高中数学解析几何专题(精编版)
高中解析几何专题（精编版）
1. （天津文）设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。点(,)
P a b 满足212||||.PF F F =
（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；
（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与
圆
22(1)(16x y ++-=相交于M ，N 两点，且5
||||8
MN AB =，求椭圆的
方程。
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距
离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。
（Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，
2c =，整理得2
210,1c c c a a
a ??
+-==- ???得（舍）
或11
,.22
c e a ==所以
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2,a c b ==，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直
线FF 2
的方程为).y x c =-
A ，
B 两点的坐标满足方程
组2223412
,().
x y c y x c ?+=??=-??消去y 并整理，得
2580x c x -=。解得1280,5x x c ==
，得方程组的解21128,0,5,.
x c x y y ?=?=???
??
=???=??
不妨设8,55A c c ??
? ???
，
(0,)B ，
所以16||.5AB c == 于是5
||||2.8
MN AB c ==
圆心(-到直线PF 2
的距离|||2|
.22
c d +=
= 因为2
2
2
||42MN d ??+= ???
，所以223(2)16.4c c ++=
整理得2712520c c +-=，得26
7
c =-（舍），或 2.c =
所以椭圆方程为22
1.1612x y +
= 2. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b
+=>>
右焦点为
（），斜率
为I 的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2）.
（I ）求椭圆G 的方程； （II ）求PAB ?的面积. 【解析】
解：
（Ⅰ）由已知得c c a ==
解得a =
又222 4.b a c =-=
所以椭圆G 的方程为22
1.124
x y +
= （Ⅱ）设直线l 的方程为.m x y += 由???
??=+
+=14
1222y x m x y 得
.01236422=-++m mx x
设A 、B 的坐标分别为),)(,(),,(212211x x y x y x 则,4 32210m x x x -=+= 4 00m m x y =+= 因为AB 是等腰△PAB 的底边， 所以PE ⊥AB. 所以PE 的斜率.14 3342-=+ -- = m m k 解得m=2。 此时方程①为.01242=+x x 解得.0,321=-=x x 所以.2,121=-=y y 所以|AB|=23. 此时，点P （—3，2）到直线AB ：02=+-y x 的距离,2 2 32 | 223|= +--=d 所以△PAB 的面积S= .2 9||21=?d AB 3. (全国大纲文)已知O 为坐标原点，F 为椭圆2 2 :12 y C x +=在y 轴正半轴上的 焦点，过F 且斜率为的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= （Ⅰ）证明：点P 在C 上； （II ）设点P 关于O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。 【解析】22．解：（I ）F （0，1），l 的方程为1y =+， 代入2 2 1y x +=并化简得 2410.x --= …………2分 设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y 则12,44x x = = 121212)21,2 x x y y x x +=+=++= 由题意得312312()() 1.x x x y y y =-+==-+=- 所以点P 的坐标为(1).2 -- 经验证，点P 的坐标为(,1)2 --满足方程 22 1,2 y x +=故点P 在椭圆C 上。 （II ）由(1)2 P - -和题设知， ,1)2Q PQ 的垂直一部分线1l 的方程为 .y x = ① 设AB 的中点为M ，则1 ( )42 M ，AB 的垂直平分线为2l 的方程为 1.24 y x = + ② 由①、②得12,l l 的交点为1 ()8 N 21 || 8 |||| || || || 8 NP AB x x AM MN NA == =-= = == == 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|， 由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上。 4. （全国新文）在平面直角坐标系xOy中，曲线261 y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C上． （I）求圆C的方程； （II）若圆C与直线0 x y a -+=交于A，B两点，且, OA OB ⊥求a的值．【解析】解：（Ⅰ）曲线1 6 2+ - =x x y与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（). 0,2 2 3( ), 0,2 2 3- + 故可设C的圆心为（3，t），则有, )2 2( )1 ( 32 2 2 2t t+ = - +解得t=1. 则圆C的半径为.3 )1 ( 32 2= - +t 所以圆C的方程为.9 )1 ( )3 (2 2= - + -y x （Ⅱ）设A（ 1 1 ,y x），B（ 2 2 ,y x），其坐标满足方程组： ?? ? ? ? = - + - = + - .9 )1 ( )3 ( ,0 2 2y x a y x 消去y，得到方程 .0 1 2 )8 2( 22 2= + - + - +a a x a x 由已知可得，判别式.0 4 16 562> - - = ?a a 因此，, 4 4 16 56 ) 2 8(2 2,1 a a a x - - ± - =从而 2 1 2 , 4 2 2 1 2 1 + - = - = + a a x x a x x① 由于OA⊥OB，可得,0 2 1 2 1 = +y y x x 又, , 2 2 1 1 a x y a x y+ = + =所以 .0 ) ( 22 2 1 2 1 = + + +a x x a x x② 由①，②得1 - = a，满足,0 > ?故.1 - = a 5. （辽宁文）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴 上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ． （I ）设1 2 e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 【解析】解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设 22222 122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a +=+=>> 设直线:(||)l x t t a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得 ((A t B t ………………4分 当1,,,22 A B e b a y y == 时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3 ||:||.2||4 B A y b B C A D y a === ………………6分 （II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即 ,a b t t a =- 解得22 2 221.ab e t a a b e -=-=-?- 因为221||,01,1, 1.e t a e e e -<<<<<<又所以 所以当02 e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ； 1e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分 6. （江西文）已知过抛物线()y px p =2>0 的焦点，斜率为于(,)A x y 11和(,)()B x y x x 2212<两点，且AB =9, （1）求该抛物线的方程； （2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值． 【解析】19．（本小题满分12分） （1）直线AB 的方程是)2 p y x =-， 与22y px =联立，从而有22450,x px p -+= 所以：1254 p x x += 由抛物线定义得：12||9,AB x x p =++= 所以p=4，从而抛物线方程是28.y x = （2）由224,450p x px p =-+=可简化为 212540,1,4,x x x x -+===从而 12y y =-= 从而(1,(4,A B - 设33(,)(1(41OC x y λλ==-+=+- 又22338,1)]8(41),y x λλ=-=+即 即2(21)41λλ-=+ 解得0, 2.λλ==或 7. （山东文）22．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2 2:13 x C y +=．如图所示，斜率为 (0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -． （Ⅰ）求22m k +的最小值； （Ⅱ）若2 OG OD =?OE ， （i ）求证：直线l 过定点； （ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？ 若能，求出此时ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由． 【解析】22．（I ）解：设直线(0)l y kx t k =+>的方程为， 由题意，0.t > 由方程组22 ,1,3 y kx t x y =+?? ?+=??得 222(31)6330k x ktx t +++-=， 由题意0?>， 所以2231.k t +> 设1122(,),(,)A x y B x y ， 由韦达定理得1226,31kt x x k +=-+所以1222.31 t y y k +=+ 由于E 为线段AB 的中点，因此223,,3131 E E kt t x y k k ==++ 此时1.3E OE E y k x k = =-所以OE 所在直线方程为1,3y x k =- 又由题设知D （-3，m ），令x=-3，得1 m k =，即mk=1， 所以2222,m k mk +≥=当且仅当m=k=1时上式等号成立， 此时 由0?>得02,t <<因此 当102m k t ==<<且时， 22m k +取最小值2。 （II ）（i ）由（I ）知OD 所在直线的方程为1 ,3y x k =- 将其代入椭圆C 的方程，并由0,k > 解得(G ，又2231 (,),(3,)3131k t E D k k k --++， 由距离公式及0t >得 2222 2291||(, 31||||31 k OG k OD k OE k +=+=+====+ 由2||||||,OG OD OE t k =?=得 因此，直线l 的方程为(1).y k x =+ 所以，直线(1,0).l -恒过定点 （ii ）由（i ）得(G 若B ，G 关于x 轴对称， 则(B 代入2(1)31y k x k =+-=整理得 即426710k k -+=， 解得21 6 k =（舍去）或21,k = 所以k=1， 此时3131 (,),(,)2222 B G ---关于x 轴对称。 又由（I ）得110,1,x y ==所以A （0，1）。 由于ABG ?的外接圆的圆心在x 轴上，可设ABG ?的外接圆的圆心为（d ，0）， 因此22311 1(),,242 d d d +=++=-解得 故ABG ? 的外接圆的半径为2 r == 所以ABG ?的外接圆方程为2215 ().24 x y ++= 8. （陕西文）17．（本小题满分12分） 设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为3 5 （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为4 5 的直线被C 所截线段的中点坐标。 【解析】17．解（Ⅰ）将（0，4）代入C 的方程得216 1b = ∴b=4 又3 5 c e a == 得222 925a b a -= 即2169125 a -=， ∴a=5 ∴C 的方程为22 12516 x y + = （ Ⅱ）过点()3,0且斜率为45的直线方程为()4 35 y x =-， 设直线与Ｃ的交点为Ａ()11,x y ，Ｂ()22,x y ， 将直线方程()4 35 y x = -代入Ｃ的方程，得 ()2 2312525x x -+=， 即2 380x x --=，解得 1x =，2x = ∴ AB 的中点坐标123 22 x x x +==， ()121226 6255y y y x x +==+-=-， 即中点为36,25?? - ??? 。 注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。 9. （上海文）22．（16分）已知椭圆2 22:1x C y m +=（常数1m >），点P 是C 上 的动点，M 是右顶点，定点A 的坐标为(2,0)。 （1）若M 与A 重合，求C 的焦点坐标； （2）若3m =，求||PA 的最大值与最小值； （3）若||PA 的最小值为||MA ，求m 的取值范围。 【解析】22．解：⑴ 2m =，椭圆方程为2 214 x y +=，c == ∴ 左．右焦点坐标为(。 ⑵ 3m =，椭圆方程为2 219 x y +=，设(,)P x y ，则 22222 2891||(2)(2)1()(33)9942 x PA x y x x x =-+=-+-=-+-≤≤ ∴ 9 4 x =时min ||2PA =； 3x =-时max ||5PA =。 ⑶ 设动点(,)P x y ，则 2222 2 2 2 2 22 22124||(2)(2)1()5()11 x m m m PA x y x x m x m m m m m -=-+=-+-=--+-≤≤-- ∵ 当x m =时，||PA 取最小值，且22 10m m ->，∴ 2 221 m m m ≥-且1m > 解得11m <≤+ 10. （四川文）21．（本小题共l2分） 过点C (0，1)的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，椭圆与x 轴交于两 点(,0)A a 、(,0)A a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并 与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ． （I ）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； （Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ?为定值． 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力． 解：（Ⅰ）由已知得1,c b a =，解得2a =，所以椭圆方程为2214 x y +=． 椭圆的右焦点为，此时直线l 的方程为 1y x =+，代入椭圆方程得 270x -=，解得120,x x ==，代入直线l 的方程得 121 1,7 y y ==-，所以 1)7 D -， 故16 ||7 CD =． （Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为11(0)2 y kx k k =+≠≠且．代入椭圆方程得22(41)80k x kx ++=． 解得12280,41 k x x k -==+，代入直线l 的方程得2122141,41k y y k -==+， 所以D 点的坐标为2 22814(,)4141k k k k --++． 又直线AC 的方程为12x y +=，又直线BD 的方程为12(2)24k y x k +=+-，联立得 4, 2 1. x k y k =-?? =+? 因此(4,21)Q k k -+，又1 (,0)P k -． 所以1(,0)(4,21)4OP OQ k k k ?=--+=． 故OP OQ ?为定值． 11. （浙江文）（22）（本小题满分15分）如图，设P 是抛物线1C ：2x y =上的 动点。过点P 做圆2C 1)3(:22=++y x 的两条切线，交直线l ：3y =-于,A B 两点。 （Ⅰ）求2C 的圆心M 到抛物线 1C 准线的距离。 （Ⅱ）是否存在点P ，使线段AB 被抛物线1C 在点P 处得切 线平分，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。 【解析】（22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、 直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。 （Ⅰ）解：因为抛物线C 1的准线方程为：1 4y =- 所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为：111 |(3)|.44 ---= （Ⅱ）解：设点P 的坐标为2 00 (,)x x ，抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D 。 再设A ，B ，D 的横坐标分别为,,A B C x x x 过点2 00 (,)P x x 的抛物线C 1的切线方程为： 2 0002()y x x x x -=- （1） 当01x =时，过点P （1，1）与圆C 2的切线PA 为：15 1(1)8 y x -=- 可得17 ,1,1,215 A B D A B D x x x x x x =- ==-+≠ 当10-=x 时，过点P （—1，1）与圆C 2的切线PA 为：15 1(1)8 y x -=- 可得D B A D B A x x x x x x 2,1,15 17 ,1≠+== -= 17 ,1,1,215A B D A B D x x x x x x =- ==-+≠ 所以2 10x -≠ 设切线PA ，PB 的斜率为12,k k ，则 2 010:()PA y x k x x -=- （2） 2020:()PB y x k x x -=- （3） 将3y =-分别代入（1），（2），（3）得 222 00000012011 333(0);;(,0)2D A B x x x x x x x x x k k x k k -++=≠=-=--≠ 从而2 00 12 11 2(3)().A B x x x x k k +=-++ 2 1= 即222220 10010(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-= 同理，2222 20 20020(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-= 所以12,k k 是方程22222 0000(1)2(3)(3)1 0x k x x k x --+++-=的两个不相等的根，从而222000121222 002(3)(3)1 ,.11 x x x k k k k x x ++-+=?=-- 因为02x x x B A =+ 所以22000 120120 311111 2(3)(),.x x x k k x k k x --++=+=即 从而2 0022 02(3)1(3)1x x x x +=+- 进而得4 008,x x == 综上所述，存在点P 满足题意，点P 的坐标为( 12. （重庆文）21．（本小题满分12分。（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率 ， 一条准线的方程是x = （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）设动点P 满足：2OP OM ON =+，其 中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为1 2 -，问：是否存在定点F ， 使得PF 与点P 到直线l ：x =的距离之比为定值；若存在，求F 的坐标，若不存在，说明理由。 【解析】21．（本题12分） 解：（I ）由2 ,2c a e a c == = 解得2222,2a c b a c ===-=，故椭圆的标准方程为 22 1.42 x y += （II ）设1122(,),(,),(,)P x y M x y N x y ，则由 2OP OM ON =+得 112212121212(,)(,)2(,)(2,2),2,2. x y x y x y x x y y x x x y y y =+=++=+=+即 因为点M ，N 在椭圆2224x y +=上，所以 2222 112224,24x y x y +=+=， 故222222 12 1212122(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++ 2222 112212121212(2)4(2)4(2) 204(2). x y x y x x y y x x y y =+++++=++ 设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知 12121 ,2 OM ON y y k k x x ?= =-因此121220,x x y y += 所以22220.x y += 所以P 221+ = 上的点，该椭圆的右焦点为F ， 离心率:2 e l x = =直线是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义， 存在定点F ，使得|PF|与P 点到直线l 的距离之比为定值。 13. （安徽文）（17）（本小题满分13分） 设直线.02,,1:,1:21212211=+-=+=k k k k x k y l x k y l 满足其中实数 （I ）证明1l 与2l 相交； （II ）证明1l 与2l 的交点在椭圆222x +y =1上. 【解析】（17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力. 证明：（I ）反证法，假设是l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1=k 2，代入k 1k 2+2=0，得 .0221=+k 此与k 1为实数的事实相矛盾. 从而2121,l l k k 与即≠相交. （II ）（方法一）由方程组???-=+=1 1 21x k y x k y 解得交点P 的坐标),(y x 为??? ? ???-+=-=.,2121212k k k k y k k x 而 .14 4228)()2(222 2212 221212122212122212122 1222=++++=-++++=-++-=+k k k k k k k k k k k k k k k k k k y x 此即表明交点.12),(22上在椭圆=+y x y x P （方法二）交点P 的坐标),(y x 满足 . 021 1,02.1,1.011212121=++?-=+??? ????+=-=≠?? ?=+=-x y x y k k x y k x y k x x k y x k y 得代入从而故知 整理后，得,122 2=+y x 所以交点P 在椭圆.1222上=+y x 14. （福建文）18．（本小题满分12分） 如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2 =4y 相切于点A 。 （I ）求实数b 的值； （11）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程． 。【解析】18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。 解：（I ）由22, 4404y x b x x b x y =+?--=?=?得，（*） 因为直线l 与抛物线C 相切，所以2(4)4(4)0,b ?=--?-= 解得b=-1。 （II ）由（I ）可知21,(*)440b x x =--+=故方程即为， 解得x=2，代入24, 1.x y y ==得 故点A （2，1）， 因为圆A 与抛物线C 的准线相切， 所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y=-1的距离， 即|1(1)|2,r =--= 所以圆A 的方程为22(2)(1) 4.x y -+-= 15. （湖北文）21．（本小题满分14分）平面内与两定点()1,0A a -、()2,0A a （0a >）连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 、A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线。 （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系； （Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的),0()0,1(+∞-∈ m ，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点。试问：在1C 上，是否存在点N ，使得△ 1F N 2F 的面积2||S m a =。若存在，求tan 1F N 2F 的值；若不存在，请说明理由。 【解析】21．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理 运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分） 解：（I ）设动点为M ，其坐标为(,)x y ， 当x a ≠±时，由条件可得12 2 22 ,MA MA y y y k k m x a x a x a ?=?==-+- 即222()mx y ma x a -=≠±， 又12(,0),(,0)A a A A -的坐标满足222,mx y ma -= 故依题意，曲线C 的方程为222.mx y ma -= 当1,m <-时曲线C 的方程为22 22 1,x y C a ma +=-是焦点在y 轴上的椭圆； 当1m =-时，曲线C 的方程为222x y a +=，C 是圆心在原点的圆； 当10m -<<时，曲线C 的方程为22 22 1x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当0m >时，曲线C 的方程为22 22 1,x y a ma - =C 是焦点在x 轴上的双曲线。 （II ）由（I ）知，当m=-1时，C 1的方程为222;x y a += 当(1,0)(0,)m ∈-+∞时， C 2 的两个焦点分别为12((F F - 对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞， C 1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是 2220002 0,0,12|||.2 x y a y y m a ?+=≠? ??=?? 由①得00||,y a <≤ 由②得0||y = 当0,0,a m < ≤≤< 或102 m +<≤时， 存在点N ，使S=|m|a 2； ,a >即 或12 m +>时， 不存在满足条件的点N ， 当150,m ??+∈? ? ??? ?时， 由100200(1),(1,)NF a m x y NF a x y =-+--=+-， 可得22221200(1),NF NF x m a y ma ?=-++=- ① ② 令112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=， 则由2 2 121212cos ,cos ma NF NF r r ma r r θθ ?==-=-可得， 从而22121sin 1 sin tan 22cos 2 ma S r r ma θθθθ==- =-， 于是由2||S m a =， 可得2212||tan ||,tan .2m ma m a m θθ-==-即 综上可得： 当m ?∈?? ??时，在C 1上，存在点N ，使得2 12||,tan 2;S m a F NF ==且 当10,2m ?∈ ? ?时，在C 1上，存在点N ，使得2 12||,tan 2;S m a F NF ==-且 当115 (1, (,)22 m +-+∞时，在C 1上，不存在满足条件的点N 。 16. （湖南文）21．（本小题满分13分） 已知平面内一动点P 到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点 ,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求,AD EB 的最小值. 【解析】21．解析：（I ）设动点P 的坐标为(,)x y ， || 1.x = 化简得222||,y x x =+ 当20,4;0x y x x ≥=<时当时,y=0.、 所以动点P 的轨迹C 的方程为2,4(0)0)y x x x =≥<和y=0(. （II ）由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，则1l 的方程为 (1)y k x =-． 由2(1)4y k x y x =-??=?，得2222(24)0.k x k x k -++= 设1122(,),(,),A x y B x y 则12,x x 是上述方程的两个实根，于是 121224 2,1x x x x k +=+=． 因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1 k -． 设3344(,),(,),D x y B x y 则同理可得2343424,1x x k x x +=+= 故 12123434()1()1x x x x x x x x =+++++++ 当且仅当221 k k = 即1k =±时，AD EB ?取最小值16． 17. （广东文）21．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP （1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程； （2）已知T （1，-1），设H 是E 上动点,求HO +HT 的最小值，并给出此时 点H 的坐标； （3）过点T （1，-1）且不平行与y 轴的直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同 的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围。 【解析】21．（本小题满分14分） 解：（1）如图1，设MQ 为线段OP 的垂直平分线，交OP 于点Q ， ,,||||.MPQ AOP MP l MO MP ∠=∠∴⊥=且 |2|,x =+即 24(1)(1).y x x =+≥- ① 另一种情况，见图2（即点M 和A 位于直线OP 的同侧）。 MQ 为线段OP 的垂直平分线， .MPQ MOQ ∴∠=∠ 又,.MPQ AOP MOQ AOP ∠=∠∴∠=∠ 因此M 在x 轴上，此时，记M 的坐标为(,0).x 为分析(,0)M x x 中的变化范围，设(2,)P a -为l 上任意点().a R ∈ 由||||MO MP = （即||x = 21 1 1.4 x a =--≤- 故(,0)M x 的轨迹方程为 0,1y x =≤- ② 综合①和②得，点M 轨迹E 的方程为 2 4(1),1,0, 1.x x y x +≥-?=? <-? 18. （江苏）18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12 42 2=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 【解析】18．本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂 直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--==N M b a 故所以线段MN 中点 的坐标为)2 2 ,1(- -，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以.2 2122=-- = k （2）直线PA 的方程22 21,42 x y y x =+ =代入椭圆方程得 解得).3 4 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是),0,3 2(C 直线AC 的斜率为 .032,13 232340=--=++ y x AB 的方程为故直线 .32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 （3）解法一： 将直线PA 的方程kx y =代 入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方 程为 , 0)23(2)2(),(2 22222=+--+-=k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得223 222 (32)(32)(,)222k k k x x B k k k μμμμ++==-+++或因此. 于是直线PB 的斜率.1) 2(23) 2(2)23(222232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二： 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以.2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 https://www.360docs.net/doc/ee19692.html, 高中数学专题-集合的概念及其基本运算 【考纲考点剖析】 考 点 考纲内容 5年统计 分析预测 1.集合间的 基本关系 1．了解集合、元素的含义及其关系。 2．理解全集、空集、子集的含义， 及集合之间的包含、相等关系。 3．掌握集合的表示法 (列举法、描述法、Venn 图)。 1.集合交、并、补的运算是考查的热点； 2.集合间的基本关系 很少涉及； 3.题型：选择题 4.备考重点： (1) 集合的交并补的混合运算； (2) 以其他知识为载体考查集合之间的关系； (3) 简单不等式的解法. 2.集合的基 本运算 1．会求简单集合的并集、交集。 2．理解补集的含义，且会求补集。 【知识清单】 1．元素与集合 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ?． (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示 数集 自然数 集 正整数 集 整数集 有理数 集 实数集 符号 N N *或 N ＋ Z Q R 2．集合间的基本关系 （1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合 A 包含于集合 B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集。记为A B ?或B A ?． （2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ?，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集。记为A B ?≠． （3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集． （4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 3．集合的运算 (1)三种基本运算的概念及表示 名称 交集 并集 补集 数学 语言 A∩B={x|x ∈A,且x ∈B} A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B} C U A={x|x ∈ U,且x ?A} 图形 语言 （2）三种运算的常见性质 A A A =I ， A ?=?I ， A B B A =I I ， A A A =U ， A A ?=U ， A B B A =U U ． (C A)A U U C =，U C U =?，U C U ?=． A B A A B =??I , A B A B A =??U , ()U U U C A B C A C B =U I , ()U U U C A B C A C B =I U ． 【重点难点突破】 考点1 集合的概念 【1-1】【全国卷II 理】已知集合，则中元素的 个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A l立体几何知识点整理（文科）l // m l //m m 直线和平面的三种位置关系：一．αl 1. 线面平行 方法二：用面面平行实现。l//l //αl符号表示： 2. 线面相交βl lαAα方法三：用平面法向量实现。符号表示： n 为平若面线在面内3. 的一个法向量，ln n l ll //且。,则l αα符号表示： 二．平行关系：线线平行：1.方法一：用线面平行实现。3. 面面平行：l mβl //l方法一：用线线平行实现。l'l // ml m'αl // l 'm m // m'm//且相交l , m且相交l ' , m'方法二：用面面平行实现。//l βl // mlγm m α方法二：用线面平行实现。 方法三：用线面垂直实现。 l // l, m l // m //m //若。，则l l , m且相交mβ方法四：用向量方法：m l l // m。若向量和向量共线且l、m不重合，则α 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。1/11 l C A方法三：用向量方法： Bα l m l m ，则的数量积为和向量若向量0。三．垂直关系： 夹角问题。三．线面垂直：1.异面直线所成的角：一)(方法一：用线线垂直实现。(0 ,90 ]范围：(1) ACl ABl 求法：(2)P n l ABAC A方法一：定义法。AθO AC, ABα：平移，使它们相交，找到夹角。步骤1 方法二：用面面垂直实现。)常用到余弦定理步骤2：解三角形求出角。( 余弦定理：βl lm a c222c ab l m, l m cosθ2ab bα )计算结果可能是其补角( 面面垂直：2.方法二：向量法。转化为向量 方法一：用线面垂直实现。 C的夹角βl lθl：)(计算结果可能是其补角 BA AB ACαcos AB AC方法二：计算所成二面角为直角。 线面角)(二线线垂直：3. 上任取一点(1) 定义：直线l ，作（交点除外）P方法一：用线面垂直实现。 内，则连结AO AO 为斜线PA 在面于O,PO l l m PAO 图中(与面)为直线l l所成的角。的射影，m 平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种： （1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ； （2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ； （3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ； （4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点 抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端 是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ； （3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ； （6）焦点： )0,2(p F ； （7）准线： 2p x - =； （8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ； （10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =； （11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22= 解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22 高中数学《集合》测试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）） 2．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A (A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］(2006年高考浙江理) 3．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是（ ） (A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2006辽宁理) 4．已知集合M ={x |x 2＜4}，N ={x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( ) A.{x |x ＜－2} B.{x |x ＞3} C.{x |－1＜x ＜2} D.{x |2＜x ＜3}（2004全国Ⅱ1） 5．若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012江西理） C 6．设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4） 7．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为实数集R ，则a 、b 、c 应满足的条件为-----------------------------------------------------------------------（ ） （A ） a ＞0，b 2―4ac ＞0 （B ） a ＞0，b 2 ―4ac ＜0 （C ） a ＜0，b 2―4ac ＞0 （D ） a ＜0，b 2―4ac ＜0 二、填空题 8．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{}321,,a a a A =，则满足 高中数学《立体几何》练习题 1．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( ) A.12 B.24 C.62 D.122 2．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥β D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 3．如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．． 的是 A ．P D DC 11⊥ B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1 C ．1AP D ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+ 4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m 3. 5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 . 6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是____________ 7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞F E D ,,，且知 1:2:::===FS CF EB SE DA SD ，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 . 8．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝ 12 PD. (1)证明：PQ ⊥平面DCQ ； (2)求棱锥Q -ABCD 的体积与棱锥P -DCQ 的体积的比值．[来 9．如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3 BAD π ∠=． （1）求证://BCF AED 平面平面. （2）若,BF BD a A BDEF ==-求四棱锥的体积。 10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点． (1) 求证：PC AD ⊥； (2) 求证：//FG 平面BCP ； S F C B A D E 平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ． 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题（每题3分，共18分） 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|2 0x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题（每题10分，共40分） 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 立体几何知识点整理（文科） 一． 直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 l 符号表示： 2. 线面相交 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α 方法二：用面面平行实现。 m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。 若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 方法四：用向量方法： 若向量l和向量m共线且l、 m不重合，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 方法三：用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向量，l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l l 方法二：用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ???且相交m l m l 三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三：用向量方法： 若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。 三． 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0）， 则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为 高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2） 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越 高一数学必修一《集合》专题复习 一．集合基本概念及运算 1．集合{}1,2,3的真子集的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．已知{}{}1,2,3,2,4A B ==，定义{}|A B x x A x B -=∈?且，则A B -= A. {}1,2,3 B. {}2,4 C. {}1,3 D. {}2 3.已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=, 那么集合N M ?为 （ ） A. 3,1x y ==- B. {}(,)|31x y x y ==-或 C. (3,1)- D. {(3,1)}- 4．已知集合2{|2,}M y y x x ==-+∈R ，集合}{|2,02x N y y x ==≤≤,则 ()M N =R e（ ） A ．[]1,2 B ．(]2,4 C ．[)1,2 D ．[)2,4 5.已知{}{}222,21x A y y x x B y y ==-++==-，则A B = _________。 6、已知R x ∈ ，集合{}{}11231322+--=+-=x ,x ,x B ,x ,x ,A 如果{}3A ?B =-，求x 的值和集合A?B ． 7. 已知{}23,(5,)A x a x a B =≤≤+=+∞，若,A B =? 则实数a 的取值范围为 ▲ . 8．已知集合，，且，求实数 的取值范围。 9．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{} 2|(1)0B x x m x m =+++=； 若A B ?，求m 的值。 10.已知集合{}{}{}|28,|16,|A x x B x x C x x a =≤≤=<<=>，U R =. (I)求A B ， U C A B ；(II)若A C ≠? ,求实数a 的取值范围． 解析几何题型 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22 162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =， 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123 301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-? =+?，进而可求出AB 的中点11(,)22M b -- +，又由11 (,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出2 211 14(2)32AB =+-?-=． 例3．如图，把椭圆22 12516 x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆22 12516 x y +=的方程知225, 5.a a =∴= ∴1234567 7277535.2 a PF P F P F P F P F P F P F a ?++++++==?=?= 考点3. 曲线的离心率 高一数学集合练习题专题训练 姓名班级学号得分 说明： １、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟。 ２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题（共__小题） 1．下列写法： （1）{0}∈{1，2，3}；（2）??{0}；（3）{0，1，2}?{1，2，0}；（4）0∈? 其中错误写法的个数为（） A．1B．2C．3D．4 2．已知集合M={a|a=+，k∈Z}，N={a|a=+，k∈Z}，则（） A．M=N B．M?N C．N?M D．M∩N=? 3．下列各式正确的是（） A．2?{x|x≤10}B．{2}?{x|x≤10} C．?∈{x|x≤10}D．??{x|x≤10} 4．下列各式：①1∈{0，1，2}；②??{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2004}；④{0，1，2}?{0，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 5．设A、B是两个集合，对于A?B，下列说法正确的是（） A．存在x0∈A，使x0∈B B．B?A一定不成立 C．B不可能为空集D．x0∈A是x0∈B的充分条件 6．设U为全集，集合M、N?U，若M∪N=N，则（） A．?U M?（?U N）B．M?（?U N）C．（?U M）?（?U N）D．M?（?U N） 7．设集合A={（x，y）|-=1}，B={（x，y）|y=}，则A∩B的子集的个数是（）A．8B．4C．2D．1 8．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}的子集个数是（） A．5B．8C．16D．32 9．下列四个集合中，是空集的是（） A．{0}B．{x|x＞8，且x＜5} C．{x∈N|x2-1=0}D．{x|x＞4} 10．已知集合A={x|＜-1}，B={x|-1＜x＜0}，则（） A．A B B．B A C．A=B D．A∩B=? 11．已知集合A={1，2，3}，则B={x-y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（） 高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。 1.1集合间的关系与基本运算 命题角度1集合的表示、集合之间的关系 高考真题体验·对方向 1.(全国Ⅰ·1)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为 () A.5 B.4 C.3 D.2 答案 D 解析由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14.所以A∩B={8,14}.故选D. 2.(全国Ⅰ·1)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1 高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结（文科） 一．平行问题 （一） 线线平行： 方法一：常用初中方法（1中位线定理；2平行四边形定理；3三角形中对应边成比例；4同位角、内错角、同旁内角） 方法二：1线面平行?线线平行 m l m l l ////??? ???=??βαβα 方法三：2面面平行?线线平行 m l m l ////??????=?=?βγαγβα 方法四：3线面垂直 ?线线平行 若αα⊥⊥m l ,，则m l //。 （二） 线面平行： 方法一：4线线平行?线面平行 ααα////l l m m l ??? ????? 方法二：5面面平行?线面平行 αββα////l l ????? （三） 面面平行：6方法一：线线平行?面面平行 βααβ//',','//' //??? ???????且相交且相交m l m l m m l l 方法二：7线面平行?面面平行 βαβαα//,////??? ???=?A m l m l m l ， 方法三：8线面垂直?面面平行 βαβα面面面面//?? ??⊥⊥l l l 二．垂直问题：（一）线线垂直 方法一：常用初中的方法（1勾股定理的逆定理；2三线合一 ；3直径所对的圆周角为直角；4菱形的对角线互相垂直。） 方法二：9线面垂直?线线垂直 m l m l ⊥?? ???⊥αα （二）线面垂直：10方法一：线线垂直?线面垂直 αα⊥??? ? ?????=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：11面面垂直?线面垂直 αββαβα⊥??? ????⊥=?⊥l l m l m , （面） 面面垂直： 方法一：12线面垂直?面面垂直 βαβα⊥?? ???⊥l l 三、夹角问题：异面直线所成的角： (一) 范围：]90,0(?? (二)求法：方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(计算结果可能是其补角) 线面角：直线PA 与平面α所成角为θ,如下图 求法：就是放到三角形中解三角形 四、距离问题：点到面的距离求法 1、直接求， 2、等体积法（换顶点）高中数学专题-集合的概念及其基本运算
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