挑战中考数学压轴题(推荐)

目录

第一部分函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2013年上海市中考第24题

例2 2012年苏州市中考第29题

例3 2012年黄冈市中考第25题

例4 2010年义乌市中考第24题

例5 2009年临沂市中考第26题

例6 2008年苏州市中考第29题

第一部分函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2013年上海市中考第24题

如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2

＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．

（1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM ，求∠AOM 的大小；

（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C 在x 轴上运动，可以体验到，点C 在点B 的右侧，有两种情况，△ABC 与△AOM 相似．

请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C 在x 轴上运动，可以体验到，点C 在点B 的右侧，有两种情况，△ABC 与△AOM 相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。

思路点拨

1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小．

2．因为∠BOM ＝∠ABO ＝30°，因此点C 在点B 的右侧时，恰好有∠ABC ＝∠AOM ． 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似．

满分解答

（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ． 在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，

所以AH ＝1，OH ．所以A (-．

因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，

设y ＝ax (x －2)，代入点A (-，可得

3

a =

． 图2

所以抛物线的表达式为2(2)y x x =-=．

（2）由221)y x =

=-，

得抛物线的顶点M 的坐标为(1,．所以tan BOM ∠=

． 所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．

（3）由A (-、B (2,0)、M (1,，

得tan ABO ∠=

AB =OM =．

所以∠ABO ＝30°，

OA

OM

= 因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°． △ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：

①如图3，当

BA OA

BC OM ==2BC ===．此时C (4,0)．

②如图4，当BC OA

BA OM

==6BC ===．此时C (8,0)．

图3 图4

考点伸展

在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．

如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．

图5

例2 2012年苏州市中考第29题

如图1，已知抛物线211(1)444

b

y x b x =

-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．

（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ ′A ＝∠B 的时刻．

思路点拨

1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．

满分解答

（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,

4

b

)． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ．

所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝115

2428

b x b x bx ??+??=＝2b ．

解得165x =．所以点P 的坐标为(1616

,55

)．

图2 图3 （3）由2111

(1)(1)()4444

b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．

①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =?时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14

b

b =-

．解得8b =±Q 为

(1,2+．

②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。 因此△OCQ ∽△QOA ． 当BA QA QA OA

=时，△BQA ∽△QOA ．此时∠OQB ＝90°． 所以C 、Q 、B 三点共线．因此BO QA

CO OA =

，即1

4

b QA b =．解得4QA =．此时Q (1,4)．

图4 图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A 、C 、O 三点是确定的，B 是x 轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B 的位置．

如图中，圆与直线x ＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？

如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，这与OB ＝4OC 矛盾．

例3 2012年黄冈市中考模拟第25题

如图1，已知抛物线的方程C 1：1

(2)()y x x m m

=-

+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．

（1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C 在x 轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC 与BF 保持平行，但是∠BFC 在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF 保持45°，存在∠BFC ＝∠BCE 的时刻．

思路点拨

1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．

2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF ，作∠CBF ＝∠EBC ＝45°，或者作BF //EC ．再用含m 的式子表示点F 的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m 的方程．

满分解答

（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-

+-，得1

24(2)m m =-?-．解得m ＝4． （2）当m ＝4时，2111

(2)(4)2442

y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)．

所以S △BCE ＝11

62622

BC OE ?=??=．

（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．

设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EO

CP CO

=

． 因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2

．

（4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．

由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC

CB BF

=

，即2BC CE BF =?时，△BCE ∽△FBC ．

设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1

(2)()

22x x m m x m

+-=+．

解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)．

由'CO BF CE BF =

4

m BF +=

．所以BF =． 由2

BC CE BF =?

，得2(2)m +=

整理，得0＝16．此方程无解．

图2 图3 图4

②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，

由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC

BC BF

=

，即2BC BE BF =?时，△BCE ∽△BFC ． 在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得1

(2)()2x x m x m

+-=+．

解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2

，2)BF m =+． 由2BC BE BF =?

，得2(2)2)m m +=+

．解得2m =± 综合①、②，符合题意的m

为2+

考点伸展

第（4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F ′、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求BF 的长．

例4 2010年义乌市中考第24题

如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；

（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；

（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I 上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x 2－x 1随S 的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q 在DM 上运动，可以体验到，如果∠GAF ＝∠GQE ，那么△GAF 与△GQE 相似．

思路点拨

1．第（2）题用含S 的代数式表示x 2－x 1，我们反其道而行之，用x 1，x 2表示S ．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y 2－y 1＝3．通过代数变形就可以了．

2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．

3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．

满分解答

（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，1

8

-）

． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62

x x S x x -+-?3

=

=+-，由此得到

1223s x x +=+．由于213y y -=，所以222122111111

38484

y y x x x x -=--+=．整理，得

21211

1()()384x x x x ??-+-=????

．因此得到2172x x S -=．

当S =36时，212114,2.x x x x +=??-=? 解得12

6,

8.x x =??=? 此时点A 1的坐标为（6，3）．

（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴

交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．

在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．

在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ．

由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以345t t =-．解得20

7

t =．

图3 图4

考点伸展

第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．

例5 2009年临沂市中考第26题

如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．

,

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P 在抛物线上运动，可以体验到，△PAM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在B 左侧”、“ P 在x 轴上方”和“P 在A 右侧”，可以显示△PAM 与△OAC 相似的三个情景．

双击按钮“第(3)题”， 拖动点D 在x 轴上方的抛物线上运动，观察△DCA 的形状和面积随D 变化的图象，可以体验到，E 是AC 的中点时，△DCA 的面积最大．

思路点拨

1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．

4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．

满分解答

（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为

)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得2

1

-=a ．所以抛物线的解析式为

22

5

21)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．

（2）设点P 的坐标为))4)(1(2

1

,(---x x x ．

①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(2

1

---

=x x PM ，x AM -=4． 如果2==CO AO

PM AM ，那么24)

4)(1(21

=----x

x x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么2

1

4)

4)(1(21

=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．

②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(2

1

--=

x x PM ，4-=x AM ． 解方程24)

4)(1(21

=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．

解方程2

14)

4)(1(21

=---x x x ，得2=x 不合题意．

③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(2

1

--=x x PM ，x AM -=4．

解方程24)

4)(1(21

=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．

解方程2

1

4)

4)(1(21

=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．

综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．

图2 图3 图4 （3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为22

1

-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<

5

21,(2-+-

m m m ，点E 的坐

标为)221,

(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 22

1

2+-=． 因此4)22

1(212?+-=?m m S DAC m m 42

+-=4)2(2+--=m ．

当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．

图5 图6

考点伸展

第（3）题也可以这样解：

如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．

设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<

42)4(21

)2(214)22(21++-=--+-?+=

n m m n n m n S ． 由于22

5212-+-=m m n ，所以m m S 42

+-=．

例6 2008年苏州市中考第29题

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“08苏州29”，拖动表示a的点在y轴上运动，可以体验到，当抛物线经过点E1和E3时，直线N E1、N E3和直线AB交于同一个点G，此时△POB∽△PGN．当抛物线经过点E2和E4时，直线NE2、NE4和直线AB交于同一个点G，可以体验到，这个点G 在点N右侧较远处．

思路点拨

1．求等腰直角三角形OAB 斜边上的高OH ，解直角三角形POH 求k 、b 的值．

2．以DN 为边画正方形及对角线，可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有符合题意的点E ，写出点E 的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出a ．

3．当E 在x 轴上方时，∠GNP ＝45°，△POB ∽△PGN ，把P B P G ?转化为14PO PN ?=．

4．当E 在x 轴下方时，通过估算得到PB PG ?大于．

满分解答

（1）1OH =，k =

b = （2）由抛物线的解析式(1)(5)y a x x =+-，得 点M 的坐标为(1,0)-，点N 的坐标为(5,0)．

因此MN 的中点D 的坐标为（2，0），DN ＝3．

因为△AOB 是等腰直角三角形，如果△DNE 与△AOB 相似，那么△DNE 也是等腰直角三角形．

①如图2，如果DN 为直角边，那么点E 的坐标为E 1（2，3）或E 2（2，－3）．

将E 1（2，3）代入(1)(5)y a x x =+-，求得1

3

a =-．

此时抛物线的解析式为21145(1)(5)3

333y x x x x =-+-=-

++． 将E 2（2，－3）代入(1)(5)y a x x =+-，求得3

1

=a ．

此时抛物线的解析式为3

5

3431)5)(1(312--=-+=x x x x y ．

②如果DN 为斜边，那么点E 的坐标为E 311(3,1)22或E 4)2

1

1,213(-．

将E 311(3,1)22代入(1)(5)y a x x =+-，求得29

a =-．

此时抛物线的解析式为222810

(1)(5)9999

y x x x x =-+-=-++．

将E 4)211,213(-代入(1)(5)y a x x =+-，求得9

2=a ．

此时抛物线的解析式为9

10

9892)5)(1(922--=-+=x x x x y ．

图2 图3

对于点E 为E 1（2，3）和E 311(3,1)22

，直线NE 是相同的，∠ENP ＝45°． 又∠OBP ＝45°，∠P ＝∠P ，所以△POB ∽△PGN ． 因此2101472<=?=?=?PN PO PG PB ．

对于点E 为E 2（2，－3）和E 4)211,2

1

3(-，直线NE 是相同的．

此时点G 在直线5=x 的右侧，33

14

>PG ． 又334>PB ，所以2103

4143343314>?=?>?PG PB ． 考点伸展

在本题情景下，怎样计算PB 的长？

如图3，作AF ⊥AB 交OP 于F ，那么△OBC ≌△OAF ，OF ＝OC PF ＝2

PA ＝

(2122PF ==，所以1PB =．