七年级数学代数式单元测试卷(含答案解析)

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）

1．已知整式P＝x2+x﹣1，Q＝x2﹣x+1，R＝﹣x2+x+1，若一个次数不高于二次的整式可以表示为aP+bQ+cR（其中a，b，c为常数）.则可以进行如下分类

①若a≠0，b＝c＝0，则称该整式为P类整式；

②若a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为PQ类整式；

③若a≠0，b≠0，c≠0.则称该整式为PQR类整式；

（1）模仿上面的分类方式，请给出R类整式和QR类整式的定义，若，则称该整式为“R类整式”，若，则称该整式为“QR类整式”；

（2）说明整式x2﹣5x+5为“PQ类整式；

（3）x2+x+1是哪一类整式？说明理由.

【答案】（1）解：若a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R类整式”.

若a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”.

故答案是：a＝b＝0，c≠0；a＝0，b≠0，c≠0

（2）解：因为﹣2P+3Q＝﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1）

＝﹣2x2﹣2x+2+3x2﹣3x+3＝x2﹣5x+5.

即x2﹣5x+5＝﹣2P+3Q，所以x2﹣5x+5是“PQ类整式”

（3）解：∵x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1），

∴该整式为PQR类整式.

【解析】【分析】（1）根据题干条件，可得若a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R类整式”；若a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”.

（2）根据"PQ类整式"定义，由x2﹣5x+5=﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1） = ﹣2P+3Q，据此求出结论.

（3）由x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1）= PQR，据此判断即可.

2．已知：a、b、c满足a=-b,|a+1|+（c-4）2=0，请回答问题:

（1）请求出a、b、c的值；

（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，P为数轴上一动点，其对应的数为x，若点P 在线段BC上时，请化简式子：|x+1|-|1-x|+2|x-4|（请写出化简过程）；

（3）若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，试探究当点P运动多少秒时，PC=3PB?

【答案】（1）解：因为，所以a+1=0，c-4=0，即a=-1，c=4. 因为

a=-b，a=-1，所以b=-a=-(-1)=1. 综上所述，a=-1，b=1，c=4

（2）解：因为点P在线段BC上，b=1，c=4，所以 . 因为，所以

x+1>0，， . 0时，；当时，

；当时， . 因此，当点P在线段BC上(即 )时，=

= = .

（3）解：设点P的运动时间为t秒. 因为点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，所以AP=2t. 因为点A对应的数为-1，点C对应的数为4，所以AC=4-(-1)=5. PB. 故点P不可能在点C的右侧. 因此，PC=AC-AP. 因为AP=2t，AC=5，所以PC=AC-AP=5-2t. 分析本小题的题意，点P与点B的位置关系没有明确的限制，故本小题应该对以下两种情况分

别进行求解. ①点P在点B的左侧，如下图. 因为点A对应的数为-1，点B对应的数为1，所以AB=1-(-1)=2. 因为AP=2t，AB=2，所以PB=AB-AP=2-2t. 因为PC=3PB，PC=5-2t，PB=2-2t，所以5-2t=3(2-2t). 解这个关于t的一元一

次方程，得. ②点P在点B的右侧，如下图.

因为AP=2t，AB=2，所以PB=AP-AB=2t-2. 因为

PC=3PB，PC=5-2t，PB=2t-2，所以5-2t=3(2t-2). 解这个关于t的一元一次方程，得 .

综上所述，当点P运动或秒时，PC=3PB.

【解析】【分析】（1）因|a+1|0;(c-4)20,所以由题意得a+1=0,c-4=0,即a=-1，c=4，所以

b=1.

（2）结合（1），由题意得，所以原式去绝对值化简得原式=x+1-(x-1)+2(4-x)=-

2x+10.

（3）结合（1），由题意得AP=2t，PC=5-2t；然后分情况讨论P在B点左右两侧两种情况。

3．已知A，B在数轴上分别表示的数为m、n．

（1）对照数轴完成下表：

m 5﹣3﹣4﹣4

n 2 0 3﹣2

A、B两点间的距离________ 3________________

（3）已知A，B在数轴上分别表示的数为x和﹣2，则A、B两点的距离d可表示为d=|x+2|，如果d=3，求x的值．

（4）若数轴上表示数m的点位于﹣5和3之间，求|m+5|+|m﹣3|的值．

【答案】（1）3；7；2

（2）解：d=|m﹣n|，文字描述为：数轴上两点间的距离d等于表示两点数之差的绝对值（3）解：d=|x+2|

根据题意得出：d=|x﹣（﹣2）|=|x+2|，

如果d=3，那么3=|x+2|，

解得x=1或﹣5

（4）解：根据题意得出：∵﹣5＜m＜3，

∴|m+5|+|m﹣3|=|5+3|=8

【解析】【解答】解：（1）填表如下：

【分析】（1）结合数轴，得出两点间的距离公式，即可求解。若A，B在数轴上分别表示的数为m、n，A，B两点间的距离为d，则d=|m﹣n|，根据此公式即可求解。

（2）根据（1）可得出结论。

（3）将d=3代入d=|x+2|，建立方程求解。

（4）根据已知可知﹣5＜m＜3，得出m+5＞0，m-3＜0，则|m+5|=m+5，|m﹣3|=-（m-3）,就可得出结果。

4．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：

（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款________元，当x大于或等于500元时，他实际付款________元．（用含x的代数式表示）．

（3）如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？

【答案】（1）530

（2）0.9x；0.8x+50

（3）解：0.9a+0.8（820﹣a﹣500）+450=0.1a+706

【解析】【解答】解：（1）500×0.9+（600﹣500）×0.8=530；（2）0.9x；500×0.9+（x﹣500）×0.8=0.8x+50；

【分析】（1）王老师一次性购物600元，超过500元，因此得出其中500元给予九折优惠，100元给予八折优惠，列式计算即可。

（2）根据已知当x小于500元但不小于200时，九折优惠，即可列出代数式；当x大于或等于500元时，其中500元部分给予九折优惠，（x-500）元给予八折优惠，即可列出代数式。

（3）根据已知可知，第二次购物超过500元，由已知200＜a＜300，得出两次购物王老师实际付款=第一次购物款乘以0.9+500乘以0.9+（800-a-500），计算即可。

5．以下关于的各个多项式中，，，，，均为常数.

（1）根据计算结果填写下表：

二次项系数一次项系数常数项

2________2

6________－2

________

（2）若的积中不含的二次项和一次项，求

的值.

（3）多项式与多项式的乘积为，则的值为________.

【答案】（1）5；-1；

（2）解：原式

∵积中不含的二次项和一次项∴解得原式

（3）-4

【解析】【解答】解：（1）

故答案为：

（ 3 ）∵多项式与多项式的乘积为

∴设多项式

【分析】（1）根据多项式乘以多项式即可求解；（2）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项后使二次项系数和一次项系数为0即可求解；（3）根据多项式乘以多项式的结果可以设多项式M，再根据恒等式的意义求解.

6．观察下表:

我们把表格中字母的和所得的多项式称为"'特征多项式",例如:第1格的“特征多项式”为4x+y，第 2 格的“特征多项式”为 8x+4y, 回答下列问题:

（1）第 3 格的“特征多项式”为________第 4 格的“待征多项式”为________, 第 n 格的“特征多项式”为________.

（2）若第 m 格的“特征多项式”与多项式-24x+2y-5 的和不含有 x 项,求此“特征多项式”. 【答案】（1）12x+9y；16x+16y；4nx+n2y

（2）解：由（1）可得，第m格的“特征多项式”是4mx+m2y，

∴(4mx+m2y)+(?24x+2y?5)=4mx+m2y?24x+2y?5=(4m?24)x+(m2+2)y?5，

∵第m格的“特征多项式”与多项式?24x+2y?5的和不含有x项，

∴4m?24=0，解得m=6，

∴此“特征多项式”是24x+36y.

【解析】【解答】解：(1)由表格可得：第3格的“特征多项式”为12x+9y，第4格的“特征多项式”为16x+16y，第n格的“特征多项式”为4nx+n2y，

故答案为：12x+9y， 16x+16y， 4nx+n2y；

【分析】（1）根据表格中的数据找出规律即可解答本题；（2）根据（1）中的结果可以写出第m格的“特征多项式”，然后根据“和不含有x项”可以求得m的值，从而可以写出此“特征多项式”．

7．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价400元，领带每条定价50元．厂方在开

展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：

方案①：买一套西装送一条领带；

方案②：西装和领带都按定价的90%付款．

现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）

（1）若该客户按方案①购买，需付款________元（用含x的代数式表示）；

若该客户按方案②购买，需付款________元（用含x的代数式表示）；

（2）若x=30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？

（3）若两种优惠方案可同时使用，当x=30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法并计算出此种方案的付款金额．

【答案】（1）（50x+7000）；（45x+7200）

（2）解：当时

方案①：

方案②：

答：此时按方案①购买较为合算.

（3）解：用方案①买20套西装送20条领带，再用方案②买10条领带.

总价钱为

所以可以

【解析】【解答】解：（1）按方案①购买，需付款：400×20+（x-20）×50

= 元；

按方案②购买，需付款：400×90%×20+50×90%×x

= （元）

【分析】（1）根据题意分别列出代数式，并整理；（2）把x=30代入（1）中两个代数式，计算结果得结论；（3）抓住省钱想方案．两种方案都选用．

8．小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是爸爸妈妈的对话：

妈妈：“上个月萝卜的单价是元/斤，排骨的单价比萝卜的7倍还多2元”；

爸爸：“今天，报纸上说与上个月相比，萝卜的单价上涨了25%，排骨的单价上涨了20%”请根据上面的对话信息回答下列问题：

（1）请用含的式子填空：上个月排骨的单价是________元/斤，这个月萝卜的单价是________元/斤，排骨的单价是________元/斤。

（2）列式表示今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花多少元？（结果要求化成最简）

（3）当a＝4，求今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花多少元？【答案】（1）7a+2；125%a；8.4a+2.4

（2）解：今天买的萝卜和排骨花的钱数为3×125%a+2×（8.4a+2.4）；

上个月买的萝卜和排骨花的钱数为3×a+2×(7a+2)

故今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花的钱数为

[3×125%a+2×（8.4a+2.4）]-[ 3×a+2×(7a+2)]= 3.55a+0.8(元)

答：今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花（3.55a+0.8）元；

（3）解：把＝4代入3.55a+0.8=3.55×4+0.8=15（元）

答：今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花15元.

【解析】【解答】（1）∵上个月萝卜的单价是元/斤，排骨的单价比萝卜的7倍还多2元

∴上个月排骨的单价是(7a+2)元/斤；

这个月萝卜的单价是（1+25%）a=125%a元/斤;

这个月排骨的单价是（1+20%）(7a+2)=（8.4a+2.4）元/斤

故填：7a+2,125%a,8.4a+2.4;

【分析】（1）根据题意即可写出上个月排骨的单价、这个月萝卜的单价及排骨的单价；（2）计算两次买的价钱，再相减即可求解；（3）把a=4代入即可求解.

9．陆老师去水果批发市场采购苹果，他看中了A，B两家苹果，这两家苹果品质一样，零售价都我6元/千克，批发价各不相同．

A家规定：批发数量不超过1000千克，按零售价的92%优惠；批发数量不超过2000千克，按零售价的90%优惠；超过2000千克的按零售价的88%优惠．

B家的规定如下表：

数量范围（千克）0～500部分500以上～15001500以上～2500部分2500以上部分

价格补贴零售价的95%零售价的85%零售价的75%零售价的70%

（2）如果他批发x千克苹果（1500＜x＜2000），请你分别用含x的代数式表示他在A、B 两家批发所需的费用；

（3）A、B两店在互相竞争中开始了互怼，B说A店的苹果总价有不合理的，有时候买的少反而贵，忽悠消费者；A说B的总价计算太麻烦，把消费者都弄糊涂了；旁边陆老师听完，提出两个问题希望同学们帮忙解决：

①能否举例说明A店买的多反而便宜?

②B店老板比较聪明，在平时工作中发现有巧妙的方法：总价=购买数量×单价+价格补贴；

注:不同的单价，补贴价格也不同；只需提前算好即可填下表：

数量范围（千克）0～500部分500以上～15001500以上～25002500以上部分

价格补贴0元300▲▲

B家：500×6×95%+200×6×85%=3870元

（2）解：A家：6x×90%=5.4x，

B家：500×6×95%+1000×6×85%+（x-1500）×6×75%=4.5x+1200

（3）解：①当他要批发不超过500千克苹果时，很明显在A家批发更优惠；

当他要批发超过500千克但不超过1000千克苹果时，

设批发x千克苹果，则A家费用=92%×6x=5.52x，B家费用=6×95%×500+6×85%×（x-500）=5.1x+300，

A家费用-B家费用=0.42x-300，要使A店买的多反而便宜即是0.42x-300>0，解得：x>

∴当x> 时，A店买的多反而便宜；

②当购买数量为1500以上～2500时，B家需要的总价=500×6×95%+1000×6×85%+（x-1500）×6×75%=4.5x+1200

又总价=购买数量×单价+价格补贴

∴价格补贴=1200元，

当购买数量为2500以上部分时，B家需要的总价=500×6×95%+1000×6×85%+（2500-1500）×6×75%+（x-2500）×6×70%=4.2x+1950

∴价格补贴=1950元.

【解析】【分析】（1）A家批发需要费用：质量×单价×92%；B家批发需要费用：500×单价×95%+（700-500）×单价×85%；把相关数值代入求解即可；（2）根据“A家批发需要费用：质量×单价×92%；B家批发需要费用：500×单价×95%+1000×单价×85%+（x-1500）×单价×75%”；(3)①当他要批发超过500千克但不超过1000千克苹果时，设批发x千克苹果，则A家费用=92%×6x=5.52x，B家费用=6×95%×500+6×85%×（x-500）=5.1x+300，A家费用-B家费用=0.42x-300；即可举例说明A店买的多反而便宜；②分别求出B家批发各个价格所需要的费用的等式即可求解.

10．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个长为 ,宽为的长方形内，该长方形内部未被卡片覆盖的部分用阴影表示.

（1）能否用只含的式子表示出图②中两块阴影部分的周长和？________（填“能”或“不能”）；

（2）若能，请你用只含的式子表示出中两块阴影部分的周长和；若不能，请说明理由. 【答案】（1）能

（2）解：能，理由如下：

设小长方形的长为a，宽为b，

上面的长方形周长为：

下面的长方形周长为：

两式联立，总周长为：

（由图可得）

阴影部分总周长为

【解析】【解答】解：（1）能；故答案为能；

【分析】设图①小长方形的长为a，宽为b，由图②表示出上面与下面两个长方形的周长，求出之和，根据题意得到，代入计算即可得到结果.

11．用若干块如左图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）

（1）如图（1），若AD=7，AB=8，求与的值；

（2）如图（1），若长方形ABCD的面积为35，其中阴影部分的面积为20，求长方形ABCD的周长；

（3）如图（2），若AD的长度为5，AB的长度为 .

①当 =________， =________时，，的值有无数组；

②当 ________， ________时，，的值不存在.

【答案】（1）解：由图得

，

解得：

（2）解：由图可得：5个小长方形面积=长方形ABCD的面积-阴影部分的面积，

∴，

∴ab=3，

∵阴影部分的面积为20，

∴，

∴，

∴a+b= ，

方形ABCD的周长=2[(2a+b)+(2b+a)]=6（a+b）=6×4=24

（3）4；10；4；≠10.

【解析】【解答】解：（3）由图（2）得：

，

由①得a=5-2b，③

将③代入②得2（5-2b）+mb=n，

∴（m-4）b=n-10，

∴当时，a，b的解有无数组；

即m=4，n=10时，a，b的值有无数组；

当时，方程组无解，

即m=4，n≠10时，a，b的值不存在.

故答案为：①m=4，n=10；②m=4，n≠10

【分析】（1）由长方形的性质和图中的信息可得关于a、b的方程组，从而求解；

（2）由图和已知条件可列方程组：,解方程组即可求解；

（3）由题意联立解方程组，当两直线重合时，有无数组解；当两直线平行时，无解。

12．如图（1）是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形．

（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少？

（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积；

（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？

三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2， mn．

（4）根据第（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7， ab=5，求（a﹣b）2的值．

【答案】（1）解：图（2）中的阴影部分的正方形边长是：m-n

（2）解：方法（1）：图（2）阴影部分的面积=（m-n）2；

方法（2）：图（2）阴影部分的面积=（m+n）2-4mn;

（3）解：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn,或（m-n）2=（m+n）2-4mn，或（m+n）2-（m﹣n）2=4mn。

（4）解：∵（a﹣b）2=（a+b）2-4ab,a+b=7， ab=5，

∴（a﹣b）2=72-4×5=29.

【解析】【分析】（1）通过图形观察即可得出：图（2）中的阴影部分的正方形边长是：m-n；

（2）方法（1）利用正方形的面积等于边长的平方可以直接得出；方法（2）利用大正方形的面积减去4个小矩形的面积可以算出；

（3）根据用两种不同的方法表示同一个图形的面积，其结果应该相等即可得出；再根据等式的性质即可得出其它积中情况；

（4）利用（3）的关系式，整体代入即可得出答案。