题串是为了给学生提供一个合作探究的平台，训练观察、分析、解决问题的能力，让学生尝试数学发现之路即：观察、分析、归纳、猜想、证明．

2．变式探究 提升能力 若函数)0()(>+=a x

a x x f 在]2,0(上是减函数．在),2[+∞上是增函数，求a 的值． 注：这是利用逆向思维设计问题，目的是为了让学生先猜想后证明，再次体验数学发现，激发学生的兴

趣．

3．归纳总结，拓展创新

（1）已知函数x

x x f 1)(-=．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）单调性如何？（只要给出判断，不必证明）

注：设计这个变式，目的是为了既缓和学生的思维强度，又训练学生思维的灵活性，同时也为学生总结作铺垫．

（2）你能对函数x

a x x f +=)(的定义域、奇偶性、单调性作一个总结吗？ 注：设计这个问题目的是为了帮助学生回顾本节课所研究的问题，完成对数学问题的探究，使问题得到圆满的解决，同时回答本题需要对a 讨论，有助于训练学生思维的全面性．

三．理解数学：

1．已知函数x x x f 1

)(+=，分别求函数在以下定义域上的值域：

（1）]4,2(∈x ； （2）]32

,1[--∈x ；

（3）]4,21

[∈x ； （4）)21

,0()0,2(?-∈x ．

答案：（1）5

17,24?? ???；（2）13

,26??--????；（3）172,4??

????；（4）55

,,22????

-∞-?+∞ ???????．

2．求下列函数的单调区间和最值：

（1）)1,0()0,2((2

)(?-∈-=x x x x f ；

（2）])3,1[(3

)(2∈+=x x x x f ；

（3）)0(5

2)(>+=x x x x f ．

答案：（1）增区间为()()2,0,0,1-，无最值；

（2）增区间为??，减区间为??，最小值是4；

（3）增区间为?+∞????，减区间为? ??，最小值是，无最大值．

【课后提升】

1．已知函数x x x f 1

)(+=，求函数在)0)(,[>+∞∈a a x 的值域，若)0](,[b a b a x <<∈呢？

解：因为)0)(,[>+∞∈a a x ，

当1a <时，函数的值域是[)2,+∞；

当1a ≥时，函数的值域是1

,a a ??++∞????．

若)0](,[b a b a x <<∈，

当1b ≤时，函数的值域是11,b a b a ?

?++???

?； 当1a ≥时，函数的值域是11,a b a b ?

?+

+????； 当1a b <<时，函数的值域是()(){}

2,max ,f a f b ????． 2．已知函数x

a x x x f ++=2)(2在]3,0(是减函数，在),3[+∞是增函数，求的a 值．

解：由函数()()0a f x x a x =+

>3,9a ==． 3．已知函数x

a x y +=有如下性质：如果常数a >0，那么该函数在],0(a 上是减函数,在 ),[+∞a 上是增函数.

（1）如果函数)0(2>+=x x

x y b

的值域为),6[+∞，求b 的值； （2）研究函数)0(22>+

=c x

c x y 常数在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数)0(22>+=+=a x a x y x a x y 常数和作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例. 研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）．

解：（1）由所给函数)0(>+=a x

a x y 性质知，当x > 0时，a x =时函数取最小值.2a 所以对于函数,222,2

b b b x x

x y 时取最小值当=+=所以,92,622==b b ∴b = log 29. （2）设c t t c t y t x t ≥

+=>=由条件知在则)0(,2时为单调增函数，c t ≤<0时为单调递减函数，而t = x 2在（0，+∞）为单调增函数，在（－∞，0）上为单调减函数， 所以由复合函数单调性知在22220

0x c x y x c x x c x +=???<≤???>≥时和均单调递增， 解得,044<≤-≥x c c x 和 即[)[)

.0,,4422c 、c x c x y -+∞+=的单调增区间为 当x c x y x c x x c x +=???<≥???>≤时和0

022均单调递减，解得440c x c x ≤≤<和 即函数(](]

.,,04422c 、c x

c x y -∞-+=的单调减区间为

（3）由函数22x

a x y x a x y +=+=和的性质将这种类型的函数推广如下： ①当n 为偶数时（n >0）函数)0(>+=c x

c

x y n n 的单调增区间为[)[)0,,22n n c 、c -+∞， 单调减区间为(](].,,022n n c 、c -∞-； ②当n 为奇数时（n >0）函数)0(>+=c x c

x y n n 的单调增区间为[)[)

n n c 、c 22,,-∞-+∞，单调减区间为[)(]

,,00,22n n c 、c -

．