中考二次函数讲义附练习及答案

第三讲二次函数的性质及其应用

初三数学二次函数的表达式讲义

学科教师辅导讲义一、知识梳理二、知识概念（一）二次函数解析式的表示方法 1、一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2、顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3、两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 体系搭建

（二）二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．考点一：一般式例1、如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（） A．y=x2﹣x﹣2B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2 C．y=﹣x2+x+2D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 例2、如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．考点二：顶点式例1、根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（） x…﹣1012… y…﹣12… A．y=x B．y=﹣C．y=（x﹣1）2+2D．y=﹣（x﹣1）2+2

初三数学-二次函数讲义-详细

二次函数一、二次函数的解析式 1. 二次函数解析式有三种： (1)一般式：y ax bx c a =++≠2 0() (2)顶点式：()y a x h k =-+2 顶点为() h k ， (3)交点式：()()y a x x x x =--12 ()()x x 12 0，，是图象与x 轴交点坐标。 2.根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式. 二、二次函数与一元二次方程 1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠与一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的关系。一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值 0y =时的特殊情况。 2.图像与x 轴的交点个数：

①当240b ac ?=->时，图像与x 轴交于两点 ()()()1212,0,,0A x B x x x ≠，其中12,x x 是一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的两根； ②当0?=时，图像与x 轴只有一个交点； ③当0?<时，图像与x 轴没有交点。 1’ 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y > 2’ 当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。板块一二次函数解析式 1.(1)把函数232 12++=x x y 化成它的顶点式的形式为_______________________； (2)把函数6422++-=x x y 化成它的交点式形式为 ____________________________； (3)把函数()2 324y x =-+化为它的一般式的形式为 __________________________；

2020年九年级数学中考二轮复习第一讲：二次函数的图像和性质讲义

二次函数的图像和性质一、基础知识 1、二次函数的三种形式: 一般式:)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且顶点式:)0()(2 ≠+-=a k h x a y ; 交点式:)0)()((21≠--=a x x x x a y . 2、一般地,抛物线k h x a y +-=2 )(与2ax y =的形状相同,位置不同.把抛物线2 ax y =向上(下)向左(右)平移,可得到抛物线k h x a y +-=2 )(.平移的方向、距离要根据h ,k 的值来决定. 抛物线k h x a y +-=2 )(有如下特点: (1)当0>a 时,开口向上,函数有最小值k ;当0 a 时，开口向上；0 a ，在a b x 2-<时，y 随x 的增大而减小，在a b x 2->时,y 随x 的增大而增大；即离函数图像对称轴越远的点函数值越大当0 时,y 随x 的增大而减小. 即离函数图像对称轴越远的点函数值越小 ○4最值:当0>a 时，函数有最小值,且当a b x 2-=时，y 有最小值是a b a c 442 -；0

二次函数讲义

第1页共12页二次函数【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义：形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝___ax 2＋bx ＋c (a ≠0)___. 已知三个点的坐标时，宜用一般式. ②顶点式：f (x )＝__a (x －m )2＋n (a ≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式. ③零点式：f (x )＝___a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)__.已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便. 点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质图象函数性质 a >0 定义域 x ∈R (个别题目有限制的，由解析式确定) 值域 a >0 a <0 y ∈[4ac －b 24a ，＋∞) y ∈(－∞，4ac －b 2 4a ] a <0 奇偶性 b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性 x ∈(－∞，－ b 2a ]时递减，x ∈[－b 2a ，＋∞)时递增 x ∈(－∞，－ b 2a ]时递增， x ∈[－b 2a ，＋∞) 时递减图象特点 ①对称轴：x ＝－ b 2a ；②顶点：(－b 2a ，4ac －b 2 4a ) 3.二次函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2 －4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、

二次函数专题复习(讲义)(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】二次函数专题复习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现. 考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a ，2 44ac b a -）. 例1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x =与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2b a 的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小. 例2 已知2 y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限考点3、二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0 ）的图图1

象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习1 1.对于抛物线y=13 -x 2+103 x 163 -，下列说法正确的是（） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0） 3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主. 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1、如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与图2 A B C D 图1 菜园墙

2017中考二次函数专题(含答案)

1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P 运动到直线AB 下方某一处时，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点P 的坐标． 2. 在直角坐标系xoy 中，(0,2)A 、(1,0)B -，将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，

若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴的另一个交点为B .⑴若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；⑶设点P 为抛物线的图15.1 C D O B A x y

对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；（2 ）试探究抛物线上是第25题图

2020年中考一轮复习二次函数的图像与性质讲义

二次函数的图像与性质中考一轮复习教学目标 1.理解懂得二次函数的图像的开口、对称轴、顶点坐标与a、b、c的关系；会根据图像推断a、b、c及相关式子的符号； 2.能借助二次函数的图像进行推理探究； 3.学会进行数形转化，能从图形中抽象出数量关系，建立方程模型和不等式模型求解. 4. 经典考题【例1】根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴( ) A.只有一个交点B.有两个交点，且它们分别在x轴两侧 C.有两个交点，且它们均在y轴同侧 D.无交点 x…-1 0 1 2 … y…-1 7 4 --2 7 4 -… 【解法指导】本题要先画出啊、二次函数的图像。根据对称性知（1，-2）是抛物线的顶点，且其开口向上。因而二次函数的图像与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧。本题应选B。【变式题组】 1.2 x…-2 -1 0 1 2 … y… 1 6 2 --4 1 2 2 --2 1 2 2 -… 根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax+bx+c在x=3时，y= 。 2.已知二次函数2 x…-1 0 1 2 3 4 … y…10 5 2 1 2 5 … (1) (2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？ (3)若两点A(m,y1),B(m+1,y2)都在该函数的图像上，试比较y1与y2的大小.

【例2】函数y=ax+1与y=ax2+bx+c（0 a≠）的图像可能是（）【解法指导】本题应用逐一排除法. 解：两函数图像与y轴交于同一点（0,1），A不正确；B中直线中a>0，抛物线中a<0,不正确；D中直线的a<0，抛物线中a>0，不正确。故应选C。【变式题组】 3.已知0 a≠，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图像有可能是（） 4.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数，且0 m≠)的图像可能是（） 5.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数 a b c y x ++ =在同一坐标系内的图像大致为（）

初三讲义。二次函数当中的角度问题(叶建)

1 二次函数当中的角度问题题型一：找个点，满足45°或90°(见 45°和90°造K 形) 【例1】如图，已知二次函数解析式为2x y =，抛物线上是否存在点P 使得∠POx 为45° ? 【例2】如果在上题中，有点A )0,4 1 (，是否存在点P 使得∠PAx 为45° 【例3】如图，二次函数为2 x y =，点A 坐标为)2,4(，抛物线上是否存在点P ，使得∠AOP =45°？

2 【例4】抛物线经过点A )0,3(-B )8,1(-C （6,0），直线23 2+= x y 与y 轴交于点D ，抛物线上是否存在点P 使得∠PAD =45°？【例5】已知二次函数为322--=x x y ，与x 轴交于A 、B 两点。在抛物线上是否存在点P 使得∠PAC 为锐角？若存在，请求出x 的取值范围。【实战演练】 1.如图，抛物线432 ++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D(3，4)在抛物线上，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且∠DBP =45°，求点P 的坐标．

3 2.抛物线a bx ax y 42-+=经过点A （1,0）和C （0,4），与x 轴交于另一点B 。（1）求抛物线解析式（2）已知点D （m,1-m ）在抛物线第二象限上，求点D 关于直线BC 对称点坐标。（3）在（2）的条件下，连接BD ，在抛物线上是否存在点P 使得∠DBP=45°，求点P 坐标。题型二找个点满足角度相等【例1】抛物线322 ++-=x x y 与并轴分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于C 点，抛物线的顶点为D ，连接BC 、BD ，抛物线上是否存在一点P ，使得∠PCB=∠CBD ，若存在，求P 点的坐标，不存在，说明理由。【例2】抛物线解析式为322 --=x x y ，交x 轴于A 、B 两点，图形上是否存在点P 使得∠PCO ＞∠ACO 若存在，请求出x 的取值范围。

初中数学专题讲义-二次函数的图像和性质

初中数学专题讲义-二次函数的图像和性质课题二次函数的图像和性质教学目标 1. 会用描点法和平移法画二次函数的图像； 2. 会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标和对称轴； 3. 理解二次函数)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，的图像和性质 4. 会求)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，与x 轴、y 轴的交点坐标，并会判断抛物线与x 轴的交点情况。 5. 会利用二次函数的性质解决简单的实际问题重点、难点 ● 重点：二次函数的图像和性质。 ● 难点：二次函数性质的应用考点及考试要求利用二次函数的性质、数形结合思想、待定系数法、配方法、转化思想、分类讨论思想解决问题教学内容知识框架一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 2. 2y ax c =+的性质 3. ()2 y a x h =-的性质： 4. ()2 y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五、二次函数2y ax bx c =++的性质六、二次函数解析式的表示方法七、二次函数的图象与各项系数之间的关系八、二次函数图象的对称九、二次函数与一元二次方程：考点一：二次函数的定义相关典型例题【例1】下列函数中，是二次函数的是 . ① ； ②； ③； ④ ；

知识概括、方法总结与易错点分析【解析】①、②、③ 【方法总结】结合二次函数的定义解决此类问题。需要注意的系数不为0. 【例2】如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k 的值一定是_______. 知识概括、方法总结与易错点分析【方法总结】解决此类为题首先由最高次项的次数为2列出一个方程，在根据的系数不为0讨论方程的解的取舍. 【例3】二次函数y=x 2 +2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 . 针对性练习 1．已知二次函数，当时 . 2．下列各式中，y 是的二次函数的是 ( ) A ． B ． C ． D ． . 3．若是二次函数，则 . 4．若函数是关于的二次函数，则的取值范围为 . 5．已知函数是二次函数，则＝ . 考点二：一般式化为顶点式典型例题【例4】分别运用公式法和配方法将二次函数y=x 2 －4x+ 6化为 y=(x —h)2 +k 的形式：y=___________ 知识概括、方法总结与易错点分析【方法总结】如果题目没有特殊要求，建议学生用公式法解决相关问题，以减少解题时间.但是教师在讲解此题时需重视配方法的讲解,很多学生在配方的过程中经常出现错误. 针对性练习： 1、分别用配方法和公式法把二次函数y=x 2 －4x+5化成y=(x —h)2 +k 的形式. 2、（2011山东济宁，12，3分）将二次函数2 45y x x =-+化为2 ()y x h k =-+的形式，则 y = ．考点三：二次函数的性质典型例题【例5】抛物线与的形状相同，则=

2018年中考二次函数与几何综合专题复习

制作人：汪龙忠 2018年中考专题复习 -二次函数与几何综合一、直线与二次函数 1、（平行线与二次函数）（2011铜仁25）如图，在平面直角坐标系xOy 中,一抛物线的顶点坐标是（0,1），且过点（-2,2），平行四边形OABC 的顶点A 、B 在此抛物线上，AB 与y 轴相交于点M.已知点C 的坐标是（-4,0），点Q （x,y ）是抛物线上任意一点. （1）求此抛物线的解析式及点M 的坐标；（2）在x 轴上有一点P(t,0），若PQ ∥CM ，试用x 的代数式表示t ；（3）在抛物线上是否存在点Q,使得ΔBAQ 的面积是ΔBMC 的面积的2倍？若存在，求此时点Q 的坐标. 二、扇形与二次函数 2、（阴影面积与二次函数）（2008铜仁25）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣4），⊙M 是△ABC 的外接圆，M 为圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）求阴影部分的面积；（3）在x 轴的正半轴上有一点P ，作PQ ⊥x 轴交BC 于Q ，设PQ=k ，△CPQ 的面积为S ，求S 关于k 的函数关系式，并求出S 的最大值．三、三角形与二次函数 3、（折叠与二次函数）（2010铜仁25）如图所示，矩形OABC 位于平面直角坐标系中，AB ＝2，OA ＝ 3，点P 是OA 上的任意一点，PB 平分∠APD ，PE 平分∠OPF ，且PD 、PF 重合． (1)设OP ＝x ，OE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并求x 为何值时，y 的最大值； (2)当PD ⊥OA 时，求经过E 、P 、B 三点的抛物线的解析式； (3)在（2）条件下，抛物线上是否存在一点M ，使得△MPE 是直角三角形，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。 4、（相似三角形与二次函数）（2012铜仁25）如图已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P, 使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由．

新人教版中考二次函数专题一对一复习讲义

2016中考二次函数专题复习教师寄语：二次函数这一章在初中数学中占有重要地位，同时也是高中数学学习的基础.作为初高中衔接的内容，二次函数在中考命题中一直是“重头戏”，根据对近几年中考试卷的分析，预计今年中考中对二次函数的考查题型有低档的填空题、选择题，中高档的解答题，除考查定义、识图、性质、求解析式等常规题外，还会出现与二次函数有关的贴近生活实际的应用题，阅读理解题和探究题，二次函数与其他函数方程、不等式、几何知识的综合在压轴题中出现的可能性很大. 学习要求：中考中主要考查二次函数的基础知识、二次函数解析式求法、二次函数的实际应用.考查的题型常以填空题、选择题和解答题的形式出现.在复习二次函数的基础知识时,要注重待定系数法、函数思想、数形结合等等思想方法的应用。教师应对策略：从学生对基础知识基本技能的掌握入手，从图象入手，紧紧抓住二次函数的性质设计基础题，中等题与中考综合题，分三层次进行有效训练会比较好。通过具体题目的师生共同分析，引导学生梳理整章知识点，在题目分析中注重让学生自己开动脑筋去发现问题，进而找出解决问题的方法，教会学生如何去应对较复杂的二次函数的综合题。知识点复习回顾：一、二次函数概念二、二次函数的基本形式三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律左加右减，上加下减四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当

初三二次函数(广州学而思讲义)(完整资料).doc

此文档下载后即可编辑初三数学：二次函数考点分析二次函数的图像考点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．二次函数：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）一般式：y=ax 2+bx+c ，三个点顶点式：y=a （x －h ）2+k ，顶点坐标对称轴顶点坐标（－2b a ，244ac b a -）．顶点坐标（h ，k ） a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－ 2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－2b a >0，即对称轴在y 轴右侧， c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况）与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2 21x x h +=

一、二次函数解析式及定义型问题(顶点式中考要点) １.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x 2相同，这个函数解析式为________。３.如果函数1)3(232 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______ ４.已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是（） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > ５.抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322 --=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ６.抛物线5)43()1(22+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝７.二次函数52-+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是 8.函数245(5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =______时, 它是一次函数; 当a =______时, 它是二次函数. 9.抛物线2)13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增大 10.抛物线42++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为 11.已知二次函数2)3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为 12.二次函数k ax y +=2，当X 取X1和X2（21x x ≠）时函数值相等,则当X 取X1+X2 时，函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过（２.９）点，则当X ＝４时函数值Y ＝ 14.若函数k h x y ---=2)(的顶点在第二象限则，h 0 k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？

中考专题二次函数与几何综合

二次函数与几何综合（讲义）一、知识点睛 “二次函数与几何综合”思考流程：整合信息时，下面两点可为我们提供便利： ①_____________________．二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b； ②_____________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息．二、精讲精练 1. 如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x 轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2. 如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a>0）与x轴交于A、B两点，点A在点 B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC、CD，∠ACD=90°．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．

3. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P 作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE 的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．

4. 已知，抛物线经过A(-1，0)，C(2，)两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y2与x 的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．

初三数学二次函数的应用教案讲义

龙文教育一对一个性化辅导教案教导处签字：日期：年月日学生学校年级初三学科数学教师日期时段次数课题二次函数的应用考点分析二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、用二次函数模型解决生活实际问题。其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、图象与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题出现。利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识结合的综合题以解答题形式出现：一类是二次图象及性质的纯数学问题；另类是利用二次函数性质结合其它知识解决实际问题的题目，教学步骤及教学内容教学步骤及教学内容包括的环节：一、作业检查： 1、这个环节中评讲上次作业： 2、了解学生的信息：二、课前热身： 1、复习上次课的内容： 2、本次课简单知识点的引入：为本次课的顺利进行打基础，做铺垫三、内容讲解：（一）知识点一、二次函数的应用四、课堂小结。五、作业布置。

课后评价一、学生对于本次课的评价○特别满意○满意○一般○差二、教师评定 1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差 2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差作业布置学生签字：教师留言教师签字：家长留言家长签字：日期：年月日

讲义：二次函数的应用考点分析: 教学步骤及教学内容包括的环节：一、作业检查。二、课前热身： 1. 二次函数y ＝2x 2 －4x ＋5的对称轴方程是x ＝___；当x ＝时，y 有最小值是 . 2. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中（如右图），则此抛物线的解析式为． 3. 某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（） A ．y ＝x 2＋a B ．y ＝ a （x －1）2 C ．y ＝a （1－x ）2 D ．y ＝a （l ＋x ） 2 4. 把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD ，设宽为x ，面积为y ．则当y 最大时，x 所取的值是（） A ．0.5 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.6 【二次函数的图像和性质】 1. 二次函数的解析式：（1）一般式：；（2）顶点式：；（3）交点式： . 2. 顶点式的几种特殊形式. ⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） . 3．二次函数c bx ax y ++=2 通过配方可得2 24()24b ac b y a x a a -=++，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（，）. ⑴ 当0a >时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点, 当 x = 时，y 有最（“大”或“小”）值是； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点, 当 x = 时，y 有最（“大”或“小”）值是．三、内容讲解：

初中数学二次函数讲义

第一讲二次函数的定义知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0 考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式例1、函数y=（m ＋2）x 2 2-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．例2、下列函数中是二次函数的有（） ①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21 x ＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．

训练题: 1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2、若函数y=(m 2 +2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。 3、已知函数y=(m －1)x 2m +1 +5x －3是二次函数，求m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系． 5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2 为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限 6．下列不是二次函数的是（） A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31 x 2 C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2） 7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（） A ．m 、n 为常数，且m ≠0 B ．m 、n 为常数，且m ≠n C ．m 、n 为常数，且n ≠0 D ．m 、n 可以为任何常数 8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围． 9．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．

九年级中考数学总复习：二次函数知识总结讲义

2020年中考数学人教版总复习：二次函数知识总结一、二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．三、二次函数的图象及性质 1．二次函数的图象与性质开口向上开口向下

四、抛物线的平移 1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h）2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：

3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0?方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0?方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0?方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．六、二次函数的综合 1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．

中考考点——二次函数知识点汇总(全)

内容：1、一元一次函数； 2、一元二次函数； 3、反比例函数 ★二次函数知识点一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数 2 y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式： 1. 二次函数基本形式：二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b ac k a b h 4422 -= -=，. 2.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①2ax y =；②k ax y +=2；③()2 h x a y -=；④()k h x a y +-=2 ；⑤ c bx ax y ++=2 三、二次函数的性质： 1、2 y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质：上加下减。

3. () 2 y a x h =-的性质：左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 5.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+??? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线 a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为 ()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是 h x =. (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 四、二次函数图象的平移：