专题07 用好导数,“三招”破解不等式恒成立问题(第一篇)-2020年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析

一．方法综述

不等式恒成立问题一直是高考命题的热点，把函数问题、导数问题和不等式恒成立问题交汇命制压轴题成为一个新的热点命题方向．由不等式恒成立确定参数范围问题，常见处理方法有：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）

；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 最值法：讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.在诸多方法中，构造函数并利用导数研究函数的单调性、最值等，是必须要考虑的解题门径.本专题举例说明《用好导数，“三招”破解不等式恒成立问题》.

二．解题策略

类型一 构造函数求最值

【例1】【2018届湖南省益阳市高三4月调研】已知函数（

，为自然对数

的底数）. （1）讨论函数的单调区间；

（2）当

时，

恒成立，求实数的最小值.

【答案】(1)单调递增区间是

，单调递减区间是

.(2)-e.

【解析】试题分析：（1）由题意，利用导数法进行讨论，由

可求出函数的增区间，

可求出

函数的减区间，同时对参数进行分段讨论，从而问题即可得解；（2）由题意，可构造函数

，由此可将问题转化为计算

，再根据导数进行运算求解，从而问

题可得解.学%科网

试题解析：（1）由题知，函数

的定义域是

.

，

当

时，

对任意

恒成立，

所以函数的单调递增区间是，无单调递减区间；

当时，令，得；

令，得；

所以函数的单调递增区间是，

单调递减区间是.

【指点迷津】

1.首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.

2.在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.

【举一反三】

【2018届湖南省永州市三模】已知,

.

（1）若对任意的实数，恒有，求实数的取值范围；

（2）当时，求证：方程恒有两解.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)详见解析．

（Ⅱ）方程化为，

令，，

在（0，＋∞）上单调递增，，，

存在使，即，，在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值．学&科网

，

，＜0，

，，在和各有一个零点，故方程

恒有两解．

类型二参变分离求最值

【例2】【2018届山西省孝义市高三下学期一模】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，曲线总在曲线的下方，求实数的取值范围.

【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在

上单调递减；（2）.

【解析】

（1）由可得的定义域为，且，

若，则，函数在上单调递增；

若，则当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减.

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减. 学科*网

【指点迷津】

1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围，转化为求函数的最值问题.

2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.

3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：

（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.

例如：()2

1log a x x -<，

111ax

x e x

-+>-等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题. 【举一反三】

【2018年【衡水金卷】（三）】已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()3

2123

f x x ax bx =

+++， ()()24f x f x +='-'，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（ ）

A. [)64ln3,++∞

B. [)5ln5,++∞

C. [)66ln6,++∞

D. [

)4ln2,++∞ 【答案】C

类型三 讨论参数定范围

【例3】【2018届山东天成高三第二次大联考】已知函数，

.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若

，

对任意

恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；(2).

【解析】

（1），定义域

所以.

讨论：

当时，对或，成立，

所以函数在区间，上均是单调递增；

当时，对或，成立，

所以函数在区间，上均是单调递减；

当时，函数是常函数，无单调性. 学科@网

【指点迷津】

本例（2）对任意恒成立，即对任意恒成立，构造函数

，对这个函数求导研究函数的单调性，使得最值大于0即可.求导数'

()h x 后，为求()

h x 的最小值，根据，2[2,)x ∈+∞，对参数m 的取值进行讨论，确定了'

()h x 的符号，从而明确()

h x 的单调性、最值. 【举一反三】

【2018届四川高三（南充三诊）联合诊断】已知定义在上的偶函数

在

上单调递减，若不等式

对任意

恒成立，则实数的取值范是（ ）

A. B.

C.

D.

【答案】A

（1）当时，即

或

时，

在

上恒成立，单调递增，

因为最小值，最大值，所以

，

综上可得； （2）当，即时，在

上恒成立，

单调递减，

因为最大值，最小值

，所以

，

综合可得，无解， （3）当，即时，在

上，

恒成立，

为减函数，

在

上，

恒成立，

单调递增，

故函数最小值为，

若

，即

，因为

，则最大值为

，

此时，由，求得，

综上可得；

若，即，因为，则最大值为，

此时，最小值，最大值为，求得，

综合可得，

综合（1）（2）（3）可得或或，

即，故选A. 学科$网

三．强化训练

1．【2018届（衡水金卷调研卷）三】若存在，不等式成立，则实数的最大值为（）

A. B. C. 4 D.

【答案】A

2．【2018年高考理科数学原创押题预测卷01】已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则的值为

A. B. C. D.

【答案】A

3.【2018年4月浙江省金华十校高考模拟】若对任意的，存在实数，使

恒成立，则实数的最大值为__________．

【答案】9

【解析】若对任意的，恒成立，可得：

恒成立，

令，，

原问题等价于：，结合对勾函数的性质分类讨论：(1)当时，，，

原问题等价于存在实数满足：，

故，解得：，则此时；

(2)当时，，，

原问题等价于存在实数满足：，学/科网

故，解得：，则此时；

(3)当时，，

而，

当时，，

原问题等价于存在实数满足：，

故，解得：，则此时；

当时，，

原问题等价于存在实数满足：，

故，解得：，则此时；

综上可得：实数的最大值为.

4.【2018届齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学模拟（三）】已知函数在点

处的切线过点．

(1)求实数的值，并求出函数单调区间；

(2)若整数使得在上恒成立，求的最大值．

【答案】（1），在单调递减，在单调递增；（2）7.

【解析】

（2）∵时，，

∴等价于

记，∴

记，有 ，

∴

在

单调递增

∴ ， 由于

，

，可得

因此，故 又

由零点存在定理可知，存在，使得

，

即①

且时，，时，

故

时，

单调递减，

时，

单调递增

∴

由①可得

故的最大值为7．

5.【2017课标3，理21】已知函数()1ln f x x a x =-- . （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；

（2）设m 为整数，且对于任意正整数n 2111111222n m ????

??+++< ??? ???????

L ，求m 的最小值. 【答案】(1)1a = ；(2)3 【解析】

试题分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x =a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点，列方程解得1a = ； (2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得2111111222n e ?

???

??+

++< ??? ???????

L ，结合

231111112222???

???+++> ???????????

可知实数m 的最小值为3学科%网

6. 【2018届内蒙古鄂伦春自治旗高三下学期二模（420模拟）】已知函数的

图象在与轴的交点处的切线方程为.

（1）求的解析式；

（2）若对恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【解析】试题分析：（1）由切线方程为

求得切点坐标，再利用导数的几何意义，可得和

，即可求得的，值，从而可的

的解析式；（2）对

恒成立等价于对

恒成立，设

，利用导数研究

的单

调性，可得

的最大值，再设

，，利用导数研究

的单调性，可得的最小值，从而可得的取值范围.

试题解析：（1）由得

.

∴切点为.

∵ ∴

∴,

又

∴

，.

7. 【2018届河南省焦作市高三第四次模拟】已知()()2

2x

f x mx e

m R =-∈.

（Ⅰ）若()()'g x f x =，讨论()g x 的单调性；

（Ⅱ）当()f x 在()()

1,1f 处的切线与()223y e x =-+平行时，关于x 的不等式()0f x ax +<在()0,1上恒成立，求a 的取值范围.

【答案】（Ⅰ）()g x 在()ln ,m +∞上单调递减，在(),ln m -∞上单调递增. （Ⅱ）(]

,21a e ∈-∞-.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求得函数的导数()()

'2x g x m e =-，分0m ≤和0m >两种情况讨论，即可得到函数()g x 的单调性；学科&网

（Ⅱ）由（Ⅰ）求得1m =，把不等式()0f x ax +<即2

20x

x e ax -+<，得2x

e a x x

<-在()0,1上恒成立，设()2x

e F x x x

=-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可得到实数a 的取值范围． 试题解析：

（Ⅰ）因为()()'22x

g x f x mx e ==-，所以()()

'2x g x m e =-，

当0m ≤时， ()'0g x <，所以()g x 在R 上单调递减，

当0m >时，令()'0g x <，得ln x m >，令()'0g x >，得ln x m <， 所以()g x 在()ln ,m +∞上单调递减，在(),ln m -∞上单调递增.

8. 已知函数，

.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若函数在

处取得极值，对，

恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1) 当时，

的单调递减区间是

，无单调递增区间；当

时，

的单调递减

区间是

，单调递增区间是

;(2)

.

【解析】分析：（1）求导，解不等式，得到增区间，解不等式，得到减区间；

（2）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2?1+﹣≥b，构造函数g（x）

=1+﹣，g（x）min即为所求的b的值

详解：

（1）在区间上，，

当时，恒成立，在区间上单调递减；

当时，令得，

在区间上，，函数单调递减，

在区间上，，函数单调递增.

综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；

当时，的单调递减区间是，单调递增区间是学科@网

9. 已知函数，.

（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；

（2）当时，证明：.

【答案】（1）.（2）见解析.

【解析】

（1）由，得.

整理，得恒成立，即.

令.则.

∴函数在上单调递减，在上单调递增.

∴函数的最小值为.

∴，即.

∴的取值范围是.学^科网

即.

现证明.

构造函数，

则.

∴函数在上是增函数，即.

∴当时，有，即成立.

令，则式成立.

综上，得.

对数列，，分别求前项和，得

.

10.【2018届青海省西宁市高三下学期（一模）】设()ln f x x =， ()1

2

g x x x =. （1）令()()()?F x x f x g x =-，求()F x 的单调区间；

（2）若任意[

)12,1,x x ∈+∞且12x x <，都有()()()()212211??m g x g x x f x x f x ??->-??恒成立，求实数m 的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）1m ≥. 【解析】

（2）据题意，当121x x ≤<时， ()()()()212211??m g x g x x f x x f x ??->-??恒成立， ∴当121x x ≤<时， ()()()()22211??mg x x f x mg x x f x ->-恒成立， 令()()()?H x mg x x f x =-，即()2

1ln 2

H x mx x x =- 则()H x 在[

)1,+∞上是增函数， ∴()0H x '≥在[

)1,+∞上恒成立，∴ln 1

x m x

+≥（1x ≥）， 令()ln 1

x h x x

+=

（1x ≥）， ∴()2

1ln 1ln 0x x

h x x x

---==≤'，∴ ()h x 在[)1,+∞上为减函数， ∴()()max 11h x h ==，∴ 1m ≥.学.科网