高中物理小船过河问题含答案解析
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小船过河问题 轮船渡河问题： （1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间 θ υυsin 1 船d d t = = ，显然，当?=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小 为 v d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船 水 υυθ= cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示， 设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为 2
水 船v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为： θ θsin )cos (min 船船水v d v v x ? -= 此时渡河的最短位移：船 水v dv d s = =θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? ★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 s s d t 2030 60 2 == = υ (2)渡河航程最短有两种情况： ①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽； ②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2 小船过河问题 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间 θ υυsin 1船d d t = = ，显然，当?=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为 v d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船 水 υυθ= cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距 离最短呢？如图所示， 水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为水 船v v arccos =θ， 船沿河漂下的最短距离为：θ θsin )cos (min 船船水v d v v x ? -= 此时渡河的最短位移：船 水v dv d s == θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? v 【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( ) A ． 21 222 υ υυ-d B ．0 C ． 2 1 υυd D ． 1 2 υυd 【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ） (A) 2 1222T T T - (B) 1 2 T T (C) 2 2211T T T - (D) 2 1 T T 【例题】小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，d v k kx v 0 4= =，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ ） A 、小船渡河的轨迹为曲线 B 、小船到达离河岸 2 d 处，船渡河的速度为02v C 、小船渡河时的轨迹为直线 D 、小船到达离河岸4/3d 处，船的渡河速度为010v 【练习】 1.有一条河宽100m ，当水流为3m/s 时，船速为4m/s ，画图说明能否到达正对岸，若能，按运动的合成分解来分析以下问题 （1）合速度多大？方向如何（画图） （2）由分运动和合运动同时性分析，当到达对岸时，过河时间为多少？ 运动合成与分解 如图所示,在一次救灾工作中,一架离水面高为H,沿水平直线飞行的直升机A,用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B,在直升机A和伤员B以相同的水平速度水平匀速运动的同时,悬索将伤员吊起.设经t时 间后,A、B之间的距离为l,且,则在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹描述正确的是下图中的哪个图( ) A B C D 解:根据,可以知道B在竖直方向上是匀加速上升的,悬索中拉力大于重力,即表示拉力F的线段要比表示重力G的线段长,飞机在水平方向匀速率运动,所以F、G并且都在竖直方向上;向上加速,运动轨迹应向上偏转,只有A符合,所以在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是A. 所以A选项是正确的. 一艘小船横渡一条河流,船本身提供的速度大小方向都不变,且始终垂直于河岸.已知河水流速从两岸到中心逐渐 增大,则小船运动轨迹是下图中的(( ) A B C D 解:从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道,靠近本岸小船具有向下游的加速度,靠近对岸小船具有向上游的加速度,故水流是先加速后减速,即加速度的方向先向下再向上,所以C选项是正确的,A、B、D错误. 所以C选项是正确的. 如图所示，人在岸上用轻绳拉船，若人匀速行进，则船将做（） A．匀速运动 B匀加速运动 C变加速运动 D减速运动 对小船进行受力分析，抓住船在水平方向和竖直方向平衡，运用正交分解分析船所受的力的变化． 解：由题意可知，人匀速拉船，根据运动的分解与合成，则有速度的分解，如图所示： V1是人拉船的速度，V2是船行驶的速度，设绳子与水平夹角为θ，则有：V1=V2cosθ，随着θ增大，由于V1不变，所以V2增大，且非均匀增大．故C正确，ABD错误．故选C． 高一物理必修2专题训练：人拉船问题及船过河问题 专题一：人拉船问题 1．如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B 相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，() A．v2＝v1 B．v2>v1 C．v2≠0 D．v2＝0 2．如图所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A 物体以速度v向左运动时，系A，B的绳分别与水平方向成α、β角，此时B物体的速度大小为________，方向________． 3.一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H.车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为θ，如图9所示，试求： (1)车向左运动的加速度的大小； (2)重物m在t时刻速度的大小． 4．如图4－1－3所示，物体A和B质量均为m，且分别与轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，B放在水平面上，A与悬绳竖直．用力F拉B沿水平面向左匀速运动过程中，绳对A的拉力的大小是() A.一定大于mg B．总等于mg C．一定小于mg D．以上三项都不正确 5.如图所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球A和B，两球的质量均为m， 两球半径忽略不计，杆AB的长度为l，现将杆AB竖直靠放在竖直墙上， 专题二：船过河问题 1．如果两个不在同一直线上的分运动都是初速度为零的匀加速度直线运动，则() A．合运动是直线运动B．合运动是曲线运动 C．合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动 D．只有当两个分运动的加速度大小相等时，合运动才是直线运动 2．雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下列说法中正确的是() A．风速越大，雨滴下落的时间越长B．风速越大，雨滴着地时的速度越大 C．雨滴下落时间与风速无关D．雨滴着地时的速度与风速无关3．一人游泳渡河，以垂直河岸不变的划速向对岸游去，河水流动速度恒定．下列说法中正确的是() A．河水流动速度对人渡河无任何影响B．人垂直对岸划水，其渡河位移是最短的 C．由于河水流动的影响，人到达对岸的时间与静水中不同 D．由于河水流动的影响，人到达对岸的位置向下游方向偏移4．一架飞机沿仰角30°斜向上做初速度为100m/s、加速度为10m/s2的匀加速直线运动．则飞机的运动可看成是竖直方向v0y＝________、a y＝________的匀加速直线运动，与水平方向v0x＝________、a x＝________的匀加速直线运动的合运动．在4s内飞机的水平位移为________、竖直位移为________． 5．飞机在航行测量时，它的航线要严格地从东到西，如图所示，如果飞机 专题4.1 小船过河问题 一．选择题 H的A、B两个码头同时1. （2018安徽合肥三模）如图所示，在宽为H的河流中，甲、乙两船从相距 3 开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，且乙船恰能沿BC到达正对岸的C。则下列说法正确的是 A. 两船不会相遇 B. 两船在C点相遇 C. 两船在AC的中点相遇 D. 两船在BC的中点相遇 【参考答案】D 【命题意图】本题考查小船过河、运动的合成与分解及其相关的知识点。 【解后反思】若A、B两个码头之间距离为，则此题正确选项上哪一个？若A、B两个码头之间距离 大于2 ，则此题正确选项上哪一个？若甲船在静水中的速度大于乙船，则两船哪一个先到达和对岸？ 3 还能够相遇吗？若甲船在静水中的速度小于乙船，则两船哪一个先到达和对岸？还能够相遇吗？ 2．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m，水流速度为4 m/s的河流中渡河，则该小船( ) A ．能到达正对岸 B ．渡河的时间可能少于50 s C ．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m D ．以最短位移渡河时，位移大小为150 m 【参考答案】C 3.如图所示，河的宽度为L ，河水流速为v 水，甲、乙两船均以静水中的速度v 同时渡河。出发时两船相距2L ，甲、乙船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A 点。则下列判断正确的是( ) A ．甲船正好也在A 点靠岸 B ．甲船在A 点左侧靠岸 C ．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇 D ．甲、乙两船到达对岸的时间相等 【参考答案】BD 【名师解析】甲、乙两船垂直河岸的速度相等，渡河时间为t ＝ L v sin60° ，乙能垂直于河岸渡河，对乙船则 有v 水＝v cos60°，可得甲船在该时间内沿水流方向的位移为(v cos60°＋v 水) L v sin60°＝2 3 3L <2L ，甲船在 A 点左侧靠岸，甲、乙两船不能相遇。综上所述，A 、C 错误， B 、D 正确。 3.（2018湖北咸宁期中联考）如图所示，小船以大小为v （小船在静水中的速度）、方向与上游河岸成θ的速度从O 处过河，经过一段时间，正好到达正对岸的O ’处，现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸O ’处。在水流速度不变的情况下，可采取的方法是 A ．θ角不变且v 增大 小船过河问题 问题本质 小船渡河是典型的运动的合成问题。需要理解运动的独立性和等时性原理，掌握合速度与分速度之间的关系。小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动v 水（水冲船的运动），和船相对水的运动v 船（即在静水中的船的运动），船的实际运动v 是合运动。 基本模型 1、v 水 考点四：小船渡河模型 1.(小船渡河问题)小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是2 m/s ，小船在静水中的航速是4 m/s.求： (1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？ (2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s.(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m. 解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin ＝＝ s ＝50 s. d v 船2004(2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即最短航程为200 m ，应使v 合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游， 与河岸成α角，有 cos α＝＝＝，解得α＝60°. v 水v 船24122、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s ，求： (1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 答案 (1)船头垂直于河岸 36 s 90 m (2)船头向上游偏30° 24 s 180 m 533、已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m ，河水的流动速度为v2＝3 m/s ，方向与河岸平行.试分析： (1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？ (2)欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？ 解析 (1)根据运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时，渡河所用时间最短.设船头指向 上游且与上游河岸夹角为α，其合速度v 与分运动速度v1、v2的矢量关系如图所示.河水流速v2平行于河岸，不影响渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v⊥＝v1sin α，则船渡河所用时间为t ＝. d v1sin α显然，当sin α＝1即α＝90°时，v⊥最大，t 最小，此时船身垂直于河岸，船头始终垂直指向对岸，但船实际的航向斜向下游，如图所示. 渡河的最短时间tmin ＝＝ s ＝25 s 船的位移为l ＝tmin ＝×25 m ＝125 m d v1100 4v21＋v2242＋32船渡过河时到达正对岸的下游A 处，其顺水漂流的位移为x ＝v2tmin ＝3×25 m ＝75 m. (2)由于v1＞v2，故船的合速度与河岸垂直时，船的航行距离最短.设此时船速v1的方向(船头的指向)斜向上游， 且与河岸成θ角，如图所示，则cos θ＝＝，θ＝arccos . v2v1343 4船的实际速度为v 合＝＝ m/s ＝ m/s 故渡河时间：t′＝＝ s ＝ s.v21－v2242－327d v 合100 710077答案 （1）t=25s ，x=75m ，l=125m （2）t=s 1007 7 4、河宽60 m ，水流速度v1＝6 m/s ，小船在静水中的速度v2＝3 m/s ，则： (1)它渡河的最短时间是多少？ (2)最短航程是多少？ 答案 (1)20 s (2)120 m 5．(单选)一小船在静水中的速度为3 m/s ，它在一条河宽为150 m ，水流速度为4 m/s 的河流中渡河，则该小船( )． 答案 C A ．能到达正对岸 B ．渡河的时间可能少于50 s 小船过河问题 组题：杨炼军 问题本质 小船渡河是典型的运动的合成问题。需要理解运动的独立性和等时性原理，掌握合速度与分速度之间的关系。小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动v 水（水冲船的运动），和船相对水的运动v 船（即在静水中的船的运动），船的实际运动v 是合运动。 基本模型 1、v 水 小船渡河问题 小船渡河的问题,可以分解为它同时参与的两个分运动,一是小船相对水的运动(设水不流时船的运动,即在静水中的运动),一是随水流的运动(即水冲船的运动,等于水流的运动),船的实际运动为合运动. 两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。 两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。 【例1】一条宽度为L 的河，水流速度为水 v ，已知船在静水中速度为 船 v ，那么： （1）怎样渡河时间最短 （2）若水船v v >，怎样渡河位移最小 （3）若 水 船v v <，怎样渡河位移最小，船漂下的距离最短 解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如右图所示，船头与河岸垂直渡河，渡河时间最短：船 v L t = min 。 此时，实际速度（合速度）2 2 水船合v v v += 实际位移（合位移）船 水船v v v L L 2 2 sin s +=?= （2）如右图所示，渡河的最小位移即河的宽度。为使渡河位移等于L ，必须使船的合速度v 合的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有水船v v =θcos ，即 船水 v v arccos =θ。因为θ为锐角，1cos 0<<θ，所以只有在 水船v v >时，船头与河岸上游的夹角船 水v v arccos =θ，船才有可 能垂直河岸渡河，此时最短位移为河宽，即L s =min 。实际速度（合速度）θsin 船合v v =，V 船 V 水 V 合 运动时间θ sin 船合v L v L t == （3）若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢 如右图所示，设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 合与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么， 在什么条件下α角最大呢以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 合与圆相切时，α角最大，根据水 船v v = θcos ，船头与河岸的夹角应为水 船v v arccos =θ，此时渡河的最短位移： 船 水v Lv L s == θcos 渡河时间：θ sin 船v L t = ， 船沿河漂下的最短距离为：θ θsin )cos (min 船船水v L v v x ? -= 误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。 【练习1】小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比， d v k kx v 0 4= =，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ ） A. 小船渡河的轨迹为曲线 B. 小船到达离河岸 2 d 处，船渡河的速度为02v C. 小船渡河时的轨迹为直线 高中物理小船过河问题 解析 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N] 小船过河问题 轮船渡河问题： （1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间 θ υυsin 1 船d d t = = ，显然，当?=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小 为 v d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为 船 水 υυθ= cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢如图所示， 设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为 水 船v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为： 此时渡河的最短位移：船 水v dv d s = =θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河最短时间是多少 (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河最短的航程是多少 ★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 (2)渡河航程最短有两种情况： ①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽； ②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2 小船过河问题 欧阳光明（2021.03.07） 轮船渡河问题： （1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下， 渡河时间 θ υυsin 1 船d d t = = ，显然，当?=90θ时，即船头的指向与 河岸垂直，渡河时间最小为v d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏 离上游的角度为 船 水υυθ= cos v 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示， 设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角 最大，根据 水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为 水 船v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为： 此时渡河的最短位移： 船 水 v dv d s == θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? ★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 (2)渡河航程最短有两种情况： ①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂 小船渡河的问题 在高中物理教学中，往往遇到小船在水有一定流速的河中渡河的问题。这类问题一般有小船渡河的时间最小，位移最小，速度最小三种情况： 问题一：小船如何渡河时间最小，最小时间为多少？ 分析及解答：设河宽为d ，小船在静水中的速度为V 船，水流速度为V 水，如图1中的甲。将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解。沿平行河岸方向的速度不影响渡河的快慢，小船渡过河时时间与垂直河岸方向的速度有关，当小船垂直河岸渡过河时时间最小，即最小时间为t min =d/V 船。 [例题1]：河宽60m,小船在静水中的速度为4m/s,水流速度为3m/s 。求小船渡河的最小时间是多少，小船 实际渡河的位移为多大？ 分析及解答：如图1中的乙，当小船垂直河岸渡过河时时间最 小，即最小时间为t min =d/V 船。 ∴t min =d/V 船=60/4=15(s)。 小船实际渡河的位移S AB =V 合t min =5*15=75(m). 问题二：小船如何渡河到达对岸的位移最小，最小位移是多少？ 分析及解答：在小船渡河过程中，将船对水的速度沿平行河岸 方向和垂直河岸方向正交分解，如图2中的甲。当小船沿平行河岸 方向的分速度与水速大小相等，方向相反时，即V 1=V 水，小船的合 速度（V 2）就沿垂直河岸方向， 这时渡河到达对岸的位移最小，S min =d 。而 渡河时间t=d/V 2=d/Vsin θ。 [例题2]：河宽60m,小船在静水中的速度为5m/s,水流速度为3m/s 。求小船 渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？ 分析及解答：如图2 中的乙，当小船沿平行河岸方向的分速度V 1=V 水， 小船要垂直河岸方向渡河，这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d=60(m)。 而V 船与河岸的夹角θ=arc cos(V 船/V 水)=530。这时小船实际渡河的时间 t=d/V 2=d/V 船sin θ=60/4=15(s). 问题三：小船如何渡河速度最小，最小速度为多少？ 分析及解答：将小船渡河运动看作水流的运动（水冲船的运动）和小船相对静水的运动（设水流不流动时 船的运动）的合运动。如图3中的甲，要使小船沿直线从A 运动到B ，小船在静水中的最小速度为多少？根据运动的合成和平行四边形定则，当小船的速度垂直于AB 直线时，船速最小，最小船 速为V 船=V 水sin θ，船速与水速方向的夹角为900+arc sin(V 船/V 水)。 [例题3]：如图3的乙，一条小船位于100m 宽的河岸A 点处，从这里向下游100√3米处有一危险区，若水流速度为4m/s ，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少多大？ 分析及解答：为了使小船避开危险区沿直线AB 到达对岸，则小船的合速度方向沿直线AB 。根据运动的合成和平行四边形定则，当小船的速度垂直于AB 直线时，船速最小，最小船 速为V 船=V 水sin θ。由几何关系可知： tg θ=√3/3, θ=300。∴V 船=4*sin300=2(m/s). 而船速与水速方向的夹角为900+arc sin(V 船/V 水)=1200。 小船过河问题分析与题 解 Revised as of 23 November 2020 小船过河问题分析与题解 【问题概说】 （1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 （2）三种速度:船相对水的速度为v船（即船在静水中的速度），水的流速为v水（即水对地的速度），船的合速度为v（即船对地的速度，船的实际速度，其方向就是船的航向）。 （3）三种情景： ①过河时间最短:当船头垂直河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。 ②过河路径最短：在v 船>v水的条件下，当船的合速度垂直于河岸时，渡河位移（航程或路径）最小并等于河宽。 在v船 【典型题例】 两河岸平行，河宽d=100m ，水流速度v 1=3m/s ，求：（1）船在静水中的速度是4m/s 时，欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河最短时间是多少船的位移是多大 （2）船在静水中的速度是6m/s 时，欲使船航行距离最短，船应怎样渡河渡河时间多长 （3）船在静水中的速度为1.5m/s 时，欲使船渡河距离最短，船应怎样渡河船的最小航程是多少 [思路分析]（1 t min =d/v 2=100/4=25s 合速度v=s m v v / 543222 221=+=+ 船的位移大小s=v t min =125m （2）欲使船航行距离最短，需船头向上游转过一定角度使合速度方向垂直于河 岸，设船的开行速度v 2与岸成θ角，则cos θ所以θ=600，合速度v=v 2sin600=3s m /3 t= s v d 9 3 100= （3）船在静水中速度小于水流的速度，船头垂直于合速度v 时，渡河位移最小， 设船头与河岸夹角为β，如图所示： cosβ=2 1 35.112== v v 所以β=600 专题——小船渡河问题和“关联”速度问题 1.小船在200m宽的河中横渡，水的流速为2m/s，船在静水中的航速为4m/s，求： （1）若小船的船头始终正对河岸时，它将在何时、何地到达对岸？ （2）要使小船到达正对岸，应如何行驶？历时多长？ （3）小船渡河的最短时间为多长？ （4）若水流速度是5m/s，船在静水中的速度是3m/s，则怎样渡河才能使船漂下的距离最短？最短距离是多少？ 2.在抗洪抢险中武警战士驾驶摩托艇救人,假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为V1，摩托艇静水中的航速为V2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为？ 3.一条河宽d=10m,水流速度v水=3m/s，一小船在静水中的水流速度v船=4m/s，现在要求在5s内渡河，则船头与河岸的夹角应多大？ 4.河水流速v1=5 m／s，一只小机动船在静水中的速度v2=4 m／s.现在它从A点开始渡河，要使其位移最短，船头应指向何方行驶? 若河宽为120m,求最短航程和渡河时间？ 5.一条两岸为平行直线的小河宽L=60m，水流速度为5m/s，一小船欲从码头A处渡过河去，A的下游80m处的河床陡然降低形成瀑布，要保证小船不掉下瀑布，小船相对水的划行速度至少应多大？此时船的划行方向如何？ 6.在河岸上利用定滑轮拉绳使小船靠岸，拉绳速度为v，当船头绳锁方向与水平方向夹角为θ时，船的速度为多大？ 7.不计所有能接触面之间的摩擦,斜面固定,两物体质量分别为m1和m2,且m1 高中物理《小船渡河问题》专题训练与解析 例1．游泳运动员以恒定的速率垂直于河岸渡河，当水速突然变大时，对运动员渡河时间和经历的路程产生的影响是() A．路程变大，时间延长B．路程变大，时间缩短 C．路程变大，时间不变D．路程和时间均不变 【答案】C 【解析】运动员渡河可以看成是两个运动的合运动：垂直河岸的运动和沿河岸的运动 运动员以恒定的速率垂直河岸渡河，在垂直河岸方向的分速度恒定 由分运动的独立性原理可知，渡河时间不变① 但由于水速变大，沿河岸方向的运动速度变大 又因为时间不变，所以沿河岸方向的分位移变大，故总的路程变大②[来源:学科网] 例2．如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为() A．v sinαB．v sinα C．v cosαD．v cosα 【答案】C 【解析】把人的速度v沿着绳方向和垂直于绳方向分解，如图所示： 几何关系：v1=v cosα，所以船的速度大小为v cosα 例3．无风时气球匀速竖直上升，速度大小为3m/s．现吹水平方向的风，使气球获4m/s的水平速度，气球经一定时间到达某一高度h，则有风后() A．气球实际速度的大小为7m/s B．气球的运动轨迹是曲线 C．若气球获5m/s的水平速度，气球到达高度h的路程变长 D．若气球获5m/s的水平速度，气球到达高度h的时间变短 【答案】C 【解析】有风时，气球实际速度的大小v=32＋42m/s=5m/s① 气球沿合速度方向做匀速直线运动，轨迹为直线② 水平速度增大，但气球飞行的时间不变，水平方向的位移增大，竖直方向的位移不变，合位移增大，故气球到达高度h的路程变长③ 高中物理小船过河问题标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N] 小船过河问题 轮船渡河问题： （1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间 θ υυsin 1 船d d t = = ，显然，当?=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为 v d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为 船 水 υυθ=cos v 水 θ V 水 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示， 设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为 水 船 v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为： 此时渡河的最短位移：船 水v dv d s = =θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河最短时间是多少 (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河最短的航程是多少 ★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 高中物理小船渡河的问题 1. 垂直渡河 要使小船垂直渡河，小船在静水中的航行速度必须大于水流速度，且船头应指向河流的上游，使船的合速度v与河岸垂直，如图1所示。设船头指向与河岸上游之间的夹角为，河宽为d，则有，即 垂直渡河时间 2. 以最短时间渡河 当小船在静水中的航速大小确定时，由知，当时，t最小，即当船头指向与河岸垂直时，小船有最短渡河时间。可见最短渡河时间与水流速度无关。 例1.如图2，一只小船从河岸A点出发，船头垂直于河岸行驶，经10min到达正对岸下游120m的C点。若小船速度不变，保持船身轴线与河岸成角行驶，经过12.5min到达正对岸B点，则此河的宽度d为多少？ 分析：设小船在静水中的速度为，水流速度为，船以最短时间到达C点，有 船垂直到达B点，有 由以上各式得 3. 以最小位移渡河 （1）当船在静水中的速度大于水流速度时，小船可以垂直渡河，显然渡河的最小位移s等于河宽d。 （2）当船在静水中的速度小于水流速度时，不论船头指向如何，船总要被水冲向下游。 设小船指向与河岸上游之间的夹角为时，渡河位移最小。此时，船头指向与合速度方向成角， 合速度方向与水流方向成角，如图3。 由正弦定理得所以由图3可知，角越大渡河位移越小，以的顶点为圆心，以的大小为半径作圆，很明显，只有当时，最大，渡河位移最小。即当船头指向和实际运动方向垂直时，渡河位移最小，为。 4. 以最小速度渡河 例2. 如图4，一小船从河岸A处出发渡河，河宽，河水流速，在出发点下游的B处有瀑布，A、B两处距离为，为使小船靠岸时不至被冲进瀑布，船对水的最小速度是多少？ 解法1：以的顶点为圆心，以的大小为半径作圆，由图可知，小船以最小速度安全到达对岸时，小船航线恰在AC连线上，且船的最小速度与AC垂直，如图5所示。设AC与AB间的夹角为 由几何关系可得 将已知数值代入解得 解法2：设小船的最小速度为，船头指向与河岸上游间的夹角为，经t时间小船恰好安全渡河。 由题意得 得 其中，的最大值为所以小船的最小速度 小船渡河问题与关联速度问题 一、小船过河问题 1．船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2．三种速度：船在静水中的速度v 1、水的流速v 2、船的实际速度v 。 3．三种情况 (1)渡河时间最短：船头正对河岸，渡河时间最短，t min ＝d v 1(d 为河宽)。 (2)渡河路径最短(v 2＜v 1时)：合速度垂直于河岸，航程最短，x min ＝d 。 (3)渡河路径最短(v 2＞v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直河岸渡河。确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。由图可知sin θ＝v 1v 2，最短航程x min ＝d sin θ＝v 2 v 1 d 。 4. 解题思路 5. 解题技巧 (1)解决小船渡河问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动，船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线。 (2)应用运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。 (3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。 (4)求最短渡河位移时，根据船速v 船与水流速度v 水的大小情况，用三角形定则求极限的方法处理。 【典例1】一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝2.5 m/s 。若船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，则： (1) 欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2) 欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 【典例2】 如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m ，河中各点的水流速度大小为v 水，各点到较近河岸的距离为x ，v 水与x 的关系为v 水＝3 400x (m/s)(x 的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小 船划水速度大小恒为v 船＝4 m/s ，则下列说法正确的是( ) A ．小船渡河的轨迹为直线 B ．小船在河水中的最大速度是5 m/s C ．小船在距南岸200 m 处的速度小于在距北岸200 m 处的速度 D ．小船渡河的时间是160 s 【答案】 B 【跟踪短训】 1. (多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图v 的箭头所示，虚线为小船从河岸M 驶向对岸N 的实际航线．则其中可能正确的是( )． 【答案】 AB 【解析】 船头垂直于河岸时，船的实际航向应斜向右上方，A 正确，C 错误；船头斜向上游时，船的实际航向可能垂直于河岸，B 正确；船头斜向下游时，船的实际航向一定斜向下游，D 错误． 2. 如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原路线返回到O 点，OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA ＝OB .若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为( )．教案：小船过河问题
速度合成与分解以及小船过河
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