2021线性代数零基础入门教材习题解析

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?

3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+

周易零基础入门教程

周易零基础入门教程作者：江南易林前言一直以来就准备写一个周易零基础入门教程，所谓零基础教程即一个针对完全没有周易基础的人的入门教程。说是零基础，其实还是有基础的，这基础就是：必须认识汉字！ 1、我之所以决心写这么一个东西，其实也是受许多朋友（包括网上的和网下的）的鼓动，很多朋友让我帮忙推荐周易入门教程，我一般会推荐，但是推荐完心里也暗叹，心想即便他们看了那些书也未必能看懂。毕竟，在现在快节奏的生活方式下，真正有功夫和心思去钻研古文或坚持啃完一本书的人，还是很少的。并且对于一个无论什么学科的初学者而言，学习最初阶段信心的维持很重要，如果一开始就遇到难题又没有人从旁点拨，很容易有挫败感，而丧失学习兴趣和动力。实际上，大家并非傻子，智商都不低，很

多东西只要说破，去掉神秘感之后，是比较容易掌握的。所以决心写这么一个东西，也算是自己对此我所理解的周易知识来一个总结和梳理。正式讲解之前，先罗嗦一下，做如下声明： 1．为什么“我”要来写这个教程?声明一下，本人并非什么大师或者高人。我们老家有句俗语：浮在水面上的，往往都是些小鱼小虾。本人就是这些浮在水面上的那些小鱼小虾中的一只。很多真正的高人往往或潜伏在在乡野，或在闹市，不一而足。他们或者因为年龄缘故不擅于上网，或者不习惯上网，又或者不是很善于通过文字来表达，又或者不愿意也没时间来讲述这些看似非常基础非常简单的入门问题，因为他们相信，这些问题只要稍微看看书就能明白的。而实际上，很多人就是被卡在这一看似简单的环节上了。对周易感兴趣的人是很多的，大家对周易感兴趣的目的也不一样，有些人纯粹因为好奇想稍微了解了解增加一些谈资；有些人想多掌握一门知识比如当做哲学来学习，从而获得一些启发和灵感；而真正最终会用周易来算卦的人毕竟只是少数。我感觉，作为一个中国人，对于周易这个在中国流传了几千的传统文化，适当了解是非常有必要的。即便你誓死

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍，，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

教材：线性代数(DOC)

2013届钻石卡学员学习计划---数学三第十五单元（课前或课后学习内容）计划对应教材：工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版线性代数第一章行列式第1章第1节二阶与三阶行列式（P1——P4）第1章第2节全排列及其逆序数（P4——P5）第1章第3节n阶行列式的定义（P5——P8）第1章第4节对换（P8——P9）第1章第5节行列式的性质（P9——P15）第1章第6节行列式按行（列）展开（P16——P21）第1章第7节克拉默法则（P21——P25）本单元中我们应当学习—— 1．行列式的概念和性质，行列式按行（列）展开定理． 2．用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式． 3．用克莱姆法则解齐次线性方程组．

2013届钻石卡学员学习计划---数学三第十六单元（课前或课后学习内容）计划对应教材：工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版线性代数第二章矩阵及其运算第2章第1节矩阵（P29——P32）第2章第2节矩阵的运算（P33——P42）第2章第3节逆矩阵（P42——P47）第2章第4节矩阵分块法（P47——P54）

2013届钻石卡学员学习计划---数学三线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组第3章第1节矩阵的初等变换（P57——P65）本单元中我们应当学习—— 1．矩阵的概念，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵的概念和性质． 2．矩阵的线性运算、乘法运算、转置以及它们的运算规律. 3. 方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 4．逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件. 5. 伴随矩阵的概念，用伴随矩阵求逆矩阵． 6．分块矩阵及其运算．

周易入门50个基础知识点,非常简单,建议收藏!

周易入门50个基础知识点,非常简单,建议收藏! 1、易经：易经共有三种：夏代的《连山》、商代的《归藏》，周代的《周易》。其中《连山》、《归藏》已失传，只有《周易》传世。故今天所说《易经》即指《周易》。 2、易：本义为日月为易，阴阳交替。易在易经中有三种含义：一变易，变化；二简易，简单；三不易，不变。但核心含义是变易。 3、经：经典，不变，常则。 4、卦：悬挂之义，把自然现象悬挂起来便于观察，也就是说易经将自然现象和人事变化用符号来表示。 5、爻：交错之义。易经借助阴阳交错构成不同的卦象。 6、阴：静止的、内守的、下降的、寒冷的、晦暗的都属于阴。 7、阳：运动的、外向的、上升的、温热的、明亮的都属于阳。 8、阴爻：断开的横线，用六表示。 9、阳爻：连续的横线，用九表示。 10、九：一三五七九为阳数，九为最大阳数，所以用九表示阳爻。 11、六：一二三四五为生数，六七八九为成数。成数六与八属阴，阴爻性质收缩，六比八小，八为少阴，六为老阴，所以以老阴六表示阴爻。 12、刚爻：指阳爻。 13、柔爻：指阴爻。 14、彖辞：彖是断，彖辞就是断语，用以判断或概括一卦的含义。 15、爻辞：解释一爻的含义。 16、象：表示像的意思，用来模拟形态与事理。卦象为大象，爻象为小象。 17、时：画卦时六爻自下向上，依次称为初、二、三、四、五、上（末）。依此说明终始关系。 18、天道：五、上为三才之天道。 19、人道：三、四为三才之人道。 20、地道：初、二为三才之地道。

21、时：画卦时六爻自下向上，依次称为初、二、三、四、五、上（末）。依此说明终始关系。 22、位：画卦时六爻自下向上，依次称为初（下）、二、三、四、五、上。依此说明上下相对位置。 23、中位：上卦的五与下卦的二为中。 24、正位：阴爻居于阴位，阳爻居于阳位为正。 25、君位：指四爻与上爻之间的第五爻。 26、主爻：一卦六爻中有一爻或两爻能代表一卦的总体意义就是主爻。 27、元：易经中一般认为是始，是大，是善。 28、亨：易经中一般认为是亨通。 29、利：有利，易经中一般认为是收缩，成熟。 30、贞：原意是占卜，易经中一般认为是正而固。 30、吉：顺从易理为吉。 31、凶：违反易理为凶。 32、悔：犯了过失，心中想要补过迁善，知过而能改，悔后趋吉。 33、吝：犯了过失，找理由掩饰与推诿，知过而不能改，吝常趋凶。 34、咎：灾祸。 35、当位：阴爻居于阴位，阳爻居于阳位。 36、不当位：阴爻居于阳位，阳爻居于阴位。 37、阴位：从下至上，二、四、六（上）为阴位。 38、阳位：从小至上，一（初）、三、五为阳位。 39、內卦：六爻卦的下三爻为內卦。 40、外卦：六爻卦的上三爻为外卦。 41、相应：下卦的初爻对应上卦的四爻，下卦的二爻对应上卦的五爻，下卦的三爻对应上卦的上爻，如果一为阴爻而另一为阳爻，则为相应。 42、不相应：下卦的初爻对应上卦的四爻，下卦的二爻对应上卦的五爻，下卦的三爻对应上卦的上爻，彼此同为阴爻或同为阳爻，则不相应。 43、承：卦中相邻的二爻，阴爻居于阳爻下面，承助在上面的阳爻，叫阴承阳或柔承刚，大多顺而善。

八卦的最基本的含义

周易零基础入门教程4 上面的泽雷随是什么含意？其中的泽是兑卦的基本含义（即卦象，后叙），雷是震卦的基本含义，随即是该卦的卦名。所以泽雷随这三个字的含义就是：上卦为泽（即兑卦）下卦为雷（即震卦）的这个卦叫做随卦，随是卦名。这种称呼方法很形象，也是习惯称呼，记忆卦名本人没有太好的规律，只能死记硬背，坚持一个星期早上起来朗读半个小时，估计就差不多了，就这样朗读：乾为天，泽天夬，火天大有……反复如此。下面列举八单卦的基本卦象（即八卦的最基本的含义），这个非常重要。乾：天，兑：泽，离：火，震：雷，巽：风，坎：水，艮：山，坤：地 “乾”、“坤”、“震”、“巽”、“坎”、“离”、“艮”、“兑” 大家仔细看看上面八单卦的卦象，都是用天地水火风等自然现象作类比，比较形象。每个单卦还有其他很多卦象，比如乾代表老人、领导（为什么我算卦时会断言有领导或老年人会帮助我们？这个“领导”或“老人”就是乾卦的卦象）等含义。以后再论述。六十四卦的卦名和次序可由《卦名次序歌》来记忆：乾坤屯蒙需讼师，比小畜兮履泰否。同人大有谦豫随，蛊临观兮噬嗑贲。剥复无妄大畜颐，大过坎离三十备。咸恒遁兮及大壮，晋与明夷家人睽。蹇解损益夬姤萃，升困井革鼎震继。艮渐归妹兼未济，是为下经三十四。今天就先讲这些内容，上面的内容除了六十四卦卦名之外，其他内容都是必须记忆的，卦名如果愿意花功夫记忆最好，反正如果你想对周易有所研究，卦名迟早是要背的。大家看看上面的内容，感觉复杂吗？神秘吗？其实上面的概念丝毫没有什么复杂和神秘，和你刚刚学化学、物理时面对的一堆新概念并无二致。总结：本文涉及到的概念：爻，阳爻，阴爻，单卦，卦序，复卦（包括上卦/下卦，外卦/内卦），卦名，八单卦的基本卦象。大家看看，上述概念你是否都明白了？如果不明白，需要继续看。上面内容需要背熟，不可偷懒。

《经济数学》线性代数学习辅导与典型例题解析

《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。是同阶方阵，则有：若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。若为阶方阵，则下列结论等价可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。用初等行变换法求逆矩阵：用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵）可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。典型例题解析例1 设均为3阶矩阵，且，则。解：答案：72 因为，且

所以例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。解：答案：A 因为，所以A可进行。关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。例3 已知求。分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。解：因为得。

例4 设矩阵求。解：方法一：伴随矩阵法可逆。且由得伴随矩阵则=

方法二：初等行变换法注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。例4 设矩阵求的秩。分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。解：。

周易择日法

周易择日法周易择日法周易经世千百年，与各种术数有千丝万缕的联系，从周易衍生的择日学也有很多种，笔者撷取几种来阐述。有一种叫八卦的甲课，以日课四柱的天于以配卦象，讲究夫妇正配，阴阳交通，最忌孤阴孤阳，因为孤阴不长，孤阳不生。其纳甲为乾纳甲壬，坤纳乙癸，艮纳丙，兑纳丁，震纳庚，巽纳辛，坎纳戊，离纳己。若日课天于是两甲两乙，则是乾坤老父老母之正配，若两壬两癸亦是乾坤二卦之正配，如做不到两正两配，则必须要做到阴阳交通，三甲配一乙，三壬配一癸就是，反过来三乙一甲、三癸一甲也可以。其它卦数纳甲均如此推。如一课：庚辰、庚辰、辛亥、辛卯，年月庚于纳震卦，日时辛干纳巽卦，即是长男长女之夫妇正配。八卦纳甲法只是以天干而论，有以点代面的缺陷，有一种易理入爻课似乎比它精进一些，因为它除天干外，还加入地支和坐山的配合。其天干纳甲如上法，但它对年月纳卦要求不严格，而注重日与时的配合。特别重视日柱的干支。看日柱的于支是何卦之爻辰，再与所用坐山演卦论吉凶。举例说明，如坐山为坤卦，坤卦内三爻为乙未、乙巳、乙卯、外

三爻为癸丑、癸亥、癸酉，若选用以上这六日来造葬，则为本卦所纳，本卦本爻主富贵双全。人丁大旺，时柱若用甲壬二干就更漂亮了；若选用乾卦甲壬六爻日，与坐山坤而演成天地否卦，此卦用于平民主财丁并茂，用于宦家反主困谋夺人产而致败；若选用坎卦六爻日，演成水地比卦，为破先天而有盗贼恶徒之累；用艮卦六爻日演成山地剥。主小人之害路途遭劫……易理入爻虽有一是的道理，只是它将同柱作绝对主导去决定日课的吉凶，仍失之偏颇，若将纳甲与人爻两者组合来选课就会显得完整些。如一课：丙子、丁酉、丙辰、丁西。用事酉卦山。天干双丙双丁，艮兑少男少女之夫妇正配。丙辰口为艮卦之爻，坐山酉乃山泽通气，主财丁贵寿，发福悠远。以上的两种方法深究起来，嫌乎笼统粗疏，不够精密，前一种新兴的河洛理数择日法，其理论体系就比此二法更成型更完整。其天干纳甲亦是乾甲壬坤乙癸之类，卦宫数用洛书，即乾六、坤二、艮八、兑七、坎一、离九，震三、巽四、则其天干配数为甲壬六、乙癸二、丙八、丁七、戊一、己九、庚三、辛四，地支数按河图数，一六亥子水、二七巳午火、三八寅卯木、四九申酉金、五十辰戌丑未土。其求卦以日课干支奇数和减去三十取余数为上卦，偶数和减去三十取余数为下卦，求出日课后，以用事坐山卦为立极卦(即主卦)，日课卦为变卦，两封相较则知何爻动变，以断吉凶，用的是周

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

易经入门(最全解答)

易经入门(最全解答) 对于周易的迷途者，可能需要找些入门的书籍，建议。但是百度，网站等会经常变动，比如我之前找到一个周易入门的好网站，是从百度里面搜到的，过几天就搜不到了，后悔当时没有收藏网站，所以现在把之前积累的公布出来建议或书籍发布出来，大家收藏一下。（1）这个比较全面客观的：数目有很多，建议你你有整体的观念，这样会比较容易学。以下这段介绍，是我保存的，觉得很好，希望对你有用。选书如选老师，因此选择书籍是一件十分重要的事。在此，向给大家推荐相关书籍，让你少走弯路，成为大师级高手！重要叮嘱易学、佛经是迷宫，进门后一定要学会出得了门。正如紫钦天老师在《太极博弈原理》里面“信息对抗：命越算越薄，知命与宿命”提到的，其实现在才最真实的，人要克服的是未来信息对现在的影响！很多人能懂一点点了，以为天下无敌，但是如果未来的信息，没有百分百准确，都是误导人的。最怕三分真，七分假。人依然会迷茫，犹豫，错失。另外，易曰：知得也要知丧，当你得到了一些东西的时候，你也会失去一些东西。诚然，人生从某种意义上讲，没有绝对的好、坏、善、恶，而在于你的选择。为什么还要特别提醒呢？因在现实中接触不少易友，一学什么易或练什么功，就顾及不到其他方面，给家庭社会造成一些不好的影响。古曰：平常心是道！不要把自己标榜成与别人不一样，否则你会一事无成。要明白你只是一个凡人，不要以为自己学易了就有什么了不起。法、侣、财、地（简单讲就是方法、同道、财力、环境）是学好功法，其实也是学好易经的最好指导。千万不要指望学易来发大财，否则你将走上不归路。以此为职业的人，是有宿因的。薄迦梵歌曰：要把成与败、得于失等同看待。患得患失不是学易人应有的心态。好好工作，养家糊口，业余修习，平凡一生这是吾师给本人的开示和指导，希望易友也能从中得到启发！最后以一句话与大家共勉：天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物！众善奉行，诸恶莫作最为紧要！ 1、基础书（1）周易原文注解类：如果不读周易原文，而想彻底搞懂周易基本是不可能的，万丈高楼平地起，基础越牢，对后面的学习帮助越大。建议采用中国易经协会会长、哲学教授刘大钧著的《周易概论》，其他如上海古籍出版社、商务印书馆等较大的出版社出版的《周易》都是比较可靠的。南怀瑾老师倡导的儿童经典导读中心出版的原文《易经》，可以帮助大家认识和听懂一些难读的字。（2）周易精华思想融汇类：应该说，目前只有紫钦天老师的《太极博弈原理》一书能做到这点，全书中是没有解释卦象的。但是如果对于一个研究周易几十年的学者来说，一看这书，应该明白其实里面是是蕴含

《易经》的度数规则

《易经》的度数规则易经一、数字--文明的高级形式数学是文明的高级形式，自从人类脱离混沌的古猿时代，一直到传说中的伏曦三皇五帝时代，他们在千百万年的生存斗争中不断的创造着文明，同时他们不断的融合吸取着外来文明的精华，这个过程的发展速度不断加剧，就好象一条指数曲线，终于在5000至7000年前从无限遥远的宇宙诞生时起步的生命进程中崛起，爆发了文明的礼花，人类开始认识自身了，人类开始认识了自然，人类开始有了数字的意识，在此基础上诞生了各种原始的科学，从各个学科中将其各种事物的特征数总结起来形成了其辉煌的古代中国数学文明，而数学是一门抽象的学科，著名的《易经》也是这个文明的一部分，汉语中"抽象"一词的来源可能和《易经》有关，更明确的说《易经》体现了这个抽象的过程，就是从《易》的《象》中抽取出来，舍其形而取其数。二、《易经》的度数规则谈及《易经》的度数规则，首先要讨论一种简单的数学运算和与此运算有关的汉字，这种运算方法就是我们常用的除法和乘法，我们当今所说的除法就是指用被除数除以除数并得到结果。根据目前的方法和运算工具一般都可以得到足够精确的值，所以我们基本上不再关心有关商数和余数和倍数的问题了。当然，在几十年前还不是这样，那时以前，除法还和商数、余数、倍数有十分密切的关系，我们举一个例子，比如用100除以6，就是6个数一组，共分了16组，还余下（也就是剩下）了4个数，这样，100是被除数，6是除数，16是商数，4是余数。反过来，以除数为基数，以商数为倍数，相乘，然后再加余数，就会得到原来的被除数。这样看除和乘就是互为反运算，但是我们所关心的不是乘和除的关系，也不是这个过程，我们关心的是汉字中有关这个关系的和过程中所使用的方法的名称中的文字：除、余、剩、乘、商、倍。这几个字十分有趣，除和余有共同的部首，说明古代除余同意，都是代表除法，除表示从总数中按定数去除，余表示剩下的数目。乘表示按定数进行倍数的积累，剩和余同意，表示把乘积分割一个一个去除而剩下的意思。这样在乘字中增加一个刀就表示了这个意思，因为刀的功用就是分割。商这个字在除法中表示用定数分割总数得到的组数，但是，这个字又是神秘的殷商王朝的名称，又有商人、商业、商贸（贸易），同时又有商量，商榷，智商的含义，古代五音中也有一个商就是宫、商、角、徵、羽。倍这个字和位类似，这些字都和《易经》有关，我们下面来仔细研究。我们都知道，《易经》有六十四卦，每卦有六爻，《易经》的内容十分晦涩难懂，可以说两千年来真正看懂它的人几乎没有，究其原因，我想，人们太过于重视它的文字的内容而轻视了它的六十四卦的卦图的含义了，人们忽视了数在这本经书中的作用，而有些人也认为《易经》包含着数字和卦位的含义但是，卦位和度数的规则是什么，这是最为费解的，这个秘密在中国文化中保存了两千多年，这是一个千古的遗憾，然而这又十分简单，简单的就象加减乘除一般，《易经》用来定义文字和世界的方法就是一个除法，也就是余法，也就是商法，最后也就是用余数和卦的位数定卦位，从而表达各种事物的特征含义和他们文字名称，和这些文字后来的引申（坤）意义。说它是除法，就是说，把一个自然事物的特征数看作是被除数，64就是通用的除数，用被除数除以64，商数不计（不计在《易经》中，但是否是记在《易纬》中，还需研究）把余数保留下来，定位在《易经》的相应卦位上，用一个字表示（这个字可以是象形字，也可以是其他的事物定位后的字的借用，用象形字命

考研线性代数重点内容和典型题型

考研线性代数重点内容和典型题型线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对xx年考研的同学们学习有帮助。行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等）的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx 年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、

伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。xx 年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）.主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、

袁晖坪线性代数教材习题答案提示

第一章行列式与Cramer 法则第一章知识清单 1.行列式定义： () ()() 121211********* 212121,n n n n n i i i j j j n i j i j i j i j n n nn a a a a a a a a a a a a ττ? +=-∑L L L L L L 说明1）()()()12 1 ,n n n k i k k i i i t k t i τ====∑∑L ()k k k t i i i ：在左边比打的数的个数. 说明2）：行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成 2.计算方法基本方法： 1）化为三角式；2）降阶法：10 n i k jk k D i j a A i j ==?=? ≠?∑ 常用方法：利用定义或性质，拆解法，升阶法，递推法。特殊行列式：上三角式，对角式，范德蒙行列式。 3.行列式性质（5条）行列等同；两行互换值相反；数乘行列式；行列式加法；第三种初等行变换不改变行列式的值。 4.克莱姆法则

?????? ?=++=++=++n n nn n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ221122222212111212111 .n A x b =即：解：12,,,T n D D D x D D D ??= ???L ，.n D A = 推论：0.n n A x o A =?=有非零解基本作业建议 A 组：1，4，6（1），7（1），8, 10(1)； B 组：一（1），（6）；二（3），（4）一（A ）4（1）：列标：54243，表明第四列有两元素：否; (2): () ()() 24531452131ττ+-. 一（A ）5： () () ()()() () ()()23412143123412342132341411,a a a a a a a a ττ--. 一（A ）6(5)：32 1 42 2 222222223234 21 21 21 21 21212121 044444444222269696969 6 6 6 6 ,,i r r r r r r i a b c d a b c d a b c d a b c d D a b c d a b c d ---=++++++++=== ==== =++++++++ 一（A ）7(1)，(2)：同6（3），见课件例1.15—1.18。四种方法： 1 1123,,,n i i i c r r i n D D =-=∑=========L 提公因式方法一：上三角式； 1 23,,,i r r i n D -=====L 方法二：箭形行列式 12312 3 1231231 2 3 10 n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b a a D a a a b ------=== --L L L L M M M M M M L 加边方法三： 1231,2,311000100010001 L L L L L M M M M M M L n i r r i n a a a a b b b b +=------===== -- ()123 23 123231 232312323000n n n n n n n n a a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c a a a c D ------=-=L L L L L L M M M M M M M M M M L L 拆解方法四：略.

周易零基础入门教程

周易零基础入门教程周易零基础入门：概念篇a 内容提要：本文涉及到的概念：爻，阳爻，阴爻，单卦，卦序，复卦（包括上卦/下卦，外卦/内卦），卦名，八单卦的基本卦象。学习周易与学习任何一门科学学科一样，要想入门，必须先了解该学科的基本概念。概念是最基础也是最核心的东西，也是进行各种推演的基础。所以务必认真体会，不可忽视。在进行讲述之前，我先进性简单的类比。我们大家都知道，化学里面有各种化学元素，不同元素有不同的化合价，有各自独特的属性，各种化学元素组成各种化合物，各种化合物在不同的条件下按照各种化学方程式，可以产生千变万化的化学反应，而生活中无处没有化学。不仅仅是化学，物理、数学等理科学科都类似，都有自己的概念和符号系统，也有自己的公式、公理、定理和定律。周易也是如此，并且没有什么神秘之处，所以大家要以平常心来学习，要克服各种常见的误区。比如见周易能够算卦占卜，以为是什么神仙鬼神在暗中操纵，从而心生神秘从而茫然。学习周易不可避免的一个问题就是我以前所提到的一个概念：终极追问（就是追问世界万物的最终极的决定力量）。也就是说，为什么用周易能预测未来？相信大部分人都会有此一问。说起终极追问，其实各种科学学科也照样处处存在，不独周易有之，比如万有引力定律，为什么把物体往天上抛它会往下落?是谁让它下来的？你可能会说是引力的缘故，但是我要问你，引力的这种规律是谁设计或者决定的？各种规律的背后，谁是终极的决定力量？回答这个问题难免要涉及到哲学或者宗教，大家有兴趣以后可以深入学习，这里先不论述，也请大家放下这种终极追问，姑且先把周易当成物理化学这样的普通学科来学习，一句话，放下所有的神秘感，以平常心来学习!我们可以设想，假设你穿越到原始社会，去告诉那里的人们说有一种叫做“化学”的学问，学好了之后，可以生火，可以烧水，能劈山（炸药），可煮海（蒸馏，制盐等），那原始人同样会感觉非常神秘，就好比我们对周易感觉很神秘一样。我以后在讲述各种概念的时候，会常用类比或比喻的方式来消解大家的神秘感。我敢保证：周易入门绝对比化学、物理入门要简单！：）闲言少讲，书归正传，开始讲述周易的一些基本概念。我们经常听说，八卦、六十四卦、算卦等概念，就知道卦是周易里一个重要概念，为了说明卦的概念必须先做一个铺垫。 1.1. 概念一：爻(yao2) 爻有两种，一种叫阳爻，一种叫阴爻。阳爻用一长横表示：—，阴爻用两个短横表示：-- 见图1.1。周易中用阳爻和阴爻来表达阴和阳这两种抽象的概念，对于阴阳大家先不必多想，就把它当作两种符号，好比正号和负号。爻是组成卦的基本元素。 1.2. 单卦单卦的组成很简单，由三个爻组成，每个爻都有两种状态：阳爻和阴爻，所以一共有2的3次方即八种单卦，这就是我们常听说的八卦。这八卦是：乾（qian2）、兑(dui4) 、离(li2) 、震(zhen4) 、巽(xun4) 、坎（kan3）、艮(gen4) 、坤（kun1）。根据三个爻的组合形式，上面八个卦都有自己的形象化表述，这种形象化的表述即称为卦符，详见图1.2. 为了帮助我们记忆，古人总结了歌诀：乾三连，坤六断；震仰盂（yu2,痰盂的盂），艮覆碗；离

《周易》打印版

第三讲：周易一、《周易》简介（一）“易”与“经”的含义 “经”就是道就是理，天地的大道理，人生的大道理。阐明天理、人道的书，称作“经”。“经”是最神圣的典籍与权威性的著作。《周礼·春官宗伯·大卜》曰：“掌三易之法，一曰连山，二曰归藏，三曰周易。” 据说《连山》以艮卦为首，《归藏》以坤卦为首。二书均已亡失，唯剩《周易》流传下来。郑玄：“夏曰连山，殷曰归藏，周曰周易”，他认为《周易》为周代的《易经》。即周朝的卜筮之书。《易纬》认为：“易一名而含三义。易简，一也；变易，二也；不易，三也。” （二）《周易》一书的结构《周易》包括“本文”与“解说”两部分。 “本文”部分称为“经”，由64卦的卦象、64卦的卦辞和384爻的爻辞组成。其中，《上经》30卦，《下经》34卦。 “解说”部分称为“传”，是记载后人对卦、爻辞的各种解释和理论上的发挥，共有十篇，称作“十翼” 1. 《易经》 64卦指的是：乾、坤、屯、蒙、需、讼、师、比、小畜、履、泰、否、同人、大有、谦、豫、随、蛊、临、观、噬嗑、贲、剥、复、无妄、大畜、颐、大过、坎、离、咸、恒、遯、大壮、晋、明夷、家人、睽、蹇、解、损、益、夬、姤、萃、升、困、井、革、鼎、震、艮、渐、归妹、丰、旅、巽、兑、涣、节、中孚、小过、既济、未济 2.《易传》《易传》是最早的一部解释《易经》的书。一般认为《易传》由战国时代的儒家所作。《汉书·艺文志》认为，“人更三圣，世历三古。”这是说伏羲氏画八卦，周文王演六十四卦，孔子作《十翼》。

“十翼” 《系辞》上、下《彖传》上、下《象传》上、下《文言》《说卦》《序卦》《杂卦》《彖传》上、下两篇是说明每一卦的基本思想，解释卦辞。《象传》上、下两篇，一部分是说明如何按照卦的基本思想去行动（又称为“大象”），一部分是解释爻辞的（又称为“小象”）。《文言》是专门论述乾、坤两卦的基本思想的。《系辞传》上、下两篇是总论《经》的基本思想的。《说卦传》是总述八卦代表的各类事物及其原理、变化等。《序卦传》是对六十四卦排列次序的说明。《杂卦传》是说明各卦之间的关系的。（三）《周易》的传承司马迁在《史记》中说，“伏羲至纯厚，作易八卦”，又说“西伯拘羑里演周易。”（《自序》）孔子曾删《诗》、《书》，订《礼》、《乐》，作《春秋》，然后传述《易》，儒家将《易经》冠为六经之首。西汉《易》学衍化出孟喜、京房、施仇、费直、梁丘贺等不同派别，后汉郑玄、特别注重卦的形象与数字。三国曹魏时的王弼一反汉代《易》家的学说，扫除象数，专言义理。唐初孔颖达为王弼《周易注》作疏。李鼎祚的《周易集解》。宋朝时期，程颐的《程氏易传》与朱熹的《周易本义》。明代有来知德的《周易集注》。清代则致力于汉易的复元，在汉学盛行之前有王夫之的《周易内传》、《周易外传》、《周易大象解》。近代则有高亨《周易古经今注》、《周易大传今注》。我们今天对《周易》的了解可看刘师培的《经学教科书》，尚秉和的《周易尚氏学》。“中国人也曾注意到抽象的思想和纯粹的范畴。古代的易经（论原则的书是）这类思想的基础。易经中包含着中国人的智慧[是有绝对权威的]。”

线性代数复习提纲2017

线性代数复习提纲（2017）第一章行列式复习重点：第1、3、4、5节. 课本：P2，例2，例3；P11，例2；P15，例1；P22，例2；P26，例5. 练习册：P2，4; P4，一(1，2，3); P6，三(1);P7，三(2,3). 第二章矩阵复习重点：第3、5节. 课本：P34，例2；P42，例1，例3, 例4;P54,例1；P57，例2;P59，例1，例4. 练习册：P10，1;P11，三，四；P12，2;P14，一(1,4,6);P16,九;P45，三(2); P48，三(2); P51，三(2). 第三章向量组的线性相关性复习重点：第2、3节. 课本：P72，例2；P72，例3；P80，例4;P86,例9；P88，例1;P90，例2; P92，例2; P93，例4; P95，21. 练习册：P18，四;P19，1,2,3；P22，四(2)(4);P40,三;P45,三(3); P48,三(3). 第四章线性方程组复习重点: 第2、3节. 课本：P103, 例1;P106, 例1;P107,例2，例3；练习册：P25，四；P29，三(3)(4);P41，四; P43，三(4)；P49，三(5). 第五章矩阵对角化复习重点: 第1、2节.

课本：P116, 例1，例2；P120，例4；P122，例1;P123, 例2;P128，例6;P130，例7. 练习册：P31，1;P32，2，3;P33，4;P34，一(1),二(1); P44, 一(4);P47，一(4)；P52，三(6). 第六章二次型复习重点: 第2、3节. 课本：P141，例1; P143，例2; P145，例3; P149，例3. 练习册:P37,3;P38，一(1);三(1)(2);P49,三(7);P55,五.

线性代数电子版教材

线性代数线性代数是关于向量空间和线性映射的一个数学分支，包括对线、面和子空间的研究，也涉及到所有向量空间的一般性质。线性代数是纯数学和应用数学的核心，它的含义随着数学的发展而不断扩大，其理论和方法已经渗透到数学的许多分支，也成为理论物理和理论化学不可缺少的代数基础知识。 1定义与历史编辑概念线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。所谓“线性”，指的就是如下的数学关系：。其中，f叫线性算子或线性映射。所谓“代数”，指的就是用符号代替元素和运算，也就是说：我们不关心上面的x，y是实数还是函数，也不关心f是多项式还是微分，我们统一把他们都抽象成一个记号，或是一类矩阵。合在一起，

线性代数研究的就是：满足线性关系的线性算子f都有哪几类，以及他们分别都有什么性质。历史线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。由于费马和笛卡儿的工作，现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡。随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。